x ∃y P (x, y).

レポート課題第 9 回【6/21 10:20a.m. 締切】 ⃝
1 問 2.25(2)-(3) 次の述語論理式の否定を作れ．
(1) ∀x ∈ R [x2 < 0].（授業にて解答済み）
(2) ∃x ∈ R [x2 ≦ 0].
(3) ∀x ∈ R [x2 = 0].
(4) ∃x ∈ R [x + 1 = 0].
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2 問 2.26 (2)-(3) 次の述語論理式の否定を作れ．
(1) ∀x ∀y P (x, y).（授業にて解答済み）
(2) ∃x ∃y P (x, y).
(3) ∀x ∃y P (x, y).
(4) ∃x ∀y P (x, y).
⃝
3 問 2.31 問 2.15 の (3) と (4)，および問 2.16 をベン図を用いて再考せよ．
解答. ⃝
1
(1)
(2)
(3)
(4)
∃x ∈ R
∀x ∈ R
∃x ∈ R
∀x ∈ R
[x2 ≧ 0].
[x2 > 0].
[x2 ̸= 0]
[x + 1 ̸= 0].
⃝
2
(1) 定理 2.6 を用いて，順に同値変形していく．
¬(∀x ∀y P (x, y)) ⇄ ∃x(¬(∀y P (x, y))) ⇄ ∃x(∃y (¬P (x, y)))
カッコを省略して，
¬(∀x ∀y P (x, y)) ⇄ ∃x ∃y ¬P (x, y).
(2) 定理 2.6 を用いて，順に同値変形していく．
¬(∃x ∃y P (x, y)) ⇄ ∀x(¬(∃y P (x, y))) ⇄ ∀x(∀y (¬P (x, y)))
カッコを省略して，
¬(∃x ∃y P (x, y)) ⇄ ∀x ∀y ¬P (x, y).
(3) 定理 2.6 を用いて，順に同値変形していく．
¬(∀x ∃y P (x, y)) ⇄ ∃x(¬(∃y P (x, y))) ⇄ ∃x(∀y (¬P (x, y)))
カッコを省略して，
¬(∀x ∃y P (x, y)) ⇄ ∃x ∀y ¬P (x, y).
(4) 定理 2.6 を用いて，順に同値変形していく．
¬(∃x ∀y P (x, y)) ⇄ ∀x(¬(∀y P (x, y))) ⇄ ∀x(∃y (¬P (x, y)))
カッコを省略して，
¬(∃x ∀y P (x, y)) ⇄ ∀x ∃y ¬P (x, y).
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3 ベン図や考察過程は省略し，答えのみ掲載しています．
問 2.15
(3) ∀x [K(x) → N (x)] ∨ ∀x [T (x) → N (x)].
14
(4) ∀x [T (x) → ¬R(x)].
問 2.16
(1)
(2)
(3)
(4)
∀x
∃x
∃x
∃x
[K(x) → R(x)].
[R(x) ∧ N (x)].
[R(x) ∧ (K(x) ∨ T (x))].
[N (x) ∧ K(x)].
15

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