null

応用数学II
岩谷素顕
11-1
今日の講義内容
 グルサーの公式
 留数定理
・留数とは？
・留数の求め方
・留数による積分
11-2
これから学ぶ周回積分の解き方
積分路内は
全て正則

C
f z 
dz
z 
f z 
C z   n dz
複数個の極が
存在する
11-3
D
コーシーの積分公式
C
α
D
グルサーの公式
極
留数定理
D
これらの公式を使って積分を解いていきます
求める積分の形
f z 
C z   n dz
C
極
グルサーの公式の導出
C
α
D
αは積分路内に存在する
11-4
C
コーシーの積分定理
「グルサーの公式」はどのような場
合を解くための公式か？
f z 
C z   n dz の形の積分を解くための公式
C
α
D
11-5
αは積分路内に存在する
復習：コーシーの積分公式
f(z) は領域D で正則である。D 内に単一閉
曲線C がありC の内部は領域D に含まれ
ているとする。任意の点がC の内部にあ
れば次の等式が成り立つ。
1
f z 
f ( ) 
dz

C
2i z  
f z 

dz  2i  f ( )
C z 
α
C
D
ただし、積分はCが囲む領域に対して、正の向きに行うも
のとする。
11-6
閉曲線Cに囲まれた領域Dで正則で、かつC上で
連続な関数の、D内の任意の点zにおける値f(z)は、
コーシーの積分公式から、
1
f  
f ( z) 
d

2i C   z
で与えられる。同様にして領域D内の点z+zで、f(z+z)は、
1
f  
f ( z  z ) 
d

C
2i    z  z 
となるから、
11-7
f ( z  z )  f  z 
f  
f  
1
1
d 
d



2iz C    z  z 
2iz C   z
z




f  
f   
1


d
2iz C    z  z    z 
 f      z   f      z  z  
1

d

  z  z   z 
2iz C 


f  
1 

d

2i C    z  z   z  
となる。z→0の極限をとると、
lim
z 0
 f   
f ( z  z )  f  z 
1
 f z  

d
z
2i C    z 2 
で与えられる。同様にf’’(z)、f’’’(z)も、C上の周回積分で表されるこ
とが示される。このことから以下のような公式が導かれる。
11-8
グルサーの公式
領域Dでf(z)が正則ならば、D内でf(z)は何回でも微分可能で、
そのn階導関数f(n)(z)は
f n  z  
n!  f   
d

n 1 

C
2i    z  
 f   
2i n 
 
d

f z 

n 1 
C 
n!
   z 
で与えられる。ただし、CはD内の閉曲線で、点zを正の向きに1
周するものとする。
11-9
例題次の積分の値を求めよ。ただし、各積分路はすべて
正方向とする。
y
z3  2
C z  14 dz
2i
C={z| |z|=2}
点z=-1は円Cの内部にある。そこで、
f(z) = z3+2とすると、これは正則な関
数なので
f’(z) = 3z2
f’’(z) = 6z
f’’’(z) = 6
f (1) 
11-10
f z 
3!
dz
4

C
2i  z  1
C
O
f z 
2i
2i



dz

f
(

1
)

 6  2i
4
C 
3!
3 2
z  1

x
2
演習次の積分の値を求めよ。ただし、各積分路は正方向と
y
する。
2i
z2
C
C z  3z  12 dz C={z| |z|=2}
x
点z=1は円Cの内部にある。そこで、
O
2
f z  
z2
z 3
とすると、これはCの内部では正則な関数なので
1  z  3  z  2   1
5

z  32
z  32
1
f z 
f (1) 
dz
2

C
2i  z  1
f z  
11-11
5
5i
f z 

2
(
1
)
2
dz

i
f

i







2
C 
4
2
z  1


Download Report