null

∡≣ ∽ ∱ である２次低域通過バターワースフィルタの
∱
≈∨≳∩ ∽ ≳∲ ∫ ≰∲≳ ∫ ∱
によって与えられる。これより、遮断周波数 ∡h ∽ 2 である高域
【問題１】
特性は
通過フィルタへ変換しなさい。
∲
≷
≨
∽
【解答】≳ ∡
を代入すると
≳ ≳
∲
∱
≳
≈∨≳∩ ∽ ∨∲∽≳∩∲ ∫ ≰∲∨∲∽≳∩ ∫ ∱ ∽ ≳∲ ∫ ∲≰∲≳ ∫ ∴
【問題２】次の式を双一次変換しなさい。
≡
≈∨≳∩ ∽ ≳∲ ∫ ≢≳ ∫ ≣
⊡∱
∲
∱
⊡
≺
∨≔
∾
∰∩
【解答】 ≳ ∽ ⊢
⊡∱
≔ ∱∫≺
を代入する
⊡∱
∲
≡
∱
⊡
≺
≈∨ ≔ ⊢ ∱ ∫ ≺⊡∱ ∩ ∽ ⊡ ∲ ⊢ ∱⊡≺⊡∱ ⊢∲ ∫ ≢⊡ ∲ ⊢ ∱⊡≺⊡∱ ⊢ ∫ ≣
≔ ∱∫≺⊡∱
≔ ∱∫≺⊡∱
∲∨∱ ∫ ≺ ⊡∱ ∩∲
≡≔
∽ ∨∴ ⊡ ∲≢≔ ∫ ≣≔ ∲∩≺⊡∲ ∫ ∨⊡∸ ∫ ∲≣≔ ∲∩≺⊡∱ ∫ ∨∴ ∫ ∲≢≔ ∫ ≣≔ ∲∩
【問題３】次の問に答えよ
∳
１）
∳
∲
の逆z変換を部分分数展開で求めよ．
≺
≘∨≺∩ ∽ ∸≺ ⊡ ∱∴≺ ∫ ∷≺ ⊡ ∱
【解答】
∳
∱
≺
≘∨≺∩ ∽ ∸ ∨≺ ⊡ ∱∩∨≺ ⊡ ∱∽∲∩∨≺ ⊡ ∱∽∴∩
≣
≣
≣
∱
∲
∳
∽ ∱ ⊡ ≺⊡∱ ∫ ∱ ⊡ ∱∽∲≺⊡∱ ∫ ∱ ⊡ ∱∽∴≺
⊡∱
各係数 ≣∱ ∻ ≣∲ ∻ ≣∳ は
∱
∱
⊡∱
⊡∱
∱
⊡
⊡
⊡
≣∱ ∽ ∨∱ ≺ ∩≘∨≺∩≪≺∽∱ ∽ ∳ ∻ ≣∲ ∽ ∨∱ ∱∽∲≺ ∩≘∨≺∩≪≺∽ ∲ ∽ ∴
∱
⊡∱
≣∳ ∽ ∨∱ ⊡ ∱∽∴≺ ∩≘∨≺∩≪≺∽ ∱∴ ∽ ∲∴
したがって
⊡
⊢
⊡
⊢
∱
∱
∱
∱
∱
≮
≮
≸∨≮∩ ∽ ∳ ⊡ ∴ ⊢ ∲ ∫ ∲∴ ⊢ ∴
【問題３】
２）次のシステムの振幅特性、位相特性を求めよ．
≈∨≺∩ ∽ ∱ ∫ ∲≺⊡∱ ∫ ≺⊡∲
【解答】
≈∨≥≪⊭∩ ∽ ∱ ∫ ∲≥⊡≪⊭ ∫ ≥⊡≪∲⊭ ∽ ∲∨∱ ∫ ≣≯≳⊭∩≥⊡≪⊭
これより、
振幅特性：
≁∨⊭∩ ∽ ∲∨∱ ∫ ≣≯≳⊭∩
位相特性： ⊵∨⊭∩ ∽ ⊡⊭
【問題４】
１）次のシステムの伝達関数を求めよ．
≹∨≮∩ ∽ ≸∨≮∩ ∫ ≡≹∨≮ ⊡ ∱∩ ⊡ ≢≹∨≮ ⊡ ∲∩
【解答】
両辺を z 変換すると
≙ ∨≺∩ ∽ ≘∨≺∩ ∫ ≡≺⊡∱≙ ∨≺∩ ⊡ ≢≺⊡∲≙ ∨≺∩
したがって、伝達関数は
∱
≙
∨≺∩
≈∨≺∩ ∽ ≘∨≺∩ ∽ ∱ ⊡ ≡≺⊡∱ ∫ ≢≺⊡∲
【問題４】
２）次の２つの条件をa, b を用いて表し，それを a-b 平面の
領域として図示せよ．
・このシステムの極は実数解である
・このシステムは安定である．
≰
∲ ⊡ ∴≢
≡
⊧
≡
⊹∱∻ ⊹∲ は ⊹∱∻⊹∲ ∽ ∲
この時、⊹∱ ∻ ⊹∲ が実数解となるためには、≡∲ ⊡ ∴≢ ∾ ∰ を満たす必
要がある。
また、システムが安定になるためには、≪⊹∱ ≪ ∼ ∱∻ ≪⊹∲ ≪ ∼ ∱ を満た
【解答】
伝達関数の極
さなければならない。
これは， ∲
の解が-1から1の間に解を持つ、つまり，
この方程式が
のときに正の値をとることになる。
したがって，
≺ ⊡ ≡≺ ∫ ≢ ∽ ∰
≺ ∽ ⊧∱
≺ ∽∱∺∱⊡≡∫≢∾∰
≺ ∽ ⊡∱ ∺ ∱ ∫ ≡ ∫ ≢ ∾ ∰
以上をまとめると、システムの安定条件は
∲
≡
≢∼ ∴
かつ
≢ ∾ ⊡≡ ⊡ ∱
かつ
≢∾≡⊡∱
となる．これらの条件を満たす領域を，下図⻘⾊部に示す．
b
b=1
1
b = a-1
a
b = -a+1

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