+ 1

定積分漸化式の演習
【例題】
= 3 = 1，2，3 ⋯ 5で定義される数列- .について，次の問に答えよ．
ただし，は自然対数の底である．
1 ，，を求めよ．
2 = − + 1 となることを示せ．
1
3
< <
を示し， lim を求めよ．
→#
+1
+1
4 lim を求めよ．
→#
（山形大）
【解答】
1計算略 = 1, = e − 2, = −2e + 6
2 = = ∙ − ∙ + 1 ∙ = − + 1 ∙ 30 < < 1 のとき 1 < < より
< < < < lim→#
よって
1
< <
+1
+1
$
= 0， lim→#
= 0 より，はさみうち
の原理から
lim = 0
→#
42より
02
= − + − →#
lim = →#
1 $
1 = ' とし， = ' ! とする．自然数nに対して+ との関係式を求
めよ．
$
21の関係式を用いて，極限 lim /
→#
$
= = − 1
【１】log はの自然対数であり，自然対数の底
の値は，2.718…である．' = 1とし，自然数に
対して' = log とする．次の問に答えよ．
を求めよ．
−1
− −1 ∙ +
!
−1
−1 ∙ = ∙
+ −1+ +
!
−1 1
= -−1 − −1+ + .
!
−10 1
/
= −1 ∙ − −1 ∙ 1!
2−1 ∙ = ∙
ここで
lim = lim = 0 より
→#
【解答】
1 $
1 = ' ! 1 $
= log ! $
1
1
= * ∙ log $ − ∙ log + ∙ ,
!
1
= − + !
$
1
= −
log + ! − 1! = − +
!
02
−10
1!
（秋田大医・一部省略）
より
−10 1
= −1 − + 1なので，
/
1!
02
lim = 0
→#
より
lim /
→#
02
−10
1
= −1 +
1!
【２】０以上の整数に対して， ≧ 0で定義さ
れた関数7 を7 = 8 +9 8とおく．
1 ≧ 1 のとき，7 を7+ を用いて表せ。
7 0
2 ≧ 1 のとき，等式7 −
= / +
!
1!
02
が成り立つことを示せ．
7 30 ≦ ≦ 1 のとき， lim
= 0 が成り立つ
→# !
ことを示せ．
0
40 ≦ ≦ 1 のとき， lim /
= が成り立
→#
1!
02
つことを示せ．
(熊本大・理）
【解答】
= − +9 8 − − +9 8 + 8
= − + + +9 8 + 8
= − + + 7+ 21の式を! でわると
7+ 7 = − +
+
! − 1!
!
7 7+ −
= − +
− 1!
!
!
より(階差数列ととらえて)
7 7 0
=
+ /− + !
0!
1!
02
7 0
7 −
= / +
!
1!
02
30 ≦ ≦ 1 より 0 ≦ 8 ≦ において，
0 ≦ 8 ≦ 1 なので
0 ≦ 8 +9 ≦ +9
0 ≦ 8 +9 8 ≦ +9 8
よって
0 ≦ ≦ 1 より
42より
7
7 = − + + 1より
;/
7 0
−
=/
1!
!
02
の下が1 = 0 になったことに注意して<
0
7 = lim *− + + 1 −
,+1
→#
1! →#
!
02
7 = −1 + − lim
+1
→# !
= ;3より<
lim /
※この問題の結果から，マクローリン展開（ = 0に
おけるテイラー展開）の式，
17 = 8 +9 8
よって
− + + 1
= 0 なので，
→#
!
はさみうちの原理より
7 lim
=0
→# !
lim
0 ≦ 7 ≦ − + + 1
7 − + + 1
0≦
≦
!
!
+ + +⋯
1! 2! 3!
を導くことができる．は何回微分しても変わらな
い関数であるが，右辺も何回微分しても変わらない
という性質をもっていることはすぐわかるであろ
う．
= 1 +

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