原子核物理学

原子核物理学
c 倉澤治樹
2000 年 9 月 ⃝
目次
1
単位
1
2
原子核の大きさ
2
3
4
5
6
7
8
2.1
古典力学によるラザフォード散乱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2
量子力学によるラザフォード散乱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3
核子密度分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
角運動量
10
3.1
角運動量の量子力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.2
スピン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.3
角運動量の合成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.4
回転と角運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
アイソスピン
20
4.1
アイソスピン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.2
アイソスピン不変性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2 核子系と核力
24
5.1
2 核子系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
5.2
核力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
結合エネルギー
32
6.1
結合エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
6.2
質量公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
6.3
原子核の存在領域
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
6.4
フェルミガス模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
調和振動子
44
7.1
1 次元調和振動子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
7.2
3 次元調和振動子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
平均場近似
52
8.1
一体ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
8.2
スピン軌道力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
8.3
原子核のスピン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
8.4
磁気モーメント . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
A 合流型超幾何微分方程式
61
1
1
単位
1
単位
原子核を扱うとき長さやエネルギーの単位は通常以下のものを使う。
• 長さ
長さの単位として fm (フェルミと読む) をつかう。1 fm = 10−15 m
• エネルギー
• 質量
MeV(メブ, メガ電子ボルト) = 106 eV ,
GeV(ジェブ, ギガ電子ボルト) = 109 eV
mc2 の次元は [エネルギー] になるから m を [エネルギー]/c2 で表す。陽子 ( proton ),
中性子 ( neutron ), 電子 ( electron ) の質量をそれぞれ mp , mn , me とすると
mp = 938.27 MeV/c2 ≈ 1 GeV/c2 ,
mn = 939.57 MeV/c2 ≈ 1 GeV/c2
me = 0.511 MeV/c2 ≈ 0.5 MeV/c2
• 運動量
速度 × 運動量の次元は [エネルギー] であるから, 速度として c を用いて運動量を
MeV/c や GeV/c で表す。
• クーロンポテンシャル
真空中での電荷 Q1 , Q2 間のクーロンポテンシャル V (r) は
Q1 Q2
r
V (r) = kc
であり, 比例定数 kc は用いる単位系で異なる。有理 MKS 単位系では kc = 1/(4πε0 ), CGS 静
電単位系では kc = 1, ローレンツ・ヘビサイド単位系では kc = 1/(4π) である。電荷を電気素
量 e 単位で表わし, Q1 = eq1 , Q2 = eq2 とすると
V (r) =
α h̄c q1 q2
,
r
α=
k c e2
1
1
=
≈
h̄c
137.04
137
(1.1)
になる。無次元の定数 α を微細構造定数という。電気素量 e の値は単位系で異なるが, α は
単位系に依らない。
ここで与えた α, 質量の近似値及び
h̄c = 197.327 MeV fm ≈ 200 MeV fm
は覚えておくべき数値である。m, h̄, e2 などを mc2 , h̄c, α で表すようにすると, 物理量の次元や概
算値が簡単に求まる。(1.1) で V (r) と h̄c/r は [エネルギー], q は無次元であるから, α は無次元で
ある。電子のボーア半径 aB は
aB =
4πε0 h̄2
h̄c
200 × 137
=
≈
fm ≈ 0.55 × 105 fm = 0.55 Å
me e2
me c 2 α
0.5
である。h̄c/(me c2 α) ならば長さの次元になることは容易に分かる。
素粒子・原子核では h̄ と c が無次元で h̄ = 1, c = 1 とする自然単位 ( natural unit ) をよく使う。
この単位系では [エネルギー] = [質量] = [時間]−1 = [長さ]−1 になる。
問 1.1 陽子–陽子間の距離が 1 fm のときクーロンポテンシャルは何 MeV か。また, 陽子間に働く
重力とクーロン力の比を求めよ。重力定数は G/h̄c = 6.71 × 10−39 (c2 /GeV)2 である。
問 1.2
∂
h̄2 ∂ 2
と h̄
がエネルギーの次元になることを示せ。
2m ∂x2
∂t
問 1.3 運動量 p を p = h̄q とする。q の次元が [長さ]−1 になることを示せ。p = 500 MeV/c のと
き q は何 fm−1 か。
2
原子核の大きさ
2
原子核の大きさ
2
2.1
古典力学によるラザフォード散乱
電荷 ZA e の軽い粒子 A が電荷 ZB e の重い粒子 B のクーロン力により散乱される問題を古典力
学で考える。B も A から力を受けるが, 重いため原点に静止しているとする。A の質量を m, 位置
ベクトルを r とすると, A の運動方程式は
mv̇ = f (r) er ,
fc
,
r2
f (r) =
fc = ZA ZB α h̄c
(2.1)
ただし, r = |r|, er = r/r, v = ṙ である ( ˙ は時間微分を表わすニュートンの記号 )。上の両辺と r
のベクトル積をとると, r と er は平行であるから r × v̇ = 0 になる。これから, 角運動量 L = mr×v
の時間変化は
dL
= mṙ×v + mr× v̇ = mv×v = 0
dt
になり, 角運動量の大きさと方向は時間に依らず一
定である (角運動量保存則)。ところで r, v は L に
垂直であるから, r と v を含む平面も一定になり, 運
A
動は L に垂直な平面内で行われる。この運動平面内
に B を原点 O とする x-y 座標を考え, A の極座標を
ey
eϕ
er
r, ϕ とする。x 方向, y 方向の単位ベクトルをそれぞ
れ ex , ey とし, r 方向, ϕ 方向の単位ベクトルをそれ
F
ϕ
B
ex
ぞれ er , eϕ とすると
er = cos ϕ ex + sin ϕ ey ,
eϕ = − sin ϕ ex + cos ϕ ey
である。ex , ey は時間に依らないが, er , eϕ は質点の運動とともに向きが変わり時間に依存する。
これらの時間微分を求めると
dϕ der
der
=
= ϕ̇ ( − sin ϕ ex + cos ϕ ey ) = ϕ̇ eϕ
dt
dt dϕ
(2.2)
deϕ
dϕ deϕ
=
= ϕ̇ ( − cos ϕ ex − sin ϕ ey ) = − ϕ̇ er
dt
dt dϕ
(2.3)
v = ṙ = ṙer + rėr = ṙer + rϕ̇ eϕ
(2.4)
L = mr×v = mrer ×(ṙer + rϕ̇eϕ ) = mr2 ϕ̇ er ×eϕ = mr2 ϕ̇ ez
(2.5)
r = r er であるから
したがって, 角運動量 L は
となる。ただし, ez は xy 平面に垂直な z 軸方向の単位ベクトルである。角運動量は保存するから,
L = mr2 ϕ̇ は一定である。これから ϕ̇ は
ϕ̇ =
L
mr2
(2.6)
と表せる。これを使うと, 力学的エネルギー E は
E=
)
m
m( 2
L2
m 2
v + V (r) =
ṙ + r2 ϕ̇2 + V (r) = ṙ2 +
+ V (r)
2
2
2
2mr2
(2.7)
2
原子核の大きさ
3
となる。ただし, V (r) はポテンシャルエネルギー
∫
fc
V (r) = − f (r) dr =
r
(2.8)
である。ここで, r → ∞ のとき V (r) → 0 となるように, 積分定数を取った。
エネルギーも保存するから E は定数である。(2.7) を ṙ について解くと
√ (
)
2
L2
ṙ = ±
E − W (r) ,
W (r) =
+ V (r)
m
2mr2
(2.9)
である。(2.6) と (2.9) から
dϕ dt
L
1
dϕ
√
=
=±√
2
dr
dt dr
2m r E − W (r)
(2.10)
複号は ṙ > 0 のとき +, ṙ < 0 のとき − である。
ϕ = 0 方向の無限遠方から入射してきた
A が B に接近して, 再び無限遠方に飛び
去る場合, 入射方向から測った散乱角 θ を
√
求める。(2.9) の
の中が負でない領域
E − W (r) ≥ 0 が A の運動可能な領域であ
る。したがって, A が B に最接近する距離
rmin は E − W (rmin ) = 0 で決まる。A が
A
無限遠から B に近づく間は ṙ < 0 である
rmin
から, (2.10) の複号は − になり, 逆に, 遠ざ
θ
かるときは ṙ > 0 より + である。これか
b
ϕ
B
ら, (2.10) を積分すると
∫ rmin
∫ ∞
L
dr
dr
L
√
√
π−θ =−√
+√
2
2
2m ∞
2m rmin r E − W (r)
r E − W (r)
∫ ∞
2L
dr
√
=√
2m rmin r2 E − W (r)
(2.11)
W (r) の具体形を代入し
s=
b
,
r
b= √
L
2mE
(2.12)
とすると
∫
b/rmin
θ =π−2
0
[
]b/rmin
ds
s + a/2
√
= π − 2 tan−1 √
,
1 − as − s2
1 − as − s2 0
a=
fc
Eb
E − W (rmin ) = 0 であるから, s = b/rmin のとき 1 − a s − s2 = 0 になる。したがって
θ =π−2
(π
2
− tan−1
a)
a
fc
= 2 tan−1 = 2 tan−1
2
2
2E b
(2.13)
を得る。初期条件により E と L を与えると散乱角 θ が決まる。
(2.12) で与えた b の物理的意味を考える。無限遠方での入射粒子の速度を v∞ とすると, r → ∞
2
では W (r) → 0 であるから E = mv∞
/2 となる。したがって
b=
L
mv∞
2
原子核の大きさ
4
である。ところで, 角運動量の大きさ L は, r と mv の 2 辺が作る平行四辺形の面積である。これ
は, r → ∞ では, 底辺 mv∞ の四辺形になるから, b は高さを表わす。つまり, 3 ページの図に示した
ように, 粒子に力が作用しないときの直線軌道に B からおろした垂線の長さである。b を衝突径数
( impact parameter ) という。(2.13) より
b=
fc
1
2E tan(θ/2)
(2.14)
である。
原子核を標的とする散乱実験では, 入射粒子の衝突径数 b は制御できない。その代わりに, b の
分布が一様な同一速度の多数の入射粒子を散乱させ, 散乱後ある方向に来る粒子の個数を測定する。
入射方向に垂直な単位面積を単位時間あたり N 個の粒子が通過するとしよう。散乱角が θ と θ +dθ
になる衝突径数を b と b + db とする。入射粒子のうち衝突径数が b と b + db の間にある粒子数 dN
は, db が負の場合もあることを考慮すると
dN = 2πb|db|N
r
である。dN は θ と θ + dθ の間に単位時間あたりに
dθ
散乱される粒子の個数でもある。断面積 dS の検出
θ
器が散乱体 B から十分離れた距離 R にあるとし, こ
れに飛び込む粒子の数を考える。dN は半径 R の球
B
入射粒子
面上の角 θ と θ + dθ の間の帯に一様に散乱されて
くる。この帯は半径 R sin θ, 幅 Rdθ であるから, 検
出器に飛び込む粒子の個数は, 単位時間あたり
dS
b db (2.15)
dN = N
dΩ
2πR2 sin θdθ
sin θ dθ となる。ただし, dΩ = dS/R2 は散乱体から見た検出器の立体角である。
単位面積を単位時間あたり N 個の粒子が入射したとき, 単位時間に立体角 dΩ を通過する散乱粒
子の個数を
N dσ = N
dσ
dΩ
dΩ
(2.16)
で表わす。これで定義される σ を断面積 ( cross section ), dσ/dΩ を微分断面積 ( diﬀerential rcross
section ) という。N dσ は単位時間あたりの粒子数であるから, 次元は [時間]−1 である。一方, N の
次元は [時間]−1 [面積]−1 である。したがって, σ は面積の次元になるので断面積と呼ばれる。ポテ
ンシャルがはっきりした幾何学的な面積をもつ剛体球による散乱では, σ は球の断面積に一致する
(問 2.1 参照)。(2.16) と (2.15) を比較すると
dσ
b
=
dΩ
sin θ
db dθ (2.17)
である。この表現は入射粒子が受ける力に依らない。力の影響は b と散乱角 θ の関係に現れる。
クーロン散乱の場合, この関係は (2.14) で与えられるから, (2.17) は
dσ
=
dΩ
(
fc
4E
)2
となる。これをラザフォードの散乱公式という。
1
sin4 (θ/2)
(2.18)
2
原子核の大きさ
5
4
1909 年, Geiger(ガイガー) と Marsden(マルスデン) は, 214
84 Po の α 崩壊により生ずる α 粒子 ( He )
を金の薄膜に衝突させる実験をしたが, ラザフォードは 1911 年に (2.18) を導出し, これが実験とよ
く一致することを示した。また, e を単位にした Au(金) の電荷 ZB が, 実験誤差の範囲内で原子番
号に等しいという結果を得た。散乱角 θ に散乱される α 粒子が最も Au に近づく距離 rmin を求め
ると, s = b/rmin は 1 − a s − s2 = 0 の根であるから
√
b
−a + a2 + 4
=
rmin
2
となる。(2.13) から a = 2 tan(θ/2) であり, b に (2.14) を代入すると
(
)
fc
1
rmin (θ) =
1+
2E
sin(θ/2)
(2.19)
を得る。入射粒子は θ = π , つまり入射側に散乱されてくるとき, 最も散乱体に近づく。214 Po の α
崩壊により生ずる α 粒子のエネルギー E は 5.4 MeV である。これと
ZA = 2 ,
ZB = 79 ,
h̄c = 197.33 MeV fm ,
α=
1
137
を用いると
fc
ZA ZB αh̄c
2 × 79 × 197
=
=
= 42 fm
E
E
137 × 5.4
である。ラザフォードの公式はこの距離までは成り立つ。したがって, α 粒子は 42 fm より小さい
rmin (θ = π) =
ZB e の正電荷を持つ物体により散乱されたことになる。この結果, 原子核の存在が確立した。
加速した α 粒子を用いると, ある散乱角度以上の微分断面積はラザフォードの公式からずれる。
例えば 48 MeV の運動エネルギーをもつ α 粒子を
208
82 Pb
◦
に衝突させると, θ < 30◦ では微分断面積
の実験値はラザフォードの式と一致するが, θ > 30 では θ の増加とともにラザフォードの式に比
べて急速に小さくなる。これは θ > 30◦ では α 粒子が
208
82 Pb
に接触し, 作用範囲の短い核力が影
◦
響するようになるからである。θ = 30 での rmin
rmin (θ = 30◦ ) =
は α 粒子と
208
82 Pb
2 × 82 × 197
× 4.86 = 12 fm
137 × 2 × 48
の大きさの和と解釈できる。原子の大きさはボーア半径 ≈ 1 Å = 105 fm 程度
であるから, 原子核の大きさは原子の約 10−4 と非常に小さい。
電子の質量は陽子の質量の約 1/2000 で無視できるから, 質量数 ( 原子量に近い整数 ) A の原子
核は A 個の陽子と A − Z 個の電子からなるとすると, 質量と電荷を説明できる。しかし, この考え
には困難がある。例えば, A = 14, Z = 7 である147 N の核スピン ( 原子核の角運動量 ) は h̄ を単位と
して 1 である。陽子と電子はスピン 1/2 であるから, 陽子 14 個と電子 7 個の合計 21 個の系では核
スピンは整数にはならない。1932 年に Chadwick は, Be に α 粒子を衝突させるとき発生する透過
性が強い放射線は, 質量が陽子とほとんど同じで電荷 0 の中性粒子, つまり, 中性子であることを発
見した。中性子のスピンも 1/2 である。したがって, 原子核を Z 個の陽子と A − Z 個の中性子から
なるとすると, 質量と電荷を説明するだけでなく, 核スピンの実験値と矛盾しない。 147 N は総計 14
個の陽子と中性子からできているから, 核スピンは整数になる。
問 2.1 半径 R の剛体球による弾性散乱を考える。ただし, 剛体球は非常に重いので, 散乱の前後で
原点に静止している。
1. 下図で b < R のとき, 運動量保存則等を用いて ϕ1 = ϕ2 になることを示せ。また, 散
乱角 θ を b と R を用いて表せ。
2
原子核の大きさ
6
2. この散乱は次のポテンシャルで記述できる:
{
∞, r ≤ R
V (r) =
0,
r>R
W (r) を図示し, W (rmin ) − E = 0 を満たす rmin は b < R のとき R , b > R のとき b
になることを示せ。これは図から当然のことである。
3. (2.11) を積分して θ を求め, 1. の結果を再現することを示せ。また, 微分断面積を求
め, 断面積が πR2 になることを示せ。
ϕ1
θ
ϕ2
b
R
問 2.2 井戸型ポテンシャル ( ただし, V0 > 0 )
{
V (r) =
− V0 ,
r≤R
0,
r>R
の場合, b < R ならば粒子は球内に入り込み, その後, 球外に出て行く。1. と同様に運動量
保存則等を用いて散乱角 θ を衝突係数 b の関数として表し, 微分断面積を求めよ。
2.2
量子力学によるラザフォード散乱
原子核のような微視的粒子の散乱は, 古典力学ではなく量子力学で扱う必要があるが, 偶然にも
クーロンポテンシャルによる散乱では, 量子力学の結果は (2.18) に一致する。
量子力学によりラザフォード散乱を扱う。シュレディンガー方程式
(
)
h̄2 2 fc
−
∇ +
ψ(r) = E ψ(r)
2m
r
つまり
(
∇2 + k 2 −
2kη
r
)
ψ(r) = 0 ,
E=
h̄2 k 2
,
2m
η=
mfc
h̄2 k
を考える。この方程式は
ψ(r) = eikz φ(u) ,
u=r−z
という解をもつ。実際, 素直に微分すると
)
(
2u d2 φ 2(1 − iku) dφ
2
2
ikz
+
−k φ
∇ ψ(r) = e
r du2
r
du
2
原子核の大きさ
7
である。ρ = iku とすると, シュレディンガー方程式は
( 2
)
d
d
ρ 2 + (1 − ρ) + iη φ = 0
dρ
dρ
(2.20)
となる。これは (A.1) で a = −i η, b = 1 とした方程式であるから, 原点で正則な解として
ψ(r) = A eikz M (−iη, 1, ρ) = A eikz M (−iη, 1, iku)
(2.21)
を得る。ただし A は適当な規格化定数である。|z| → ∞ での漸近形 (A.4) より
r→∞
M (−iη, 1, iku) −−−−→
であるから
r→∞
ψ(r) −−−−→ A
eπη/2
Γ (1 + iη)
eπη/2
eπη/2 eiku−iη log ku
eiη log ku +
Γ (1 + iη)
Γ (−iη)
iku
(
)
Γ (1 + iη) eikr−iη log ku
eikz+iη log k(r−z) +
Γ (−iη)
iku
になる。したがって, A = Γ (1 + iη) e−πη/2 とし
iΓ (−iη) = −Γ (1 − iη)/η ,
u = r − z = 2r sin2 (θ/2)
を使うと
r→∞
ψ(r) −−−−→ eikz+iη log k(r−z) + f (θ)
eikr−iη log 2kr
r
(2.22)
ただし
Γ (1 + iη) e−iη log sin (θ/2)
Γ (1 − iη) 2k sin2 (θ/2)
2
f (θ) = −η
となる。(2.22) の右辺第 1 項は z 軸正方向に進む入射粒子の “平面” 波と解釈できる。一方, 右辺第
2 項は散乱されて出ていく球面波である。r が十分大きい領域でもクーロン力は波動関数に影響し,
入射波も散乱波も対数的位相因子 η log r だけ歪む。
入射波と散乱波の確率の流れの密度
j(r) =
(
)
h̄
Im ψ ∗ (r)∇ψ(r)
m
を求める。ψ に (2.22) の右辺第 1 項を代入すると, 入射方向 ( z 方向 ) の流れの密度は
(
h̄
∂ ikz+iη log k(r−z) )
h̄ (
η)
h̄k
jin =
Im e−ikz−iη log k(r−z)
e
=
k−
−→
m
∂z
m
r
m
散乱波の動径方向の流れの密度は
( −ikr+iη log 2kr
)
h̄ 2
e
∂ eikr−iη log 2kr
h̄ |f |2 (
η)
h̄k |f |2
jr = |f | Im
=
k
−
−→
m
r
∂r
r
m r2
r
m r2
面積 dS の検出器を通過する粒子の個数は jr dS に比例する。量子力学における微分断面積の定義
も (2.16) で与えられる。(2.16) における N は jin に対応するから
dσ =
1
dS
jr dS = |f (θ)|2 2
jin
r
したがって, 微分断面積は
η2
dσ
= |f (θ)|2 = 2 4
=
dΩ
4k sin (θ/2)
(
fc
4E
)2
1
sin (θ/2)
4
となり, 古典力学の結果 (2.18) と一致する。
問 2.3 剛体球による散乱を量子力学的に扱え。E → ∞ のとき, 断面積は古典力学の 2 倍になるこ
とを示せ。これは波動性 (回折) に原因がある。
2
原子核の大きさ
2.3
8
核子密度分布
ラザフォード散乱では原子核の電荷分布の大きさだけしか分からないが, 他の各種の実験, 例え
ば, 高エネルギーの電子を原子核に衝突させる実験などから, 核子 ( 陽子と中性子の総称 ) の密度
分布について詳しい情報が得られる。上図は電子散乱により求められた電荷密度の実験値である。
これら実験データを総合すると, 核子数 A が A > 16 である原子核の場合, 核子密度 (単位体積当
りの核子数) はフェルミ分布関数を使って近似的に
ρ0
1 + exp((r − R)/a)
と表わせる。ここで ρ0 と a は原子核に依らず
ほぼ一定で
ρ0 ≈ 0.17 fm−3 ,
0.2
(2.23)
ρ0
fm−3
ρ(r) ≈
0.1
a ≈ 0.54 fm
である。208 Pb の場合 (2.23) の ρ(r) を右図に示
す。ただし
∫
d3 r ρ(r) = A
(2.24)
0
5
10
R
となるように R を決めた。この場合 R = 6.49 fm である。中心部の密度はほぼ一定で
,
その値は原
r ( fm )
子核に依らない。これを密度の飽和性 ( saturation of density ) といい, 原子核を特徴付ける基本的
な性質である。核子数 A が変化しても, 中心密度はあまり変わらずに R が変化する。R の A 依存
性は, 近似的には次のように求まる。a は R に比べて十分小さいはずであるから, a → +0 の極限を
考えると, r − R < 0 のとき (r − R)/a → −∞, r − R > 0 では (r − R)/a → ∞ となる。したがって

