2006 千葉大学（理系）前期日程
１
問題
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1 から 10 までの整数が 1 つずつ書かれた 10 枚のカードがある。この中からカード
を 3 枚同時に取り出す。取り出された 3 枚のカードに書かれた 3 つの整数のうち, 最
大のものを除いた残りの 2 つの整数の和を X とする。
(1)
X = 3 である確率を求めよ。
(2) X の期待値を求めよ。
−1−
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２
問題
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関数 f ( x ) を次のように定義する。
ì x ( x ≦1 )
f (x) = í
î 1 ( x ＞1 )
また, g ( x ) = - x 2 + ax + b とする。 y = g ( x ) のグラフが y = f ( x ) のグラフと 2 点
で接するとき, 次の問いに答えよ。
(1) a, b の値を求めよ。
(2)
y = f ( x ) と y = g ( x ) のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ。
−2−
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３
問題
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△OAB において, OA = a , OB = b とおき,
a = 2,
b = 3 , a × b = 1 とする。
辺 AB 上に点 P1 をとる。ただし P1 は A, B とは異なるとする。 P1 から辺 OB に垂線
P1 Q1 を下ろす。次に, Q1 から辺 OA に垂線 Q1 R1 を下ろす。さらに, R1 から辺 AB
に 垂 線 R1 P2 を 下 ろ す 。 以 下 , 同 様 の 操 作 を 続 け て , 点 Pn , Q n , R n
( n = 1, 2, 3, L ) を定める。 APn = t n ( b - a ) により t n ( 0＜t n＜1 ) を定める。
(1) BQ1 を t1 と b を用いて表せ。
(2) t 2 を t1 を用いて表せ。
(3) t n を t1 と n を用いて表せ。
(4) P1 = P2 となるような t1 の値を求めよ。
(5) P1 = P2 のとき, △ P1 Q1 R 1 の面積を求めよ。
−3−
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４
問題
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2
a ¹ 0 , b ¹ 0 とする。 f ( x ) = a cos x + b cos x + c について, y = f ( x ) のグラフが
x 軸と原点で接しているとする。
(1)
y = f ( x ) のグラフが x 軸と接する点の x 座標をすべて求めよ。
(2) さらに
ò
2p
0
f ( x ) dx = 0 が成り立っているとき, f ( x ) = 0 ( 0 ≦ x ≦ 2p ) を満たす
x の値をすべて求めよ。
−4−
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５
問題
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2
2
a, t を実数とするとき, 座標平面において, x + y - 4 - t ( 2x + 2 y - a ) = 0 で定義
される図形 C を考える。
(1) すべての t に対して C が円であるような a の範囲を求めよ。ただし, 点は円とみ
なさないものとする。
(2) a = 4 とする。t が t＞0 の範囲を動くとき, C が通過してできる領域を求め, 図示
せよ。
(3) a = 6 とする。t が t＞0 であって, かつ C が円であるような範囲を動くとき, C
が通過してできる領域を求め, 図示せよ。
−5−
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１
(1)
解答解説
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X = 3 となるのは, 取り出された 3 枚のカードが, 1 と 2, および 3 以上が 1 枚の
場合なので, その確率は,
10 - 2 = 8 = 1
120 15
10 C 3
(2) 3 枚のカードに書かれた 3 つの整数を a, b, c（a＜b＜c）とおき, b = k のときの
a + b の期待値を E k とすると,
E k = { ( 1 + k ) + ( 2 + k ) + L + ( k - 1 + k ) } × 10 - k
