x ¡ 1 - SUUGAKU.JP

年番号
1
関数 f(x) = e¡2x とする．曲線 C : y = f(x) 上の点 (1; f(1)) における接
3
線が x 軸と交わる点を P1 (x1 ; 0) とする．次に C 上の点 (x1 ; f(x1 )) におけ
氏名
a を正の定数とする．2 つの曲線 C1 : y = x log x と C2 : y = ax2 の両方
に接する直線の本数を求めよ．ただし， lim
x!1
る接線が x 軸と交わる点を P2 (x2 ; 0) とする．以下同様に n = 3; 4; 5; Ý
(log x)2
= 0 は証明なしに用
x
いてよい．
に対して C 上の点 (xn¡1 ; f(xn¡1 )) における接線が x 軸と交わる点を
（横浜国立大学 2016 ）
Pn (xn ; 0) とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) x1 を求めよ．
(2) xn+1 を xn で表せ．また xn を n で表せ．
n
P
(3)
3k xk を求めよ．
k=1
（岩手大学 2015 ）
2
xy 平面上の第 1 象限内の 2 つの曲線 C1 : y =
p
x (x > 0) と C2 : y =
1
(x > 0) を考える．次の問いに答えよ．ただし，a は正の実数とする．
x
4
a は実数とし，2 つの曲線
C1 : y = (x ¡ 1)ex ;
C2 : y =
1 2
x +a
2e
がある．ただし，e は自然対数の底である．C1 上の点 (t; (t ¡ 1)et ) におけ
る C1 の接線が C2 に接するとする．
(1) x = a における C1 の接線 L1 の方程式を求めよ．
(2) C2 の接線 L2 が (1) で求めた L1 と直交するとき，接線 L2 の方程式を求
めよ．
(1) a を t で表せ．
(2) t が実数全体を動くとき，a の極小値，およびそのときの t の値を求めよ．
(3) (2) で求めた L2 が x 軸，y 軸と交わる点をそれぞれ A，B とする．折れ線
AOB の長さ l を a の関数として求め，l の最小値を求めよ．ここで，O は原
点である．
（鳥取大学 2015 ）
（北海道大学 2015 ）
5
下の問いに答えよ．
(1) 方程式 x cos x = sin x は
4¼
< x < 2¼ の範囲にただ 1 つの解をもつこ
3
とを示せ．
(2) (1) の解を ® とおくとき，0 < x < 2¼ において不等式
sin x
3
1
=¡ B
>¡
2
x
4¼
1+®
が成り立つことを示せ．
（東京学芸大学 2013 ）
6
xy 平面において，曲線 C : y = x ¡ log x (0 < x < 1) と C 上の点 P を考
える．P における C の接線と y 軸との交点を Q とし，P における C の法線
と y 軸との交点を R とする．点 P が C 上を動くとき，線分 QR の長さの最
小値を求めよ．
（京都工芸繊維大学 2006 ）

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