¨Ubungsblatt 9

Übungsblatt 9
Harmonische Analysis, SoSe 2016
Prof. Dr. Jürgen Saal, Dr. Matthias Köhne
Abgabe: KW 26 in der Übung
Gruppenübungen
Aufgabe 11: (`p -Räume)
Seien F ∈ { R, C } und A ein normierter linearer Raum über F. Man zeige, dass k · kp : `p (A) −→ [0, ∞),
kakp :=
∞
X
! p1
kak kpA
a = (ak )k∈N ∈ `p (A) :=
,
n
α = (αk )k∈N ⊆ A : kαkp < ∞
o
k=1
für 1 ≤ p < ∞ eine Norm auf `p (A) darstellt. Ferner zeige man, dass die Inklusionen
`1 (A) ( `p (A) ( `q (A) ( c0 (A),
1<p<q<∞
gelten und kontraktiv sind.
Hausübungen – 3 + 3 + 2 Punkte
Aufgabe 21: (c0 , c und `∞ )
Seien F ∈ { R, C } und A ein normierter linearer Raum über F. Man zeige:
a) c0 (A) ist ein abgeschlossener Unterraum von c(A) (und damit auch von `∞ (A));
b) c(A) ist ein abgeschlossener Unterraum von `∞ (A), falls A vollständig ist;
c) `∞ (A) ist vollständig, falls A vollständig ist.
Aufgabe 22: (`p -Räume)
Seien F ∈ { R, C } und A ein normierter linearer Raum über F. Man zeige, dass `p (A) für 1 ≤ p < ∞ vollständig
ist, falls A vollständig ist.
Aufgabe 23: (Duchschnitte normierter Räume)
Seien F ∈ { R, C } und X0 , X1 normierte lineare Räume über F, so dass es einen linearen Raum X̄ über F gibt
mit X0 , X1 ⊆ X̄. Man zeige, dass das Funktional k · k∆ : X0 ∩ X1 −→ [0, ∞),
kxk∆ = max { kxk0 , kxk1 },
stets eine Norm auf X0 ∩ X1 definiert.
x ∈ X0 ∩ X1

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