 ρ0 , r < R のとき
ρ(r) =
 0 , r > R のとき
2
原子核の大きさ
9
これは半径 R の密度一定の球である。これから
4π 3
R ρ0 = A ,
3
(
つまり
R = r0 A1/3 ,
r0 =
3
4πρ0
)1/3
= 1.12 fm
(2.25)
もっとよい近似で R を評価するには, 積分 (2.24) に対して
∫
∞
0
g(x)
=
dx
1 + exp((x − R)/a)
∫
R
g(x) dx +
0
π2 2 ′
a g (R) + · · ·
6
(2.26)
を使えばよい。
核子の質量 m は 1.67 × 10−24 g であるから, ρ0 を質量に換算すると mρ0 ≈ 2.8 × 1014 g/cm3 に
なる。これは普通の物質の密度に比べて約 1012 ∼ 1014 倍であり, 原子核は超高密度の物質である。
要するに, 原子核の大きさは原子の 10−4 程度であり, 物質の質量はほとんど原子核の質量であるか
ら, 密度は (104 )3 = 1012 倍程度になる。
核子を数 fm 程度の非常に狭い領域に閉じ込め, 3 × 1014 g/cm3 という超高密度の系を作り出す力
は何であろうか。中性子間にはクーロン力は働かないし, 陽子間のクーロン力は斥力 (反発力) であ
るから, クーロン力ではない。また, 重力ではあまりに弱すぎる。質量 Am のまわりを回っている
質量 m の粒子の重力によるボーア半径は
h̄2 1
1
h̄c
3 × 1037
3 × 1022
=
≈
fm
=
m
m GAm2
A (mc2 )3 G/(h̄c c4 )
A
A
ここで h̄c ≈ 0.2 fm GeV , mc2 ≈ 1 GeV , G ≈ 7 × 10−39 h̄c (c2 /GeV)2 を代入した。A ≈ 100 の場合,
ボーア半径は 3 × 1020 m になる。これは銀河の直径程度である。
したがって, 核子間には電磁気力でも重力でもない力が作用してしているはずである。この力を
核力 ( nuclear force ) という。核力は陽子間に働く斥力のクーロン力よりも強い引力でなければなら
ない。また, ラザフォード散乱から, α 粒子と原子核間の距離が数十 fm 程度まではクーロン力だけ
の散乱であり, 核力は作用しない。したがって, 核力の作用する範囲は原子核の大きさ程度である。
問 2.4 地球の質量 5.97 × 1024 kg と同じ質量の原子核の半径を求めよ。
問 2.5 (2.26) を証明せよ。また, (2.26) を用いて
(
)
∫
( a )2
4πρ0 3
3
2
d r ρ(r) =
R 1+π
+ ···
3
R
(2.27)
を示せ。これから
(
R≈
3A
4πρ0
)1/3 [
π2 2
1−
a
3
(
4πρ0
3A
)2/3 ]
(
)
0.768
= 1.12A1/3 1 − 2/3
fm
A
を導け。(2.26) と (2.27) を用いて
(
)
∫
n(n + 5) 2 ( a )2
1
n
n
3
n
n
⟨r ⟩ ≡
d r r ρ(r) =
R 1+
π
+ ···
A
n+3
6
R
となることを示せ。
(2.28)
角運動量
3
10
角運動量
3
3.1
角運動量の量子力学
角運動量の量子力学について詳しくは量子力学の教科書, 例えば
メシア
量子力学 (東京図書) 第 13 章
J. J. Sakurai
現代の量子力学 (吉岡書店) 第 3 章
猪木・川合
量子力学 I(講談社サイエンティフィク) 第 7 章
ローズ
角運動量の基礎理論 (みすず書房)
を参照せよ。角運動量の量子力学は量子力学における代数的扱いの代表例であり, これを理解する
ことは量子力学自体の理解を深める。また, この代数は最も単純なリー代数 ( Lie algebra ) である。
リー代数は素粒子の標準模型 ( 弱電相互作用を記述するワインバーグ・サラム模型と強い相互作用
を扱う量子色力学 ) で重要な役割をする。原子や原子核のような有限系の状態は角運動量の量子数
で指定されるので, この点でも角運動量は重要である。
定義
ベクトル演算子 j の各成分が交換関係
[ j1 , j2 ] = ij3 ,
[ j2 , j3 ] = ij1 ,
[ j3 , j1 ] = ij2
(3.1)
を満たすとき h̄j を角運動量 ( angular momentum ) と定義する。この交換関係だけで角運動量の
性質は完全に決まる。εkℓm を
εkℓm =



0


+1
−1
2 つの添字が等しいとき
kℓm が 123 の偶置換であるとき
kℓm が 123 の奇置換であるとき
とすると∗ , (3.1) は
[ jk , jℓ ] = i
∑
(3.2)
(3.3)
εkℓm jm
m
になる。次の等式は εkℓm を含む代数でよく使う。
∑
εkmn εkm′ n′ = δmm′ δnn′ − δmn′ δnm′
(3.4)
k
問 3.1 軌道角運動量 h̄ℓ = r×p = −ih̄r×∇ が交換関係 (3.1) を満たすことを示せ。
問 3.2 (3.1) から次の関係式を導け。ただし, j± = j1 ± ij2 である。
j ×j = ij ,
[ j3 , j± ] = ± j± ,
j 2 と j3 の固有値と同時固有状態
[ j 2 , jk ] = 0
[ j+ , j− ] = 2j3 ,
j∓ j± = j 2 − j3 (j3 ± 1)
j の成分は互いに交換しないが j 2 と j の各成分は交換するか
ら, j の成分の 1 つと j 2 の同時固有状態が存在する。普通, j3 と j 2 の同時固有状態を考える。j 2
の固有値が j(j + 1) で j3 の固有値が m である同時固有状態を |j m⟩ とする:
j 2 |j m⟩ = j(j + 1)|j m⟩ ,
∗
j3 |j m⟩ = m|j m⟩
†
(3.5)
i, j, k を 1, 2, 3 のどれかとする。i, j, k がすべて異なる 3 つの並び ijk を考える。このうち 2 つを交換することを互
換という。互換を繰り返すと, ある並び ijk から別の並び i′ j ′ k′ が得られる。このとき, 繰り返す互換の組み合わせは,
一意には決まらない。例えば 123 から 213 を得るには 123 → 213 , 123 → 321 → 231 → 213 など, いろいろある。し
かし, 現れる互換の回数が偶数回か奇数回かは定まる。偶 (奇) 数回必要な置換 ijk → i′ j ′ k′ を偶 (奇) 置換という。
† ベクトル j と j に添え字がつく j などは演算子であり, 単なる j は数である。
3
3
角運動量
11
j 2 の固有値は負ではないから j は負でない実数である。j12 + j22 = j 2 − j32 の固有値も負ではない。
したがって
(
)
(
)
j 2 − j32 |j m⟩ = j(j + 1) − m2 |j m⟩
より
−
√
j(j + 1) ≤ m ≤
√
j(j + 1)
(3.6)
でなければならない。j 2 と j± = j1 ± ij2 は交換するから
j 2 j± |j m⟩ = j± j 2 |j m⟩ = j(j + 1)j± |j m⟩
j3 j± = j± (j3 ± 1) であるから
j3 j± |j m⟩ = j± (j3 ± 1)|j m⟩ = (m ± 1) j± |j m⟩
となる。j± |j m⟩ も j 2 と j3 の固有状態であり, 固有値はそれぞれ j(j + 1), m ± 1 である。j± は j3
の固有値を ±1 変化させるから, |j m⟩ に j± を n 回作用させたとき (j± )n |j m⟩ ̸= 0 ならば j3 の固
有値は m ± n になる。このような操作がいつまでも可能ならば条件 (3.6) と矛盾する。したがって
j+ |j mmax ⟩ = 0 ,
j− |j mmin ⟩ = 0
(3.7)
となる m の最大値 mmax , 最小値 mmin が存在しなければならない。これから
(
)
(
)
j− j+ |j mmax ⟩ = j 2 − j3 (j3 + 1) |j mmax ⟩ = j(j + 1) − mmax (mmax + 1) |j mmax ⟩
= (j − mmax )(j + mmax + 1)|j mmax ⟩ = 0
(
)
j+ j− |j mmin ⟩ = j 2 − j3 (j3 − 1) |j mmin ⟩ = (j + mmin )(j − mmin + 1)|j mmin ⟩ = 0
m は (3.6) の範囲にあるから mmax = j , mmin = −j である。| j j ⟩ に j− を n 回作用させると
| j j −n ⟩ になるが, 最終的には m が最小値の状態 | j −j ⟩ になるべきであるから j − n = −j とな
る整数 n が存在する。したがって, j は整数か半整数である。与えられた j に対して m は
m = j, j − 1, · · · , −j + 1, −j
の 2j + 1 個の値をとる。
|j m⟩ は規格化された状態を表わすとする。m < j ならば j+ |j m⟩ = cm |j m+1⟩ とおける。この
†
関係式は j+
= j− より ⟨j m|j− = c∗m ⟨j m+1| になるから
⟨j m|j− j+ |j m⟩ = |cm |2 ⟨j m+1|j m+1⟩ = |cm |2
j− j+ = j 2 − j3 (j3 + 1) を使うと
⟨j m|j− j+ |j m⟩ = (j(j + 1) − m(m + 1)) ⟨j m|j m⟩ = (j − m)(j + m + 1)
cm の位相は任意に選べるが, 習慣として cm を正の実数にとる。したがって
j+ |j m⟩ =
√
(j − m)(j + m + 1) |j m+1⟩
(3.8)
である。j− |j m⟩ についても同様にして
j− |j m⟩ =
√
(j + m)(j − m + 1) |j m−1⟩
(3.9)
3
角運動量
12
を得る。(3.8) と (3.9) を繰り返し適用すれば, 1 つの固有状態 |j m⟩ から出発して 2j + 1 個の互い
に直交する規格化された状態を作れる。例えば
√
(j + m)!
j−m
|j m⟩ =
(j− )
|j j⟩
(2j)! (j − m)!
(3.10)
である。
3.2
スピン
素粒子はその粒子固有の性質として内部角運動量 ( スピン ) を持つ。スピンは軌道運動に伴う軌
道角運動量 r ×p とは別物であるが, 角運動量の一種である。スピンは純粋に量子力学的物理量で
あり, 対応する古典力学的物理量は存在しない。よく自転に例えられるが, これは無理やり古典力
学に対応させた場合の話である。大きさのない点に自転など考えられない。軌道角運動量は運動に
応じて j は j = 0, 1, 2, · · · である様々な値をとるが, スピンの j の値は粒子に固有のものであり運
動に依らずに不変である。
電子, 陽子, 中性子のスピンは j = 1/2 である。ここでは j = 1/2 のスピンについてまとめてお
く。スピンの性質は前節で j = 1/2 とすればよいが, j = 1/2 に特有で便利な関係式がある。
スピン演算子を s で表す。また, j の代わりに s を使う。s2 と s3 の同時固有状態は m = ±1/2
の 2 つだけであり
|+⟩ = | s = 12 , m = 12 ⟩ ,
|−⟩ = | s = 12 , m = -- 12 ⟩
(3.11)
と略記する。スピンに関する任意の状態 |α⟩ は
|α⟩ = c+ |+⟩ + c− |−⟩
と表せる。|±⟩ を基底とする 2 次元空間であり, このため代数的には非常に簡単になる。
スピンに関する演算子 A, B が A|±⟩ = B|±⟩ ならば, 任意の状態 |α⟩ = c+ |+⟩ + c− |−⟩ に対して
A|α⟩ = B|α⟩ となるから A = B である。σ ≡ 2s とする。角運動量の交換関係を σ で表すと
[σi , σj ] = 2i
∑
εijk σk
(3.12)
k
である。
1
σ |±⟩ = 4s |±⟩ = 4
2
2
(
2
)
1
+ 1 |±⟩ = 3|±⟩ ,
2
すなわち
σ2 = 3
(3.13)
である。(3.8) において j = 1/2, m = ± 1/2 とすると, σ± = 2(s1 ± is2 ) は
σ+ |+⟩ = 0 ,
σ+ |−⟩ = 2|+⟩ ,
σ− |+⟩ = 2|−⟩ ,
σ− |−⟩ = 0
(3.14)
したがって
2
σ+
|+⟩ = 0 ,
2
σ+
|−⟩ = 2σ+ |+⟩ = 0
2
つまり σ+
=0
である。同様にして
2
2
σ+
= σ−
= σ3 σ± + σ± σ3 = 0
σ32 |±⟩ = |±⟩ から σ32 = 1 である。これと σ+ σ− + σ− σ+ = 2(σ 2 − σ32 ) = 4 より
(
σ12 =
σ+ + σ−
2
)2
=
)
1( 2
2
σ+ + σ−
+ σ+ σ− + σ− σ+ = 1
4
(3.15)
3
角運動量
13
σ22 についても同様にすると
σ12 = σ22 = σ32 = 1
(3.16)
σ1 σ2 + σ2 σ1 = σ2 σ3 + σ3 σ2 = σ3 σ1 + σ1 σ3 = 0
(3.17)
を得る。σ± = σ1 ± iσ2 から (3.15) は
となり, σi は互いに反交換する。(3.16) と (3.17) はまとめて
{σi , σj } ≡ σi σj + σj σi = 2δij
(3.18)
と書ける。この結果と (3.12) を加えれば
σi σj = δij + i
∑
εijk σk
(3.19)
k
になる。この関係式だけ知っていれば, (3.12) ∼ (3.18) は簡単に導ける。
例題
B を定数ベクトルとして, ハミルトニアン H が H = B ·σ で与えられるとき, H の固有値
と固有状態を求めよう。固有値を E, 固有状態を c+ |+⟩ + c− |−⟩ とすると
(
)
(
)
H c+ |+⟩ + c− |−⟩ = E c+ |+⟩ + c− |−⟩
(3.20)
を満たす E, c± を求める。この問題ではベクトル B を直交座標で表すよりも極座標で表した方が
便利になる。そこで
B1 = B sin θ cos ϕ ,
B2 = B sin θ sin ϕ ,
B3 = B cos θ
とする。B ·σ を σ± = σ1 ± iσ2 , σ3 で表すと
B1 + iB2
B1 − iB2
σ+ +
σ− + B3 σ3
2
2
B
B
= sin θe−iϕ σ+ + sin θeiϕ σ− + B cos θ σ3
2
2
B ·σ = B1 σ1 + B2 σ2 + B3 σ3 =
σ+ |+⟩ = 0 , σ− |+⟩ = 2 |−⟩ , σ3 |+⟩ = |+⟩ であるから
B ·σ |+⟩ = B sin θeiϕ |−⟩ + B cos θ |+⟩
同様にして
B ·σ |−⟩ = B sin θe−iϕ |+⟩ − B cos θ |−⟩
これから
(
) (
)
(
)
H c+ |+⟩ + c− |−⟩ = B cos θ c+ + B sin θe−iϕ c− |+⟩ + B sin θeiϕ c+ − B cos θ c− |−⟩
したがって (3.20) は
B cos θ c+ + B sin θe−iϕ c− = E c+ ,
B sin θeiϕ c+ − B cos θ c− = E c−
となる。行列で書くと
(
B cos θ − E
B sin θeiϕ
B sin θe−iϕ
−B cos θ − E
)(
c+
c−
)
(
=
0
0
)
(3.21)
3
角運動量
14
c+ , c− が共に 0 にならないためには
B cos θ − E
B sin θeiϕ
B sin θe−iϕ
−B cos θ − E
= E2 − B2 = 0
したがって, H の固有値 E は E = ±B になる。次に, 規格化された固有状態を求める。(3.21) から
c− =
であるから
|c+ |2 + |c− |2 =
E = ±B を代入すると
E − B cos θ iϕ
e c+
B sin θ
B 2 + E 2 − 2EB cos θ
|c+ |2 = 1
B 2 sin2 θ
1 ± cos θ
sin2 θ
=
2(1 ∓ cos θ)
2
|c+ |2 =
したがって, 物理的に意味のない位相は別にして
E = B のとき
θ
,
2
θ
c+ = sin ,
2
c+ = cos
E = − B のとき
c− = eiϕ sin
θ
2
θ
c− = − e cos
2
(3.22)
iϕ
となる。
θ, ϕ 方向を向いた単位ベクトル n = ( sin θ cos ϕ , sin θ sin ϕ , cos θ ) で H を表すと H = B n·σ
であるから, H の固有値が ±B ということは n·σ の固有値が ±1 になることを表す。また, (3.22)
は n·σ の固有状態である。
問 3.3 (3.19) を用いて
σ·A σ·B = A·B + iσ·A×B
を示せ。A と B は σ と交換するなら演算子でもよい。
問 3.4 n をある方向の単位ベクトルとし, σn ≡ n·σ を考える。前問の結果を使い σn2 = 1 を示せ。
さらに
exp(iθ σn ) = cos θ + i σn sin θ
を示せ。ただし, A を演算子とするとき eA ≡
∞
∑
1 k
A である。
k!
k=0
問 3.5 時間に依存するシュレディンガー方程式
ih̄
∂
|t⟩ = H |t⟩,
∂t
H = B σ1
を考える。B は定数である。時刻 t における状態 | t ⟩ を |±⟩ で表せ。ただし
| t = 0 ⟩ = cos
θ
θ
|+⟩ + sin |−⟩
2
2
とする。また, σ の期待値 ⟨ t | σ | t ⟩ は x 軸まわりに再差運動することを示せ。
3
角運動量
3.3
15
角運動量の合成
2 個以上の粒子系の全角運動量やスピンを持つ 1 粒子の軌道角運動量とスピンの和を扱うとき,
角運動量の合成が必要になる。角運動量の合成の一般論は量子力学の教科書を参照してもらうこと
にして, ここでは一方の角運動量がスピン s の場合を考え
J =j+s
を扱う。j は s とは独立な系の角運動量である。具体例としては, 同一粒子の軌道角運動量あるい
は別な粒子のスピンなどである。古典力学では J の大きさは |j| − |s| から |j| + |s| まで連続的
に自由な値をとるが, 量子力学では異なる。
j と s のそれぞれの状態の直積
| jm ⟩|±⟩
(3.23)
により合成系の状態は表せる。| jm ⟩ が j 2 , j3 の固有状態, |±⟩ がスピンの固有状態を表す。状態が
直積である場合, どの演算子がどの状態に作用するかという点は注意すべきである。j の系の演算
子を Dj , s の系の演算子を Ds とすると, Dj は | jm ⟩ に, Ds は |±⟩ に作用するから
(Dj + Ds ) | jm ⟩|±⟩ = (Dj | jm ⟩) |±⟩ + | jm ⟩(Ds |±⟩) ,
Dj Ds | jm ⟩|±⟩ = (Dj | jm ⟩)(Ds |±⟩)
である。ここで右辺の ( ) はどの状態に作用するかを明確にするために記した。
合成系の状態として J 2 と J3 の同時固有状態 |JM ⟩
J 2 |JM ⟩ = J(J + 1) |JM ⟩ ,
J3 |JM ⟩ = M |JM ⟩ ,
M = J , J − 1,··· , −J
を用いることもできる。| jm ⟩|±⟩ がこれを満たすか調べてみる。J3 = j3 + s3 を作用させると
)
(
)
(
) (
1
J3 | jm ⟩|±⟩ = j3 | jm ⟩ |±⟩ + | jm ⟩ s3 |±⟩ = m ±
| jm ⟩|±⟩
(3.24)
2
したがって | jm ⟩|±⟩ は J3 の固有状態で固有値 M は M = m ± 1/2 である。一方
J 2 = j 2 + s2 + 2j ·s = j 2 + s2 + 2j3 s3 + j+ s− + j− s+
であるから, 例えば
(
)
3
j(j + 1) + + m | jm ⟩|+⟩ + j+ | jm ⟩ s− |+⟩
4
)
(
√
3
= j(j + 1) + + m | jm ⟩|+⟩ + (j − m)(j + m + 1) | j m+1 ⟩|−⟩
4
(3.25)
J 2 | jm ⟩|+⟩ =
(3.26)
となり, m ̸= j のとき | jm ⟩|+⟩ は J3 の固有状態ではあるが J 2 の固有状態ではない。| jm ⟩|−⟩ に
ついても同様である。
j が与えられたとき, 可能な J の値と |JM ⟩ を求める。(3.24) から M の最大値は j + 1/2 であ
る。また, J が与えられたとき M の取りうる値は J, J − 1, · · ·, − J + 1, − J である。したがって
J の最大値も j + 1/2 でなければならない。M = j + 1/2 となる状態は | j j ⟩|+⟩ だけであるから
| J = j + 12 M = j + 12 ⟩ = | j j ⟩|+⟩
となる。実際, (3.26) で m = j とすると
(
)
(
)(
)
3
1
1
J 2 | j j ⟩|+⟩ = j(j + 1) + + j | j j ⟩|+⟩ = j +
j + + 1 | j j ⟩|+⟩
4
2
2
(3.27)
(3.28)
3
角運動量
16
確かに | j j ⟩|+⟩ は J = j + 1/2 である J 2 の固有状態である。
| J = j + 12 M = j + 12 ⟩ が分かれば他の | J = j + 12 M ⟩ は次のようにして求まる。(3.27) の両辺に
J− を作用させると
J− | J = j + 12 M = j + 12 ⟩ = J− | j j ⟩|+⟩
(3.8) より左辺は
J− | J = j + 21 M = j + 12 ⟩ =
√
2j + 1 | J = j + 12 M = j − 21 ⟩
一方, 右辺は J− = j− + s− であるから
J− | j j ⟩|+⟩ = j− | j j ⟩|+⟩ + | j j ⟩ s− |+⟩ =
したがって
√
2j | j j −1 ⟩|+⟩ + | j j ⟩ |−⟩
√
√
| J = j + 21 M = j − 12 ⟩ =
2j
| j j −1 ⟩|+⟩ +
2j + 1
1
| j j ⟩ |−⟩
2j + 1
以下, 繰り返し J− を作用させれば
√
√
j + M + 1/2
j − M + 1/2
1
1
| J =j+ 2 M ⟩ =
| j M − 2 ⟩|+⟩ +
| j M + 12 ⟩|−⟩
2j + 1
2j + 1
(3.29)
(3.30)
が求まる。
M = j − 1/2 となる状態は | j j −1 ⟩|+⟩, | j j ⟩ |−⟩ の 2 つあるから, これらの線形結合から直交す
る 2 つの状態を作れる。1 つは (3.29) であり, もう一つはこれに直交する状態
√
√
1
2j
−
| j j −1 ⟩|+⟩ +
| j j ⟩ |−⟩
2j + 1
2j + 1
である。全体の位相はある規約に基づいている。| J = j + 21 M = j − 21 ⟩ に直交し M = j − 1/2 であ
る状態は J ̸= j + 1/2 である。J ≤ j + 1/2 であるから, このような状態は | J = j − 12 M = j − 21 ⟩ だ
けである。したがって
√
| J = j − 21
M
= j − 21
⟩=−
√
1
| j j −1 ⟩|+⟩ +
2j + 1
2j
| j j ⟩ |−⟩
2j + 1
これを出発点にして J− を作用させると
√
√
j − M + 1/2
j + M + 1/2
1
1
| J =j− 2 M ⟩ = −
| j M − 2 ⟩|+⟩ +
| j M + 12 ⟩|−⟩
2j + 1
2j + 1
(3.31)
(3.32)
が求まる。
| J = j + 12 M ⟩ の状態は 2J + 1 = 2j + 2 個, | J = j − 12 M ⟩ の状態は 2J + 1 = 2j 個ある。合わせ
ると 2(2j + 1) 個の状態が得られた。この数は | jm ⟩|±⟩ の状態数 2(2j + 1) に等しいから, これ以上
|JM ⟩ の状態はない。したがって, j が与えられたとき, 許される J は J = j ± 1/2 である。j = 0
の場合は J = j − 1/2 はありえないから, J = 1/2 だけである。
J3 の固有値が M になる状態は | j M − 21 ⟩|+⟩ と | j M + 12 ⟩|−⟩ の 2 つあることは (3.24) から直ぐ
に分かる。したがって | J M ⟩ がこの 2 つの状態の線形結合で表されるのは当然である。
問 3.6 (3.30), (3.32) を示せ。
3
角運動量
17
問 3.7 (3.31) が J 2 の固有状態であることを直接確かめよ。
問 3.8 | JM ⟩ = α | j M−21 ⟩|+⟩+β | j M+12 ⟩|−⟩ , α2 +β 2 = 1 とおける。J 2 | JM ⟩ = J(J +1) | JM ⟩
となるように α, β, J を決めよ。計算の途中では j ′ = j + 1/2 とでもおけば, 少し計算は簡
単になる。
3.4
回転と角運動量
単位ベクトル n で指定された直線を軸とした角 θ の回転を考える。ただし θ > 0 の回転とは n
の方向に右ネジが進む場合を指す。この回転によりベクトル a が a′ になったとすると, θ = ∆θ が
無限小ならば
a′ = a + ∆θ n×a
(3.33)
である。例えば, z 軸まわりの回転を考えると
a′x = ax cos ∆θ − ay sin ∆θ = ax − ay ∆θ ,
a′y = ax sin ∆θ + ay cos ∆θ = ax ∆θ + ay ,
a′z = az
であるから確かに
a′ = a + ∆θ (−ay , ax , 0) = a + ∆θ n×a ,
n = ( 0, 0, 1 )
となる。
物理系を回転させれば, 回転後の系の状態 |α̃⟩ は回転前の状態 |α⟩ と
ψ̃(r)
は異なる。|α⟩ と |α̃⟩ を関係付ける演算子 R
|α̃⟩ = R(n, θ)|α⟩
r
ψ(r 1 )
θ
を求めよう。ここではスピン 0 粒子の場合を考え, その結果を一般化す
r1
る。回転前の波動関数を ψ(r), 回転後の波動関数を ψ̃(r) とする。点 r
における回転後の波動関数の値は, 回転すると r になる点 r 1 における回転前の値に等しいから
ψ̃(r) = ψ(r 1 )
である。r 1 は r を逆回転して得られる点であるから, 無限小回転 θ = ∆θ の場合には, (3.33) より
r 1 = r − ∆θ n×r となる。したがって
ψ̃(r) = ψ(r − ∆θ n×r) = ψ(r) − ∆θ (n×r)·∇ψ(r)
(n×r)·∇ = n·(r×∇) を使うと
(
)
(
)
ψ̃(r) = 1 − ∆θ n·(r×∇) ψ(r) = 1 − i∆θ n·ℓ ψ(r) ,
h̄ℓ = r×p = −ih̄r×∇
ただし h̄ℓ は軌道角運動量である。無限小回転の場合, 回転演算子は
R(n, ∆θ) = 1 − i∆θ n·ℓ
となる。この結果を一般化すると, 系の全角運動量が j であるとき, 単位ベクトル n まわりの無限
小回転演算子は
R(n, ∆θ) = 1 − i∆θ n·j
(3.34)
3
角運動量
18
である。
有限の回転は無限小回転の重ね合わせである。特に
R(n, θ + dθ) = R(n, dθ)R(n, θ) = (1 − i dθ n·j) R(n, θ)
すなわち
dR(n, θ)
= −in·jR(n, θ)
dθ
である。したがって, R(n, 0) = 1 を考慮すると
R(n, θ) = exp (−iθ n·j)
(3.35)
を得る。この様に角運動量 j は回転の生成演算子である。(3.35) がスピンの場合に正しい結果を与
えることを次の問で確かめよ。
問 3.9 n·σ |±⟩n = ± |±⟩n を満たす n·σ の固有状態 |±⟩n を σ3 の固有状態 |±⟩ で表して
|±⟩n = c+ |+⟩ + c− |−⟩
としたとき, 係数 c± は (3.22) で与えられる。ところで, |±⟩n は |±⟩ を y 軸のまわりに角 θ
だけ回転し, 次に z 軸のまわりに角 ϕ 回転した状態
exp(−iϕs3 ) exp(−iθs2 ) |±⟩
で与えられるはずである。この状態が (3.22) を再現することを示せ。
演算子は回転に対する変換性で分類できる。基本的なものはスカラー演算子とベクトル演算子で
ある。スカラー演算子とは回転により期待値が不変な演算子である。どんな回転でも無限小回転の
積で表わせるから, 無限小回転に対する不変性を考えれば十分である。スカラー演算子を S とする
と, 無限小回転に対する不変性は
⟨α|S|α⟩ = ⟨α̃|S|α̃⟩ = ⟨α| (1 + i∆θn·j) S (1 − i∆θn·j) |α⟩
(
)
= ⟨α| S + i∆θ [ n·j , S ] |α⟩
したがって
[S , j ] = 0
(3.36)
がスカラーの条件である。このとき S は回転不変であるという。例えば, 原点からの距離 r だけに
依存する関数 S(r) の場合, 軌道角運動量 ℓ は角度についての微分だけ含むから [ S(r) , ℓ ] = 0 であ
り S(r) はスカラーである。
系のハミルトニアン H が回転不変 [ H , j ] = 0 である場合, H, j 2 , j3 の同時固有状態が存在す
る。これを |n j m⟩ で表わし, そのエネルギー固有値を Enjm とする:
H|n j m⟩ = Enjm |n j m⟩ ,
j 2 |n j m⟩ = j(j + 1)|n j m⟩ ,
j3 |n j m⟩ = m|n j m⟩
n は状態を指定するのに必要な j, m 以外の量子数の組である。[ H , j± ] = 0 より
Hj± |n j m⟩ = j± H|n j m⟩ = Enjm j± |n j m⟩
3
角運動量
j− |n j m⟩ =
19
√
(j + m)(j − m + 1) |n j m−1⟩ であるから
H|n j m±1⟩ = Enjm |n j m±1⟩
したがって Enjm±1 = Enjm となりエネルギー固有値は m によらない。回転不変な H の固有状態
は 2j + 1 重に縮退している。
問 3.10 ベクトル演算子 V の場合, その期待値が普通のベクトルの変換に従うことを要請する。
1. 無限小変換では (3.33) と (3.34) から
⟨α̃|V |α̃⟩ = ⟨α|V |α⟩ + ∆θ n×⟨α|V |α⟩ ,
である。これから
[ Vm , jn ] = i
∑
|α̃⟩ = (1 − i∆θ n·j) |α⟩
εmnk Vk
k
を示せ。V = j とすると, 角運動量の交換関係を得る。
2. ベクトル演算子 A と B の内積は
[ A·B , j ] = 0
を満たすことを示せ。内積はスカラー演算子である。
問 3.11 行列要素が (sk )mn = − i εkmn である 3 つの 3 × 3 行列 s1 , s2 , s3 を直交成分とするベクト
ル s を考える。ただし, εkmn は (3.2) で定義された反対称テンソルである。
1. ベクトル場 A(r) を n 軸のまわりに微小回転 ∆θ したとき, 回転後のベクトル場を
A′ (r) とする。回転すると r になる点を r 1 で表わすと, 点 r における A′ は, r 1 にお
ける A に回転を施せばよいから
A′ (r) = A(r 1 ) + ∆θ n×A(r 1 ) ,
r 1 = r − ∆θ n×r
である。これは
(
)
A′ (r) = 1 − i ∆θ n·(ℓ + s) A(r) ,

