「海洋大気圏環境学」課題 5 【解答】担当：荒井正純作成： 2016/7/19

「海洋大気圏環境学」課題 5 【解答】
担当：荒井正純
作成： 2016/7/19
海底が平坦な場合の傾圧モードの方程式 (5.1) において，u
e = 0 を代入すると，
−f ve = −g ′
∂η
,
∂x
(R5.1a)
∂e
v
∂η
= −g ′ ,
∂t
∂y
(R5.1b)
∂η
v
e ∂e
+H
= 0,
∂t
∂y
(R5.1c)
となる．まず，(R5.1a), (R5.1b) より，
∂2η
∂η
= −f ,
∂t∂x
∂y
(R5.2)
e ∂2η
∂η
g′ H
=−
,
∂t
f ∂y∂x
(R5.3)
e ∂3η
∂2η
g′ H
=−
.
∂t∂x
f ∂y∂x2
(R5.3)′
となる．一方，(R5.1b), (R5.1c) より，
となる．これを x について偏微分する．
(R5.2), (R5.3)’ より，
∂3η
f 2 ∂η
=
2
e ∂y
∂y∂x
g′ H
となる．これを y について積分すると，
f2
∂2η
=
η
e
∂x2
g′ H
が得られる．ここで，(5.11) で定義した内部変形半径を用いると，
∂2η
1
= 2η
∂x2
LR
(R5.4)
である．
この方程式の解として η = eλx なる形を仮定し，これを (R5.4) に代入すると，特性方程式が以下のよう
に得られる．
λ2 −
1
=0
L2R
この解は，
λ=±
1
LR
R19
となるから，(R5.4) の一般解は，
η = η̂e
− Lx
x
R
+ η̂ ′ e LR
となる．ここで η̂, η̂ ′ は (y, t) の任意関数である．本問では，陸岸付近に捕捉された解を対象とし，x → ∞
で η → 0 なる境界条件を満たす解を考える．この境界条件を満たすためには，η̂ ′ = 0 でなければならな
い．この場合，(R5.4) の解は，
η = η̂e
− Lx
R
(R5.5)
となる．
η̂ が (y, t) の関数であることに留意して，後の計算で必要となる (R5.5) の各種の偏微分を計算しておく．
∂ η̂ − Lx
∂η
=
e R,
∂t
∂t
∂η
1
− x
=−
η̂e LR ,
∂x
LR
∂2η
1 ∂ η̂ − Lx
=−
e R.
∂y∂x
LR ∂y
これらを (R5.3) に代入する．
e 1 ∂ η̂ − x
∂ η̂ − Lx
g′ H
e R =
e LR
∂t
f LR ∂y
両辺を e
− Lx
R
で割り，内部変形半径の定義 (5.11) を用いると，
∂ η̂
=
∂t
√
e ∂ η̂
g′ H
∂y
に帰着する．ここで便宜上，
√
e
c = g′ H
(5.14)
と置く．
∂ η̂
∂ η̂
=c
∂t
∂y
(R5.6)
この方程式には，F を任意関数とした時，y + ct を引数とした，
η̂ = F (y + ct)
なる形の一般解が存在する．これが (R5.6) を満足することを示す．引数を Y = y + ct と置くと，
∂ η̂
dF ∂Y
dF
=
=c
,
∂t
dY ∂t
dY
∂ η̂
dF ∂Y
dF
=
=
,
∂y
dY ∂y
dY
R20
(R5.7)
であるから，(R5.7) は確かに (R5.6) を満足する．
(R5.7) を (R5.5) に代入すると，最終的な一般解は，
x
−
η = F (y + ct)e LR ,
(R5.8)
となる．
【付記 1】
y
解 (R5.8) は −y 方向へ伝播する波である．このことを確かめる．解 (R5.8)
において，位置 y, 時刻 t と位置 y + ∆y, 時刻 t + ∆t の間で，位相（関
数 F の引数）が等しいとする．
陸岸
y + ct = y + ∆y + c(t + ∆t)
伝播方向
これより，
O
x
∆y
∆t = −c となるから，位相速度は，
√
∆y
e
lim
= −c = − g ′ H
∆t→0 ∆t
となり，負値であることがわかる．やはり，陸岸を右手に見る方向に伝播
する．
【付記 2】
G を任意関数とした時，y − ct を引数とした，
η̂ = G(y − ct)
なる形は，(R5.6) を満足しない．このことを確かめる．引数を Y = y − ct と置くと，
∂ η̂
dG ∂Y
dG
=
= −c
,
∂t
dY ∂t
dY
∂ η̂
dG ∂Y
dG
=
=
,
∂y
dY ∂y
dY
であるから，(R5.9) は明らかに (R5.6) を満足しない．
【付記 3】
流速の y 成分 ve の一般解は以下のように求められる．
(R5.1a) より，
ve =
g ′ ∂η
f ∂x
R21
(R5.9)
である．これに解 (R5.8) を代入すると，
ve = −
= −
x
−
g′ 1
F (y + ct)e LR
f LR
x
−
g′ f
√
F (y + ct)e LR
f
e
g′ H
√
∴
ve = −
x
−
g′
F (y + ct)e LR
e
H
(R5.10)
と求まる．これを，順圧モードが 0, 即ち，u = v = 0 の場合の関係式 (4.26), (4.27) を用いて，上層の流速
v1 と下層の流速 v2 に書き換えると，
√
x
−
H − H1
F (y + ct)e LR ,
HH1
(R5.11a)
x
−
H1
F (y + ct)e LR ,
H(H − H1 )
(R5.11b)
v1 = − g ′
√
v2 =
g′
となる．
上層の流速の向きは，位相の伝播方向と同じ −y 方向，下層の流速の向きはそれとは反対の +y 方向で
あることがわかる．
R22

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