Prozessautomatisierung 2 Praktikum

Johannes Kepler Universität Linz
Institut für Regelungstechnik
und Prozessautomatisierung
Prozessautomatisierung 2
Praktikum
v
ẋ = Ax + Bu
y = Cx + Du
u
y
ẇ = Âw + B̂u u + B̂y y
x̂ = Ĉw + D̂u u + D̂y y
x̂
K
Stand: SS 2016
Sven-Olaf Lindert
Organisation
Ansprechpersonen
Bei Fragen zu den Aufgaben stehen Ihnen am Institut
• Sven-Olaf Lindert
zur Verfügung. Vor jedem Praktikum werden zwei Tutorien angeboten. Die Termine werden zeitgerecht auf der Institutshomepage http://www.regpro.jku.at/ veröffentlicht.
Nach Möglichkeit bitte Fragen im Tutorium abklären.
Praktikumsdurchführung
Das Praktikum wird grundsätzlich in Zweiergruppen absolviert. Die Gruppeneinteilung
erfolgt in der Vorbesprechung. Die Aufgabenstellungen werden zeitgerecht auf der Institutshomepage im Downloadbereich zur Verfügung gestellt. Alle PraktikumsteilnehmerInnen müssen mit der Lösung der Aufgabenstellungen vertraut sein. Um dies zu überprüfen
werden in unregelmäßigen Abständen Einzelaufgaben gestellt.
Rechnerraum
Der Rechnerraum (MT 0404 - Science Park 4. Stock) steht allen PraktikumsteilnehmerInnen zur Verfügung. Sie können Ihre Keplerkarten für die Dauer des Praktikums freischalten
lassen. Folgende Punkte sind zu beachten:
• Der Rechnerraum muss nach dem Benützen wieder ordnungsgemäß verlassen und
versperrt werden.
• Zu zwischenspeichern Ihrer Daten nutzen Sie bitte das Laufwerk E:\>. Bitte legen
Sie keine Dateien dauerhaft auf den Rechnern ab. Die Laufwerke werden gelegentlich
von den Studentendaten gesäubert, d.h. bringen Sie ins Praktikum ihre Daten auf
einem Datenträger (USB-Stick, externe Festplatte, CD,...) mit.
1
• Stecken Sie keine dSpace-Verbindungskabel bei laufenden Rechnern um! Bei unsachgemäßer Behandlung kann es zur Beschädigung der dSpace-Karten kommen.
Sollten die Arbeitsplätze nicht für den Betrieb der Streckensimulatoren vorbereitet
sein, so wenden Sie sich bitte an einen Institutsangestellten.
• Sollten bei den Rechnern technische Gebrechen auftreten, so ist dies ebenfalls am
Institut zu melden!
• Es ist nicht möglich mit den Laborrechnern ins Internet zu gelangen.
• Nutzen Sie die Software Maple 2015, Matlab R2015A und dSPACE Control Desk 5.4. Es sind auch andere installiert. Kontrollieren Sie, ob ihre Dateien
kompatibel sind. Im Praktikum kann keine Rücksicht auf nicht funktionierende Ausarbeitungen genommen werden, und es ist nicht möglich das Praktikum mit einem
privaten Rechner zu absolvieren!
2
Kapitel 1
Identifikation mit parametrischen
Modellen und Regelungsnormalform
Der erste Teil des ersten PAT 2 Praktikums steht im Zeichen der Identifikation dynamischer Systeme. Im Gegensatz zu den nicht parametrischen Methoden, welche in PAT 1
behandelt werden, sollen hier so genannte parametrische Methoden zur Anwendung kommen. Dabei geht es darum die Koeffizienten einer Übertragungsfunktion zu bestimmen.
Die Algorithmen beruhen darauf, dass ein zuvor definierter Fehler minimiert wird. Dieser
Fehler ist im Speziellen als die quadratische Abweichung zwischen einem Modellsignal und
dem tatsächlich gemessenen Signal gegeben. Ziel ist vor allem die Behandlung und praktische Anwendung von industriell bereits weitverbreiteten Identifikationsverfahren, aber
auch die Vermittlung des tieferen Verständnisses dieser Verfahren.
Die Identifikation soll in 3 Schritten erfolgen:
1. in der Simulation,
2. am Streckensimulator,
3. am realen Modell.
Dazu ist es notwendig die Verfahren geeignet zu implementieren, sodass sie sowohl in der
Simulation als auch am Signalprozessor getestet werden können.