A1
ℓ = − ir×∇



と書けることを示せ。ただし, A =  A2  で表わす。
A3
2. s1 , s2 , s3 は角運動量の交換関係を満たし, s2 = 2 となることを示せ。したがって, ベ
クトル場は s = 1 であるスピンを持つ。
3. s1 , s2 , s3 を具体的に 3 × 3 行列で表わし, s1 , s2 , s3 の固有値が 0 , ±1 になることを確
かめよ。
4
アイソスピン
20
アイソスピン
4
4.1
アイソスピン
原子核は陽子と中性子から構成されている。陽子と中性子はスピン 1/2 のフェルミオンである。陽
子の質量と中性子の質量の差は約 1%しかなくほぼ等しい。陽子と中性子は主に電荷などの電磁気
的性質により区別される。もし電磁相互作用がなければ陽子と中性子は区別できないであろう。原
子核では電磁相互作用よりも核子間に働く強い相互作用 ( strong interaction ), つまり核力 ( nuclear
force ) の方が重要である。そこで, 陽子と中性子を核子という粒子の 2 つの異なる状態と見なす。
この 2 つの状態を識別するために, 各核子に補助的な力学変数を付け加える。この力学変数は 2 つ
の異なる固有値だけをとればよいから, s = 1/2 のスピン s と同じ代数的性質を満たす演算子 t を
導入する。この t を荷電スピンとかアイソスピン ( isospin ) という。もちろん, 2 つの状態を区別
するという理由だけではアイソスピンを導入する必然性はない。実は, アイソスピンはスピンと同
様に素粒子の基本的性質であり, アイソスピン導入により核力の重要な性質を簡単に表現できる。
さて, t3 の 2 つの固有値 mt = ±1/2 により陽子と中性子を区別する。t2 , t3 の同時固有状態を
| mt ⟩ で表す:
t2 | mt ⟩ =
1
2
(
)
1
+ 1 | mt ⟩ ,
2
t3 | mt ⟩ = mt | mt ⟩
このテキストでは | mt = 12 ⟩ を陽子状態, | mt = -- 12 ⟩ を中性子状態に割り当てる。以下
|p⟩ = | mt = 12 ⟩ ,
|n⟩ = | mt = -- 12 ⟩
と略記する。核子の状態は軌道運動, スピン, アイソスピンの状態という 3 つの部分からなる。
スピンにおける σ と同様に τ = 2t を考えると
τi τj = δij + i
∑
εijk τk
k
を満たす。スピンに関する代数はすべてアイソスピンでも成り立つ。τ± = τ1 ± iτ2 とすると
τ3 |p⟩ = |p⟩ ,
τ+ |p⟩ = 0 ,
τ3 |n⟩ = −|n⟩ ,
τ+ |n⟩ = 2|p⟩ ,
τ− |p⟩ = 2|n⟩ ,
(4.1)
τ− |n⟩ = 0
(4.2)
である。代数的には τ± は mt を ±1 変えるだけだが, τ+ は中性子を陽子に, τ− は陽子を中性子に
変化させるという物理的意味がある。
陽子と中性子で作用が異なる物理量は τ で表わせる。例えば Q = e (1 + τ3 )/2 を考えると
陽子の場合 : Q|p⟩ = e|p⟩ ,
中性子の場合 : Q|n⟩ = 0
であるから, Q は核子の電荷演算子である。また, 核子 1 と核子 2 の間に働くクーロン力ポテンシャ
ルは
e2 1 + (τ 1 )3 1 + (τ 2 )3
4πr
2
2
と書ける。ただし, (τ k )3 は核子 k の τ の z 成分を表わす。
2 核子系のアイソスピン状態
(4.3)
アイソスピンの合成は角運動量の合成と全く同じである。2 核子系
の場合, 核子 1 のアイソスピンを t1 , 核子 2 のアイソスピンを t2 とすると, 系の全アイソスピン
T = t1 + t2 の固有状態 | T MT ⟩
T 2 | T MT ⟩ = T (T + 1)| T MT ⟩ ,
T3 | T MT ⟩ = MT | T MT ⟩
(4.4)
4
アイソスピン
21
を求めよう。核子 1 のアイソスピン状態が | a ⟩, 核子 2 のアイソスピン状態が | b ⟩ であるとき | a ⟩| b ⟩
で表すことにする。MT = 1 になる状態は |p⟩|p⟩ だけであるから
| T = 1 MT = 1⟩ = |p⟩|p⟩
である。両辺に T− = (t− )1 + (t− )2 を作用させると, 左辺は (3.9) から
T− | T = 1 MT = 1⟩ =
一方, 右辺は
(
√
2 | T = 1 MT = 0⟩
)
(
)
(t− )1 |p⟩ |p⟩ + |p⟩) (t− )2 |p⟩ = |n⟩|p⟩ + |p⟩|n⟩
となるから
| T = 1 MT = 0⟩ =
|p⟩|n⟩ + |n⟩|p⟩
√
2
MT = −1 となる状態は |n⟩|n⟩ だけであるから
| T = 1 MT = −1⟩ = |n⟩|n⟩
となる。あるいは, | T = 1 MT = 0⟩ に再び T− を作用させてもよい。まとめると


