Übungsblatt 2 - Universität Zürich

Universität Zürich, 13. September 2016
Vorkurs Grundlagen für das Mathematikstudium
Übungsblatt 2: Polynome, Binomialreihen, Exponential- und
Logarithmusfunktion
Aufgabe 1.
(a) Finde das Polynom vom Grad 3, welches durch die Punkte P = (0, 3), Q = (1, 1), R = (2, 2)
und S = (3, 0) geht.
(b) Finde das Polynom y = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 , welches für alle natürlichen Zahlen m
an der Stelle x = m den Wert 13 + 23 + · · · + m3 hat. (Für x = 0 soll es den Wert 0
annehmen.) Welchen Grad hat es?
Aufgabe 2.
(a) Zeige, dass es zwei verschiedene Polynome vom Grad 3 gibt, welche durch die Punkte
P = (1, 1), Q = (2, 3) und R = (3, 5) gehen. Begründe diese Tatsache.
(b) Zeige, dass es kein Polynom vom Grad 3 gibt, welches durch die Punkte P = (0, −1),
Q = (1, 2), R = (2, 7), S = (3, 20) und T = (4, 0) geht. Begründe diese Tatsache.
Aufgabe 3. Im Skript (S. 2526) wurden logarithmische Funktionen diskutiert und gezeigt,
dass sie Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen ax sind. Deniere nun umgekehrt
y = loga x falls x = ay ,
x > 0.
Zeige, dass loga x eine logarithmische Funktion im Sinne der Denition im Skript ist. Konkret:
zeige, dass loga (x · y) = loga x + loga y für x, y > 0.
Aufgabe 4. Beweise
Eulers Goldene Regel
: loga x =
logb x
logb a .
Aufgabe 5. Es ist bekannt, dass √2 keine rationale Zahl ist (vergleiche dazu auch Aufgabe 7
auf Blatt 3). Daher bricht die Dezimalentwicklung nie ab und wird auch nicht periodisch.
√ Es
ist also notwendig den Wert annähernd zu bestimmen. Finde eine Approximation von 2 mit
folgenden Methoden:
(i) Verwende die Formel
√
√
b
a+b≈ a+ √
2 a
aus dem Skript (Seite 22-23).
(ii) Das Verfahren von Heron: Es soll die Quadratwurzel aus a > 0 bestimmt werden. Die
geschieht mittels der Iterationsvorschrift
xn+1 =
xn +
2
a
xn
,
wobei ein beliebiger Startwert x0 > 0 gewählt werden kann. (Es empehlt sich einen Wert
√
zu nehmen, der nahe am erwarteten Wert a liegt.)
(iii) Verwende das verallgemeinerte Binomialtheorem (Skript Seite 23).
(iv) Wie können Logarithmen zur Wurzelberechnung
verwendet werden? Benutze die Logarith√
mentafel zur Berechnung von 2.
Diskutiere die Vor- und Nachteile dieser Methoden.
Aufgabe 6. Erkläre den Zusammenhang der Exponentialfunktion e
nung.
Aufgabe 7. Studiere Kapitel 2.4.2 aus dem Skript.
schnitt enthalten sind.
mit der Zinseszinsrech-
Notiere die Kernideen, die in diesem Ab-
Aufgabe 8. Für m, n ∈ N werden die Binomialkoezienten
(
n!
n
:= m!(n−m)!
m
0
x
n
m
∈ N deniert durch:
falls m ≤ n
falls m > n.
(Bemerkung: Die Binomialkoezienten geben gerade die Anzahl Möglichkeiten an, wie man m
Elemente aus einer Menge von n Elementen auswählen kann.)
n
Beweise die folgenden Rechenregeln für die Binomialkoezienten m
, n, m ∈ N:
(a)
(b)
n
m
n
P
k=0
(c)
m
P
k=0
Hinweis:
=
n
n−m
n
k
= 2n .
n+k
n
=
.
n+m+1
n+1
.
beachte, dass für 1 ≤ m ≤ n gilt
n
m−1
+
n
m
=
n+1
m
.
