u|u ̸∈ (X ∪ Y u ̸∈ (X ∪ Y ) ¬(u ∈ (X ∪ Y ¬(u ∈ X ∨ u

レポート課題第 11 回【7/05 10:20a.m. 締切】
定理 3.1(x) 第 2 式 (X ∪ Y )c = X c ∩ Y c を証明せよ．
解答. 補集合の定義より，(X ∪ Y )c = {u|u ̸∈ (X ∪ Y )} である．
u ̸∈ (X ∪ Y ) ⇄ ¬(u ∈ (X ∪ Y )) がトートロジー
⇄ ¬(u ∈ X ∨ u ∈ Y )
(∵ ̸∈ の定義)
(∵ 和集合の定義)
がトートロジー
定理 2.4(vi) より，¬(P ∨ Q) ⇄ ¬P ∧ ¬Q がトートロジーなので，
∴
u ̸∈ (X ∪ Y ) ⇄ ¬(u ∈ X) ∧ ¬(u ∈ Y )
⇄ u ̸∈ X ∧ u ̸∈ Y
⇄u∈X ∧u∈Y
c
⇄ u ∈ (X c ∩ Y c )
∴
(∵ ̸∈ の定義)
がトートロジー
c
がトートロジー
がトートロジー
(∵ 補集合の定義)
(∵ 共通集合の定義)
(X ∪ Y )c = {u|u ∈ (X c ∩ Y c )}
= Xc ∩ Y c
（証明終わり）
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