基礎電磁気学演習

開講学期：
科目名：
教室：
２０１５年前期
基礎電磁気学演習
Ａ―１１１
担当教員：後藤太一, [email protected]
基礎電磁気学演習
学籍番号：＿＿＿＿＿＿＿＿＿
氏名：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
第０３回電場とガウスの法則
3.1 一様な線密度 [C·m-1]の正電荷が無限に長い直線状に分布しているとき，この直線状電荷から距
離 r 離れた点 P における電場を求めよ．
3.2
無限平面に電荷密度 (>0) [C·m-2]で一様に分布する面状電荷の作る電場を求めよ．
3.3 半径 rB で厚みのない球殻表面に，合計-e (< 0)の電荷が一様に分布
している．中心からの距離を r として以下の問いに答えよ．
(１) r > rB の点にできる電場を，ガウスの法則を用いて求めよ．
(２) r < rB の点にできる電場を，ガウスの法則を用いて求めよ．
(３) さらに球の中心に電気量+e の点電荷を入れると水素原子のモデルに
なる(右下図)．このとき合成電場の動径方向成分を，r の関数として図示せ
よ．
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３．１
【問題】一様な線密度 [C·m-1]の正電荷が無限に長い直線状に分布しているとき，この直線状電荷から
距離 r 離れた点 P における電場を求めよ．また，r の関数として図示せよ．
【解答】
電荷の分布した直線を直線 L と呼ぶことにする．まず，
点 P にできる合成電場の方向が，点 P から直線 L に引い
た垂線にそって外向きであることを示す．
点 P から直線 L に引いた垂線の足を点 O とする．直線
L の任意の点 A に，長さ dx の微小素片を考える．直線 L
の上に，線分 OA と線分 OB の長さが等しくなる点 B をとり，
そこにも長さ dx の微少素片を考える．2 つの微小素片に含
まれる電荷の量は等しく，点 P までの距離も等しいので，
両者が点 P に作る電場の大きさは等しい．それぞれの電
場を直線 L に垂直な成分と，平行な成分に分けると，後者
は打ち消しあう(図参照)．すなわち，直線 L 上の任意の電荷が点 P に作る電場のうち，直線に平行な成
分は必ず『反対側』にいる電荷により打ち消されることが示された．
そこで以降は直線 L に垂直な成分だけの重ね合わせを考えればよい．直線 L に沿って x 軸をとり，
x~x+dx の区間からなる微小素片は電荷dx を含む．これが点 P に作る電場 dE の大きさは
dE 
dx
4 0 (r 2  x 2 )
dE  dE cos 
であり，図のようにをとれば直線 L に垂直な成分は，
dx
4 0 (r 2  x 2 )
ここで，図から tan  


1
1
x
であることを用いれば，
d  dx であるから，
2
r
r
cos 
dx
dE  
cos となる．
  x 2 
4 0 r 2 1    
 r 



 1 
4 0 r 

2
 cos  
cos  
cos 
dx

4 0 r 1  tan 2 
2

cos 　1
dx
r
1


cos 2 
d 
cos d
2
4 0 r
4 0 r
cos 
となる．
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すべての電荷からの寄与を加えるためには，dE⊥を 
について積分すれば良いので，

E   dE 
4 0 r

2
から

2
まで




  cos d  4 0 r sin  2  2 0 r
2
2
2
となる．
図のように反比例するグラフになる．
３．２
【問題】無限平面に電荷密度 (>0) [C·m-2]で一様に分布する面状電荷の作る電場を求めよ．
【解答】
無限平面とは，無限の半径を持った円板と考えてよいので，
E // 