10 C 3
(1 + k + k - 1 + k )( k - 1 ) 10 - k
= 1 k ( k - 1 )( 10 - k )
=
×
2
120
80
すると, X の期待値 E は, 2≦k≦9 から,
9
9
E = 1 å k ( k - 1 )( 10 - k ) = 1 å k ( k - 1 )( 10 - k )
80 k =2
80 k =1
9
= 1 å ( - k 3 + 11k 2 - 10k )
80 k =1
(
= 1 - 1 × 9 2 × 10 2 + 11 × 1 × 9 × 10 × 19 - 10 × 1 × 9 × 10
80
4
6
2
33
=
4
)
［解 説］
(2)を(1)の続きとして考え, X = 4, 5, L , 17 の確率を順に求めていくという見方
もできます。しかし, これは大変なので, アプローチの方法を変更しました。
−1−
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２
(1)
解答解説
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y = g ( x ) のグラフが y = f ( x ) のグラフと 2 点で接す
ることより, p＞1 として,
y
1
g ( x ) = - ( x - p )2 + 1
すると, y = g ( x ) のグラフと直線 y = x との共有点は,
O
1
x = - ( x - p )2 + 1 , x 2 - ( 2p - 1 ) x + p2 - 1 = 0
x
x＜1 において接することより,
D = ( 2 p - 1 ) 2 - 4 ( p 2 - 1 ) = 0 ………①
2p - 1
x=
＜1 ………②
2
①より, 1 - 4 p + 4 = 0 , p = 5
4
この値は p＞1 を満たし, しかも②は x = 3 ＜1 となり, 成立しているので,
4
2
g( x ) = - x - 5 +1 = -x2 + 5 x - 9
4
2
16
5
9
よって, a = , b = 2
16
(2) x ＜ 1 に お け る 接 点 は ② よ り x = 3 , x ＞ 1 に お け る 接 点 は x = p = 5 か ら ,
4
4
y = f ( x ) と y = g ( x ) のグラフで囲まれる部分の面積 S は,
(
S=
)
5
2
2
5
9
5
9
ò 3 { x - ( - x + 2 x - 16 )}dx + ò14 {1 - ( - x + 2 x - 16 )}dx
1
4
=
5
5
3 3 1 1
5 3
3 2
5 2
1
ò 3 ( x - 4 ) dx + ò14 ( x - 4 ) dx = 3 [ ( x - 4 ) ] 3 + 3 [ ( x - 4 ) ]14
1
4
( )
=1 1
3 4
3
(
-1 -1
3
4
)
3
4
= 1
96
［解 説］
微積分の基本問題です。 y = f ( x ) のグラフが複雑ではないので, 直感に依存した
解となっています。
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解答解説
３
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(1) 条件より, AP1 = t1 ( b - a ) なので,
O
OP1 = a + t1 ( b - a ) = ( 1 - t1 ) a + t1 b
R1
OQ1 は OP1 の b 方向への正射影ベクトルより,
(
)b
OQ1 = OP1 × b
3
ここで,
a = 2,
= 1 { ( 1 - t1 ) a × b + t1 b
3 3
2
Q1
}b
A
b = 3 , a × b = 1 から,
P2 P1
B
OQ1 = 1 ( 1 - t1 + 3t1 ) b = 1 ( 2t1 + 1) b
3
3
よって, BQ1 = 1 ( 2t1 + 1) b - b = 2 ( t1 - 1) b
3
3
(2) OR1 は OQ1 の a 方向への正射影ベクトルより,
(
)a
OR1 = OQ1 × a
2
= 1 { ( 2t1 + 1) a × b } a = 1 ( 2t1 + 1) a
6
2 6
さて, AP2 = t2 ( b - a ) から, OP2 = ( 1 - t2 ) a + t2 b となり,
R1 P2 = 1 - t2 - 1 t1 - 1 a + t2 b = 5 - 1 t1 - t2 a + t2 b
3
6
6 3
(
)
(
)
ここで, R1 P2 と AB は垂直なので, R1 P2 × ( a - b ) = 0 より,
5 - 1 t1 - t2 a 2 + t2 - 5 + 1 t1 + t2 a × b - t2 b 2 = 0
6 3
6 3
よって, 2 5 - 1 t1 - t2 + 2t2 - 5 + 1 t1 - 3t2 = 0 から, t2 = - 1 t1 + 5
