基礎数学C レポート2 解答例(2015/04/16)

基礎数学 C レポート 2 解答例 (2015/04/16)
問題 2 (10 点) n ≥ 1 が 2 の倍数であるとき，an = 1，それ以外のときは an = 0 と
する．この数列 an に対して，連続性の公理 R17-2 を適用して得られる実数 b は 1/3
に等しいことを示せ．ただし，級数の収束・発散はまだ定義していないので，等比
級数の和の公式は使用を禁止する (ヒント: 等比数列の N 番目までの和の公式はも
ちろん使用してよい．はさみうちの原理をうまく利用しよう)．
答え 1 sN :=
∑∞
n=1
an /2n とおく．公理 R17-2 から定まる実数 b は，不等式たち
sN ≤ b ≤ sN + 1/2N
for all N = 1, 2, . . .
(1)
をみたす唯一つの数である．
さて，N が偶数の場合，sN = 1/22 + · · · + 1/2N は公比 1/4，初項 1/4，項数 N/2
の等比数列の和だから，
(
)
1
1 1 − 4N/2
1
1
sN = ·
=
1− N .
(2)
4
3
2
1 − 14
また N が奇数の場合 (N ≥ 3 の場合のみを考えることにする)，sN = 1/22 + · · · +
1/2N −1 は公比 1/4，初項 1/4，項数 (N − 1)/2 の等比数列の和だから，
(
)
1
1 1 − 4(N −1)/2
1
1
sN = ·
=
1 − (N −1) .
(3)
4
3
2
1 − 14
ところで N → ∞ のとき 1/2N → 0 だから，N → ∞ のとき sN → 1/3 がわかる．
はさみうちの原理を不等式 (1) に用いれば，b = 1/3 となる．
答え 2 実数 1/3 が不等式 (1) をみたす，つまり
sN ≤ 1/3 ≤ sN + 1/2N
for all N = 1, 2, . . .
(4)
を示せば，b の唯一性から b = 1/3 がしたがう．この不等式たちをチェックする．
Case 1. N が偶数のとき．
sN は (2) で与えられる．sN ≤ 1/3 は明らかである．一方，
sN +
1
1 2 1
= + · N
N
2
3 3 2
より，確かに 1/3 ≤ sN + 1/2N である．
Case 2. N が奇数のとき．
sN は (3) で与えられる．sN ≤ 1/3 は明らかである．一方，
sN +
1
1 1 1
=
+ ·
2N
3 3 2N
より，確かに 1/3 ≤ sN + 1/2N である．
以上のことから，(4) が示された．

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