Aufgabe 9. Für zwei ganze Zahlen a, b ∈ Z schreiben wir a | b, wenn a ein Teiler von b ist. Das
bedeutet, dass es ein c ∈ Z gibt mit a · c = b. Betrachte nun die folgende Aussage:
Für m, n ∈ N mit m ≤ n gilt: (m! · (n − m)!) | n!
(a) Interpretiere die oben stehende Aussage. Weshalb ist sie interessant?
(b) Beweise die Aussage mittels vollständiger Induktion.
Hinweis:
(n + 1)! = n! · (n + 1 − m) + n! · m.
Aufgabe 10. In der Bibliothek des Grafen Dracula gibt es keine zwei Bücher, deren Inhalt aus
gleich vielen Wörtern besteht. Die Anzahl der Bücher ist grösser als die Anzahl der Wörter jedes
einzelnen Buches. Diese Aussagen genügen, um den Inhalt mindestens eines Buches aus Draculas
Bibliothek genau zu beschreiben.
Was steht in diesem Buch?
N
1.00
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
1.06
1.07
1.08
1.09
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20
1.21
1.22
1.23
1.24
1.25
1.26
1.27
1.28
1.29
1.30
1.31
1.32
1.33
1.34
1.35
1.36
1.37
1.38
1.39
1.40
1.41
1.42
1.43
1.44
1.45
1.46
1.47
1.48
1.49
1.50
0.00
0.00
0.00
0.01
0.01
0.02
0.02
0.02
0.03
0.03
0.04
0.04
0.04
0.05
0.05
0.06
0.06
0.06
0.07
0.07
0.07
0.08
0.08
0.08
0.09
0.09
0.10
0.10
0.10
0.11
0.11
0.11
0.12
0.12
0.12
0.13
0.13
0.13
0.13
0.14
0.14
0.14
0.15
0.15
0.15
0.16
0.16
0.16
0.17
0.17
0.17
0
00
43
86
28
70
12
53
94
34
74
14
53
92
31
69
07
45
82
19
55
92
28
64
99
34
69
04
38
72
06
39
73
06
39
71
03
35
67
99
30
61
92
23
53
84
14
44
73
03
32
61
1
04
48
90
33
75
16
57
98
38
78
18
57
96
35
73
11
48
86
22
59
95
31
67
03
38
73
07
41
75
09
43
76
09
42
74
07
39
70
02
33
64
95
26
56
87
17
47
76
06
35
64
2
09
52
95
37
79
20
61
02
42
82
22
61
00
38
77
15
52
89
26
63
99
35
71
06
41
76
11
45
79
13
46
79
12
45
78
10
42
74
05
36
67
98
29
59
90
20
49
79
08
38
67
Logarithmustafel zur Basis
3 4 5 6 7 8 9
13 17 22 26 30 35 39
56 60 65 69 73 77 82
99 03 07 11 16 20 24
41 45 49 54 58 62 66
83 87 91 95 99 04 08
24 28 33 37 41 45 49
65 69 73 78 82 86 90
06 10 14 18 22 26 30
46 50 54 58 62 66 70
86 90 94 98 02 06 10
26 30 34 38 41 45 49
65 69 73 77 81 84 88
04 08 12 15 19 23 27
42 46 50 54 58 61 65
80 84 88 92 96 99 03
18 22 26 30 33 37 41
56 60 63 67 71 74 78
93 97 00 04 08 11 15
30 34 37 41 45 48 52
66 70 74 77 81 85 88
03 06 10 13 17 21 24
39 42 46 49 53 56 60
74 78 81 85 88 92 96
10 13 17 20 24 27 31
45 48 52 55 59 62 66
80 83 86 90 93 97 00
14 17 21 24 28 31 35
48 52 55 59 62 65 69
82 86 89 92 96 99 03
16 19 23 26 29 33 36
49 53 56 59 63 66 69
83 86 89 93 96 99 02
16 19 22 25 29 32 35
48 52 55 58 61 65 68
