第9回授業スライド

第9回 6月22日
物質移動工学（9）
～各種物質移動系での無次元相関式～
7.3D
1. 層流
円管内流れの物質移動
（NRe < 2100）
L
壁面濃度CAi
W：質量流量 [kg/s]
DAB：拡散係数 [m2/s]
D
ρ：流体密度 [kg/m3]
出口
CA
入口
濃度 CA0
実験値
W
CA CA0
CAi CA0
D AB rL
W
D AB rL
(
( W
DABr L
< 70 rodlike flow
> 400 parabolic flow
W
DAB rL
の意味
W

D 2 vav r
体積流量
W
4
C
r
vav ：管内平均速度
 対流物質移動
C 2
分子拡散
DAB
L
L
 2
D vav r Dv r  D 
W
av
 4

DAB rL
DAB rL
 rDAB L 4
NRe
W
DAB rL
 400
C A  C A0
C Ai  C A0
NSc
Parabolic flow
 W


 5.5
 DAB r L 
2 / 3
-2/3
2.乱流
（NRe >2100）
N Sh  0.023( N Re ) 0.83 ( N Sc ) 0.33
=
（対流物質移動＋分子拡散）による物質流束
分子拡散による物質流束
0.6 < NSc < 3000 で成立
一般に
気体
液体
0.5 < NSc < 3
100 < NSc
NRe 大：流速大
対流物質移動大， NSh 大
NSc 大：運動量輸送大
小：分子拡散大
NSh 大
NSh 小
例題7.3-1（p 481）
円管内の物質移動
内側がナフタレンでコートされた円管があり，その内径が20 mm，長さが1.10 mである。こ
の円管内を318 K，平均圧力 101.3 kPa の空気が速度 0.8 m/s で流動している。絶対圧力
は一定と考えて，出口の空気に含まれるナフタレンの濃度を計算せよ。なお物性は例題
6.2-4で与えられたものを使うこと。
【解答】
例題6.2-4より，DAB = 6.92×10－6 m2/s ，蒸気圧 pAi = 74.0 Pa 。よって，
C Ai 
p Ai
74.0

 2.799 105 kmol/m3
RT 8314.3  318
空気に関しては，Appendix A.3より，  = 1.932 ×10－5 Pa・s ， r = 1.114 kg/m3。
シュミット数は

1.932 105
N Sc 

 2.506
rDAB 1.114 6.92  106
レイノルズ数は
N Re 
Dvr 0.020 0.80  1.114

 922.6
5

1.932 10
ここで，流れは層流であるから
N Re N Sc
D
0.020 
 922.6  2.506
  33.02
L 4
1.10 4
Fig. 7.3-2 の rodlike flow の曲線を使うと
(C A  C A0 )
 0.55
(C Ai  C A0 )
さらに，CA0= 0より
(C A  0)
 0.55
5
(2.799 10  0)
C A  1.539 105 kmol/m3
7.3E 1.平板に沿う境界層の流れ
一様速度
N Re , L 
速度境界層
平板
Lvr

0～Lにおける平均
値を求める
A
L
C A  Cw
濃度 C0  C w
C0：平板から十分離れた位置の濃度
Cw：平板の壁面濃度
濃度境界層
1
（CA=C0 ）
A
気体の流れ
① N Re,L  15000 ・・・層流
J D  0.664( N Re,L ) 0.5
N Sh  0.664( N Re,L )0.5 ( N Sc )1/ 3
平板
A
予測精度±25%
② 15000  N Re , L  300000
J D  0.036( N Re,L ) 0.2
N Sh  0.036( N Re,L ) 0.8 ( N Sc )1/ 3
液の流れ
予測精度±30%
600  N Re , L  50000
J D  0.99( N Re,L ) 0.5
N Sh  0.99( N Re,L ) 0.5 ( N Sc )1/ 3
予測精度±40%
例題7.3-2 (p 483)
平板からの物質移動
長さ L =0.244 m の固体安息香酸の平板上を26.1℃の大容量の純水が平板に平行に流れ
ている。水の流速は0.061 m/sで，水に対する安息香酸の溶解度は0.02948 kmol/m3である。
安息香酸の拡散係数は1.245×10－9 m2/s として物質移動係数 kC及び流束 NA を計算せよ。
【解答】
溶液は希薄であるため， 26.1℃の水の物性を用いてよい。Appendix A.2 より
  8.71 104 Pa  s, r  996kg/m3 , DAB  1.245 109 m 2 /s
シュミット数は，
N Sc
8.71 104

