電磁気学I 第14回授業演習（pp.851-858の問題より）【解答】 π2 l r = π

電磁気学I　第14回授業　演習
（pp.851-858の問題より）
問題22. 17 mAの電流が円周2 mの円形ループに流れている。0.8 Tの外部
磁場がループ面と平行に向けられている。
(a) このループ電流の磁気モーメントを計算せよ。
(b) 磁場がループに及ぼすトルクの大きさはどれほどか？
問題23. 導線を密に100回巻いた長方形のループが
縦0.3 m，横0.4 mの大きさを持っている。ルー
プは蝶番(ちょうつがい)でy軸のまわりに回転
でき，コイル面はx軸と30˚をなす（図29.29参
照）。図に示す方向に1.2 Aの電流が流れると
き，x軸方向に向けられた0.8 Tの一様な磁場が
ループに及ぼすトルクの大きさはどれほどか？
予想されるループの回転方向はどちらか？
【解答】
問題22. 17 mAの電流が円周2 mの円形ループに流れている。0.8 Tの外部
磁場がループ面と平行に向けられている。
(a) このループ電流の磁気モーメントを計算せよ。
電流をI，ループの面積をAとすると，磁気モーメント（の大きさ）µは
µ = IA
ループの半径をr，円周をlとすると，
l = 2πr
∴ r=
l
2π
l2
 l 
A = πr = π 
 =
4π
 2π 
ループ面積は
2
2
問題25. 面積が0.45 m2で225巻きの長方形コイルが0.21 Tの一様な磁場の
中に置かれている。測定によれば，磁場がループに及ぼす最大のトル
クが8×10-3 N•mである。
(a) コイルに流れる電流を計算せよ。
(b) 225巻きの導線を延ばして1つの大きな同形の単巻きコイルにする
と，同じトルクを受けるのに必要な電流は上の値と異なるか？　説明せよ。（異なる場合は必要な電流を計算する。）
問題22. 17 mAの電流が円周2 mの円形ループに流れている。0.8 Tの外部
磁場がループ面と平行に向けられている。
(b) 磁場がループに及ぼすトルクの大きさはどれほどか？
τ = | µ × B | = µB
= (5.4 ×10 −3 [A ⋅ m 2 ])(0.8 [T])
= 4.3 ×10 −3 [ N ⋅ m]
よって，磁気モーメントは
µ = IA =
I l2
4π
=
(17 ×10−3 [A])(2 [m])2
4π
= 5.4 ×10−3 [A ⋅ m2 ]
問題23. 導線を密に100回巻いた長方形のループが
縦0.3 m，横0.4 mの大きさを持っている。ルー
プは蝶番(ちょうつがい)でy軸のまわりに回転
でき，コイル面はx軸と30˚をなす（図29.29参
照）。図に示す方向に1.2 Aの電流が流れると
き，x軸方向に向けられた0.8 Tの一様な磁場が
ループに及ぼすトルクの大きさはどれほどか？
予想されるループの回転方向はどちらか？
（参考：回転軸が長方形の辺と一致する場合も，トルクは回転軸が長
方形の中心を通る場合と同じ）
1巻きのコイルの磁気モーメント（の大きさ）µは・・・ µ = IA
（I：電流，A：ループの面積）
コイル面がx軸と30˚をなすので，磁気モーメントのベクトルと磁場
のベクトル（x軸方向）　の間の角度θは60˚。
100回巻いたコイルのトルクの大きさは
τ =N | µ × B | = NµB sin θ = NIAB sin θ
（N：コイルの巻数）
= (100)(1.2 [A]){(0.3 [m])(0.4 [m])}(0.8 [T ]) sin 60°
= 9.9766 [ N ⋅ m] ≈ 9.98 [ N ⋅ m]
トルク・ベクトルの向きは　の方向なので，負のy軸方向。よって，
µ× B
ループの回転方向は，y軸の負の方向を向いた時に時計回りの方向。
問題25. 面積が0.45 m2で225巻きの長方形コイルが0.21 Tの一様な磁場の
中に置かれている。測定によれば，磁場がループに及ぼす最大のトル
クが8×10-3 N•mである。
(a) コイルに流れる電流を計算せよ。
トルクの最大は
τ =N | µ × B |max = NµB = NIAB
（N：コイルの巻数，µ：コイル1巻きの磁気モーメント
I：電流，A：ループの面積，B：磁場）
∴ I=
τ
(8 ×10 −3 [ N ⋅ m])
=
NAB
(225)(0.45 [m 2 ])(0.21 [T])
= 3.76 ×10 −4 [A]
= 0.376 [mA]
= 376 [µA]
問題25. 面積が0.45 m2で225巻きの長方形コイルが0.21 Tの一様な磁場の
中に置かれている。測定によれば，磁場がループに及ぼす最大のトル
クが8×10-3 N•mである。
(b) 225巻きの導線を延ばして1つの大きな同形の単巻きコイルにする
と，同じトルクを受けるのに必要な電流は上の値と異なるか？　説明せよ。（異なる場合は必要な電流を計算する。）
1巻きの導線の長さが225倍になると，ループの面積は2252倍になる。
導線を延ばして，巻数，ループ面積，電流がN, A, IからN´, A´, I´になっ
たとする。
巻数：　N　→　N ′ = N / 225 (= 1)
ループ面積：　A　→　A′ = 2252 A
電流：　I　→　I ′
磁場Bとトルクτは変わらないとき
I′ =
τ
N ′A′B
1
=
I
225
=
τ
225τ
1 τ
=
=
2
2
( N / 225)(225 A) B 225 NAB 225 NAB
したがって，必要な電流は1/225でよい。
I′ =
1
(376 [µΑ]) = 1.67 [µΑ]
225

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