|p⟩|p⟩ ,
MT = 1



 |p⟩|n⟩ + |n⟩|p⟩
√
, MT = 0
| T = 1 MT ⟩ =

2




|n⟩|n⟩ ,
MT = −1
(4.5)
MT = 0 となる状態には | T = 0 MT = 0⟩ もある。これは | T = 1 MT = 0⟩ と直交するから
| T = 0 MT = 0⟩ =
|p⟩|n⟩ − |n⟩|p⟩
√
2
(4.6)
である。T = 1, MT = 1 は 2 個の陽子, T = 1, MT = −1 は 2 個の中性子系である。MT = 0 は陽
子と中性子の系であり, T = 1 と T = 0 の 2 つある。T = 1 である 3 つの状態をアイソスピン 3 重
項, T = 0 の状態をアイソスピン 1 重項という。アイソスピン 3 重項は核子 1 と 2 の状態の交換に
関して対称 (全く変わらない) であるが, アイソスピン 1 重項は反対称 (符号が変わる) である。これ
は後で重要になる。
4.2
アイソスピン不変性
アイソスピンを使えば陽子と中性子を統一的に扱える。これはアイソスピンの利点ではあるが,
より重要なことは核子間に作用する核力がアイソスピン不変性 ( isospin invariance ) という性質を
もつことである。核子 1 と核子 2 の間に作用する核力ポテンシャルを V (1, 2) とすると, アイソスピ
ン不変性とは
[V , T ] = 0,
T = t1 + t2
(4.7)
である。スカラー演算子とは空間回転に関して不変, つまり角運動量と交換する演算子のことであ
るが, これと同様に, T と交換する演算子をアイソスカラー ( isoscalar ) と呼ぶ。核力 V はアイソ
スカラーである。2 核子系の全アイソスピンの固有状態 (4.4) は
T+ | T MT ⟩ =
√
T (T + 1) − MT (MT + 1) | T MT +1⟩ ,
T+ = T1 + iT2
4
アイソスピン
22
を満たすから
⟨ T MT +1|V | T MT +1⟩ =
⟨ T MT |T− V T+ | T MT ⟩
T (T + 1) − MT (MT + 1)
となる。V と T− は交換するから T− V T+ = V T− T+ であり, T− T+ = T 2 − T3 (T3 + 1) であるから
(
)
⟨ T MT |V T 2 − T3 (T3 + 1) | T MT ⟩
⟨ T MT +1|V | T MT +1⟩ =
= ⟨ T MT |V | T MT ⟩
T (T + 1) − MT (MT + 1)
である。したがって, アイソスピン 3 重項の陽子–陽子, 中性子–中性子, 陽子–中性子に作用する核
力の期待値は同じである。ただし, T = 0 と T = 1 の陽子–中性子で核力が同じであるとはいえな
い。核力については次の章で改めて考える。
クーロン力 (4.3) は T3 と交換するが, T1 , T2 とは交換しないからアイソスカラーではない。また,
陽子と中性子は質量が違う。したがって, A 核子系のハミルトニアン H は厳密にはアイソスカラー
ではない。しかし, クーロン力は核力に比べれば弱く, 陽子と中性子の質量差は小さいから, この 2
つを無視しても第 0 近似ではよいと考えられる。この場合, H は A 核子系の全アイソスピン T と
交換する:
[H ,T ] = 0,
T =
A
∑
tk
(4.8)
k=1
(4.8) が成り立つとき, H, T 2 , T3 の同時固有状態が存在する。T3 は個々の核子 t3 の和であり, t3 の
固有値は陽子の場合 1/2, 中性子の場合 −1/2 である。したがって, 系が Z 個の陽子と N 個の中性
子からなる場合, T3 の固有値 MT は MT = (Z − N )/2 になる。18 ページの回転不変と縮退の関係
はアイソスピン不変の場合にも成り立つ。したがって, ハミルトニアンが (4.8) を満たすならば, H
の固有値は MT に依らない。つまり, A = Z + N が同じで Z, N の異なる原子核のエネルギースペ
クトルを比較すると, MT 以外の量子数が同じ状態は縮退する。図は T = 1 状態のエネルギースペ
クトルの実験値である。同じ角運動量とパリティの状態を破線で結んである。この図から (4.8) が
よい近似で成り立っていることが分かる。図に示した最低エネルギー準位は, 実際には同じエネル
ギーではなく E(14 N) − E(14 C) = 1.64 MeV , E(14 O) − E(14 N) = 2.33 MeV だけずれている。これ
は中性子と陽子の質量差 (1.29 MeV/c2 ) と陽子数の違いによるクーロンエネルギーの差として理解
できる。
MeV
8
2+
6
2−
2+
3−
0+
1−
4
2
0
0+
14
8 O6
14
7 N7
MT = 1
MT = 0
14
6 C8
MT = −1
4
アイソスピン
23
アイソスピンは, 核子に限らず一般に素粒子を特徴付ける基本的性質である。例えば, π 中間子
( π meson ) あるいはパイオン ( pion ) と呼ばれる粒子は電荷が ±e の π ± ( 質量 139.57 MeV/c2 ) と
中性の π 0 ( 134.98 MeV/c2 ) の 3 種類ある。これらはアイソスピン t = 1 である同一粒子の 3 つの固
有状態
|π ± ⟩ = | t = 1 mt = ±1 ⟩ ,
|π 0 ⟩ = | t = 1 mt = 0 ⟩
と見なせる。
問 4.1 次の反交換関係を満たす ap , an を考える。
{ a†α , aβ } = δαβ ,
{ a†α , a†β } = 0 ,
{ aα , a β } = 0
1. ここで
)
1( †
ap ap − a†n an ,
2
とすると, 角運動量と同じ交換関係
T3 =
T+ = a†p an ,
[ T+ , T− ] = 2T3 ,
T− = a†n ap
[ T3 , T± ] = ± T±
が成り立つことを示せ。
2. 状態 |0⟩ を aα |0⟩ = 0 で定義する。|p⟩ = a†p |0⟩, |n⟩ = a†n |0⟩ とすると
T3 |p⟩ =
T+ |p⟩ = 0 ,
1
|p⟩ ,
2
1
T3 |n⟩ = − |n⟩
2
T+ |n⟩ = |p⟩ ,
T− |p⟩ = |n⟩ ,
T− |n⟩ = 0
となることを示せ。これらは (4.1), (4.2) と同等な関係式である。
a†p (ap ) を陽子の生成 (消滅) 演算子, a†n (an ) を中性子の生成 (消滅) 演算子と解釈すれば, こ
こで定義した T は核子のアイソスピンである。
問 4.2 核子とパイオンの系を考える。この系の全アイソスピンの固有状態を | T MT ⟩ とする。T は
t = 1/2 と t = 1 の合成であるから, T = 3/2, 1/2 の 2 つの値をとる。
1. |π + p⟩ , |π − p⟩ , |π 0 n⟩ を | T MT ⟩ で表わせ。
2. パイオン–核子散乱において, 散乱前の状態を |a⟩ , 散乱後の状態を |b⟩ とする。この反
応の散乱振幅 f (a → b) は, あるアイソスカラー演算子 S により
f (a → b) = ⟨ b |S| a ⟩
で与えられる。このとき
f (π + p → π + p) = f3/2
f3/2 + 2f1/2
3
√
(
)
2
f (π − p → π 0 n) =
f3/2 − f1/2
3
f (π − p → π − p) =
となることを示せ。ただし, fT = ⟨ T MT |S| T MT ⟩ である。S がアイソスカラーであ
るから, fT は MT に依らない。
5
2 核子系と核力
24
2 核子系と核力
5
5.1
2 核子系
陽子 1 個と中性子 1 個からなる重陽子 ( deuteron ) は 2 核子系としては唯一の束縛状態である。
重陽子を調べることにより核力の情報が得られる。陽子と中性子の質量差を無視して核子の質量を
m とする。核子 1 と 2 から成る系のハミルトニアン H は
H=−
h̄2 2
h̄2 2
∇1 −
∇ + V ( |r 2 − r 1 | )
2m
2m 2
である。ここで V は核力を表わす。V は一般に 2 核子間の相対距離及び核子のスピン, アイソスピ
ンに依存する。重心の位置 R と相対位置 r は
R=
r2 + r1
,
2
r = r2 − r1
である。r 1 , r 2 を R, r で表わすと
(
)
h̄2 2
h̄2
2
∇ + − ∇ + V (r) ,
H=−
2mT R
2µ
r = |r|
になる。ただし mT = 2m は全質量, µ = m/2 は換算質量である。H は R の部分と r の部分に分
離するから, HΨ = EΨ を満たす 2 粒子系の波動関数 Ψ は
Ψ (R , r) = Φ(R)ψ(r)
という型に書け, 各々は
h̄2
−
∇2 Φ(R) = ER Φ(R) ,
2mT R
(
)
h̄2 2
− ∇ + V (r) ψ(r) = Er ψ(r)
2µ
(5.1)
を満たす。ただし, E = ER + Er である。重心運動は自由粒子の運動であり, 波動関数は平面波に
なる。2 体問題はポテンシャル V (r) における換算質量 µ の 1 体問題 (5.1) に帰結する。
ψ は軌道空間, スピン, アイソスピンの状態の積である。軌道部分とスピン部分の波動関数を相
対運動の軌道角運動量 L = − ir×∇ と 2 核子の全スピン S = s1 + s2 の固有状態で表わそう。全
角運動量 J は
J =L+S
である。S がとりうる固有値は S = 0, 1 の 2 つである。この S と L = 0, 1, 2, · · · を合成して J を
作る。したがって
{
S = 0 のとき J = L ,
になる。これらの状態は慣例として
S = 1 のとき
2S+1
J = L, L ± 1 L ̸= 0
J =1
L=0
(5.2)
記号J と表記する。ここで “記号” は L = 0, 1, 2, 3, · · ·
に対して大文字の S, P , D, F , · · · で表わす。例えば 3D1 は L = 2, S = 1, J = 1 の状態である。
S = s1 + s2 の固有状態 |SMS ⟩ は (4.5), (4.6) で
|p⟩ −→ |+⟩ = | s = 21 , m = 12 ⟩ ,
|n⟩ −→ |−⟩ = | s = 12 , m = −12 ⟩
の置き換えをすればよい。L の固有状態 | L ML ⟩ は球面調和関数 YL ML (θ, ϕ) で表される。ここで
θ, ϕ は相対座標 r を極座標で表したときの角度である。角運動量の合成での議論から分かるように
J 2 |(LS)JM ⟩ = J(J + 1) |(LS)JM ⟩ ,
J3 |(LS)JM ⟩ = M |(LS)JM ⟩
5
2 核子系と核力
25
を満たす固有状態 |(LS)JM ⟩ を S と L の固有状態の積
|(LS)JM ⟩ =
∑
CML MS YL ML (θ, ϕ) |SMS ⟩
ML ,MS
で作れる。ここでは係数 CML MS の具体的表現は問題ではない。以上から, 求める固有関数 ψ(r) は
ψ(r) = R(r) |(LS)JM ⟩ |T MT ⟩
(5.3)
となる。ここで R(r) は相対運動の動径方向の波動関数, |T MT ⟩ は全アイソスピン T = t1 + t2 の
固有状態 (4.5) あるいは (4.6) である。
パウリ原理から, 2 核子系の波動関数は核子を交換したとき符号が変わらなければならない。粒
子 1 と 2 を交換する演算子を P12 で表わすと
P12 Ψ = − Ψ
である。2 粒子の交換に関して重心 R と相対位置 r は
R=
r 1 + r 2 P12 r 2 + r 1
−−−−→
= R,
2
2
P
r = r 2 − r 1 −−−12
−→ r 1 − r 2 = −r
である。したがって, 粒子の交換に対して重心の波動関数は不変であるから, 相対運動の波動関数は
符号を変えなければならない。r → −r を極座標で表すと (r, θ, ϕ) → (r, π − θ, π + ϕ) である。球面
調和関数は
YL ML (π − θ , π + ϕ) = (−1)L YL ML (θ, ϕ)
(5.4)
を満たす。また, (4.5), (4.6) から T = 1 の状態は粒子の交換に関して対称であり, T = 0 は反対称
であるから, 2 粒子の交換に対して |T MT ⟩ は (−1)T +1 という符号変化をする。同様に |S MS ⟩ も
(−1)S+1 である。これから
P12 ψ(r) = (−1)L (−1)S+1 (−1)T +1 ψ(r) = (−1)L+S+T ψ(r)
(5.5)
である。したがって, L + S + T は奇数のみが許される。
座標系を反転する変換をパリティという。重心を原点とする座標系でのパリティ演算子 P は
P Ψ (R, r) = Ψ (R, −r) ,
つまり P ψ(r) = ψ(−r)
である。(5.3) の場合
P ψ(r) = (−1)L ψ(r)
になるから, この状態はパリティの固有状態で固有値は (−1)L である。粒子交換と異なりスピン・
アイソスピンは P に関して不変である。
重陽子
実験によれば重陽子の基底状態のパリティは +1, 全角運動量 J は J = 1 である。パリティ
から軌道角運動量 L は偶数である。これと (5.2) から J = 1 であるためには S = 1 , L = 0, 2 であ
る。さらに, (5.5) より L + S + T は奇数でなければならないから T = 0 である。したがって, 重陽
子の基底状態は (5.3) の重ね合わせで
(
)
ψ(r) = R0 (r) |(0 1) 1 M ⟩ + R1 (r) |(1 1) 1 M ⟩ |T = 0⟩
と表わせる。実験によると |R1 (r)|2 ∼ 0.05|R0 (r)|2 であり, 陽子の基底状態は主に L = 0 であるが
L = 1 をわずかに含む。
5
2 核子系と核力
26
重陽子の基底状態が T = 0 であることは次の議論からも導ける。(4.5) から T = 1 の状態は陽
子–中性子 ( MT = 0 ) 以外にも陽子–陽子 ( MT = 1 ) と中性子–中性子 ( MT = −1 ) がある。アイ
ソスピン不変性から T = 1 における陽子–陽子, 中性子–中性子, 陽子–中性子間の核力は同じであ
る。したがって, 陽子–陽子と中性子–中性子の束縛状態が存在しない以上, T = 1 の陽子–中性子
も束縛状態をつくらない。これから重陽子は T = 0 でなければならない。
核力は T = 0 の 2 核子間に働く場合と T = 1 の場合では異なり, T = 0 では T = 1 よりも強い
引力になる。
問 5.1 仮想的に重陽子の基底状態のパリティが −1 , 全角運動量 J が J = 0 とする。このとき, 核
子間の相対軌道角運動量 L, 全スピン S, 全アイソスピン T として許される値を求めよ。
5.2
核力
核力は原理的には強い相互作用を記述する QCD から導出できるはずであるが, 実際には不可能
である。この様に原理的なことから核力を決定できないところに核力の問題の難しさがある。ここ
では対称性の観点から, 核力としてどの様な型が可能か考えてみよう。
• 並進不変性
2 核子間に働く力は核子の絶対的位置に依らずに, 2 核子間の相対的位値にだけ
依存するはずである。核子 1, 2 の位置ベクトルを r 1 , r 2 とすると
V = V0 (r) ,
r = r2 − r1
である。
• 回転不変性何らかの外場が作用しないかぎり, 核力は 2 核子間の相対位置 r の向きには依
存しないであろう。したがって
V = V0 (r) ,
r = |r|
である。V は核子のスピン σ 1 , σ 2 に依存してもよい。このスピンから作れる回転不変なス
カラー量で 2 核子に依存するものは σ 1 ·σ 2 であるから
V = V0 (r) + Vσ (r) σ 1 ·σ 2
になる。
• アイソスピン不変性
V はアイソスカラーであるから τ 1 ·τ 2 を含んでもよい。これから
V = V0 (r) + Vσ (r) σ 1 ·σ 2 + Vτ (r) τ 1 ·τ 2 + Vστ (r) σ 1 ·σ 2 τ 1 ·τ 2
(5.6)
である。
V は核子の運動量や軌道角運動量に依存する項も考えられるが, ここではこれ以上一般化しない。
(5.6) に含まれる V (r), Vσ (r), · · · などの関数形は対称性の議論からは決まらない。これらは中間子
交換による核力からの類推や半経験的に決められた関数を仮定し, 重陽子の性質や核子–核子散乱
の実験データを再現するように決める。
2 核子の全アイソスピン T = (τ 1 + τ 2 )/2 を使うと
T2 =
) 1
1( 2
τ 1 + τ 22 + 2τ 1 ·τ 2 = (3 + 3 + 2τ 1 ·τ 2 )
4
4
5
2 核子系と核力
27
であるから τ 1 ·τ 2 = 2T 2 − 3 となる。これから 2 核子系のアイソスピン状態 |T MT ⟩ に対して
(
)
τ 1 ·τ 2 |T MT ⟩ = 2T (T + 1) − 3 |T MT ⟩ =
{
−3,
T = 0 のとき
1,
T = 1 のとき
である。したがって, 例えば V = V0 (r) + Vτ (r) τ 1 ·τ 2 とすると

(V0 (r) − 3Vτ (r)) |T MT ⟩ , T = 0 のとき
V |T MT ⟩ =
(V0 (r) + Vτ (r)) |T MT ⟩ ,
T = 1 のとき
である。したがって, 重陽子で議論した様に, T = 0 と T = 1 では核力は異なる。また, T = 1 にお
いて陽子–陽子, 中性子–中性子, 陽子–中性子間の力は同じ, つまり, MT に依存しない。
スピンについてもアイソスピンと同様のことが成り立ち, 2 核子がスピン三重項に組む場合とス
ピン一重項に組む場合で (5.6) は異なる作用をする。このように核力は内部自由度であるスピン・
アイソスピンに強く依存する。これは電磁相互作用にはない核力の重要な性質である。
(5.6) は 2 核子の相対軌道角運動量 L と交換するから, 重陽子の基底状態における L = 0 と L = 1
の混合を説明することはできない。混合を説明するためには, (5.6) に次のようなテンソル力
VT (r) S12 ,
S12 = 3
σ 1 ·r σ 2 ·r
− σ 1 ·σ 2
r2
(5.7)
を導入する必要がある。S12 はスカラーであるが, 軌道空間についてだけ考えると, ri rj /r2 という
型をしており, これは球面調和関数 Y2 q (θ, ϕ) の線形結合で表わせる。したがって, L = 0 と L = 1
の混合が起こる。
対称性に基づいた以上の議論では V (r) を決定できない。核力をさらに解明する有効な方法は, 湯
川の中間子理論を出発点とする方法である。量子電磁力学 ( Quantum Electrodynamics, QED ) に
よれば, クーロン力は 2 粒子間で光子を交換すると生じる。湯川はこれから類推して, 2 核子間にあ
る未知の粒子 (現在では π 中間子あるいはパイオンと呼ばれる) を交換すると核力が生じると考え
た。中間子交換による核力の導出は相対論的場の理論を使う必要があるが, ここではクーロン力と
の類似から核力を導いてみよう。原点に点電荷 e が存在する場合, 電磁場のスカラーポテンシャル
V (r) はポアソン方程式
∇2 V (r) = − e δ(r)
を満たす。量子力学では p = −i h̄∇ であるから, 上の式は
c2 p2 V (r) = h̄2 c2 e δ(r)
と書ける。c2 p2 が光子のエネルギーの 2 乗であることに注意すると, 質量 m の中間子を交換した
ときのポテンシャルは, c2 p2 を質量 m の粒子のエネルギーの 2 乗 c2 p2 + m2 c4 で置き換えた方程式
(
)
c2 p2 + m2 c4 V (r) = h̄2 c2 g δ(r) ,
つまり
(
)
∇2 − λ−2 V (r) = − g δ(r) ,
λ=
h̄
mc
(5.8)
を満たすであろう。ここで λ はコンプトン波長である。電荷 e は荷電粒子と光子の結合の強さを
表わす定数である。これに対応して g は核子と中間子の結合の強さを表わす。方程式 (5.8) の解を
求めよう。V (r) をフーリエ変換して
∫
V (r) =
d3 k
exp(ik·r) V (k)
(2π)3
(5.9)
5
2 核子系と核力
28
とする。また, デルタ関数は
∫
δ(r) =
d3 k
exp(ik·r)
(2π)3
(5.10)
である。これらを (5.8) に代入すると (k2 + λ−2 )V (k) = g を得る。したがって
∫
d3 k
g
exp(ik·r) 2
3
(2π)
k + λ−2
∫ ∞
∫ 1
g
exp(ik r cos θ)
2
=
dk
k
d(cos θ)
2
4π 0
k 2 + λ−2
−1
∫ ∞
g
exp(ik r) − exp(−ik r)
=
dk k
4iπ 2 r 0
k 2 + λ−2
∫ ∞
∫ ∞
g
k
g d
exp(ikr)
=
dk
exp(ik
r)
=
−
dk 2
2
2
−2
2
4iπ r −∞
k +λ
4π r dr −∞ k + λ−2
V (r) =
(5.11)
iK
iλ−1
−K
−iλ−1
K
図のようなガウス平面上の積分路 C を考える。上の被積分関数は z = ± iλ−1 に一位の極をもつ。
したがって, 留数定理から
∫
eizr
eizr
−1
dz 2
=
2πi
lim
(z
−
iλ
)
= πλ e−r/λ
z + λ−2
z 2 + λ−2
z→i/λ
C
一方
∫
eizr
=
dz 2
z + λ−2
C
∫
K
eikr
dk 2
+
k + λ−2
−K
∫
π
dθ
0
dz
eizr
,
dθ z 2 + λ−2
(5.12)
z = Keiθ
r sin θ ≥ 0 ならば
dz
eizr Ke−Kr sin θ K→∞
Ke−Kr sin θ
≤
−−−−→ 0
=
dθ z 2 + λ−2 |K 2 ei2θ + λ−2 |
K 2 − λ−2
したがって K −→ ∞ では半円の寄与は 0 になり
∫
∫ ∞
eizr
eikr
K→∞
dz 2
−
−
−
−
→
dk
z + λ−2
k 2 + λ−2
C
−∞
(5.13)
(5.11), (5.12), (5.13) から
V (r) = −
g d
g e−r/λ
πλ e−r/λ =
,
2
4π r dr
4π r
λ=
h̄
mc
を得る。e−r/λ /r を湯川型という。光子のように m = 0 のときは V (r) =
テンシャルを再現する。
(5.14)
g
になり, クーロンポ
4πr
5
2 核子系と核力
29
m ̸= 0 ならば (5.14) は r の増加とともに指数関数的に急激に小さくなる。この力の作用する範囲
は e−r/λ = e−1 になる r, つまりコンプトン波長 λ としてよかろう。パイオンの質量は mc2 ≈ 140
MeV であるから
h̄c
200 MeV fm
≈
≈ 1.4 fm
2
mc
140 MeV
となり, 非常に近距離の力である。これに反して, クーロン力や重力のポテンシャルは 1/r でゆっく
λ=
り 0 に近づく。原子核よりも大きな系では, 核力は表に現れずクーロン力と重力が重要な役割をす
る。結合定数 g は陽子–陽子散乱の実験等から決められ, g 2 /(4πh̄c) ≈ 14 である。これに対応する
クーロン力の定数は微細構造定数 α = e2 /(4πh̄c) ≈ 1/137 である。g 2 は e2 に比べて非常に大きい
ため, 核力をもたらす相互作用を強い相互作用という。
パイオン交換を場の理論で扱うと, (5.6) の型のポテンシャルが具体的に求まる。また, テンソル
力 (5.7) の存在も説明する。しかし, 核力のすべての性質をパイオン交換だけで理解することはでき
ない。パイオン交換による核力は核子間距離 r が大きいころ ( r > 2 fm ) でのみ適用できる。核力
の作用範囲は (5.14) から交換する中間子の質量に逆比例するから, r が小さくなるとパイオンより
重い中間子 (σ, ω, ρ, · · ·) の交換が重要になってくる。
核力 V (r) は 2 核子間の S, T に強く依存する
が, 定性的には図のようになり, 大きく分けて 3
つの領域に分類できる。遠距離 (r > 2 fm) では,
100
MeV
上に述べた様に, 核力はパイオン交換により生ず
る。これは比較的弱い引力である。中距離 (1 < r <
斥力芯
50
2 fm) では, 2 個のパイオン交換あるいは σ 中間子
( mσ c2 ∼ 500 MeV ) と呼ばれる中間子の交換が
1
重要になり, 核子から原子核を形成する主要な引
2
パイオン交換
力をもたらす。近距離 (r < 1 fm) には強い斥力芯
( repulsive core ) が存在する。斥力芯の存在は, 原
子核の飽和性や高エネルギーの核子 – 核子散乱の
r (fm)
0
σ 中間子交換
−50
実験データを説明するために必要である。斥力芯
の起源はまだよく分かっていない。中間子交換の
立場からすれば, ω 中間子 ( mω c2 = 783 MeV ) 交
−100
換によると考えられる。しかし, この領域では核
子同士が重なりあうから, 核子と中間子を基本粒子とする扱いでよいとは一概に言えない。
重陽子の簡単な模型
図に示した V (r) を単純化したモデル