 702
9
996 1.245 10
レイノルズ数は，
N Re , L
Lvr
0.244 0.0610 996
4



1
.
700

10

8.71 10 4
600 < NRe, L =17000 < 50000 より，式（7.3-29）を用いて，
J D  0.99( N Re , L ) 0.5  0.99  (1.700 104 ) 0.5  0.00758
式（7.3-5）
kC
JD 
( N Sc ) 2 / 3
v
より，既知の値を代入して解くと，
kC  J D v( N Sc ) 2 / 3  0.00758 0.0610 (702) 2 / 3  5.85 106 m/s
この場合，A（安息香酸）の一方拡散と仮定できる。よって，k'C は式（7.2-10）を用いて，
NA 
kC
(C A1  C A2 )
xBM
希薄溶液のため， xBM ≅1.0， k'C ≅ kCとおける。さらに, CA1 = 0.02948 kmol/m3 ，CA2 = 0
を式 (7.2-10) に代入すると
N A  kC (C A1  C A2 )  5.85 106  (0.02948 0)
 1.726 107 kmol/(s m 2 )
2. 単一固体球のまわりの流れ
静止流体中の球からの物質移動
式（6.2-33）
2 D AB
NA 
(C A1  C A2 )
Dp
CA1：球表面のAの濃度
CA2：球から十分離れた位置の濃度
径 Dp
系は一方拡散であるが，濃度が希薄なので物質移動係数 k'C = kC
2 DAB
N A  kC (C A1  C A2 ) 
(C A1  C A2 )
Dp
kC 
2 D AB
Dp
N Sh 
kC D p
D AB
2 D AB D p
2

D p D AB
流動流体中⇒実験式
N Sh  2  0.552N Re 
0.53
気体中
N Sc 
流動なし
N Re  0　N Sh  2
流速大
N Re  大
N Sh  大
( 伝熱
液体中
1 < NRe< 48000
1/ 3
0.6 < NSc< 2.7
対流物質移動大
N Nu  2  0.552N Re  0.53N Pr 
1/ 3
N Sh  2  0.95N Re 
0.62
N Sh  0.347N Re 
0.62
N Sc 
N Sc 1/ 3
1/ 3
)
2  N Re  2000
2000  N Re  17000
例題 7.3-3
球からの物質移動
1 atm，45℃で速度0.305 m/sで流れている空気中にナフタレン球がある。空気中への
ナフタレンの物質移動に関して物質移動係数と流束を計算せよ。ただし球の直径は
25.4 mm である。45℃の空気中におけるナフタレンの拡散係数は6.92×10－6 m2/sで，
蒸気圧は74.0 Pa である。
【解答】
Appendix A.3より空気の物性はそれぞれ，
  1.93105 Pa  s, r  1.113kg/m3 , v  0.305m/s
ナフタレンの濃度は小さいので上記の値を使ってシュミット数を計算すると
N Sc 

rDAB
1.93 105

 2.505
6
1.113 6.92  10
同様にレイノルズ数を計算すると
N Re 
D p vr


0.0254 0.305 1.113
 446
5
1.93 10
式 (7.3-33) より
N Sh  2  0.552( N Re ) 0.53 ( N Sc )1/ 3  2  0.552 (446) 0.53  (2.505)1/ 3  21.0
式 (7.3-3) から
N Sh
Dp
L
 kC
 kC
D AB
D AB
それぞれの値を代入し，計算すると
kC  N Sh
DAB
6.92  106
 21.0 
 5.72  103 m/s
DP
0.0254
Table 7.2-1 から
kC C  kC
P
 kG P
RT
よって，T = 45 + 273 = 318 K より
kC
5.72  103
kG 