9
18
6 3
6 3
5
1
1
1
1
から, tn +1 - = - tn (3) (2)と同様にすると, tn +1 = - tn +
9
18
4
9
4
n -1
n -1
1
1
1
1
1
1
tn - = t1 , tn = t1 +
4
4
9
4
9
4
(4) P1 = P2 から t1 = t2 となり, (2)から t1 = - 1 t1 + 5 なので, t1 = 1 である。
4
9
18
(5) t1 = 1 より, OQ1 = 1 2 × 1 + 1 b = 1 b , OR1 = 1 2 × 1 + 1 a = 1 a
4
3
4
2
6
4
4
(
)
(
) (
(
)
)
(
(
)(
)
(
(
)(
)
)
)
(
)
よって, P1 は AB を 1 : 3 , R1 は OA を 1 : 3 に内分し, Q1 は AB の中点から,
(
)
△ P1 Q1 R 1 = 1 - 1 ´ 1 - 3 ´ 1 - 3 ´ 1 △OAB = 5 △OAB
4 2 4 4 4 2
16
さて, △OAB = 1
2
- ( a × b )2 = 1
2
△ P1 Q1 R 1 = 5 ´ 5 = 5 5
16 2
32
a
2
b
2
2 ´ 3 - 12 = 5 より,
2
［解 説］
難問というわけではありませんが, 設問が 5 つもあるため, かなりの時間を費やし
てしまいます。
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４
(1)
解答解説
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2
f ( x ) = a cos x + b cos x + c に対して,
f ¢( x ) = - 2a cos x sin x - b sin x = - sin x ( 2a cos x + b )
y = f ( x ) のグラフが x 軸と原点で接しているので, f ( 0 ) = f ¢( 0 ) = 0 より,
a + b + c = 0 , c = - a - b ………①
このとき, f ( x ) = a cos2 x + b cos x - a - b = ( cos x - 1 )( a cos x + a + b )
さて, y = f ( x ) のグラフが x 軸と x = t で接するとすると, f ( t ) = f ¢( t ) = 0 より,
( cos t - 1 )( a cos t + a + b ) = 0 ……②, sin t ( 2a cos t + b ) = 0 ……③
②より cos t = 1 または cos t = - a + b , ③より sin t = 0 または cos t = - b となる。
a
2a
cos t = 1 , sin t = 0 のとき n を整数として, t = 2np である。
(ii) cos t = 1 , cos t = - b のとき
2a
b
= 1 すなわち b = - 2a の場合には, t = 2np （n は整数）である。
2a
(iii) cos t = - a + b , sin t = 0 のとき
a
sin t = 0 より cos t = ±1 であり, - a + b = ±1 となる。
a
a
b
+
まず, = 1 すなわち b = - 2a の場合には, t = 2np （n は整数）である。
a
また, - a + b = -1 の場合には b = 0 となり, b ¹ 0 という条件に反する。
a
(iv) cos t = - a + b , cos t = - b のとき
a
2a
- a + b = - b すなわち b = - 2a の場合には, cos t = 1 となる。
a
2a
(i)
よって, t = 2np （n は整数）である。
(i)∼(iv)より, y = f ( x ) のグラフと x 軸との接点は, x = 2np （n は整数）である。
(2)
ò
2p
0
f ( x ) dx = 0 より,
2x + b cos x + c )dx = 0 となり,
ò ( a × 1 + cos
2
2p
0
a × 2p + c × 2p = 0 , c = - a ………④
2
2
(
)
①④より, f ( x ) = ( cos x - 1 )( a cos x - c ) = a ( cos x - 1 ) cos x + 1
2
2
4
よって, f ( x ) = 0 ( 0 ≦ x ≦ 2p ) の解は, x = 0,
p,
p , 2p となる。
3
3
［解 説］
微積分の計算問題です。計算量は多めです。
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５
解答解説
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2
2
(1) C : x + y - 4 - t ( 2x + 2 y - a ) = 0 より,