 +∞ r <c
V (r) =



− V0
0
c<r <c+b
( V0 > 0 )
c+b<r
を用いて重陽子の基底状態を考えよう。基底状態は L = 0 であるとすると波動関数 (5.3) は
ψ(r) =
u(r)
Y00 (θ, ϕ) |S = 1 MS ⟩ | T = 0 MT = 0⟩
r
√
になる。Y00 = 1/ 4π であるから ψ は θ, ϕ に依存しない。このような場合
(
)
∂
∂r ∂F
x ∂F
∂2F
1
x2 ∂F
x2 ∂ 2 F
F (r) =
=
,
=
1
−
+ 2
2
2
∂x
∂x ∂r
r ∂r
∂x
r
r
∂r
r ∂r2
(5.15)
5
2 核子系と核力
30
であるから
∇2 F =
したがって, (5.1) は
2 ∂F
1 ∂2F
1 ∂2
+ 2
=
rF
2
r ∂r
r ∂r
r ∂r2
(
)
h̄2 ∂ 2
−
+ V (r) u(r) = E u(r)
2µ ∂r2
となる。ここで Er を単に E と記した。−V0 < E < 0 であるから
√
√
K = 2µ(V0 + E)/h̄2 b , k = − 2µE/h̄2 b
(5.16)
とおくと ( K, k は無次元 )
∂2u
K2
=
−
u ( c < r < c + b ),
∂r2
b2
∂2u
k2
=
u
∂r2
b2
( c+b<r )
r→∞
となる。したがって, 境界条件 u(r = c) = 0 , u(r)/r −−−−→ 0 を考慮すると