 2.163 109 kmol/(s m 2  Pa)
RT 8314 318
ガスが希薄であるため，yBM ≅ 1.0 ，k'G ≅ kG 。
A の一方拡散と考えて，pA1 = 74.0 Pa ，pA2 = 0 を式(7.2-12) に代入すると
N A  kG ( p A1  p A2 )  2.163 109 (74.0  0)  1.599 107 kmol/(s  m2 )
トータルの蒸発量は
N AD p2  1.599 107    (0.0254) 2  3.238 1010 kmol/s
無次元相関式の比較例
円管内乱流
2100  N Re
N Sh  0.023( N Re )0.83 ( N Sc )0.33
平板に沿う境界層の流れ
気体
N Sh  0.664( N Re,L )0.5 ( N Sc )1/ 3
液体
N Sh  0.99( N Re,L )0.5 ( N Sc )1/ 3
N Re,L  15000
600  N Re , L  50000
単一固体球のまわりの流れ
気体
液体
N Sh  2  0.552N Re 
0.53
N Sh  2  0.95N Re 
0.62
N Sc 1/ 3
N Sc 1/ 3
1  N Re  48000
2  N Re  2000
（補足）支配方程式の無次元化と無次元数の例
1）運動方程式
𝑣𝑦
𝑥 ∗ 𝑦
𝑣𝑥
∗
∗
= , 𝑦 = , 𝑣𝑥 = , 𝑣𝑦 = ,
𝐿
𝐿
𝑉
𝑉
𝑡
𝑝
𝑡∗ =
, 𝑝∗ =
𝐿 𝑉
𝜌𝑉 2
𝑥∗
（𝐿：代表長さ，𝑉：代表速度）
運動方程式（2次元，Newton流体，重力項なし）
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑝
𝜕 2 𝑣𝑥 𝜕 2 𝑣𝑥
𝜌
+ 𝑣𝑥
+ 𝑣𝑦
=−
+𝜇
+
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑥 2
𝜕𝑦 2
𝑉 2 𝜕𝑣𝑥 ∗
𝜕𝑣𝑥 ∗
𝜕𝑣𝑥 ∗
𝜌𝑉 2 𝜕𝑝∗
𝑉 𝜕 2 𝑣𝑥 ∗ 𝜕 2 𝑣𝑥 ∗
∗
∗
𝜌
+ 𝑣𝑥
+ 𝑣𝑦
=−
+𝜇 2
+
𝐿 𝜕𝑡 ∗
𝜕𝑥 ∗
𝜕𝑦 ∗
𝐿 𝜕𝑥 ∗
𝐿 𝜕𝑥 ∗ 2
𝜕𝑦 ∗ 2
∗
∗
∗
2𝑣 ∗
2𝑣 ∗
𝜌𝐿𝑉 𝜕𝑣𝑥 ∗
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑝
𝜕
𝜕
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
