数学補論B（PDF形式）

B-1 行
列
n 次元（または n×n )正方行列 A：
⎛ a11 a12
⎜
⎜ a21 a22
A=⎜
...
⎜
⎜a a
⎝ n1 n2
... a1n ⎞
⎟
... a2n ⎟
⎟
...
⎟
... ann ⎟⎠
行列のi,j-要素： a ij
行列の第 j 列：
B-1
行列
B-2 行列式
B-3 連立方程式とクラメール公式
B-4 ２次形式
第 i 行：
⎛ a1 j ⎞
⎜ ⎟
a j = ⎜ ... ⎟
⎜a ⎟
⎝ nj ⎠
aiT = ai1 ai 2 ... ain
A = a1
「m 次の主座対角小行列」
a2
... a n
性質４：行列の1つの列(行)をt倍すれば、行列式もt
倍になる。
行列式
2 ×2 行列の行列式
⎛a
det ⎜⎜
⎝c
b
d
a
⎞
⎟⎟ =
c
⎠
a 1 ...ta j ... a n = t a 1 ... a j ... a n
b
= ad − bc
d
性質５：隣り合う２つの列(行)が等しければ、列式は
ゼロ。
性質１：単位行列の行列式は１。
性質２：ある列(行)に任意の列(行)ベクトルを加えた行
列の行列式は、もとの行列の行列式ともとの行
列の当該の列(行)を列(行)ベクトルで入れ換え
た行列の行列式との和となる。
a 1 ... a j
det I = 1
(B-1)
性質２： a1...a j + b j ...an = a1...a j ...an + a1...b j ...an
性質３： a1 ...a j +1
a j ...a n = − a1 ...a j
a j +1 ...a n
(B-2)
(B-3)
を満たす数（スカラ−）として定義される。また、行列
式はこれらの性質によって一意に定まる。
if
a j = a j +1
(B-5)
ゼロ。
a 1 ... a i ... a j ... a n = 0
if
ai = a j
(B-6)
連立方程式とクラメール公式
の符号は逆になる。
一般に、n x n の行列Ａの行列式 detＡは、上記の性質：
a j + 1 ... a n = 0 ,
性質６：任意の２つの列(行)が同じならば、行列式は
性質3：隣あう2つの列(行)を入れ換えると、行列式
性質１：
(B-4)
定理B-1： det A = a 1 ... a n ≠ 0 とします。
このとき、連立方程式
Ax = a 1 x 1 + .... + a n x n = b
の解は、
x
j
= a 1 ... a
j −1
,
b,
a
j +1
... a n / det A
(B-7)
で与えられます。ここで(B-7)式の分子は、行列Ａの
第j列を列ベクトルbで置き換えた行列の行列式。
証明：(B-7)式の右辺の分子に b = a 1 x 1 + ... + a n x n
を代入し、性質２および性質４を適用すれば
分子 = a1 ...b...a n = a1 ...a1 x1 + ... + a n xn ...a n
= a1...a1 x1...an + a1...a j x j ...an + ... + a1...an xn ...an
= a 1 ... a 1 ... a n x 1 + a 1 ... a j ... a n x
j
+ .... + a1 ...a n ...a n x n
性質６、第 j 項以外はすべてゼロとなるから、
分子 = a 1 ... a j ... a n x
j
２次形式
Q (x) = x
Ax =
n
i , j =1
a ij x i x
j
(B-8)
行列A（の2次形式）が
for all
x≠0
負値定符号 Q ( x ) < 0 , for all
x ≠ 0
正値定符号
Q ( x) > 0
対称行列Ａが負値定符号であるための条件は、主座
対角小行列式が交互に符号を変えること。
すなわち、
a11 a12 a13
a11 a12
a11 < 0,
>0,
a 21 a 22 a 23 < 0,
a 21 a 22
a...31 a 32 a 33
が成立する。また正値定符号であるための条件は、
主座対角小行列式がすべて正となること。
２次形式
T
定理B-2:
(B-9)

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