( x - t )2 + ( y - t )2 = 2t 2 - at + 4 ………①
①が円を表す条件 2t 2 - at + 4＞0 が, すべての t に対して成立するためには,
D = a 2 - 32＜0 , - 4 2 ＜a ＜4 2
(2) a = 4 のとき, C : x 2 + y 2 - 4 - t ( 2x + 2 y - 4 ) = 0 ………②
t が t＞0 の範囲を動くとき, C が通過する領域は, ②を t の方程式としてみたと
き, t＞0 の解をもつ条件として表される。
まず, 2x + 2 y - 4 = 0 ……③のとき, t＞0 の解をもつのは, x 2 + y 2 - 4 = 0 ……④
の場合だけである。ここで, ③④を連立することにより
y
( x , y ) = ( 2, 0 ), ( 0, 2 ) となり, C はこの点を通過する。
次に, 2x + 2 y - 4 ¹ 0 のときは, t =
x 2 + y2 - 4
となり,
2x + 2 y - 4
x 2 + y2 - 4
＞0 , ( x 2 + y 2 - 4 )( x + y - 2 )＞0
2x + 2 y - 4
2
O
-2
よって, C が通過する領域は右図の網点部となる。た
2
x
-2
だし, 点 ( 2, 0 ), ( 0, 2 ) 以外の境界は含まない。
(3) a = 6 のとき, C : x 2 + y 2 - 4 - t ( 2x + 2 y - 6 ) = 0 ………⑤
⑤が円を表す条件は, (1)より 2t 2 - 6t + 4＞0 すなわち ( t - 1 )( t - 2 )＞0 であり,
t ＞0 と合わせて, 0＜t ＜1 , 2＜t ……(＊)となる。
まず, 2x + 2 y - 6 = 0 ……⑥のとき, t＞0 の解をもつのは, x 2 + y 2 - 4 = 0 ……⑦
の場合だけである。ここで, ⑥より y = - x + 3 となり, ⑦に代入すると,
x 2 + ( - x + 3 ) 2 - 4 = 0 , 2x 2 - 6 x + 5 = 0
しかし, D 4 = - 1 より実数解をもたず, 不適である。
y
x 2 + y2 - 4
となり,
次に, 2x + 2 y - 6 ¹ 0 のときは, t =
2x + 2 y - 6
3
2
(＊)より,
0＜
x 2 + y2 - 4
x 2 + y2 - 4
＜1 ……⑧, 2＜
……⑨
2x + 2 y - 6
2x + 2 y - 6
⑧の左側の不等式は,
( x 2 + y 2 - 4 )( x + y - 3 )＞0 ………⑩
O
- 2
2 3
x
- 2
不等式⑩を図示すると, 右上図の網点部となる。ただし, 境界は含まない。
⑧の右側の不等式は, ( x 2 + y 2 - 4 )( 2x + 2 y - 6 )＜( 2x + 2 y - 6 )2
2 ( x + y - 3 )( x 2 + y 2 - 4 - 2x - 2 y + 6 )＜0
( x + y - 3 ) { ( x - 1 )2 + ( y - 1 )2 }＜0 ………⑪
−5−
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すると, ( x - 1 ) 2 + ( y - 1 ) 2 ≧ 0 から, 不等式⑪は,
解答解説
y
( x , y ) ¹ ( 1, 1 ) かつ x + y - 3＜0
3
よって, 図示すると, 右図の網点部となる。ただし,
1
境界は含まない。
O
まとめると, 不等式⑧は, 不等式⑩と⑪を連立したも
3
1
x
のであるので, その共通部分を領域として図示すると,
右下図の網点部となる。ただし, 境界および点 ( 1, 1 ) は含
y
2
まない。
1
さらに, ⑨を変形すると,
2
2
( x + y - 4 )( 2x + 2 y - 6 )＞2 ( 2x + 2 y - 6 )
2
-2
O
1
2 x
2 ( x + y - 3 )( x 2 + y 2 - 4 - 4 x - 4 y + 12 )＞0
( x + y - 3 ) { ( x - 2 )2 + ( y - 2 )2 }＞0 ………⑫
-2
すると, ( x - 2 ) 2 + ( y - 2 ) 2 ≧ 0 から, 不等式⑫は,
( x , y ) ¹ ( 2, 2 ) かつ x + y - 3＞0
y
したがって, 不等式⑨は, 直線 x + y - 3 = 0 の上側か
3
ら, 点 ( 2, 2 ) を除いた領域を表す。
以上より, C が通過する領域は不等式⑧または⑨で表
されるので, 図示すると右図の網点部となる。
2
1
- 2
O
1
2 3
x
ただし, 境界線および 2 点 ( 1, 1 ), ( 2, 2 ) は含まない。
- 2
［解 説］
記述量が多い問題です。ステップを 1 つずつ踏んで図示していくだけですが, かな
りの計算力と忍耐力が要求されます。
−6−
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