 C1 sin K(r − c) c < r < c + b
b
u(r) =

 C e−kr/b
c+b<r
2
(5.17)
である。u′ /u が√
r = b + c で連続という条件から K cot K = − k を得る。この方程式を図式的に解
くために K0 = 2µV0 /h̄2 b とすると
K cot K = −
√
K02 − K 2
(5.18)
となる。方程式 (5.18) の両辺を K の関数として描いたとき, 両曲線の交点の K が求める解である。
方程式 (5.18) の解 K が求まれば, E は (5.16) から
E = − V0 +
h̄2 K 2
2µb2
3
(5.19)
2
で与えられる。図から明らかなように
K0 <
π
2
つまり V0 <
h̄2 ( π )2
2µ 2b
では束縛状態はない。また, π/2 ≤ K0 < 3π/2 の
とき束縛状態は 1 つ, 3π/2 ≤ K0 < 5π/2 では 2 つ
存在する。
実験によると E = − 2.225 MeV である。この
データだけでは, 3 つのパラメータ b, c, V0 全部
1
K
0
−1
π
2
π
3π
2
2π
K0
−2
−3
は決められない。そこで b と c については, 核子–
核子散乱の実験データから得られる値 b ≈ 1.9 fm,
c ≈ 0.5 fm を使うことにして, V0 を求めよう。µc2 = 939/2 MeV とする。(5.18), (5.19) から V0 と
E の関係を数値的に求めると下の左図の太い曲線になる。細い曲線は近似解 (5.20) を表わす。数値
計算の結果は V0 = 39.83 MeV とすると E = − 2.225 MeV になる。右図は規格化された束縛状態
の波動関数の 2 乗 u(r)2 を図示したものである。縦軸の単位は u(r)2 に対しては 0.1 fm−1 , ポテン
シャルに対しては 10 MeV である。結合エネルギーはポテンシャルの深さ ( ≈ −40 MeV ) に比べて
非常に小さく, 重陽子はぎりぎりで束縛している。核力の作用範囲 b が小さいために, ポテンシャル
5
2 核子系と核力
31
が深くても強い束縛状態にはならない。r > b + c では中性子と陽子は核力の作用範囲外にあり, 互
いに自由に運動している。中性子と陽子がこの領域に存在する確率を計算すると
∫ ∞
u(r)2 dr = 0.656
b+c
になる。陽子と中性子が力を及ぼしあう確率は 1/3 程度である。
0
−2.225
h̄2 ( π )2
2µ 2b
b = 1.9 fm
u(r)2
E (MeV)
−10
E
−20
V (r)
−V0
−30
50
0
2
V0 ( MeV )
4
6
r ( fm )
問 5.2 S = (σ 1 + σ 2 )/2 とすると, (5.7) で定義した S12 は
(
)
S12 = 2 3 Sr2 − S 2 ,
Sr =
S ·r
r
と表せることを示せ。Sr は S の r 方向成分であり, その固有値は S3 と同じである。S12
の固有値を求めよ。
問 5.3 K0 ≈ π/2 での (5.18) の近似解をもとめ
µb2
E≈− 2
2h̄
[
h̄2 ( π )2
V0 −
2µ 2b
]2
(5.20)
となることを示せ。また, 右辺の次元が正しいことを確かめよ。
問 5.4 方程式 (5.18) から E を V0 の関数として数値的に求めるプログラムを作成せよ。超越方程
式の解を求める方法にはニュートン法, セカント法, 2 分法などがある。
6
結合エネルギー
32
結合エネルギー
6
6.1
結合エネルギー
粒子が集まって束縛系を形成しているとき, これらの粒子をばらばらに引き離すのに必要な最小
エネルギーを結合エネルギー ( binding energy ) という。陽子数 (原子番号) Z, 中性子数 N の原子
核を考えよう。この原子核の質量を M (Z, N ), 陽子と中性子の質量をそれぞれ mp , mn とすると,
原子核の結合エネルギー B(Z, N ) は
(
)
B(Z, N ) = Zmp + N mn − M (Z, N ) c2
(6.1)
で定義される。M c2 + B = Zmp c2 + N mn c2 であるから, 原子核に B のエネルギーを与えると, 原
子核はばらばらな核子の集りになることができる。核子あたりの結合エネルギーの実験値を下に示
す。∗ 質量数 A = Z + N が偶数である原子核のアイソバー ( isobar, A が同じで Z, N が異なる核
種 ) のうち, 結合エネルギーが最も大きなものを示した。なめらかな曲線はワイツゼッカー・ベー
テの質量公式 (6.4) による値である。
B(Z, N )/A (MeV)
9.0
Z = 24
N = 28
Z = 38
N = 50
Z = 28
N = 34
8.5
Z = 50
N = 68
Z = 58
N = 82
10
Z = 82
N = 126
8.0
5
7.5
00
7.0 0
50
50
100
100
150
200
A
∗
データは http://www.dne.bnl.gov/nndcscr/masses/mass rmd.mas95 による。
250
6
結合エネルギー
33
軽い原子核 ( A < 10 ) を除くと, 核子あたりの結合エネルギー B(Z, N )/A は約 8 ± 0.5 MeV とほ
ぼ一定である。これを結合エネルギーの飽和性という。この飽和性は核力が短距離力であることを
示している。核力の作用範囲が長距離ならば, 核子は他のすべての核子と相互作用するから, 荒く
見積もると結合エネルギーは A 個の核子から 2 個を選ぶ組み合わせの数 A C2 = A(A − 1)/2 ≈ A2 /2
に比例する。したがって, “B/A ≈ 一定” は個々の核子はその近傍の少数の核子とだけ相互作用を
する, すなわち, 核力が短距離力であることを意味する。結合エネルギーの飽和性は, 核子密度が原
子核によらずほぼ一定という密度の飽和性とならんで, 原子核の特徴を表す重要な性質である。
原子核の質量が単なる核子の質量の和でないことから, 核分裂あるいは核融合によりエネルギー
を取り出せる。A = Z + N の原子核が A1 = Z1 + N1 と A2 = Z2 + N2 の原子核に分裂する場合を
考える。ただし, Z = Z1 + Z2 , N = N1 + N2 である。放出されるエネルギーを ∆E とすると
M (Z, N )c2 = M (Z1 , N1 )c2 + M (Z2 , N2 )c2 + ∆E
核子あたりの結合エネルギー b = B(Z, N )/A, b1 = B(Z1 , N1 )/A1 , b2 = B(Z2 , N2 )/A2 で表すと
∆E = A1 b1 + A2 b2 − Ab = A1 (b1 − b) + A2 (b2 − b)
である。B/A が単調減少の領域ならば b1 > b, b2 > b であるから ∆E > 0 となり, 核分裂によりエ
ネルギーが取り出せる。A ≈ 240 の原子核が A ≈ 120 の 2 個の原子核に分裂するとき, b ≈ 7.5 MeV,
b1 ≈ b2 ≈ 8.5 MeV であるから ∆E ≈ A MeV ≈ 240 MeV になる。これは 1 化学反応で生じるエネ
ルギー (数 eV) の 108 倍という莫大なエネルギーである。
B/A が平均的には単調増加である領域では, 核分裂ではなく核融合によりエネルギーを放出す
る。ただし, 原子核は正の電荷を持つから, クーロン力に逆らって 2 つの原子核を融合させなければ
ならない。そのため, 原子核を加速して衝突させる必要がある。
A > 20 では B/A は平均的には滑らかな変化をする。しかし, Z または N が魔法数 (magic
number)
2, 8, 20, 28, 50, 82, 126(, 184)
である原子核近傍では, 結合エネルギーは滑らかな曲線から大きい方にずれ, これらの原子核が特
に安定であることを表わしている。原子の場合
Z = 2 ( He ), 10 ( Ne ), 18 ( Ar ), 36 ( Kr ), 54( Xe ), 86( Rn )
である希ガス (不活性気体) では, 電子は閉殻 ( closed shell ) をなし, その原子は化学的に安定であ
る。原子核の魔法数の存在は, 原子核にも殻構造 ( shell structure ) が存在することを示す。
6.2
質量公式
原子核の結合エネルギー B(Z, N ) は全体的には A の滑らかな関数である。原子核を電荷が一様
に分布した半径 r0 A1/3 の液滴とみなし, この関数の簡単な表現を求めよう。
まず, B(Z, N )/A は原子核に依らずほぼ一定であるから, 最初の近似として B(Z, N ) = bvol A で
ある。原子核の体積は A に比例するから, この項を体積エネルギー ( volume energy ) という。と
ころで, 原子核の表面付近にある核子は, 核内部にある核子に比べて相互作用する相手の核子が少
ないから, 弱く束縛していると考えられる。表面にある核子について, bV A は結合エネルギーを与
6
結合エネルギー
34
えすぎる。このため, 表面にある核子数, つまり原子核の表面積に比例した補正を行う。表面積は
A2/3 に比例するから, 表面効果を考慮して
B(Z, N ) = bvol A − bsurf A2/3
とする。ここで加えた項を表面エネルギーという。
次の補正は陽子間に作用するクーロン斥力の効果である。電荷が一様に分布する半径 R の球の
クーロンエネルギー (静電エネルギー) を求める。電荷密度 ρ が一定の半径 r の球を考える。これ
に無限遠方から電荷を運んできて半径を dr だけ大きくするのに要する仕事を dW とする。半径 r
と r + dr にはさまれた部分の体積は 4πr2 dr であるから, 電荷 dq = 4πr2 dr ρ を運ぶ必要がある。
また, 電荷が一様分布する半径 r の球の外側では, 電荷 Q0 (r) = ρ 4πr3 /3 が球の中心にあるのと同
じであるから, 電荷 dq に働く力は, 球の中心からの距離を r′ とすると k Q0 (r) dq/r′2 である。k は
単位系に依存する定数である。したがって, この力に逆らって r′ = r までになす仕事 dW は
∫ r
k Q0 (r) dq
k Q0 (r) dq
16π 2 k 2 4
dW = −
dr′
=
=
ρ r dr
r′2
r
3
∞
となる。これから, 半径 R の球を作るのに要する全仕事 W は
W =
16π 2 k 2
ρ
3
∫
R
r4 dr =
0
16π 2 k 2 5
3 k Q2
ρ R =
,
15
5 R
Q=
4π 3
R ρ
3
(6.2)
Q は半径 R の球の全電荷である。原子核を全電荷 Q = Ze, 半径 R = r0 A1/3 の球とすると, クー
ロンエネルギーは
3 ke2 Z 2
Z2
= bc 1/3 ,
5 R
A
bc =
3 ke2
3 αh̄c
=
5 r0
5 r0
になる。α = ke2 /h̄c は微細構造定数である。クーロンエネルギーは結合エネルギーを減少させ
B(Z, N ) = bvol A − bsurf A2/3 − bc
Z2
A1/3
となる。
陽子–中性子間に働く核力は, 同種核子間に作用する場合より強い引力である。したがって, 陽子
と中性子が同数ある方が結合エネルギーは大きい。さらに, パウリの原理のため, 核子の状態は他
の核子の状態と違う必要があるから, 同種核子が多くなるほど核子をエネルギーの高い状態に入れ
なければならない。この点からしても, 陽子数と中性子数の差を小さくした方が原子核全体のエネ
ルギーは低くなる。このため対称エネルギー ( symmetry energy ) と呼ばれる (N − Z)2 に依存す
る項を付け加える:
B(Z, N ) = bvol A − bsurf A2/3 − bc
(N − Z)2
Z2
−
b
sym
2A
A1/3
bsym > 0 ならば, 差 (N − Z)2 が小さい程, 結合エネルギーは大きくなる。
実験的に求めた結合エネルギーを詳しく調べると, 陽子数 Z または中性子数 N がが偶数の原子
核は奇数の場合より結合エネルギーが大きい。これは核力の対相互作用 ( pairing interaction ) に原
因がある。陽子–陽子あるいは中性子–中性子が角運動量 0 の対 (pair) に組むと, 他の場合より強い
引力として働く。この対相互作用の効果は, 平均的には A = Z + N が奇数のとき ∆ = 0 として
{
δ(A) , Z = 偶数, N = 偶数
12
∆(A) =
,
ただし δ(A) = √ MeV
(6.3)
A
− δ(A) , Z = 奇数, N = 奇数
6
結合エネルギー
35
とすればよいことが分かっている。以上から
B(Z, N ) = bvol A − bsurf A2/3 − bc
(N − Z)2
Z2
−
b
+ ∆(A)
sym
2A
A1/3
(6.4)
となる。これをワイツゼッカー・ベーテ ( Weizsäcker–Bethe ) の質量公式という。実験値を再現
するように (6.4) のパラメータを決めると, 例えば ( 単位は MeV )
bvol = 15.56 ,
bsurf = 17.23 ,
bsym = 46.57 ,
bc = 0.697 ( r0 = 1.24 fm )
(6.5)
である。32 ページの図で示した原子核について, (6.4) の各項の寄与を図示すると下図のようにな
る。図の太い曲線が 32 ページの図に示した滑らかな曲線である。対称エネルギーの効果は小さい
ように見えるが, 実は対称エネルギーがあるために Z ≈ N の原子核が最も安定になり, 結果的に小
さくなる。
bvol
B(Z, N )/A (MeV)
15
表面効果
クーロン
10
対称エネルギー
5
0
0
50
100
150
200
250
A
次の表に実験値との比較を示す。3 列目は ∆E = B(実験値) − B((6.4)) を示した。(6.4) は簡単な
式であるが, 実験値をかなり良い精度で再現することが分かる。
実験値
(6.4)
40
20 Ca20
342.052
341.270
0.782
90
40 Zr50
783.894
780.966
2.928
162
66 Dy96
1324.109
1323.443
0.666
208
82 Pb126
1636.446
1624.892
11.554
238
92 U146
1801.694
1805.306
− 3.612
∆E
(単位は MeV )
90
Zr ,
208
Pb のような魔法数の原子核では, (6.4) の再現性は相対的によくない。下図は質量が実験
的に測定されている Z = 20 から Z = 100 までの約 2400 種の原子核について, Z を与えたとき ∆E
を中性子数 N の関数として描いたものである。実験と理論値の差 ∆E は N の関数として特徴的な
変化をし, 多くの場合 N が魔法数のとき極大になるという規則性がある。∆E の Z 依存性につい
ても同様である。この規則性は原子核にも殻構造が存在することを示す 1 つの実験的証拠である。
6
結合エネルギー
36
20
(MeV)
10
∆E
15
5
0
−5
28
50
82
100
126
150
N
20
(MeV)
10
∆E
15
5
0
−5
28
50
82
100
Z
問 6.1 核子–核子間に働く重力 (引力)
−
Gm2
,
|r 1 − r 2 |2
(
)2
G
= 6.71 × 10−39 c2 /GeV
h̄c
の効果について考える。ただし、m は核子の質量で陽子と中性子の質量差は無視する。必
要なパラメータの値は (6.5) 及び mc2 = 939 MeV を用いよ。
1. クーロンエネルギー (6.2) を導いたのと同様にして, 結合エネルギーへの重力の寄与
EG は
EG = bG A5/3 ,
で与えられることを示せ。
2. A = 100 のとき EG は何 MeV か。
bG =
3 Gm2
5 r0
結合エネルギー
6
37
3. 中性子だけからなる原子核を考える ( Z = 0, A = N )。この様な原子核が存在するた
めの条件は
B + EG > 0
(6.6)
である。A が非常に大きいとして表面エネルギー bsurf と対相互作用 ∆ を無視すると
き, (6.6) の条件から A > Ac になる。Ac の式及び数値を求めよ。
4. A = Ac の原子核の半径 R は何 km か, その質量は地球の質量 5.98 × 1024 kg = 3.34 ×
1051 GeV/c2 の何倍か。
原子核の存在領域
6.3
Z
安定な島 ?
126
114
Z 2 /A = 45
β 安定線
82
Sp = 0
50
Sn = 0
20
0
0
20
50
82
126
184 N
自然に存在する原子核は約 260 種であるが, 直ぐに他の原子核に変わってしまう不安定な原子核
も含めると, 現在までに約 2900 種の原子核の存在が確認されている。これらの原子核の陽子数 Z
と中性子数 N は図のような分布になる。ここで ■ は A = N + Z を与えたとき最も結合エネル
ギーが大きい原子核を示す。Z < 20 では Z ≈ N である原子核が最も安定である。しかし, Z が増
加すると, 安定な原子核は Z = N から離れて, N > Z の方に分布する。核力だけが核子間に作用
するならば, 陽子と中性子が同数である方が結合エネルギーは大きくなる。しかし, 陽子間のクー
ロン反発力が存在するため, 陽子数が大きい原子核では, 陽子を中性子で置き換えた方が, クーロン
力の効果を減少させることができ, エネルギー的に有利になる。
現在までに確認されている最も重い原子核は Z = 118 , N = 175 である。これは 99 年 5 月にア
メリカの LBL( Lawrence Berkekey National Laboratory ) において, 運動エネルギーが 449 MeV で
6
結合エネルギー
ある
86
38
∗
Kr を 208
82 Pb に衝突させて得られた。
N = 184, Z = 114 or 126 を中心とした領域では, 陽子と中性子が閉殻構造をなし, 安定な原子核
が存在すると理論的には予想される。この原子核を超重元素 ( superheavy elements ) という。この
領域は, 通常の安定な原子核の領域から離れて安定な島 ( island of stability ) を形成する。実験的
にこの安定な島の存在を確認する試みがなされており, 上に述べたように, 非常に近いところの原
子核まで存在が確認されている。
原子核が存在する (Z, N ) の範囲は, 他の原子核に変化する崩壊モードに対する安定性で決まる。
崩壊モードとしては, β 崩壊, 核子放出, α 崩壊, 自発的核分裂が考えられる。
β 崩壊 β 崩壊は弱い相互作用により起こる。原子核の β 崩壊には, β − 崩壊 ( n → p + e− + ν e ) ,
β + 崩壊 ( p → n + e+ + νe ) , 電子捕獲 ( p + e− → n + νe ) の 3 つのモードがある。電子の質量を
me とすると, ニュートリノの質量は 0 であるから (0 でないとしても非常に小さい), これらの崩壊
過程がエネルギー的に可能になる条件は
β ± 崩壊 M (Z, N ) > M (Z ∓ 1, N ± 1) + me ,
電子捕獲 M (Z, N ) > M (Z − 1, N + 1) − me
である。(6.1) を使って上の条件を結合エネルギーで表わし
∂B B(Z ± 1, N ∓ 1) ≈ B(Z, N ) ±
∂Z A=一定
で近似すると
∂B + ∆M c2 > 0 または
∂Z A=一定
∂B + ∆M c 2 < 0
∂Z A=一定
ならば β 崩壊する。ただし ∆M = Mn − Mp − me = 0.78 MeV/c2 である。したがって, β 崩壊に対
して安定である条件は
∂B + ∆M c2 = 0
∂Z A=一定
となる。(6.4) を用いて具体的に計算すると
(
)
1
A
∆M c 2
1
A
Z=
1
+
≈
,
2 1 + bZ A2/3
2bsym
2 1 + bZ A2/3
bZ =
bc
= 0.00748
2bsym
(6.7)
を得る。∆M c2 /(2bsym ) = 0.0084 は小さいから無視した。(6.7) で決まる Z = Z(N ) を数値的に求
めた結果を (Z, N ) の分布図に示す。この曲線は β 安定線 ( β-stability line ) と呼ばれる。β 安定線
以外の原子核は, 遅かれ早かれ β 崩壊して他の原子核になる。(6.7) では ∆M を無視したから, これ
は ∂B/∂Z|A=一定 = 0 を満たす。したがって, β 安定線は A が一定のもとで結合エネルギーが極大
になる原子核を結ぶ線である。(6.7) は (Z, N ) の分布図において ■ で示した実験結果をよく再現
している。最も安定な原子核の分布は比 bZ = bc /2bsym で決まる。クーロン斥力 ( bc ) が強ければ
bZ は大きくなり, 安定な原子核の分布は Z = N から離れる。一方, 対称エネルギー ( bsym ) が強け
れば bZ が小さくなるため Z = N に近づく。
核子放出
原子核から核子 1 つを分離するのに必要な最小限のエネルギーを分離エネルギー ( sep-
aration energy ) という。例えば, 陽子の分離エネルギー Sp (Z, N ) は
M (Z, N )c2 + Sp (Z, N ) = M (Z − 1, N )c2 + mp c2
∗
http://user88.lbl.gov/element118.html
6
結合エネルギー
39
である。中性子についても同様である。分離エネルギーを結合エネルギーで表わすと
Sp (Z, N ) = B(Z, N ) − B(Z − 1, N ) ,
Sn (Z, N ) = B(Z, N ) − B(Z, N − 1)
となる。下図では中性子数と陽子数の差 N − Z を 1, 3, · · ·, 45 と固定して, Sn の実験値を N の関
数として描いた。37 ページの (Z, N ) の分布図で, Z = N − k ( k = 1, 3 · · · ) の直線に沿って Sn を
プロットしたことになる。対相互作用による変動を避けるため, N が奇数で Z が偶数の原子核に
ついてだけプロットした。N が魔法数のところでは Sn は不連続的な変化をし, ここにも殻構造の
影響が現れている。
12
1
3 5
9
7
Sn (MeV)
10
11 13
15 17
1921 25
23 27
8
29 31
33
353739 41
4345
6
4
2
0
28
50
82
100
126
150
Z
さて, S < 0 ならば核子はエネルギーを加えなくても分離してしまうから, その様な原子核は存
在しえない。したがって, 原子核として存在しうる (Z, N ) は
∂B ∂B Sp (Z, N ) ≈
= 0 , Sn (Z, N ) ≈
=0
∂Z N =一定
∂N Z=一定
で制限される。(6.4) を用いてこの条件を満たす Z = Z(N ) を求めると, (Z, N ) の分布図において
Sp = 0, Sn = 0 で表わした曲線になる。これらの曲線は陽子ドリップ線 ( proton drip line ), 中性
子ドリップ線と呼ばれる。
α崩壊, 核分裂
重い原子核では α 崩壊と自発的核分裂に対する安定性で存在領域が制限される。
(Z, N ) の原子核が (Z1 , N1 ) と (Z2 , N2 ) に崩壊するには
M (Z, N ) > M (Z1 , N1 ) + M (Z2 , N2 )
であれば, エネルギー的に可能になる。核分裂の場合 Z1 ≈ Z2 ≈ Z/2, N1 ≈ N2 ≈ N/2 であるから,
上の条件は質量公式 (6.4) より
21/3 − 1 bsurf
Z2
>
= 17.4
A
1 − 2−2/3 bc
(6.8)
になる。β 安定な原子核の場合, (6.7) を使うと A > 92.5 を得る。A ≈ 100 以上の原子核では, 自発
的な核分裂がエネルギー的には可能である。
結合エネルギー
6
40
ところで, M (Z1 , N1 )c2 + M (Z2 , N2 )c2 は, 崩壊し
た 2 つの原子核が無限に離れて静止しているときの
エネルギーである。2 つの原子核を近づけると, 両者
BC
クーロンポテンシャル
が接触するまでは斥力のクーロン力だけが働くから,
M (Z, N )c2
ポテンシャルエネルギーは増加し, 接触後は核力が働
き元の原子核に戻る。これから類推すると, 2 つに崩
壊するときのポテンシャルエネルギーは, 概念的には
M (Z1 , N1 )c2
+ M (Z2 , N2 )c2
図のようになろう。横軸は崩壊した 2 つの原子核間
の距離である。ここで重要なことは, 一般にクーロ
ン障壁 ( Coulomb barrier ) BC が存在することであ
r1 + r2
る。BC が存在すると古典力学的には崩壊は起こら
r
ないが, 量子力学的にはトンネル効果のため崩壊する。障壁を通過して崩壊する確率は, BC の増
加とともに指数関数的に減少するから, 半減期は非常に広い範囲に分布する。例えば, 核分裂の場
合,
238
U は Z 2 /A = 35.6 であり条件 (6.8) を十分に満たすが, 半減期は 1016 年である ( 宇宙の年
齢 ≈ 1010 年 )。一方,
261
107 Ns
( Z 2 /A = 43.9 ) の半減期は 2 × 10−3 秒と短い。α 崩壊と自発的核分裂
に対する安定性は, エネルギー的に可能ということだけでは決められない。核分裂に対する安定性
の目安として, Z 2 /A = 45 を 37 ページの (Z, N ) の分布図に示す。
各種の崩壊様式を考慮した上で半減期が 10−3 秒以上と予想される原子核は約 4800 種である。β
崩壊は弱い相互作用により起こるため, β 崩壊による半減期はごく短いものでも 1 秒程度である。
したがって, β 崩壊に対する安定性は考えなくてよい。(Z, N ) の分布図に示したように, 現在までに
約 2900 種が実験的に生成され, 更に, 生成するだけでなくその構造についても実験的に調べること
が可能になっている。これまで, 原子核物理の研究対象は, β 安定線周辺の約 260 種に限られていた
が, これが 10 倍以上に拡大した。現在注目されている領域の 1 つは, β 安定線から遠く離れたドリッ
プ線付近の原子核である。これらは通常の原子核に比べて陽子ないし中性子が過剰で, 安定核では
見られない性質を持つと期待される。例えば,
11
Li や
14
Be などの中性子過剰の存在極限にある原
子核では, 中性子ハロー ( neutron halo ) と呼ばれる過剰な中性子の密度が異常に広がっている状態
が発見された。
問 6.2 (6.7), (6.8) を導け。
6.4
フェルミガス模型
原子核を電荷が一様に分布した液滴とみなして質量公式 (6.4) を求めた。原子核は核子の多体系
であるから, このような巨視的模型ではなく, 核子多体系という微視的観点から質量公式を理解す
べきである。そこで, 最も簡単な微視的模型であるフェルミガス模型に基づいて考えてみよう。フェ
ルミガス模型とは原子核を自由なフェルミオンの多体系として扱う模型である。
原子核中では核子–核子散乱は, 散乱後の核子の状態が既に占有されている状態になる場合, パウ
リ原理のため禁止される。このため, 核子が他の核子の影響を受けずに独立に運動する確率が高く
なる。したがって, 核力の効果をある平均ポテンシャル U (r) で置き換え, 核子は他の核子の影響を
受けずに独立に U (r) 中を運動するという平均場近似 ( mean field approximation ) を導入できる。
この近似の極端な場合がフェルミガス模型である。フェルミガス模型では U (r) = 一定にとる。こ
6
結合エネルギー
41
れはエネルギーの基準を変えるだけであり, 自由な核子の運動と同じになる。
(2.23) から核子数 A → ∞ では ρ(r) → ρ0 ≈ 0.17 fm−3 になり, 密度は A にも r にも依らず一
定になる。フェルミガス模型では核子の波動関数は平面波になるため, 密度は A にも r にも依らな
い。これから, 原子核表面の効果があまり重要にならない性質については, フェルミガス模型が定
性的にはよい近似になると考えられる。なお, 密度一定で無限に広がった仮想的な原子核を核物質
( nuclear matter ) という。
自由なフェルミオンの多体系では, 個々のフェルミオンのハミルトニアン h は
h=
p̂2
h̄2 2
=−
∇
2m
2m
である。h の固有状態と固有値は
ψk (r) = Ck exp(ik·r) ,
Ek =
h̄2 k 2
2m
(6.9)
となる。(6.9) の波動関数は無限に広がっており, 通常の規格化
∫
∫
d3 r |ψk (r)|2 = |Ck |2 d3 r = |Ck |2 × ∞ = 1
はできない。そこで, 人為的に 1 辺 L の有限の立方体を繰り返しつないだものを考え, それぞれの
壁のところで周期的境界条件を果たす。L が十分大きければ, 境界条件は粒子の運動にほとんど影
響しないだろう。よく使われる周期的境界条件は
ψ(x, y, z) = ψ(x + L, y, z) = ψ(x, y + L, z) = ψ(x, y, z + L)
である。これから
exp(ikx L) = exp(iky L) = exp(ikz L) = 1
したがって, nx , ny , nz を任意整数として
kx =
2π
nx ,
L
ky =
2π
ny ,
L
kz =
2π
nz
L
(6.10)
となり k は飛び飛びの値になるが, L → ∞ では連続的になる。規格化を 1 つの箱で行うことにす
√
ると Ck = 1/ V となる。ここで V = L3 は箱の体積である。
スピン 1/2 のフェルミオンの 1 粒子状態は, 空間運動の状態を表す (6.9) とスピン状態の積
1
ψk (r) |±⟩ = √ exp(ik·r) |±⟩ ,
V
|±⟩ = | s = 21 ms = ± 12 ⟩
である。|±⟩ はスピン s2 , s3 の同時固有状態である。パウリの原理から, 2 つのフェルミオンが同じ
1 粒子状態を占めることはできない。したがって, N 粒子系の基底状態はエネルギー的に低い N 個
の 1 粒子状態が占有された状態である。このとき, 占有された状態のうち, 最大の k を kF で表す。
kF をフェルミ波数という。占有された 1 粒子状態の数は粒子数に等しいから
N=
∑∑∑
nx
ny
∑
nz ms =±1/2
1=2
∑∑∑
nx
ny
1
nz
である。ただし, 和は
(
)1/2
)1/2
2π ( 2
k = kx2 + ky2 + kz2
=
nx + n2y + n2z
≤ kF
L
6
結合エネルギー
42
の条件を満たす (nx , ny , nz ) について行う。この和を k の積分で置き換える。kx は ∆kx = 2π/L
おきに等間隔に並んでいる。したがって
∑
∫
L ∑
L
L→∞
∆kx F (kx ) −−−−→
dkx F (kx )
2π
2π
F (kx ) =
nx
kx
である。ny , nz についても同様であるから ( d3 k = dkx dky dkz )
( )3 ∫
L
V 4π 3
V 3
N =2
kF =
k
d3 k =
3
2π
4π 3
3π 2 F
k<kF
(6.11)
運動エネルギーの和 Ekin は
Ekin = 2
∑ h̄2 k 2
k
2m
=
2V
(2π)3
∫
d3 k
k<kF
h̄2 k 2
V h̄2 kF5
3 h̄2 kF2
=
=
N
2m
5π 2 2m
5 2m
(6.12)
となる。
(p)
(n)
陽子数 Z, 中性子数 N の原子核を考える。陽子, 中性子のフェルミ波数を kF , kF
1/3
子核は半径 r0 A
とする。原
, ( A = Z + N ) の球と見なせるから, 体積は
V =
4πr03
A,
3
r0 ≈ 1.1 fm
である。したがって (6.11) から
(p)
kF
(
)1/3
(
)1/3
( )1/3
1 9π Z
2Z
2Z
= 3π
=
= kF
,
V
r0 4 A
A
ただし
kF =
1
r0
(
9π
8
)1/3
(
(n)
kF
= kF
2N
A
)1/3
≈ 1.38 fm−1
である。
(p)
(n)
Z = N = A/2 の場合 kF = kF = kF になる。
これに対応した速さ vF は
vF =
0
h̄kF
h̄c kF
197 × 1.38
=
c≈
c = 0.29 c
m
mc2
940
S
となり, 原子核中の核子は光速の 1/10 程度で運
動している。また, フェルミ運動エネルギー εF は
εF =
(h̄c kF )2
(197 × 1.38)2
=
= 39 MeV
2mc2
2 × 940
εF
である。核子が一定のポテンシャル U0 中を運動
しているとすると, 核子のエネルギーは
h̄2 k 2
+ U0 ≤ εF + U0
2m
U0
核子の分離エネルギー S は約 8 MeV であるから
U0 = −(S + εF ) ≈ − 47 MeV
(6.13)
フェルミ面近傍の核子は, 深さが約 − 50 MeV のポテンシャル中を運動している。フェルミガス模
型によるこの評価は, 実際の原子核の性質を再現するように決めた一体ポテンシャルの深さとほぼ
一致する。
6
結合エネルギー
43
(6.12) から, 陽子数 Z, 中性子数 N の原子核の Ekin は
(( )
(
)2/3 )
(p)
(n)
2/3
3 h̄2 kF 2
3 h̄2 kF 2
3
2Z
2N
Ekin =
Z+
N = εF
Z+
N
5 2m
5 2m