(1  cos  0 ) 
2 0
2 0

1 




2
2 
x b 
x
x
ただし， cos  0 
x2  b2


において， b    0 

 の極限をとればよい．
2
したがって，
E // 

2 0

   
1  cos   
 2   2 0

となる．
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３．３
【問題】
3.3 半径 rB で厚みのない球殻表面に，合計-e (< 0)の電荷が一様に分布している．中心からの距離を r
として以下の問いに答えよ．
(１) r > rB の点にできる電場を，ガウスの法則を用いて求めよ．
(２) r < rB の点にできる電場を，ガウスの法則を用いて求めよ．
(３) さらに球の中心に電気量+e の点電荷を入れると水素原子のモデルになる(右下図)．このとき合成電
場の動径方向成分を，r の関数として図示せよ．
【解答】
(１) 電荷分布が球対称なので，ガウスの法則で用いる閉曲面 S としては同じ対称性の球面を考える．す
なわち，電荷が分布している球面と中心を共有する半径 r の球の表面を閉曲面に選び，
真空中のガウスの法則
1
 E (r )  n(r )dS  
S
 ( S内の全電荷) ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・①
0
を適用して電場を求める．まず左辺の積分を考える．(1)の解答より，S 上では電場の大きさは一定
なので，これを E(r)とする．電場の向きは動径方向で外向きであるから，これは S の各点におけ
る法線方向成分に等しい．したがって S 上の任意の点で E ( r )  n( r )  E ( r ) となる．この量は S 上
で入っていなので，積分の外側に取り出すことができ，
 E (r )  n(r )dS   E (r )dS  E (r ) dS  4r
S
S
S
2
E ( r ) ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・②
となる．一方 rB≦r では S 内の電荷量は-e であるから，①式の右辺は 
e
0
となる．これを②式と
等しいとおけば，
4r 2 E ( r ) 
e
0
 E (r ) 
e
( r  rB ) ・・・・・・・・・・・・・・・・③
4 0 r 2
を得る．
（２）考える領域が 0 < r < rB になっても，電場は系の対称性を反映して球対称になっている．したがって，
閉曲面 S として，問(2)のときと同じ球の表面で，半径だけが 0 < r < rB となったものを選ぶ．今度の S 内に
は電荷がないから，①式の右辺はゼロとなり，

S
E (r )  n(r )dS 
0
0
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・④
となる．球対称性のため，この S 上の任意の点で E ( r )  n( r )  E ( r ) となり，その値は S 上では一定で
ある．したがって，④式の左辺の計算結果は②式と同じになる．したがって，
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 E (r )  n(r )dS   E (r )dS  E (r )
S
S
S
dS 4r 2 E (r )  0
となり，
E ( r )  0 (0  r  rB ) ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・⑤
を得る．
(３) この問題もガウスの法則を用いて解く．中心においた点電荷も，球殻も，電荷分布としては球対称で
あるから，球殻の内部，外部に拘わらず，電荷も球対称であることは(1)~(3)と同じ．したがって，ガウスの
法則を適応する際に閉曲面 S をこれまでのように半径 r の球に選ぶと，①式の左辺の積分は，r の大きさ
によらず②式になる．あとは①式右辺の S の半径に応じて，
e
(0  r  rB )
    0
(S内の全電荷) ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・⑥
0
0　(r  rB )

1
と場合分けすればよい．
0 ≦ r ＜ rB のとき，S 内の電荷は+e であるので，
 E (r )  n(r )dS   E (r )dS  E (r ) dS 4r
S
S
S
2
E (r ) 
e
0
となり，
E (r ) 
e
4 0 r 2
(0  r  rB ) ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・⑦
を得る．
rB ＜ r のとき，S 内の電荷は+e + (-e) = 0 であるので，
 E (r )  n(r )dS   E (r )dS  E (r ) dS 4r
S
S
S
2
E (r ) 
0
0
となり，
E ( r )  0 ( r  rB ) ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・⑧
を得る．
⑦式と⑧式を図示すると以下のようになる．
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【別解】
中心に＋e の点電荷が追加された場合，全体の電場は，球殻が単独で作った電場（問(2)と(3)の答え）
に，点電荷が作る電場を重ね合わせれば求まる．原点にある＋e の点電荷が任意の点に作る電場は外
向き動径方向を向いており，
E (r ) 
e
4 0 r 2
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・⑨
であることがわかっている．全体の電場は③式と⑤式を重ね合わせれば得られる．その結果，球殻の外
部ではゼロ，内部では⑨式となる．
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