Neben der Identifikation werden systemtheoretische Untersuchungen und die Berechnung
von Normalformen behandelt.
1.1
Matlab-Programme für die Identifikation
Im ersten Teil dieses Praktikums sollen die in der Vorlesung vorgestellten Algorithmen
zur Identifikation linearer zeitinvarianter Systeme in Matlab/Simulink implementiert
werden.
3
1.1. Matlab-Programme für die Identifikation
Kapitel 1. Identifikation
Aufgabe 1.1 Offline- und Online-Identifikation.
Ein lineares, zeitinvariantes System ist durch seine z-Übertragungsfunktion
m
P
G(z) = i=0
n
P
bi z i
mit an = 1
ai
zi
i=0
eindeutig beschrieben. Die Identifikation wird nach der Methode der gewichteten kleinsten
Quadrate durchgeführt. Für den Fehler e wird die Norm
p
kekQ = eT Qe mit Q = diag q N , q N −1 , . . . , 1 ∈ RN ×N , 0 < q ≤ 1
verwendet.
1. Implementieren Sie in Matlab zwei Programme zur Offline-Identifikation, wobei
dem ersten die Berechnung mit den Matrizen und dem zweiten die Berechnung mit
den rekursiven Formeln zugrunde liegt. Die Programme sollen in der Form
G = identOff (u, y, m, n, q, Ta)
bzw. G = identOffRek (u, y, m, n, q, Ta)
mit den Übergabeparametern
u
y
n
m
q
Ta
Eingangsfolgenwerte
Ausgangsfolgenwerte
Nennergrad
Zählergrad
Gewichtungsfaktor
Abtastzeit in s
und dem Rückgabeparameter
G
identifizierte Strecke ( tf-Objekt)
aufgerufen werden können. Der Test der Algorithmen gelingt durch Vorgabe einer
z-Übertragungsfunktion und Simulation.
2. Implementieren Sie in Matlab/Simulink den Algorithmus zur Online–Identifikation mit Hilfe der gewichteten kleinsten Quadrate als Blockdiagramm. Kapseln Sie
das Diagramm in ein Subsystem, das die Ein- und Ausgänge nach Bild 1.1 aufweist.
u
y
O n lin e
Id e n tific a tio n
a
b
P
Abbildung 1.1: Simulink-Block zur Online-Identifikation.
Als Blockparameter sollen der Zählergrad m, der Nennergrad n, das Gewicht q und
die Abtastzeit Ta verwendet werden. Testen Sie Ihre Implementierung anhand verschiedener einfacher Strecken in Simulink.
4
Kapitel 1. Identifikation
1.2
1.2. Der Wassertank
Der Wassertank
Das Labormodell Wassertank ist im Bild 1.2 dargestellt. Dabei handelt es sich um zwei
gekoppelte Behälter, deren Füllstandshöhen h1 und h2 mittels Pumpen beeinflusst werden
können. Als Aktuatoren dienen die Pumpenmotore M1 und M2 mit den Ankerspannungen
uM P,1 und uM P,2.
q
x
d
1
h
u
M P ,1
M
1
q
q
M P ,2
M
a b ,1
z u ,2
x
u
1
d 1(x 1)
2
h
2
d 2(x 2)
2
q
a b ,2
Abbildung 1.2: Das Labormodell Wassertank.
1.2.1
Mathematische Beschreibung
Für die mathematische Beschreibung dieses Aufbaus können folgende Vereinfachungen
getroffen werden.
• Die Dichte ̺ des Fluids kann als konstant angenommen werden.
• Die Volumenströme qzu,1 , qzu,2 der Aktuatoren können über die Motorspannungen
uM P,1, uM P,2 nach der Beziehung
qzu,1 = kM P,1 uM P,1
qzu,2 = kM P,2 uM P,2
eingestellt werden. Hier wurden die Maschinenkonstanten kM P,1, kM P,2 eingeführt.
• Die Behälter weisen die Form eines vierseitigen Pyramidenstumpfes mit quadratischer Grundfläche auf. Die Kantenlängen eines Querschnittes sind durch d(xi ) =
d0,i + ki xi , i = 1, 2 gegeben.
• Die Strömungsgeschwindigkeiten des Fluids vab,1 , vab,2 am Abfluss der Behälter können durch die Torricelli’sche Ausflussformel
p
p
vab,1 = 2g h1 , vab,2 = 2g h2
beschrieben werden. Die Abflussquerschnitte seien mit Aab,1 , Aab,2 bezeichnet.