5
A
A
ここで
x=
Z −N
A
とすると Z = (1 + x)A/2 , N = (1 − x)A/2 であるから
Ekin =
)
3 A(
εF
(1 + x)5/3 + (1 − x)5/3
5 2
x ≪ 1 のとき
(1 ± x)n = 1 ± n x +
であるから
Ekin =
n(n − 1) 2
x + ···
2
(
)
3
5
3
2 (Z − N )2
εF A 1 + x 2 + · · · = εF A + εF
+ ···
5
9
5
3
2A
となる。核子間相互作用 (核力) の寄与を
V0 A + V1
(Z − N )2
2A
と仮定する。これは核力が短距離力であることを考慮して, 核子 i, j 間の核力 v(i, j) を
(
)
v(i, j) = v0 + v1 τ i · τ j δ(r i − r j )
とし,
1
2
∑
ij
v(i, j) の基底状態における期待値から導ける。系全体のエネルギー E は
(
E=
)
(
)
3
2
(Z − N )2
V0 + εF A + V1 + εF
5
3
2A
(6.14)
となる。原子核の質量 M は核子の静止エネルギーを含めた系全体のエネルギーであるから, 多体
系のハミルトニアンの固有値 E で表すと
M c2 = mp c2 Z + mn c2 N + E
である。結合エネルギー B は B = −E となる。これに注意して (6.14) と (6.4) を比較すると
3
− bvol = V0 + εF ,
5
2
bsym = V1 + εF
3
bvol ≈ 16, bsym ≈ 47, εF ≈ 40 MeV であるから V0 ≈ − 40, V1 ≈ 20 MeV になる。体積エネルギーは
核力の強い引力によってもたらされ, 運動エネルギーの寄与はこれを弱める働きをする。一方, 対称
エネルギーは核力と運動エネルギーがほぼ同程度の寄与をする。
7
調和振動子
44
調和振動子
7
7.1
1 次元調和振動子
1 次元調和振動子のハミルトニアン h は
h=
p2
1
+ mω 2 x2 ,
2m 2
p = −ih̄
d
dx
(7.1)
である。このハミルトニアンの固有値と固有状態を代数的に求める。
mω x + i p
a≡ √
,
2mh̄ω
mω x − i p
a† = √
2mh̄ω
(7.2)
とすると
[ a , a† ] = 1
である。x, p を a, a† で表わすと
√
x=
)
h̄ ( †
a +a ,
2mω
これを h に代入すると
h=
(7.3)
√
p=i
)
mh̄ω ( †
a −a
2
(
)
)
h̄ω ( †
1
aa + a† a = h̄ω a† a +
2
2
(7.4)
(7.5)
になる。したがって, a† a の固有値, 固有状態を求めればよい。以下の性質は交換関係 (7.3) だけで
決まることに注意せよ。
固有値が n である a† a の規格化された固有状態を φn (x) で表わす:
∫
a† a φn = n φn , ⟨n|n⟩ = dx φ∗n (x)φn (x) = 1
交換関係 (7.3) より
(a† a) a† = a† (a† a + 1) ,
(a† a) a = a (a† a − 1)
となるから
(a† a) a† φn = (n + 1) a† φn ,
(a† a) aφn = (n − 1) aφn
である。これは a† φn が a† a の固有値 n + 1 に, aφn が固有値 n − 1 に属する固有状態であること
を示す。したがって C± を定数として
a† φn = C+ φn+1 ,
aφn = C− φn−1
とおける。φn+1 (x) も規格化されているから
∫
∫
|C+ |2 dx φ∗n+1 (x)φn+1 (x) = |C+ |2 = dx (a† φn )∗ a† φn
a† の定義から
)
(
1
dφ∗
(a† φn )∗ = √
mωxφ∗n − h̄ n
dx
2mh̄ω
部分積分を行い, φn → 0 ( x → ± ∞ ) を使うと
(
)
∫
∫
dφ∗n
1
∗
†
∗ †
dx mωxφn − h̄
dx (a φn ) a φn = √
a† φn
dx
2mh̄ω
(
)
∫
[ ∗ † ]∞
d
h̄
1
∗
dx φn mωx + h̄
a † φn
=−√
φn a φn −∞ + √
dx
2mh̄ω
2mh̄ω
∫
= dx φ∗n a a† φn
7
調和振動子
45
a a† φn = (a† a + 1)φn = (n + 1)φn であるから
|C+ |2 = n + 1
となる。同様にして
∫
|C− |2 =
dx φ∗n a† a φn = n
これから n は負でない実数である。n = 0 とすると aφ0 = 0 であり, φ0 に a を何度作用して
も 0 である。n > 0 のとき固有ケットの列 aφn , a2 φn , a3 φn , · · · を考えると, a† a の固有値は
n − 1 , n − 2 , n − 3 , · · · になる。n が整数でないとすると, この列に現れる固有値は 0 にはないか
ら, 列は無限に続き, 負の固有値も存在することになる。一方, n > 0 が整数ならば, 上の列の n + 1
番目以降の固有状態は 0 になり, 負の固有値は存在しない。したがって, n は整数である。以上か
ら, C± が正の実数になるよう位相を取れば
a† aφn = nφn , n = 0, 1, 2, 3, · · · , ∞
√
a† φn = n + 1 φn+1
√
aφn = n φn−1 , n ̸= 0
(7.6)
(7.7)
(7.8)
aφ0 = 0
(7.9)
である。以下に基本的性質を示す。
(7.5) から
(
)
1
h φn = h̄ω n +
φn
2
(7.10)
エネルギー固有値は等間隔になる。x2 の期待値は (7.4) より
⟨n|x2 |n⟩ =
(
)
h̄
h̄
⟨n| a† 2 + a2 + a† a + aa† |n⟩ =
2mω
mω
(
)
1
n+
2
(7.11)
である。
(7.7) を使うと
1
1
1
φn = √ a† φn−1 = √
(a† )2 φn−2 = · · · = √ (a† )n φ0
n
n!
n(n − 1)
√
と表せる。波動関数 φn (x) を求めよう。無次元の変数 q = mω/h̄ x を導入すると
(
)
(
)
d
1
d
1
†
q+
, a =√
q−
a= √
dq
dq
2
2
である。したがって, (7.9) から
(
)
d
+ q φ0 = 0
dq
つまり
dφ0
= − q dq
φ0
これを積分すれば
φ0 (x) = N e−q
規格化条件
∫
∞
√
dx |φ0 (x)| =
−∞
2
h̄
|N |2
mω
∫
2
/2
√
∞
dq e
−∞
−q 2
=
πh̄
|N |2 = 1
mω
(7.12)
(7.13)
7
調和振動子
46
から, 規格化された波動関数として
φ0 (x) =
( mω )1/4
πh̄
e−q
2
/2
,
を得る。(7.12) より
1
φn (x) = √
2n n!
(
d
dq
q−
)n
φ0 (x) = √
(
)n
2
1 ( mω )1/4
d
q−
e−q /2
dq
2n n! πh̄
となる。任意の関数 F (q) に対して
− eq
2
/2
d −q2 /2
e
F (q) =
dq
(
)
d
q−
F (q)
dq
が成り立つことに注意すると
)2
(
)2
(
d
q 2 /2 d −q 2 /2
q−
F (q) = − e
e
F (q)
dq
dq
同様にして
(
q−
d
dq
= (−1)2 eq
2
/2
d −q2 /2 q2 /2 d −q2 /2
e
e
e
F (q)
dq
dq
= (−1)2 eq
2
/2
d2 −q2 /2
e
F (q)
dq 2
)n
F (q) = (−1)n eq
2
/2
dn −q2 /2
e
F (q)
dq n
となる。したがって
)n
(
2
2
2
2
dn
d
e−q /2 = (−1)n eq /2 n e−q = e−q /2 Hn (q)
q−
dq
dq
ただし
Hn (q) = (−1)n eq
2
dn −q2
e
dq n
(7.14)
はエルミート多項式である。これから
φn (x) = √
1 ( mω )1/4 −q2 /2
e
Hn (q)
2n n! πh̄
(7.15)
を得る。エルミート多項式の最初の幾つかは
H0 (x) = 1 ,
H1 (x) = 2x ,
H2 (x) = 4x2 − 2 ,
H3 (x) = 8x3 − 12x
である。
パリティ
一般に, 波動関数 ψ(r) に対して
P ψ(r) = ψ(−r)
という作用をする演算子 P をパリティ演算子という。P の固有値 η に属する固有状態を ψη (r) と
する:
P ψη (r) = η ψη (r)
つまり ψη (−r) = η ψη (r)
である。2 番目の式の両辺に P を作用させると ψη (r) = η 2 ψη (r) であるから η = ± 1 になる。パリ
ティの固有状態は
ψ(−r) = ψ(r) , または ψ(−r) = − ψ(r)
7
調和振動子
47
を満たす状態である。前者を正パリティ, 後者を負パリティの状態という。
エルミート多項式の性質 Hn (−x) = (−1)n Hn (x) から, 1 次元調和振動子 h の固有状態 φn (x) は
パリティ演算子 P の固有状態でもある:
P φn (x) = (−1)n φn (x)
(7.16)
問 7.1 [ a , a† ] = 1 を満たす演算子 a に対して
a ψλ = λ ψλ
により定義されるコヒーレント状態 ( coherent state ) ψλ を考える。ここで λ は複素数で
ある。
1. φn は完全系をなすから ψλ は
∞
∑
ψλ =
cn φn
n=0
と展開できる。係数 cn を求めよ。ただし, c0 は正の実数とし, ⟨λ|λ⟩ = 1 である。この
展開は
(
)
ψλ = exp − |λ|2 /2 + λ a† φ0
とまとめられることを示せ。
2. ψλ における x, x2 , p, p2 の期待値を求め, ψλ が最小の不確定性関係を満たすことを
示せ。
3. コヒーレント状態の波動関数 ψλ (x) をコヒーレント状態の定義と (7.13) を用いて求
めよ。
4. 次のことを証明せよ。
∫
1
d2 λ ψλ (x)ψλ∗ (y) = δ(x − y) ,
π
(
′
⟨λ|λ ⟩ = exp
|λ|2 + |λ′ |2
−
+ λ∗ λ′
2
)
ただし λ = reiθ とするとき
∫
∫
d2 λ =
∞
∫
2π
r dr
0
dθ
0
である。
7.2
3 次元調和振動子
直交座標
3 次元調和振動子のハミルトニアンは
h=
1
p2
+ mω 2 r 2
2m 2
(7.17)
である。h は 3 つの独立な 1 次元調和振動子
h = h1 + h2 + h3 ,
hk =
1
p2k
+ mω 2 x2k
2m 2
に分解できるから, その固有値と固有状態は
(
)
3
h φn1 n2 n3 (r) = h̄ω n1 + n2 + n3 +
φn1 n2 n3 (r) ,
2
φn1 n2 n3 (r) = φn1 (x) φn2 (y) φn3 (z)
( k = 1, 2, 3 )
n1 , n2 , n3 = 0, 1, 2, · · · , ∞
7
調和振動子
48
で与えられる。ここで φn (x) は 1 次元調和振動子の固有関数である。h の固有値は和 N = n1 +
n2 + n3 だけで決まるから, N を与えたとき
(
)
3
h̄ω N +
,
2
N = 0, 1, 2, 3, · · · , ∞
に属する固有状態 φn1 n2 n3 は, N = 0 を除けば複数個あり縮退している。縮退度を dN とすると,
dN は N 個の ◦ と 2 個の • を
◦| ◦ ·{z
· · ◦ ◦} • ◦| ◦ ·{z
· · ◦ ◦} • ◦| ◦ ·{z
· · ◦ ◦}
n1
n2
n3
のように 1 列に並べる方法の数に等しいから
dN = N +2 C2 =
(N + 1)(N + 2)
2
(7.18)
である。
極座標
(3.2) の εijk を使うと, ベクトル積は
(A×B)k =
∑
(7.19)
εkij Ai Bj
ij
と書ける。例えば k = 3 のとき
∑
ε3ij Ai Bj = ε312 A1 B2 + ε321 A2 B1
ij
となる。123 → 132 → 312 → 321 より 312 は 123 の偶置換, 321 は奇置換であるから
∑
ε3ij Ai Bj = A1 B2 − A2 B1 = (A×B)3
ij
他の成分も同様である。
p2 を軌道角運動量 h̄ℓ = r×p の二乗 (r×p) · (r×p) で表す。
h̄2 ℓ2 =
∑
(r×p)k (r×p)k =
k
∑∑
k
εkmn xm pn
∑
εkm′ n′ xm′ pn′
m′ n ′
mn
(3.4) から
h̄2 ℓ2 =
∑
(δm m′ δn n′ − δm n′ δn m′ ) xm pn xm′ pn′ =
mn
m′ n ′
∑
(xm pn xm pn − xm pn xn pm )
mn
となる。xm pn − pn xm = ih̄δmn より ( 下線部分を交換 )
∑
xm pn xm pn =
mn
∑
∑
xm xm pn pn − ih̄
mn
xm pn xn pm = ih̄
mn
∑
xm pm +
=
∑
∑
mn
m
xm pm = r 2 p2 − ih̄r·p
m
xm pm pn xn
mn
m
= ih̄
∑
∑
xm pm +
∑
xm pm (xn pn − ih̄)
mn
xm pm xn pn − 2ih̄
∑
m
2
xm pm = (r·p) − 2ih̄r·p
7
調和振動子
49
であるから
h̄2 ℓ2 = r 2 p2 + ih̄r·p − (r·p)
2
を得る。∂xk /∂r = xk /r であるから
r
∑ ∂xk ∂
∑
∂
∂
i
=r
=
xk
= r·p
∂r
∂r ∂xk
∂xk
h̄
k
k
したがって
h̄2 ℓ2 = r2 p2 + h̄2 r
∂ ∂
∂
∂2
+ h̄2 r r
= r2 p2 + h̄2 r 2 r
∂r
∂r ∂r
∂r
となる。
p2 を ℓ で表し h に代入すると
h=−
h̄2 1 ∂ 2
h̄2 ℓ2
1
r
+
+ mω 2 r2
2
2
2m r ∂r
2mr
2
(7.20)
このハミルトニアンは ℓ と交換するから, h, ℓ2 , ℓ3 の同時固有状態 ψ(r) が存在する。ℓ2 , ℓ3 の固
有関数は球面調和関数 Yℓ m (θ, ϕ) であるから ψ(r) は
ψ(r) = R(r) Yℓ m (θ, ϕ)
(7.21)
とおける。
ℓ2 Yℓ m (θ, ϕ) = ℓ (ℓ + 1) Yℓ m (θ, ϕ)
より固有値方程式 h ψ = E ψ は R についての方程式
(
)
h̄2 1 d2
h̄2 ℓ (ℓ + 1) 1
2 2
−
r
+
+
mω
r
R(r) = E R(r)
2m r dr2
2mr2
2
√
になる。無次元の変数 q = mω/h̄ r を導入すると
(
)
1 d2
ℓ (ℓ + 1)
2E
2
−
q+
+q R=
R
q dq 2
q2
h̄ω
(7.22)
q が小さいところで R ∝ q k であるとして (7.22) に代入すると
ℓ(ℓ + 1) − k(k + 1) + q 4 =
2E 2
q
h̄ω
q → 0 とすると −k(k + 1) + ℓ (ℓ + 1) = 0 となる。k = ℓ , −(ℓ + 1) であるが, R が原点で発散しな
いためには k = ℓ である。そこで
R = q ℓ f (q)
とおき x = q 2 とすると, (7.22) は
(
(
)
)
d2
3 d
x
E
−x 2 − ℓ +
+
f (x) =
f (x)
dx
2 dx 4
2h̄ω
となる。x → ∞ では
(
)
d2
x
−x 2 +
f =0
dx
4
であるから, 無限遠方で 0 になる解は e−x/2 のように振る舞う。したがって
f (x) = e−x/2 g(x)
(7.23)
7
調和振動子
50
とすると (7.23) は
(
)
(
)
d2 g
3
dg
1
3
E
−
ℓ+ −
g=0
x 2 + ℓ+ −x
dx
2
dx 2
2 h̄ω
になる。これは (A.1) で
a=
1
2
(
)
3
E
ℓ+ −
,
2 h̄ω
b=ℓ+
(7.24)
3
2
とした合流型超幾何微分方程式であるから, この方程式の一般解は
g(x) = c1 M (a, b, x) + c2 x1−b M (a − b + 1, 2 − b, x)
になる。第 2 項 x1−b = x−ℓ−1/2 は x = 0 で発散するから, g はこの項を含んではならない。した
がって
g(x) = c1 M (a, ℓ + 3/2, x) ,
1
a=
2
(
3
E
ℓ+ −
2 h̄ω
)
になる。(A.4) より a が 0 または負の整数でないならば, g(x) は x → ∞ において ex で発散する。
したがって
a = − (n − 1) ,
n = 1, 2, 3, · · · , ∞
である。このとき g(x) は − a = n − 1 次の多項式になる。n が 1 から始まるようにしたのは単に習
慣である。以上から, 3 次元調和振動子ポテンシャルの固有値と固有関数は
√
(
)
2
mω
R(r) = Nnℓ rℓ e−q /2 M −n + 1 , ℓ + 3/2 , q 2 , q =
r
h̄
(
)
3
E = h̄ω ℓ + 2(n − 1) +
2
(7.25)
(7.26)
n = 1, 2, 3, · · · , ∞ ℓ = 0, 1, 2, · · · , ∞
となる。Nnℓ は規格化定数である。n − 1 は R(r) = 0 となる点の個数を与え (r = 0 を含まない),
動径量子数 ( radial quantum number ) と呼ばれる。
(7.26) と h̄ω(N + 3/2) を比較すると, N を与えたとき許される ℓ は
ℓ = N − 2(n − 1) ,
n = 1, 2, · · · , [N/2] + 1
になる。[N/2] は N/2 を超えない最大の整数である。異なる ℓ の状態が縮退するが, これは調和振
動子ポテンシャル (とクーロンポテンシャル) の特殊性である。ℓ の状態は 2ℓ + 1 個あるから, 固有
値が h̄ω(N + 3/2) の縮退度は
[N/2]+1(
∑
n=1
)
(
)
(N + 1) (N + 2)
2 N − 2(n − 1) + 1 = ([N/2] + 1) (2N + 1 − 2[N/2]) =
2
これは前に求めた (7.18) に他ならない。
調和振動子ポテンシャルの固有状態を n ℓ で指定する。ただし ℓ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, · · · に対し
て s, p, d, f, g, h, i, · · · という分光学的記号を使い, 1s, 1p のように書く。N が小さい場合
N
0
1
2
3
nℓ
1s 1p 1d , 2s 1f , 2p
4
5
1g , 2d , 3s
1h , 2f , 3p
である。下図に N = 3, 4 の状態について r2 R(r)2 を示した。後で求めるように, 原子核を調和振動
子ポテンシャルで記述するとき, 角振動数 ω は h̄ω = 41/A1/3 MeV と評価できる。図では A = 100
7
調和振動子
51
の値 h̄ω = 8.8 MeV を用いた。破線は核半径 R = r0 A1/3 を表わす。(7.20) の ℓ2 の項は遠心力ポテ
ンシャルであり斥力的に働く。軌道角運動量が大きいほどこの効果は大きい。このため, ℓ が大きな
R(r) は外側に押し出される。
r2 R(r)2 ( fm−1 )
1f 1g
0.4
2p 2d
3s
0.2
0
5
r ( fm )
10
問 7.2 1 次元のシュレディンガー方程式
(
)
( −2ax
)
h̄2 d2
−ax
−
+
V
e
−
2e
ψ(x) = E ψ(x)
0
2m dx2
を解き, 固有関数 ψ(x) とエネルギー固有値 E を求める。ただし, V0 , a は正の定数である。
新しい変数
√
2 2mV0 −ax
y=
e
,
ah̄
√
−2mE
k=
ah̄
を導入すると
ψ = e−y/2 y k f (y)
とおけることを示せ。f (y) が合流型超幾何微分方程式を満たすこと, 及び, y = 0 と y → ∞
での f (y) に対する境界条件から, 固有値を決定せよ。
8
平均場近似
52
平均場近似
8
原子中の多電子系を扱うのに有効な近似は, 電子に働くポテンシャルが原子核によるものと他の
電子がつくる平均ポテンシャルの和で与えられるとし, このポテンシャル中を一つ一つの電子が独
立に運動しているとする平均場近似 ( mean field approximation ), あるいは, 独立粒子模型 ( inde-
pendent particle model ) である。この近似は, 原子の周期律を電子の殻構造として説明する。原子
核の魔法数の存在は, 原子核にも殻構造があり, 原子核中の核子の運動を平均場近似で記述できる
ことを示唆する。
核子の多体系である原子核のハミルトニアンは, 相互作用が 2 核子間に限られるならば
H=
∑ p2
1∑
i
+
vij
2m 2 i j
i
(8.1)
と表せる。ここで pi は核子 i の運動量, vij は核子 i と j の相互作用を表わす。現実の問題では, H
の固有状態と固有値を正確に求めることは不可能である。そこで何らかの近似を行うわけだが, 最
も簡単な近似が平均場近似である。一体ポテンシャルを V すると
)
∑
∑ ( p2
1∑
i
vij −
Vi
H=
+ Vi + ∆H ,
∆H =
2m
2
i
ij
i
であるが, 適切な V を使えば 2 体相互作用は V に十分取り込めると考えて ∆H を無視し
)
∑ ( p2
i
H≈
+ Vi
2m
(8.2)
i
で近似する。(8.1) のハミルトニアンでは vij を通して核子 i は他の核子 j の影響を受ける。しか
し, (8.2) では異なる核子を結び付けるものはない。個々の核子は一体ポテンシャル中を独立に運動
していることになる。フェルミガス模型でも述べたように, 原子核中では核子–核子散乱は, 散乱後
の核子の状態が既に占有されている状態になる場合, パウリ原理のため禁止される。このため, 核
子が他の核子の影響を受けずに独立に運動する確率が高くなる。したがって, 核力の効果をある平
均ポテンシャル V で置き換える平均場近似を導入できる。
V はハートリー・フォックの方法などにより vij から導出することはできる。しかし, 原子核の
場合核力が複雑なため, 適当なポテンシャルを仮定して原子核の性質が説明できるかどうか調べる
という現象論的方法も用いられる。いずれにしても, 平均場近似では, 核子が 1 粒子ハミルトニア
ン h = p2 /2m + V のどの固有状態を粒子が占めるかを指定することにより原子核の状態を表わす。
このとき, パウリ原理から, 2 つの核子が同じ 1 粒子状態を占めることはできない。したがって, 原
子核の基底状態はエネルギーの最も低い 1 粒子状態から順に核子を 1 つ 1 つ詰めた状態になる。
8.1
一体ポテンシャル
一体ポテンシャル V としてどのようなものを使ったらよいか, ここでは大まかに考察してみる。
V は, 核子が他の A − 1 個の核子とする相互作用を平均化したものでる。したがって, 最も単純に考
えれば, 核子密度を ρ(r) とすると
∫
V (r) ≈
d3 r′ v(r − r ′ ) ρ(r′ )
8
平均場近似
53
であろう。ここで v(r−r ′ ) は, 2 つの核子がそれそれ r と r ′ にある場合に働く核力である。簡単のた
めに v のスピン・アイソスピン依存性は考えない。核力は近距離力であるから v(r−r ′ ) ≈ v0 δ(r−r ′ )
とすれば
V (r) ≈ v0 ρ(r)
(8.3)
になる。密度分布は原子核内部ではほぼ一定, 核表面で急激に減少するから, V (r) は図に示したよ
うなウッズ・サクソン型になる。これを数学的に扱いやすいポテンシャルで更に近似するならば, そ
の 1 つの候補は調和振動子ポテンシャル
1
V (r) ≈ VHO (r) = V0 + mω 2 r2
2
(8.4)
である。図から分かるように, 2 つの定数 V0 と ω を適
当に取れば, 原子核内部では調和振動子ポテンシャルと
(8.3) は同じような振る舞いをする。これから考える束縛
状態に対しては原子核外部でのポテンシャルの相違はそ
れ程重要ではない。そこで一体ハミルトニアンとして
調和振動子
p2
1
h=
+ mω 2 r2 + V0
2m 2
(8.5)
v0 ρ(r)
を採用する。ただし, 後でウッズ・サクソン型ポテンシャ
2
ルに近づけるため, 軌道角運動量 ℓ に比例する項を付け
加える。
(8.5) に含まれるパラメータのうち, V0 はエネルギー固有値を全体にシフトさせるだけであるか
ら, 適宜適当に定める。一方, ω はポテンシャル, したがって, 密度の広がりを表す。ω は実験的に知
られた原子核の平均二乗半径を再現するように決める。A 核子系の平均二乗半径 ⟨r2 ⟩ は
∑′
A ⟨r2 ⟩ =
⟨n1 n2 n3 | r2 |n1 n2 n3 ⟩
(8.6)
n1 n2 n3
で与えられる。ここで
2
2
2
∑′
は核子が占めている状態について和を行うことを表わす。(7.11) から
2
r = x + y + z の期待値は
h̄
⟨n1 n2 n3 | r |n1 n2 n3 ⟩ =
mω
2
(
)
(
)
3
h̄
3
n1 + n2 + n3 +
=
N+
≡ ⟨r2 ⟩N
2
mω
2
である。簡単のため陽子と中性子は共に N = 0, 1, · · · , Nmax まで詰まっているとすると
A ⟨r ⟩ = 4
2
N∑
max
N =0
dN ⟨r ⟩N
2
)
(
Nmax
2h̄ ∑
3
=
(N + 1)(N + 2) N +
mω
2
N =0
になる。ただし, dN = (N + 1)(N + 2)/2 は N = n1 + n2 + n3 の状態の縮退度である。また, 陽子
と中性子それぞれが寄与するから 2 倍, 更に, スピン状態 |s = 21 , ms = ± 12 ⟩ の自由度があるから 2
倍した。
n
∑
k=0
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
,
6
n
∑
k=0
(
k3 =
n(n + 1)
2
)2
を使うと
A ⟨r2 ⟩ =
2h̄ 1
h̄
N
≫1
(Nmax + 1)(Nmax + 2)2 (Nmax + 3) −−−max
−−−−→
(Nmax + 2)4
mω 4
2mω
8
平均場近似
54
を得る。これから h̄ω は
h̄2
(Nmax + 2)4
2Am⟨r2 ⟩
h̄ω =
(8.7)
となる。核子が占めている 1 粒子状態の総数は核子数に等しいから
A=4
N∑
max
dN =
N =0
2
2
N
≫1
(Nmax + 1)(Nmax + 2)(Nmax + 3) −−−max
−−−−→ (Nmax + 2)3
3
3
である。Nmax を A で表わし (8.7) に代入すると
h̄ω =
3
4
( )1/3 2
3
h̄
A1/3
2
m⟨r2 ⟩
(8.8)
となる。(8.6) で与えられる A⟨r2 ⟩ を核子密度 ρ(r) で表わすと
∫
2
A ⟨r ⟩ = d3 r r2 ρ(r)
である。ρ(r) として実験的に求められた (2.23) を使うと, 問 2.5 の結果及び (2.28) から
(
)
)2 (
)
3
7π 2 a2
3(
1/3
−2/3
⟨r2 ⟩ = R2 1 +
+
·
·
·
=
1.12A
1
+
3.84A
+
·
·
·
5
3 R2
5
になる。A ≈ 100 あたりの原子核に対して 3.84A−2/3 の効果を考慮すると数値的には
)2
3(
⟨r2 ⟩ ≈
1.2A1/3
5
で近似できる。これを (8.8) に代入し, mc2 = 940 MeV, h̄c = 197.3 MeV fm を使うと
h̄ω =
41
MeV
A1/3
(8.9)
を得る。A = 100, 200 のとき, h̄ω の値はそれぞれ 8.8 MeV, 7.0 MeV になる。
調和振動子ポテンシャルに基づけば, 魔法数は Nmax 殻まで完全に核子が詰まったときに起こる
と考えられる。このとき, 陽子または中性子の個数は
2
N∑
max
k=0
dk =
1
(Nmax + 1)(Nmax + 2)(Nmax + 3) ,
3
Nmax = 0 , 1 , 2 , 3 , · · ·
から 2 , 8 , 20 , 40 , 70 , 112 , 168 , · · · になる。一方, 実験によると魔法数は 2 , 8 , 20 , 28 , 50 , 82 ,
126 である。Z または N が 28 以上の魔法数は調和振動子ポテンシャルでは説明できない。
調和振動子ポテンシャルの場合, 異なる ℓ の状態が縮退する。もしこの縮退が解けたらどうなる
だろうか。そこで, 調和振動子ポテンシャル VHO (r) の代わりに, ウッズ・サクソンポテンシャル
VWS (r) =
V0
,
1 + exp((r − R)/a))
V0 = −51 MeV ,
R = 1.25A1/3 fm ,
a = 0.65 fm
(8.10)
を用いた数値計算結果を図に示す。各々の状態には量子数 nℓ とその状態まで下から詰めたときの
陽子または中性子の累計数も示した。ℓ の縮退は完全に解ける。ただし, 各々の状態は, スピン ms
と磁気量子数 mℓ について 2(2ℓ + 1) 重に縮退している。HO は h̄ω として (8.9) を使った調和振動
子の固有値である。(8.4) の V0 は 1s 状態の固有値がウッズ・サクソンと一致するように取った。図
から分かるように, ウッズ・サクソンポテンシャルでも実験的な魔法数を再現することはできない。
ポテンシャルのパラメータの値を変えて, 例えば 1f 状態が N = 2 の状態に近づいたとすると, 魔
法数は 20 から 34 になる。しかし 28 にはならない。
8
平均場近似
55
ウッズ・サクソンの結果を見ると, 同じ N から分離した状態では, 大きい ℓ の状態ほどエネルギー
固有値は下がる。核表面付近では VWS (r) は VHO (r) に比べてより引力的であるため, 核表面での
存在確率が高い状態ほどエネルギーは低くなる。51 ページの図から ℓ の大きな状態ほど核表面で
の存在確率は高い。
MeV
A = 142
n= 6
1i, 2g, 3d, 4s
0.0
1i
3p
2f
1h
3s
2d
n= 5
1h, 2f, 3p
−10.0
n= 4
1g, 2d, 3s
−20.0
2p 40
1f 34
n= 2
1d, 2s
2s 20
1d 18
n= 1
1p
−40.0
1p 8
n= 0
1s
−50.0
8.2
1g 58
n= 3
1f, 2p
−30.0
138
112
106
92
70
68
1s 2
HO
WS
スピン軌道力
1949 年, Mayer(メイヤー) と Jansen(イエンゼン) は独立に, 一体ポテンシャルが強いスピン軌道
力 ( spin–orbit force ) を含むとすれば, 魔法数を説明できることを発見した。彼らが導入したポテ
ンシャル U (r) は
1 ∂V
ℓ·s
(8.11)
r ∂r
である。右辺第 1 項 V (r) は前節で扱った中心力ポテンシャル, 第 2 項目がスピン軌道力である。話
U (r) = V (r) + λls
を簡単にするため, V (r) = VHO (r) とすると, (1/r)(∂V /∂r) は定数になるから
(
)
U (r) = VHO (r) + aℓ ℓ2 − ⟨ℓ2 ⟩N + aℓs ℓ·s
である。ただし, VWS (r) のエネルギー準位に近づけるため, ℓ2 に比例する項を加えた。aℓ < 0 なら
ば ℓ の大きい状態のエネルギー固有値は下がる。定数
∑
ℓ(ℓ + 1)(2ℓ + 1)
⟨ℓ2 ⟩N =
ℓ
∑
(2ℓ + 1)
=
N (N + 3)
2
(8.12)
ℓ
は同じ N 殻の準位に関する ℓ2 の平均値であるが, 殻間の平均的エネルギー差が ℓ2 により変化し
ないように ℓ2 から差し引いた。
h=
(
)
p2
+ VHO (r) + aℓ ℓ2 − ⟨ℓ2 ⟩N + aℓs ℓ·s
2m
(8.13)
8
平均場近似
56
の固有値を求める。全角運動量 j = ℓ + s を使うと 2ℓ·s = j 2 − ℓ2 − s2 であるから, ℓ2 , s2 , j 2 の同
時固有状態ならば h の固有状態になる。したがって, h の固有状態は
ψℓjm (r) = Rℓj (r) Yℓjm (θ, ϕ)
(8.14)
と書ける。Yℓjm (θ, ϕ) は ℓ と s を合成した j の固有状態であり, (3.30), (3.32) から
√
Yℓjm (θ, ϕ) = ±
ℓ ± m + 1/2
Yℓ m−1/2 (θ, ϕ)|+⟩ +
2ℓ + 1
√
ℓ ∓ m + 1/2
Yℓ m+1/2 (θ, ϕ)|−⟩
2ℓ + 1
(8.15)
ただし j = ℓ ± 1/2 である。Yℓjm は
ℓ2 Yℓjm = ℓ(ℓ + 1) Yℓjm ,
を満たすから
(
s2 Yℓjm =
1
2
(
)
1
+ 1 Yℓjm ,
2
(
)
)
aℓ ℓ2 + aℓs ℓ·s ψℓjm (r) = aℓ ℓ(ℓ + 1) + aℓs ∆jℓ ψℓjm (r)
ここで
∆jℓ
j 2 Yℓjm = j(j + 1) Yℓjm
1
=
2
(
3
j(j + 1) − ℓ(ℓ + 1) −
4
)

