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基礎物理数学第4回
力とポテンシャル（偏微分）
２．２高次の偏導関数と全微分
① テキストの説明（p.21~23）
②
③
④
⑤
合成関数
オイラーの関係式テキスト[問題2.5]
波動方程式テキスト[問題2.9, 2.10]
代表的な偏微分方程式
演習
テキスト21ページ
1
２．２高次の偏導関数と全微分
（2.14）式
  f   f
   2  f xx
x  x  x
2
  f   f
 f xy
 
y  x  yx
2
  f   f
 f xz
 
z  x  zx
2
2
偏微分の可換性
関数 f とその偏微分係数が連続である場合、
（2.15）式
 f
 f

xy yx
2
2
 f
 f

xz zx
2
2
 f
 f

yz zy
2
テキスト21ページ
2
3
全微分（１）
関数 f(x,y) について、(x,y)から(x+dx,y+dy)への変化に伴う
f の変化 df を全微分（完全微分）という。
df  f ( x  dx, y  dy )  f ( x, y )
f
f
 dx  dy
x
y
（2.16）式
関数 f(x,y) が、点(a,b)を含む領域において偏微分可能であり、
f x、fy が点(a,b)で連続ならば、 f(x,y)は点(a,b)で全微分可能。
テキスト21ページ
4
全微分（２）
逆に、
関数 g(x,y)dx+h(x,y)dyが与えられたとき、それがある関数の
全微分（完全微分）である必要十分条件は、
g ( x, y ) h( x, y )

y
x
テキスト22ページ
（2.17）式
5
全微分（３）
例１
1 3
x ydx  x dy
3
2
は、
1 3
x yC
3
の全微分である。
C は定数
g ( x, y) h( x, y )

 x2
y
x
1 3
 g ( x, y)dx   x ydx  3 x y  c1 ( y)
1 3
1 3
 h( x, y)dy   3 x dy  3 x y  c2 ( x)
c1 ( y)  c2 ( x)  C
2
テキスト22ページ
6
全微分（４）
例２
積分因子
 ydx  xdy
は全微分ではないが、1/x2 を掛けた
1
( ydx  xdy )
2
x
は全微分である。
g ( x, y) h( x, y)
1

 2
y
x
x
1/x2 のように、不完全微分形式を全微分に変える因子を
積分因子とよぶ。
テキスト22ページ
7
合成関数について（１）
ー課題を解くためにー
合成関数
z  g ( y)
y  f (x)
のとき、x の関数
z  g ( f ( x))
を関数 f と g の合成関数という。
例
z  g ( y)  sin y
y  f ( x)  x
テキストにはない。
2
合成関数
z  sin x
2
8
合成関数について（２）
合成関数の微分（１）
y  f (x)
z  g ( y)
が微分可能
dz dz dy

dx dy dx
テキストにはない。
9
合成関数について（３）
合成関数の微分（２）
z  f ( x, y)
x   (t )
、
y   (t )
が全微分可能
が微分可能
z
z
dz  dx  dy
x
y
dz z dx z dy


dt x dt y dt
テキストにはない。
10
合成関数について（４）
合成関数の微分（３）
z  f ( x, y)
x   (u, v)
、
が全微分可能
y   (u, v)
z z x z y


u x u y u
、
が偏微分可能
z z x z y


v x v y v
この関係を連鎖律という。
テキストにはない。
11
オイラーの関係式について [問題2.4]
U  U  S ,V ,N  が1次の同次関数である、すなわち、
U   S ,V , N   U  S ,V ,N 
を満すとき、
U
U
U
U S
V
N
S
V
N
であることを示せ。これをオイラーの関係式という。
（熱力学を意識した表現）
テキスト19ページ。
12
オイラーの関係式について（２）
一般的には、
変数{x1,x2,・・・・} の関数 f(x1,x2,・・・・) が、変数を倍したとき、
次の関係を満たせば、
f (x1 , x2 ,  )  f ( x1 , x2 ,  )
関数 f は1次の同次関数とよばれる。
ここで新たに変数
ui  xi
を導入すると、上式は、
f (u1 , u2 ,  )  f ( x1 , x2 ,  )
となるが、この式を xi を一定のまま、 で微分すると、
テキスト19ページ。
13
オイラーの関係式について（３）

{
f (u1 , u2 ,  )}  f ( x1 , x2 ,  )

