1 Anhang

1
Anhang
Wir wollen gebundene, resonante Streuzustände für S-Wellen (l = 0) an einem kugelsymmetrischen
Potentialtopf
−V0 für r < R
V (r) =
0
für r > R
untersuchen. Dazu verwendet man die Notation k02 = 2µV0 /~2 , K 2 = 2µ(V0 + E)/~2 , κ2 =
−2µE/~2 .
1.1
Teil E < 0
Sei zunächst E < 0. Man soll die folgende Form für die Lösung der Radialgleichung (für allgemeine
l) begründen:
Anl jl (Knl r)
für r < R
Rnl (r) =
(+)
Bnl Hl (iκnl r) für r > R
(±)
wobei Hnl (ρ) = −nl (ρ) ± ijl (ρ) und
l
jl (ρ) = (−ρ)
1 d
ρ dρ
l sin ρ
ρ
l
nl (ρ) = − (−ρ)
,
1 d
ρ dρ
l cos ρ
ρ
Für r < R verwendet man die bei r = 0 regulären sphärischen Besselfunktionen, die wie man
gesehen hat, die Radialgleichung löst. Die Neumannfunktionen kommen nicht in Frage, da diese
ein singuläres Verhalten bei r = 0 haben.
Für r > R ist die Wellenzahl κnl rein imaginär, man benötigt also ein exponentielles Abklingen
der Wellenfunktion, was nur die Henkelfunktionen leisten können.
Für ρ → ∞ gilt jedoch wegen dem asymptotischen Verhalten von nl (ρ) und jl (ρ):
(±)
−nl (ρ) ± ijl (ρ)
1
π
π
1
→
cos ρ − l
± i sin ρ − l
ρ
2
ρ
2
cos ρ − l π2 ±isin ρ − l π2
=
ρ
exp ±i ρ − l π2
=
ρ
Hnl (ρ)
=
(+)
(−)
Dadurch wird klar, dass nur Hnl in Frage kommt, da Hl divergiert.
Gewinnen Sie (im Fall l = 0) durch Aufstellen der Anschlußbedingungen bei r = R eine Bedingung
für V0 und R, die erfüllt sein muss, damit es N gebundene S-Zustände gibt.
Mit
j0 (ρ)
(+)
H0
(ρ)
=
=
sin ρ
cos ρ
,
n0 (ρ) = −
ρ
ρ
cos ρ
sin ρ
exp (iρ)
+i
=
ρ
ρ
ρ
ist die Lösung:
1
Rn0 (r)
=
An0 j0 (Kn0 r)
für r < R
(+)
Bn0 H0 (iκn0 r) für r > R
(
Rn0 (r)
d
Rn0 (r)
dr
n0 r)
für r < R
An0 sin(K
Kn0 r
exp(−κn0 r)
Bn0 iκn0 r
für r > R

