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解答上の注意
1. 解答は解答用紙に記入し、計算式の欄には計算過程を記述しなさい。
2. 分数形で解答する場合、それ以上約分できない形で答えなさい。
3
6
例えば、
と答えるところを、
のように答えてはいけません。
4
8
3. 根号を含む形で解答する場合、根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい。
√
√
例えば、4 2 と答えるところを、2 8 のように答えてはいけません。
また、分数は分母を有理化して答えなさい。
以下の問いに答えなさい。
問1
問2
2x2 + x + 3
x2 − x − 3 を展開しなさい。
x2 + 3x − 9 x2 + 3x + 1 − 11 を因数分解しなさい。
問3
0.1̇23̇ を分数で表しなさい。
問4
U = {x | 0 x 10 の整数 } の部分集合 A, B について、A ∩ B = {1, 3, 6, 7} ,
A ∩ B = {4} , A ∩ B = {2, 5, 10} であるとき、A を求めなさい。
√
√
2
2
√
√ とするとき、次の式の値を求めなさい。
y=√
問5 x= √
3+ 2 ,
3− 2
(1) x + y
(3) x2 + y 2
(2) xy
以下の問いに答えなさい。
問1
ボールを真上に投げ上げてから x 秒後の地上からの高さ y m が y = −2x2 + 20x で
表されるとき、ボールが地上 32 m 以上 44 m 以下の高さとなる x の値の範囲を求
めなさい。
問2
ABC において、sin ∠C = 2 sin ∠A cos ∠B の関係が成り立つとき、ABC はど
のような三角形か答えなさい。
II 1 辺の長さが 1 の正三角形 ABC において、辺 BC 上に ABD : ADC = 1 : 2 とする
点 D を考えるとき、以下の問いに答えなさい。
問1
BD の長さを求めなさい。
問2
AD の長さを求めなさい。
問3
sin ∠ADC の値を求めなさい。
V 1 辺の長さが 6 の立方体 ABCD-EFGH において、図のように辺 CB および CD をそれぞ
れ 1 : 2 に内分する点を I, J とするとき、以下の問いに答えなさい。
問1
ICJ と FGH の面積比を求めなさい。
問2
辺 FI, GC, HJ の延長線上の交点を K とするとき、三角錐 K-FGH の体積 V3 を求
めなさい。
問3
立方体 ABCD-EFGH を平面 FIJH で二分してできる 2 つの立体について、小さい
方の立体の体積を VS 、大きい方の体積を VL とするとき、その体積比を求めなさい。
問4
四角形 FIJH の面積 S4 を求めなさい。
問1
計算式
BD, DC をそれぞれの三角形の底辺と考えると、高さは同じであるから
2x4 − x3 − 4x2 − 6x − 9
41
333
ABD : ADC = BD : DC = 1 : 2
1
BD =
3
(x + 1) (x + 2) (x − 2) (x + 5)
A = { 0, 4, 8, 9 }
BD =
答え
1
3
問2
計算式
√
2 6
2
20
ABD に対する余弦定理より
AD = AB2 + BD2 − 2 AB · BD cos ∠ABD
√
7
=
3
√
AD =
答え
2x5−
√
3,
5+
√
7
3
問3
3x8
計算式
正弦定理より
AC = BC である二等辺三角形
AC
AD
=
sin ∠ADC
sin
√ ∠ACD
3 21
sin ∠ADC =
14
√
3 21
sin ∠ADC =
14
答え
問3
計算式
K-ICJ : K-FGH = 13 : 33 = 1 : 27
26
VS =
V3 = 52
27
VL = 63 − VS = 164
VS : VL = 13 : 41
計算式
題意より BI : IC = 2 : 1 であるから
IC : FG = IC : BC = 1 : 3
ゆえに
VS : VL = 13 : 41
答え
ICJ : FGH = 12 : 32 = 1 : 9
問4
計算式
KFH の高さを h と置くと、三平方の定理より
答え
ICJ : FGH = 1 : 9
2
h +
2
1
FH = KF2
2
√
h = 3 11
問
2
計算式
KFH の面積を S3 と置くと
問 1 より KC : KG = 1 : 3 であるから
S3 =
1
KG = KC + CG =
CG + CG = 9
2
1
V3 =
FGH · KG = 54
3
答え
√
1
FH · h = 9 22
2
問 1 より KIJ : KFH = 1 : 9 であるから
S4 = KFH − KIJ
1
= KFH −
KFH
9
√
= 8 22
V3 = 54
√
S4 = 8 22
答え

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