¨Ubungsaufgaben Finanz- und Versicherungsma

Übungsaufgaben Finanz- und Versicherungsmathematik
Risikomodelle
1. Sei X die Anzahl von 5en, die bei 5 Würfen einer fairen Münze auftritt.
Dann werden X faire Würfel geworfen. Sei Y die Summe der Augenzahlen
bei diesen Würfen. Man bestimme Erwartungswert und Varianz von Y .
2. Eine Feuerversicherungsgesellschaft versichert 160 Gebäude gegen Feuerschäden für folgende Versicherungssummen:
Versicherungssumme
10000
20000
30000
50000
100000
Anzahl der Verträge
80
35
25
15
5
Die Wahrscheinlichkeit für einen Feuerschaden für jedes der Gebäude pro
Jahr sei gleich 0.04 und P(mehr als ein Schaden pro Gebäude pro Jahr)=0;
weiters seien die Feuerschäden unabhängige Ereignisse. Die bedingte Verteilung der Schadenshöhe, gegeben dass ein Schaden aufgetreten ist, sei
gleichverteilt im Intervall von 0 bis zur versicherten Schadenssumme. Sei
N die Anzahl der Schäden und S die Gesamtschadenshöhe in einem Jahr.
a) Man berechne Erwartungswert und Varianz von N .
b) Man berechne Erwartungswert und Varianz von S.
c) Welcher relative Sicherheitszuschlag θ ist nötig, damit die Gesellschaft
einen Gesamtprämienbetrag einnimmt, der gleich dem 99%-Quantil der
Gesamtschadensverteilung ist? (Man verwende die Normalapproximation)
3. Die Schadensanzahl N in einem Portfolio habe eine geometrische Verteilung, d.h.
P(N = n) = pq n , n = 0, 1, 2, . . .
mit 0 < q < 1 und p = 1 − q. Man bestimme MS (t)
a) allgemein
b) für exponentialverteilte Schadenshöhen.
4. Berechne die Schiefe von S im zusammengesetzten Binomialmodell, zuerst
allgemein und dann für deterministische Schadenshöhen y0 .
5. Die Zufallsvariable S habe eine zusammengesetzte Poisson-Verteilung mit
λ = 2 und P(Yi = y) = 0.1y, y = 1, 2, 3, 4. Wie großist die Wahrscheinlichkeit für S = 0, 1, 2, 3, 4?
6. Man zeige, dass die Familie der negativ-binomialverteilten Verteilungen
mit Parametern r und p für r → ∞ und p → 1 (wobei r(1−p) = λ konstant
bleibt) gegen eine Poissonverteilung mit Parameter λ konvergiert.
7. S1 sei zusammengesetzt-Poisson-verteilt mit λ1 = 2 und Schadenshöhen
1,2 oder 3 mit Wahrscheinlichkeiten 0.2, 0.6 bzw. 0.2. Sei weiters S2 sei
zusammengesetzt Poisson-verteilt mit λ2 = 6 und Schadenshöhen 3 oder 4
mit Wahrscheinlichkeit jeweils 0.5. Bestimme die Verteilung von S1 + S2 ,
falls S1 und S2 unabhängig sind!
1
8. Man beweise folgende Behauptung: Fü alle k ∈ N0 gilt:
Z ∞
r2
eru (−1)k Hk (u)φ(u)du
rk e 2 =
−∞
Prämienkalkulation
9. Die sog. Risikoaversion des Versicherers ist durch
r(w) := −
u00I (w)
u0I (w)
definiert, wobei uI (w) die Nutzenfunktion des Versicherers bezeichnet.
Man zeige, dass im Falle |u00 (wI )| 1 für die Nullnutzenprämie näherungsweise
gilt:
r(wI )
P (S) ≈ E[S] +
Var(S)
2
und insbesondere bei exponentieller Nutzenfunktion
a
P (S) ≈ E[S] + Var(S).
2
10. Überprüfe, ob die folgenden Prämeinkalkulationsprinzipien: Nettoprämienprinzip,
Erwartungswertprinzip, Varianzprinzip, Standardabweichungsprinzip, NullNutzenprinzip und Exponential-Prinzip
• einen positiven Sicherheitszuschlag haben,
• die Eigenschaft der Angemessenheit erfüllen
• und konsitent sind.
11. Überprüfe, ob die in 10 angegebenen Prämeinkalkulationsprinzipien
• Additivität
• und Iterativität erfüllen.
12. Zeige, dass beim Exponentialprinzip die Prämie bei festem Risiko mit a
steigt!
13. Sei ein Risiko S gleichverteilt im Intervall [0, 100]. Man bestimme die
Prämie für S für jedes der im Kapitel angeführten Prämienkalkulationsprinzipien!
14. Sei ein Risiko S exponentialverteilt mit Wahrscheinlichkeitsdichte f (s) =
3e−3s . Man bestimme die Prämie für S für jedes der im Kapitel angeführten Prämienkalkulationsprinzipien!
15. Sei IM die Geldmenge, die ein Rückversicherer dem Versicherer bei einer
Stop-Loss-Rückversicherung mit Selbstbehalt M zahlen muss. Für den
Fall, dass der Gesamtschaden S durch eine Gammaverteilung mit Verteilungsfunktion
Z x α
β
tα−1 e−βt dt
Γ(x; α, β) =
0 Γ(α)
approximiert wird, zeige man
α
E[IM ] =
1 − Γ(M ; α + 1, β) − M 1 − Γ(M ; α, β) .
β
2
16. Sei S zusammengesetzt Poisson-verteilt mit λ = 0.8 und diskreten Einzelschadenshöhen 1,2 und 3 mit Wahrscheinlichkeiten 0.25, 0.375 bzw. 0.375.
Berechne E[I6 ] (Notation siehe Bsp. 15)!
17. Sei S zusammengesetzt Poisson-verteilt mit λ = 1.5 und diskreten Einzelschadenshöhen 1 und 2 mit Wahrscheinlichkeiten 2/3 bzw. 1/3. Berechne
P(S = x) und E[Ix ] für x = 0, 1, . . . , 6 (Notation siehe Bsp. 15)!
Ruintheorie
18. Bestimme den Anpassungskoeffizienten, falls alle Schadenshöhen gleich 1
sind!
19. Berechne lim R und lim R.
c→λµ
c→∞
20. Zeige
R<
2θµ
.
µ2
(Hinweis: verwende die Abschätzung erx > 1+rx+ 21 (rx)2 , (r > 0, x > 0))
21. Falls ein Anpassungskoeffizient R > 0 existiert, so gilt
Ψ(x) < e−Rx
∀x ≥ 0.
22. Man zeige, dass für R > 0 und beschränkte Schadenshöhen Yi < m gilt:
ψ(x) > e−R(x+m) .
23. Man leite für exponentialverteilte Schadensöhen aus
Ψ(x) =
e−Rx
E[e−R CT |T
< ∞]
∀x ≥ 0.
eine explizite Formel für die Ruinwahrscheinlichkeit her.
24. Man berechne die analytische Formel für die Ruinwahrscheinlichkeit bei
exponentialverteilten Schadenshöhen (mit Parameter 1) mithilfe der LaplaceTransformation.
25. Bestimme die Verteilung von L1 für den Fall, dass die Einzelschäden exponentialverteilt mit Parameter β sind.
26. Bestimme die Verteilung von L1 für den Fall, dass die Einzelschäden alle
Höhe 2 haben.
3

Download Report