 An0 cos(Kn0 r) − sin(Kn02r)
r
Kn0 r
=
r)
 Bn0 − exp(−κn0 r) − exp(−κn0
ir
iκn0 r 2
=
für r < R
für r > R
Aus den Anschlussbedingungen folgt wegen der Stetigkeit an r = R:
Bn0
exp (−κn0 R)
iκn0 R
Bn0
sin (Kn0 r)
Kn0 r
iκn0
= An0
sin (Kn0 R) exp (κn0 R)
Kn0
= An0
und wegen der Stetigkeit der Ableitung:
An0
cos (Kn0 R) sin (Kn0 R)
exp (−κn0 R) exp (−κn0 R)
−
+
=
−B
n0
R
Kn0 R2
iR
iκn0 R2
Bn0
sin (Kn0 R)
1
= −
(κn0 R + 1)
cos (Kn0 R) −
exp (−κn0 R)
Kn0 R
iAn0
κn0 R
sin (Kn0 R)
sin (Kn0 R)
cos (Kn0 R) −
= −
(κn0 R + 1)
Kn0 R
Kn0 R
sin (Kn0 R)
sin (Kn0 R)
cos (Kn0 R) = −
(κn0 R + 1) +
Kn0 R
Kn0 R
sin (Kn0 R)
Kn0
tan (Kn0 R) =
=−
cos (Kn0 R)
κn0
s s
2µ (V0 + E) /~2
V0
Kn0
=−
=− −
+1
(*)
tan (Kn0 R) = −
κn0
−2µE/~2
E
Die linke Seite ist immer reell, die rechte nur wenn VE0 + 1 ≤ 0 ist.
Damit es N gebundene S-Zustände geben kann, muss also V0 auf jeden Fall diese Bedingung
erfüllen:
−V0 ≤ E < 0
Damit ist jedoch nur eine notwendige Bedingung erfüllt.
Die Bedingung
Kn0
tan (Kn0 R) = −
κn0
entspricht exakt der Bedingung, die auf Blatt 2 Aufgabe 3. Dort wurde gezeigt, dass für N
Bindungszustände gelten muss:
2
V0
k0 R
1.2
π 2
~2 π 2 ~2
2
N
π
+
(2N + 1)
=
2µR2
2
8µR2
r
π
2µR2
=
V0 ≥ (2N + 1)
2
~
2
≥
Teil E > 0
Für den Fall E > 0 ist dieser Ansatz für die Radialwellenfunktion zweckmäßig k 2 = 2µE/~2 :
Al jl (Kr)
für r < R
Rl (r) =
Bl [cos δ l jl (kr) − sin δ l nl (kr)] für r > R
Man kennt das asymptotische Verhalten von jl (ρ) und nl (ρ) und erhält damit:
1
π
π
1
ρ→∞
= Bl [cos δ l jl (kr) − sin δ l nl (kr)] −→ Bl cos δ l sin kr − l
+ sin δ l cos kr − l
kr
2
kr
2
Bl h
π
π i Bl
π
=
cos δ l sin kr − l
+ sin δ l cos kr − l
=
sin kr − l + δ l
kr
2
2
kr
2
Also ist δ l tatsächlich die Streuphase. Nun soll man die Streuphase δ 0 sowie den totalen Wirkungsquerschnitt σ 0 für S-Streuung (l = 0) bestimmen.
Rl (r)
j0 (ρ) =
sin (ρ)
,
ρ
n0 (ρ) = −
cos ρ
ρ
Also ist:
R0 (r)
=
R0 (r)
d
R0 (r)
dr
=
A0 sin(Kr)
Kr
B0
kr [cos δ 0 sin (kr) + sin δ 0 cos (kr)]
A0
für r < R
Kr sin (Kr)
B0
sin
(kr
+
δ
)
für r > R
0
kr
=
B0
r
für r < R
für r > R
A0
r
A0
cos (Kr) − Kr
für r < R
2 sin (Kr)
B0
cos (kr + δ 0 ) − kr
sin
(kr
+
δ
)
für r > R
2
0
Mit den Anschlussbedingungen hat man:
B0 = A0
k sin (KR)
K sin (kR + δ 0 )
und wegen der Stetigkeit der Ableitung:
A0
cos (KR) −
R
A0
cos (KR) −
R
A0
sin (KR)
KR2
A0
sin (KR)
KR2
=
=
cos (KR) sin (kR + δ 0 )
=
sin (kR + δ 0 )
cos (kR + δ 0 )
=
tan (kR + δ 0 )
=
B0
B0
cos (kR + δ 0 ) −
sin (kR + δ 0 )
R
kR2
A0 k sin (KR)
A0
cos (kR + δ 0 ) −
sin (KR)
R K sin (kR + δ 0 )
KR2
k
sin (KR) cos (kR + δ 0 )
K
k sin (KR)
K cos (KR)
k
tan (KR)
K
3
Also hat man die Streuphase:
δ 0 = arctan
k
tan (KR) − kR + nπ
K
Damit hat man auch den Wirkungsquerschnitt σ 0 , da aus der Vorlesung bekannt ist:
σ0
=
=
≈
σ0
=
−1
4π
tan2 δ 0
1
4π
4π
2
sin δ 0 = 2
= 2
+1
k2
k 1 + tan2 δ 0
k tan2 δ 0
"
#−1
1
4π
+1
k
k 2 tan2 arctan K
tan (KR) − kR
"
"
#−1
2 #−1
4π
1
1
K
4π
1+
= 2 1+ 2
2
k
k2
k
k
tan (KR)
K tan (KR)
#
"
2 −1
KR
2
4πR2 (kR) +
tan (KR)
(Ohne Hinweis vom Blatt :-)
Für welche k0 R gibt es also Resonanz?
KR
Damit der Wirkungsquerschnitt σ 0 groß wird, muss tan(KR)
klein werden. Dies tritt genau bei den
Singularitäten von tan (KR) auf. Die Singularitäten liegen bei KR = (2n + 1) π2 :
π
π
= nπ + ≈ k0 R
2
2
π
Resonanzen treten also auf, wenn k0 R ≈ nπ + 2 ist.
Nun stellt sich die Frage, wie das Auftreten der Resonanzen im Verhältnis zu den gebundenen
Zuständen aus Teil (i) steht.
KR = (2n + 1)
Für die Resonanzen gilt: k0 R ≈ nπ + π2
Die Bedingung für gebundeneZustände ist: k0 R ≥ π2 (2N + 1) = N π +
π
2
Die Resonanzen treten also bei den Stellen auf, ab denen neue gebundene Zustände möglich werden.
(Auszug aus QM I Übungsblatt 12 von Fred Stober)
4

Download Report