∗
∗
+
𝑣
+
𝑣
+
=
+
𝑥
𝑦
𝜇
𝜕𝑡 ∗
𝜕𝑥 ∗
𝜕𝑦 ∗ 𝜕𝑥 ∗
𝜕𝑥 ∗ 2
𝜕𝑦 ∗ 2
𝑁𝑅𝑒
𝜕𝑣𝑥 ∗
𝜕𝑣𝑥 ∗
𝜕𝑣𝑥 ∗ 𝜕𝑝∗
𝜕 2 𝑣𝑥 ∗ 𝜕 2 𝑣𝑥 ∗
∗
∗
+ 𝑣𝑥
+ 𝑣𝑦
+
=
+
𝜕𝑡 ∗
𝜕𝑥 ∗
𝜕𝑦 ∗ 𝜕𝑥 ∗
𝜕𝑥 ∗ 2
𝜕𝑦 ∗ 2
𝑦
2）拡散方程式（2次元，拡散係数一定）
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝐶𝐴
𝜕 2 𝐶𝐴 𝜕 2 𝐶𝐴
+ 𝑣𝑥
+ 𝑣𝑦
= 𝐷𝐴𝐵
+
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥 2
𝜕𝑦 2
𝑥
B.C.
A
𝐶𝐴
𝐶𝐴
∗
𝑡=0
= 𝐶𝐴
𝑥=0
= 𝐶0
𝐶𝐴
𝑦=0
= 𝐶𝑤
𝑁𝐴𝑦
𝑦=0
𝜕𝐶𝐴
= −𝐷𝐴𝐵
𝜕𝑦
𝐶𝐴 − 𝐶𝑤
=
𝐶0 − 𝐶𝑤
∗
∗
2𝐶 ∗
2𝐶 ∗
𝑉 𝜕𝐶𝐴 ∗
𝜕𝐶
𝜕𝐶
1
𝜕
𝜕
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
∗
∗
+
𝑣
+
𝑣
=
𝐷
+
𝑥
𝑦
𝐴𝐵
𝐿 𝜕𝑡 ∗
𝜕𝑥 ∗
𝜕𝑦 ∗
𝐿2 𝜕𝑥 ∗ 2
𝜕𝑦 ∗ 2
𝜇 𝜌𝐿𝑉 𝜕𝐶𝐴 ∗
𝜕𝐶𝐴 ∗
𝜕𝐶𝐴 ∗
𝜕 2 𝐶𝐴 ∗ 𝜕 2 𝐶𝐴 ∗
∗
∗
+ 𝑣𝑥
+ 𝑣𝑦
=
+
𝜌𝐷𝐴𝐵 𝜇
𝜕𝑡 ∗
𝜕𝑥 ∗
𝜕𝑦 ∗
𝜕𝑥 ∗ 2
𝜕𝑦 ∗ 2
𝑁𝑆𝑐 𝑁𝑅𝑒
∗
∗
2𝐶 ∗
2𝐶 ∗
𝜕𝐶𝐴 ∗
𝜕𝐶
𝜕𝐶
𝜕
𝜕
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
∗
∗
+
𝑣
+
𝑣
=
+
𝑥
𝑦
𝜕𝑡 ∗
𝜕𝑥 ∗
𝜕𝑦 ∗
𝜕𝑥 ∗ 2
𝜕𝑦 ∗ 2
= 𝑘𝐶 𝐶𝑤 − 𝐶0
𝑦=0
B.C.
𝐶𝐴
𝐶𝐴
𝑡=0
𝑦=0
𝑁𝐴𝑦
= 𝐶𝐴
𝐶𝐴 ∗
= 𝐶0
𝑥=0
𝐶𝐴 ∗
= 𝐶𝑤
𝑦=0
= −𝐷𝐴𝐵
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑦
𝜕𝐶𝐴
−𝐷𝐴𝐵
𝜕𝑦
𝜕𝐶𝐴 ∗
𝜕 𝑦∗
𝑦 ∗ =0
𝑥∗ =0
=1
=0
= 𝑘𝐶 𝐶𝑤 − 𝐶0
𝑦=0
𝑦=0
=
𝑦 ∗ =0
𝑡 ∗ =0
= 𝐶𝐴 ∗
𝐶0 − 𝐶𝑤 𝜕𝐶𝐴 ∗
= −𝐷𝐴𝐵
𝐿
𝜕 𝑦∗
𝑘𝐶 𝐿
= 𝑁𝑆ℎ
𝐷𝐴𝐵
𝑦 ∗ =0
= 𝑘𝐶 𝐶𝑤 − 𝐶0

Download Report