となる。左辺に合成関数の微分法の公式を適用すると、
ui

{
f (u1 , u2 ,  )}u j ui ( ) x j  xi  f ( x1 , x2 ,  )


i 1 ui
となるが、さらに、

{
f (u1 , u2 ,  )}u j ui xi  f ( x1 , x2 ,  )

i 1 ui
とかける。
テキスト19ページ。
14
オイラーの関係式について（４）
 は任意であるから、=1 とおけば、

{
f ( x1 , x2 ,  )}u j ui xi  f ( x1 , x2 ,  )

i 1 xi
とかける。
この関係は[問題2.4]のオイラーの関係式と等価である。
U
U
U
U S
V
N
S
V
N
テキスト19ページ。
15
波動方程式に関する[問題2.9]について（１）
課題２（教科書の[問題2.9]一部改、波動方程式）
f u 
が微分可能であり、
f  x  at 
df du
も微分可能であるとき、
は、波動方程式、
 f
2  f

a
2
2
t
x
2
2
を満たすことを示せ。これを満たす
※ 教科書の
f  x  , df dx ,
f  u  , df du , a
テキスト19ページ。
f
を波動関数という。
を、それぞれ
に訂正している。
16
波動方程式に関する[問題2.9]について（２）
f  f ( x, t )
を満たす。
は波動関数であり、波動方程式、
2
2 f

f
2
a
2
2
t
x
u  x  at
と変換して、２変数を１変数とし、
偏微分を常微分へ。全微分、合成関数の微分法を用いる。
テキスト19ページ。
17
波動方程式に関する[問題2.9]について追加説明（３）
(参考）
結果として得られる、
f ( x, t )  f (u)  f ( x  at )
をさらに変形し、
f ( x, t )  f (u )  f ( x  at )
 f (( x  L)  a(t  L / a))  f ( x  L, t  L / a)
すなわち、
f ( x, t )  f ( x  L, t  L / a)
を得る。
18
波動方程式に関する[問題2.9]について追加説明（４）
f ( x, t )  f ( x  L, t  L / a)
左辺は位置 x 、時刻 t での f の値である。これが右辺によ
って“手前の位置 (x - L) 、以前の時刻 (t – L/a)での f の値”
に等しく、しかもそれは任意の x について成立する。従って、
ある時間での f の x に関する分布が、時間の進行とともに“
形を変えずに”速度 a で移動していることになる（次図）。こ
れが波動関数の意味である。
f ( x,t )
時刻(t  L a ) fの
xL
t時刻
時刻 ft の f
x
x
19
波動方程式に関する[問題2.9]について追加説明（5）
正弦波
t x
f ( x, t )  A sin 2 (  )
T 
2
 A sin
(t  x / a)
T
2
 A sin{
( x  at )}
Ta
f ( x, t )  f ( x  at )
波動方程式の解
A：振幅
T：周期
a：速度
：波長
a   /T
を満たしている。
20
21
波動方程式に関する[問題2.9]について追加説明（６）
f ( x, t )  A sin(
t
T

2
t =0で、
f ( x,0)  A sin(
k
2

とおけば、


x
)
2
x
)
2
f ( x,0)  A sin(kx)
k：波数
も波動方程式の解（時間に依存しない）である。同様に、
cos(kx)
、
 
cos(k  x )
、
 
exp(ik  x )
も波動方程式の解である。→[問題2.10]
22
２階偏微分方程式（代表的微分方程式の例）
未知関数 z(x,y) の２階線形微分方程式（一般形）について、
R( x, y)r  S ( x, y ) s  T ( x, y)t
 P( x, y) p  Q( x, y)q  Z ( x, y) z  F ( x, y )
ただし、
 z
r 2
x
上式を変形して、
2
 z
2 z
s
、 t
2
、
xy
y
z
z
q

p
y
x 、
2
a( x, y)r  2b( x, y)s  c( x, y)t  f ( x, y, z, p, q)
テキストにはない。
23
２階偏微分方程式（代表的微分方程式の例）
a( x, y)r  2b( x, y)s  c( x, y)t  f ( x, y, z, p, q)
  ac  b
2
として、この  の値によって微分方程式は3つの標準形となる。
 >0 : 楕円型（代表例：ポアソン方程式）
 <0 : 双曲型（代表例：波動方程式）
 =0 : 放物型（代表例：熱伝導・拡散方程式）
テキストにはない。
24
 >0 : 楕円型（代表例：ポアソン方程式）

  
0
 ：電位
 ：電荷密度
0 ：真空誘電率
25
 <0 : 双曲型（代表例：波動方程式）
f
2

a

f
2
t
2
1次元の解
f ：波動関数
t ：時間
a ：定数
t x
f ( x, t )  A sin 2 (  )
T 
a   /T
A：振幅
T：周期
a：速度
：波長
26
 =0 : 放物型（代表例：熱伝導・拡散方程式）

 a 
t
 ：温度（濃度）
t ：時間
a ：定数
27

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