81 84 87 90 94 97 00
13 16 19 23 26 29 32
45 48 51 55 58 61 64
77 80 83 86 89 92 96
08 11 14 18 21 24 27
40 43 46 49 52 55 58
71 74 77 80 83 86 89
01 04 08 11 14 17 20
32 35 38 41 44 47 50
62 65 69 72 75 78 81
93 96 99 02 05 08 11
23 26 29 32 35 38 41
52 55 58 61 64 67 70
82 85 88 91 94 97 00
11 14 17 20 23 26 29
41 44 46 49 52 55 58
70 72 75 78 81 84 87
10 von 1.000
N
1.50 0.17
1.51 0.17
1.52 0.18
1.53 0.18
1.54 0.18
1.55 0.19
1.56 0.19
1.57 0.19
1.58 0.19
1.59 0.20
1.60 0.20
1.61 0.20
1.62 0.20
1.63 0.21
1.64 0.21
1.65 0.21
1.66 0.22
1.67 0.22
1.68 0.22
1.69 0.22
1.70 0.23
1.71 0.23
1.72 0.23
1.73 0.23
1.74 0.24
1.75 0.24
1.76 0.24
1.77 0.24
1.78 0.25
1.79 0.25
1.80 0.25
1.81 0.25
1.82 0.26
1.83 0.26
1.84 0.26
1.85 0.26
1.86 0.26
1.87 0.27
1.88 0.27
1.89 0.27
1.90 0.27
1.91 0.28
1.92 0.28
1.93 0.28
1.94 0.28
1.95 0.29
1.96 0.29
1.97 0.29
1.98 0.29
1.99 0.29
2.00 0.30
bis 2.009
0 1 2 3
61 64 67 70
90 93 96 98
18 21 24 27
47 50 53 55
75 78 81 84
03 06 09 12
31 34 37 40
59 62 65 67
87 89 92 95
14 17 19 22
41 44 47 49
68 71 74 76
95 98 01 03
22 25 27 30
48 51 54 56
75 77 80 83
01 04 06 09
27 30 32 35
53 56 58 61
79 81 84 87
04 07 10 12
30 33 35 38
55 58 60 63
80 83 85 88
05 08 10 13
30 33 35 38
55 58 60 63
80 82 85 87
04 07 09 12
29 31 33 36
53 55 58 60
77 79 82 84
01 03 05 08
25 27 29 32
48 51 53 55
72 74 76 79
95 97 00 02
18 21 23 25
42 44 46 49
65 67 69 72
88 90 92 94
10 13 15 17
33 35 38 40
56 58 60 62
78 80 82 85
00 03 05 07
23 25 27 29
45 47 49 51
67 69 71 73
89 91 93 95
10 12 15 17
4
72
01
30
58
86
15
42
70
98
25
52
79
06
33
59
85
12
38
63
89
15
40
65
90
15
40
65
90
14
38
62
86
10
34
58
81
04
28
51
74
97
19
42
65
87
09
31
53
75
97
19
5
75
04
33
61
89
17
45
73
00
28
55
82
09
35
62
88
14
40
66
92
17
43
68
93
18
43
67
92
16
41
65
89
13
36
60
83
07
30
53
76
99
22
44
67
89
11
34
56
78
99
21
6 7
78 81
07 10
36 38
64 67
92 95
20 23
48 51
76 78
03 06
30 33
57 60
84 87
11 14
38 40
64 67
91 93
17 19
43 45
69 71
94 97
20 22
45 48
70 73
95 98
20 23
45 48
70 72
94 97
19 21
43 45
67 70
91 94
15 17
39 41
62 65
86 88
09 11
32 35
55 58
78 81
01 04
24 26
47 49
69 71
91 94
14 16
36 38
58 60
80 82
02 04
23 25
8
84
13
41
70
98
26
53
81
09
36
63
90
17
43
70
96
22
48
74
99
25
50
75
00
25
50
75
99
24
48
72
96
20
43
67
90
14
37
60
83
06
28
51
74
96
18
40
62
84
06
28
9
87
16
44
72
01
28
56
84
11
38
66
92
19
46
72
98
25
51
76
02
27
53
78
03
28
53
77
02
26
50
74
98
22
46
69
93
16
39
62
85
08
31
53
76
98
20
42
64
86
08
30

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