2016年度実解析第一・第二配布問題 (第12回)

2016 年度実解析第一・第二配布問題 (第 12 回)
今回以降，(Xi , Fi , µi ) を測度空間とする (i ∈ N)．
142 Ai ⊂ 2Xi とする (i = 1, 2)．
(1) σ(A1 × A2 ) ⊂ σ(A1 ) ⊗ σ(A2 ) を示せ．
∪
(2) ある Bn′ ∈ A1 (n ∈ N) により n∈N Bn′ = X1 が成り立つとする．また，A′2 ∈ A2 に対し
′
′
て，G A2 := {A ∈ σ(A1 ) | A × A′2 ∈ σ(A1 × A2 )} とおく．G A2 = σ(A1 ) を示せ．
∪
(i)
(i)
(3) ある Bn ∈ Ai (n ∈ N) により n∈N Bn = Xi が成り立つとする (i = 1, 2)．
σ(A1 ⊗ A2 ) = σ(A1 ) ⊗ σ(A2 ) を示せ．
143 X1 , X2 を可分な距離空間とする．B(X1 × X2 ) = B(X1 ) ⊗ B(X2 ) を示せ．
144 (F1 ⊗ F2 ) ⊗ F3 = F1 ⊗ (F2 ⊗ F3 )，(µ1 ⊗ µ2 ) ⊗ µ3 = µ1 ⊗ (µ2 ⊗ µ3 ) を示せ．
145 N ∈ N µ1 , A2 ∈ 2X2 \ F2 とする．N × A2 ∈ F1 ⊗ F2
146 (X1 × X2 , F1
を示せ．
µ1
µ2
µ1 ⊗µ2
\ F1
µ1
⊗ F2 , µ̄1 ⊗ µ̄2 ) の完備化は (X1 × X2 , F1 ⊗ F2
⊗ F2
µ1 ⊗µ2
µ2
を示せ．
, µ1 ⊗ µ2 ) に一致すること
∫
147 f : R → [0, ∞] を m2 -可積分関数とし，
f dm2 = 1 とする．(R2 , B(R2 )) 上の測度 ν を
2
R
∫
ν(A) :=
f dm2 で定める．このとき，以下の (i)(ii) が同値になることを示せ．
2
A
(i) ある (R, B(R)) 上の確率測度 ν1 , ν2 により ν = ν1 ⊗ ν2 と書ける．
(ii) ある B(R)-可積分関数 fi : R → [0, ∞] (i = 1, 2) が存在して，
f (x, y) = f1 (x)f2 (y) m2 -a.e.(x, y) ∈ R2 .
148 f : X → [0, ∞] を可測関数とする．各 t ≥ 0 について，Et := {x ∈ X | f (x) ≥ t} とする．
∫
∫
(1)
µ(Et )m1 (dt) =
f dµ を示せ
[0,∞)
X
(2) ある α > 1 と C > 0 で，µ(Et ) ≤ Ct−α とする (t > 0)．f が µ-可積分なことを示せ．
−y(1+x
149 f : R2 →
∫ R を f (x, y) := e
示し，
f dm2 を求めよ．
2)
√
y sin y と定める．f が [0, ∞)2 上で m2 -可積分であることを
[0,∞)2
∫
sin x − xe−x
1
m1 (dx) = 1 を示せ．
150
ye
m1 (dy) = 2 を用いて，
x
x2
(0,∞)
(0,∞)
∫
Γ(1 − α) α
e−ax − e−bx
151 0 ≤ a < b, 0 < α < 1 に対し
m1 (dx) =
(b − aα ) を示せ．
α+1
x
α
(0,∞)
∫
−xy
24
∫
∞
∫
∫
R
sin x
(a) 各 α ≥ 0，R > 0 で，
e sin x dxdt =
e−αx
dx を示せ．
x
α
0
0
∫ ∞
sin x
π
sin x
(b) 各 α ≥ 0 で，
dx = − arctan α を示せ (注：
は [0, ∞) 上で m1 -可積分
e−αx
x
2
x
0
ではない)
∫ 1
153 p, q > 0 に対して，B(p, q) :=
xp−1 (1 − x)q−1 dx と定める．
152
R
−tx
0
Γ(p)Γ(q)
を示せ．ただし 156 を用いてはならない．
Γ(p + q)
√
(2) 前小問を利用して Γ(1/2) = π を示せ．
∫ 1∫ 1
∞
∑
(− log(xy))s
1
154 * s > 1 とする．
dxdy = Γ(s + 2)
を示せ．
s+2
1 − xy
n
0
0
n=1
∫
d
f (x − y)g(y)md (dy) が md -a.e.
155 f, g : R → R を md -可積分関数とする．このとき，f ∗ g(x) :=
(1) B(p, q) =
Rd
x ∈ R で有限値になり，従って新しい関数を定める事，および，∥f ∗ g∥1 ≤ ∥f ∥1 ∥g∥1 を示せ (こ
の f ∗ g を f と g の合成積 or 畳み込み (convolution) という)．
156
(1) α > 0 に対して，fα (x) := 1(0,∞) xα−1 e−x とおく．α, β > 0 に対して fα ∗ fβ = fα+β を示せ．
(2) 89 の φ(t, x) を φt (x) と書くことにする．φt ∗ φs = φt+s を示せ．
∫
d
157 * ρ : R → [0, ∞) を滑らかな関数で，|x| ≥ 1 のとき ρ(x) = 0，かつ
ρ dmd = 1 とする．ε > 0
Rd
(
)
1
x
に対して，ρε : Rd → R を ρε (x) = d ρ
で定める．f : Rd → R を md -可積分関数とする．
ε
ε
また，fε : Rd → R を fε := ρε ∗ f (記号は 155 の通り) で定める．
(1) fε ∈ C ∞ (Rd ) を示せ．
∫
(2) lim
|fε − f | dmd = 0 を示せ．
ε↓0
Rd
(
(注：このような ρε を軟化子 (mollifier) という．例としては，exp −
)
1
1(−1,1) (x) を，その
1 − x2
(−1, 1) 上での積分値で割った関数がある．また，fε を，軟化子 ρε による f の平滑化 (mollification)
という (もとの f には一切の微分可能性が仮定されていない事に注意！))
158 f, g を Rd 上の可積分関数とする．このとき，各 ξ ∈ Rd で f[
∗ g(ξ) = fˆ(ξ)ĝ(ξ) が成り立つこと
を示せ (記号は各々, 90 , 155 の通り)．
(
)
1
(x − z)2
159 * t > 0 とする．各 z ∈ C に対して ψz : R → C を ψz (x) := √
exp −
で定める．
4t
4πt
∫
(1) 各 z ∈ C で ψz は m1 -可積分であること，および，Ψ(z) :=
ψz dm1 とすると Ψ は整関数
R
であることを示せ．
(2) 前小問を用いて，ψ̂0 (ξ) = exp(−tξ 2 ) を示せ (記号は 90 の通り)．
25

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