ℓ


j =ℓ+
 ,
2
=

ℓ+1

 −
, j =ℓ−
2
1
2
1
2
(8.16)
である。これから h ψℓjm (r) = E ψℓjm (r) は
(
)
p2
+ VHO (r) ψℓjm (r) = E ′ ψℓjm (r) ,
2m
(
)
E ′ = E − aℓ ℓ(ℓ + 1) − ⟨ℓ2 ⟩N − aℓs ∆jℓ
となる。動径波動関数の満たす方程式は, 調和振動子ポテンシャルだけの場合と同じになり, E ′ =
h̄ω(ℓ + 2(n − 1) + 3/2) である。したがって, h の固有値は
(
)
(
)
3
E = h̄ω ℓ + 2(n − 1) +
+ aℓ ℓ(ℓ + 1) − ⟨ℓ2 ⟩N + aℓs ∆jℓ
2
(8.17)
で与えられる。
エネルギー固有値 (8.17) の様子を図に示す。ただし, A = 142 で
aℓ = − 0.026 h̄ω = − 0.204 MeV ,
aℓs = − 0.15 h̄ω = − 1.18 MeV
(8.18)
とした。各状態は j の値を下付きの添字で表わし, 例えば n = 1, ℓ = 0, j = 1/2 の状態は 1s1/2 の
ように書く。aℓ ℓ2 のため, 調和振動子ポテンシャルにおける ℓ の縮退は解け, エネルギー準位はウッ
ズ・サクソンポテンシャルの準位と似たものになる。前にも述べたように, 各状態は 2(2ℓ + 1) 重に
縮退している。さらに, スピン軌道力 aℓs ℓ·s を考慮すると, ℓ ̸= 0 の状態は j = ℓ+1/2 と j = ℓ−1/2
に分離する。それぞれの縮退度は 2j + 1, つまり, 2ℓ + 2, 2ℓ である。aℓs < 0 のとき, j = ℓ + 1/2 の
状態は aℓs ∆jℓ = aℓs ℓ/2 だけエネルギーが下がり, j = ℓ − 1/2 の状態は −aℓs (ℓ + 1)/2 上がる。こ
の変化は ℓ が大きい状態ほど大きい。したがって, スピン軌道力が十分強くて |aℓs | ℓ/2 ∼ h̄ω であ
るならば, N 殻に属する最も大きな ℓ で j = ℓ + 1/2 の状態 ( 図で ◀ を付けた状態) は, N − 1 殻
の状態群に侵入する。これらの状態は N − 1 殻の状態とはパリティが異なり, 侵入軌道 ( intruder
orbit ) あるいは特異パリティ軌道 ( unique–parity orbit ) とよばれる。j = ℓ − 1/2 状態はスピン軌
道力のためエネルギーは上がるが, これは aℓ ℓ2 で下がった分を打ち消すだけで, N + 1 殻に侵入す
ることはない。
8
平均場近似
57
侵入軌道の存在は魔法数を変化させる。例えば, N = 4 殻に属する 1g9/2 状態 (l = 4) は, N = 3
殻の状態とエネルギー的にほぼ同じなる。N = 3 殻まで核子を詰めると陽子数または中性子数は
40 になる。一方, 1g9/2 には 2(9/2) + 1 = 10 個の陽子または中性子が入る。したがって, スピン軌
道力は魔法数を 40 から 40 + 10 = 50 に変える。同様にして
N = 4 殻 70 + ( 1h11/2 による 12 ) = 82 ,
N =5殻
112 + ( 1i13/2 による 14 ) = 126
である。aℓs < 0 であるスピン軌道力 aℓs ℓ·s は実験的に知られた魔法数を見事に説明する。
A = 142
1i11/2
3p1/2 126
2f5/2
3p3/2
1h9/2
1i13/2 ◀
2f7/2
2d3/2 82
1h11/2 ◀
3s1/2
1g7/2
2d5/2
n= 6
168
1i, 2g, 3d, 4s
1i
n= 5
112
1h, 2f, 3p
1h
n= 4
1g, 2d, 3s
1g
70
n= 3
1f, 2p
40
n= 2
1d, 2s
20
1g9/2 ◀ 50
2p1/2
1f5/2
2p3/2
1f
1f7/2 ◀ 28
1d3/2
2s1/2
20
1d5/2
HO
(
)
aℓ ℓ2 − ⟨ℓ2 ⟩n
aℓs ℓ·s
図には示してないが, N = 6 殻は N = 7 殻に属する 1j15/2 状態と組になり, 164 + 16 = 184 が魔
法数になる。したがって, Z = 126, N = 184 という原子核は陽子と中性子の両方が魔法数であり,
安定な原子核になると予想される。これが質量公式で述べた超重元素である。
(8.11) の U (r) としてウッズ・サクソンポテンシャルを用いた場合, ハミルトニアンは
h=−
h̄2 1 ∂ 2
h̄2 ℓ2
1 ∂VWS
r
+
+ VWS (r) + λℓs
ℓ·s
2
2
2m r ∂r
2mr
r ∂r
unℓj (r)
Yℓjm (θ, ϕ) とすると, h ψ(r) = E ψ(r) から
r
(
)
h̄2 ∂ 2
h̄2 ℓ(ℓ + 1)
1 ∂VWS
−
+
+
V
(r)
+
λ
∆
WS
ℓs
jℓ unℓj (r) = E unℓj (r)
2m ∂r2
2m r2
r ∂r
である。ψ(r) =
(8.19)
となる。∆jℓ は (8.16) で与えられる。(8.19) を数値的に解いた結果は下図のようになる。パラメー
タの値は (8.10) 及び λℓs = − 0.674 fm2 を用いた。この場合にも, スピン軌道力のため魔法数が再
現される。更に, この計算に陽子間に働くクーロン力を考慮すれば, 実験との定量的比較が可能に
なる。
8
平均場近似
58
MeV
A = 142
2g9/2
3p1/2 126
2f5/2
1i13/2
3p3/2
1h9/2
2f7/2
1h11/2 82
2d3/2
3s1/2
2d5/2
1g7/2
n= 6
168
1i, 2g, 3d, 4s
0.0
n= 5
112
1h, 2f, 3p
−10.0
n= 4
70
1g, 2d, 3s
−20.0
−30.0
−40.0
n= 3
1f, 2p
40
n= 2
1d, 2s
20
n= 1
1p
8
n= 0
1s
2
−50.0
8.3
HO
WS
1g9/2
2p1/2
2p3/2
1f5/2
50
1f7/2
28
2s1/2
1d3/2
1d5/2
20
1p1/2
1p3/2
8
1s1/2
2
WS + ℓ·s
原子核のスピン
質量公式で示したように, 対相互作用のため 2 個の同種核子は角運動量 0 の対になった方がエネ
ルギー的に低くなる。その結果, 陽子と中性子が共に偶数の原子核の基底状態のスピン (全角運動
量) J は J = 0 になる。A = Z + N が奇数の原子核の基底状態スピンは, 対を組めなかった 1 つの核
子の角運動量で与えられる。平均場近似で考えると, 核子をエネルギーの低い 1 粒子状態から順に
詰めていき, 最後に残った核子の角運動量を j とすると, J = j になるはずである。例えば, Z = 20
である Ca の同位元素の実験値は
N
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
スピン
0
7/2
0
7/2
0
7/2
0
7/2
0
3/2
0
である。上で述べたように, Z と N が偶数の場合スピンは 0 である。下図はウッズ・サクソンポ
テンシャル+スピン軌道力によるエネルギー準位である。 41 Ca は 21 個の中性子を持つ。21 番目
の中性子は図から分かるように 1f7/2 を占めるから
41
Ca のスピン J は J = 7/2 であり実験と一
致する。1f7/2 には 2j + 1 = 8 個まで中性子が入ることができるから, N が奇数の 41 Ca から 47 Ca
までは J = 7/2 である。 49 Ca の 29 番目の中性子は, 1f7/2 が既に満たされているため 2p3/2 に入
8
平均場近似
る。確かに
49
59
Ca の実験値は J = 3/2 である。このように, 強いスピン軌道力を取り入れた平均場
近似は, 魔法数ばかりでなく原子核のスピンに関しても実験とよく一致する。
MeV
A = 40
MeV
0.0
A = 50
0.0
2p1/2
2p3/2
−10.0
−20.0
1f7/2
28
1d3/2
2s1/2
20
−10.0
−20.0
1d5/2
1g9/2
1f5/2
2p1/2
2p3/2
50
1f7/2
28
1d3/2
2s1/2
20
1d5/2
−30.0
1p1/2
1p3/2
8
−40.0
1s1/2
2
−30.0
−40.0
−50.0
8.4
1p1/2
1p3/2
8
1s1/2
2
−50.0
磁気モーメント
古典電磁気学によれば磁気モーメント µ は
∫
µ0
µ=
d3 r′ r ′ ×j(r ′ )
2
で定義される。ここで µ0 は真空の透磁率, j(r) は電流密度である。電荷 Q の点電荷の位置を r(t)
とすると, この点電荷による磁気モーメント µ は j(r) = Q ṙ(t) δ(r − r(t)) より
∫
µ0 Q
µ0 Q
µ0 Qh̄
µ=
d3 r′ r ′ × ṙ(t) δ(r ′ − r(t)) =
r(t)× ṙ(t) =
ℓ
2
2
2m
になる。ただし h̄ℓ = m r(t)×ṙ(t) は軌道角運動量である。粒子がスピン s を持つ場合, s からの寄
与もある。電子の磁気モーメント演算子 µ は, ボーア磁子 ( Bohr magneton ) µB = µ0 eh̄/2me を
用いて
µ = − µB (gℓ ℓ + gs s) ,
gℓ = 1 ,
gs = 2
となる。gs = 2 はディラック方程式から理論的に導かれる。核子の場合, 核磁子 ( nuclear magneton )
µN = eh̄/2mp c を単位として
{
µ = µN (gℓ ℓ + gs s) ,
である。gs の値は実験値である。
gℓ =
1
,
0
{
gs =
5.585 陽子の場合
−3.826 中性子の場合
(8.20)
8
平均場近似
60
原子核全体の磁気モーメントは
µ = ⟨α J M = J|
A
∑
(µ3 )k |α J M = J⟩
k=1
で定義される。ここで, |α J M ⟩ はスピンが J である原子核の基底状態, (µ3 )k は核子 k の磁気モー
メント演算子の z 成分である。2 つの同種核子は対相互作用のため角運動量 0 に組む。角運動量 0
でのベクトル演算子の期待値は 0 であるから, 対を組む 2 核子は磁気モーメントには寄与しない。
したがって, 陽子と中性子が共に偶数の原子核では, 基底状態の磁気モーメントは 0 である。
核子数が奇数の原子核では, 対を組まない核子の磁気モーメントだけを考えればよい。奇数核子
の原子核の磁気モーメントは m = j として
∫
†
µ = d3 r ψℓjm
(r) µ3 ψℓjm (r)
で与えられる。ただし, ψℓjm は (8.14) である。µ3 は r に依存しないから, R(r) についての積分は
規格化定数 1 になるだけである。簡単のため Yℓjm (θ, ϕ) を |ℓjm⟩ と書くことにすると
µ = ⟨ℓ j j |µ3 |ℓ j j ⟩
となる。(8.15) から
√
|ℓ j j ⟩ =
ℓ ± j + 1/2
|ℓ j −1/2⟩|+⟩ ±
2ℓ + 1
√
ℓ ∓ j + 1/2
|ℓ j +1/2⟩|−⟩
2ℓ + 1
である。ここでも簡単のため Yℓm (θ, ϕ) を |ℓm⟩ で表した。これから
µ=
ℓ ± j + 1/2
ℓ ∓ j + 1/2
⟨ℓ j −1/2|⟨+| µ3 |ℓ j −1/2⟩|+⟩ +
⟨ℓ j +1/2|⟨−| µ3 |ℓ j +1/2⟩|−⟩
2ℓ + 1
2ℓ + 1
ℓ3 |ℓm⟩ = m |ℓm⟩, s3 |±⟩ = ± 12 |±⟩ であるから
(
)
1
µ3 |ℓm⟩|±⟩ = µN gℓ m ± gs |ℓm⟩|±⟩
2
したがって
(
)
(
)
ℓ ± j + 1/2
1
ℓ ∓ j + 1/2
1
µ=
µN gℓ (j − 1/2) + gs +
µN gℓ (j + 1/2) − gs
2ℓ + 1
2
2ℓ + 1
2
(
)
ℓ + 1/2
j
gs − gℓ
1
= µN
2gℓ j ± µN
(gs − gℓ ) = µN j gℓ ±
, j =ℓ±
2ℓ + 1
2ℓ + 1
2ℓ + 1
2
(8.21)
となる。この式で与えられる µ/µN をシュミット値 ( Schmidt value ) という。シュミット値と実験
値 µ/µN を比較すると表のようになる。シュミット値は実験をかなりよく説明するが, 定量的に理
解するには単純な平均場近似では不十分である。
奇数 Z 核
ℓj
(8.21)
17
9F
d5/2
4.79
39
19 K
d3/2
0.12
奇数 N 核
実験
ℓj
(8.21)
実験
4.72
17
8O
d5/2
−1.91
−1.89
0.39
39
20 Ca
d3/2
1.15
1.02
f7/2
−1.91
−1.59
41
21 Sc
f7/2
5.79
5.42
41
20 Ca
209
83 Bi
h9/2
2.62
4.08
207
82 Pb
f5/2
1.37
0.79
209
82 Pb
g9/2
−1.91
−1.37
合流型超幾何微分方程式
A
A
61
合流型超幾何微分方程式
微分方程式
( 2
)
d
d
z 2 + (b − z) − a w(z) = 0
dz
dz
(A.1)
を合流型超幾何微分方程式という。ただし, a, b は任意の複素定数であるが, b は 0 または負の整数
でないとする。この微分方程式の 1 つの解は
w(z) = c M (a, b, z)
で与えられる。ただし, c は任意定数, M は合流型超幾何関数 ( confluent hypergeometric function )
∞
∑
az
a(a + 1) z 2
a(a + 1)(a + 2) z 3
(a)n z n
M (a, b, z) = 1 +
+
+
+ ··· =
b 1!
b(b + 1) 2!
b(b + 1)(b + 2) 3!
(b)n n!
n=0
(A.2)
(a)n = a(a + 1) · · · (a + n − 1) , (a)0 = 1
である。b ̸= −n ( n は正の整数 ) の場合, 一般解 w は
w = c1 M (a, b, z) + c2 z 1−b M (a − b + 1, 2 − b, z)
(A.3)
で与えられる。
|z| → ∞ での漸近形
M (a, b, z) =
Γ (b)
eiεπa z −a g(a, a − b + 1, −z)
Γ (b − a)
+
Γ (b) z a−b
e z
g(1 − a, b − a, z)
Γ (a)
(A.4)
ただし Γ (z) はガンマ関数であり
{
ε=
g(a, b, z) =
1,
−π/2 < arg z < 3π/2
− 1 , −3π/2 < arg z ≤ −π/2
∞
∑
(a)n (b)n
ab a(a + 1)b(b + 1)
=1+
+
+ ···
n
n!
z
z
2z 2
n=0
n を負でない整数とする。(A.2) から M (−n, b, z) は n 次の多項式になる。一方, a ̸= −n の場合,
M (a, b, z) は |z| → ∞ で ez のように振舞う。

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