5
Kapitel 1. Identifikation
1.2.2. Aufgaben
Im Weiteren werden als Ausgangsgrößen die Volumenströme qab,1 , qab,2 und die Füllstandshöhen h1 , h2 verwendet.
1.2.2
Aufgaben
Aufgabe 1.2 Modellbildung des Wassertankmodells.
1. Bestimmen Sie mit obigen Angaben ein mathematisches Modell des Eintankmodells
(Bild 1.3).
q
zu
q
e x t
x
h
u
M P
d (x )
M
q
a b
Abbildung 1.3: Das Eintankmodell.
2. Bestimmen Sie weiters ein mathematisches Modell des Zweitankmodells (Bild 1.2)
unter Verwendung der Ergebnisse aus Punkt 1.
Aufgabe 1.3 Linearisierung (mit Maple)
1. Berechnen Sie den stationären Zustand xs als Funktion der stationären Ankerspannungen uP M,1s > 0, uP M,2s > 0 für qd = 0.
2. Ermitteln Sie das linearisierte Modell um einen allgemeinen stationären Arbeitspunkt.
Für die folgenden Simulationen und Untersuchungen sollen die Parameter
̺ = 1000 kg/m3
g = 9.81 m/s2
Aab,1 = 0.01 m2
uM P,1 ≤ 24 V
Aab,2 = 0.01 m2
uM P,2 ≤ 24 V
kM P,1 = 1 · 10−3 m3 /Vs
kM P,2 = 1 · 10−3 m3 /Vs
k1 = 0.5
d0,1 = 0.1 m
k2 = 0.4
d0,2 = 0.2 m
verwendet werden.
6
(1.1)
Kapitel 1. Identifikation
1.3. Der Torsionsschwinger
Aufgabe 1.4 Implementierung des Simulationsmodells.
1. Implementieren Sie das ermittelte Zweitankmodell aus Aufgabe (1.2) als M-Code-SFunction (siehe Automatisierungstechnik Praktikum) in Simulink.
2. Um eine S-Function auf die dSpace Hardware laden zu können, ist es notwendig,
diese in der Sprache C zu schreiben. Eine Einführung in diese genannten C-Code-SFunctions befinden sich in der Matlab Hilfe → Simulink → Block Creation → HostSpecific Code. Dort finden Sie auch Beispiele. Der S-Function-Builder ist dabei ein
empfehlenswertes Tool.
Implementieren Sie das Eintankmodell aus Aufgabe (1.2) als C-Code-S-Function.
3. Testen Sie beide S-Functions ausführlich. Vergleichen Sie die Simulationsergebnisse der M-Code-S-Function mit den Ergebnissen von zwei kaskadierten C-Code-SFunctions. Prüfen Sie die Ergebnisse auf Plausibilität. (Während des Praktikums ist
keine Zeit C-Programme zu debuggen!)
Aufgabe 1.5 Offline- und Online-Identifikation.
1. Bestimmen Sie für das linearisierte Modell und die stationären Eingangsgrößen
uM P,1s = 20 V, uM P,2s = 10 V die Übertragungsmatrix
G11 (s) G12 (s)
G(s) =
,
G21 (s) G22 (s)
wobei die Übertragungsfunktionen durch G11 =
ĥ1
,
ûM P,1
G12 =
ĥ1
,
ûM P,2
G21 =
ĥ2
,
ûM P,1
G22 = ûMĥ2P,2 definiert sind. Zeichnen Sie das Bodediagramm der Übertragungsfunktion G21 (s).
2. Berechnen Sie die z- und q-Übertragungsmatrix des linearisierten Modells für die
Abtastzeit Ta = 100 ms sowie den unter Punkt 1 angeführten Arbeitspunkt, der auch
für die weiteren Aufgabenstellungen herangezogen werden soll.
3. Schalten Sie in Simulink auf das nichtlineare Zweitankmodell eine geeignete Impulsfolge auf und ermitteln Sie mit Hilfe der Offline-Identifikationsprogramme
die zugehörigen z-Übertragungsfunktionen. Vergleichen Sie diese mit den nominellen Übertragungsfunktionen. Hinweis: Beachten Sie die Arbeitspunktaufschaltung!
4. Schalten Sie in Simulink auf das nichtlineare Zweitankmodell eine geeignete Impulsfolge auf und ermitteln Sie mit Hilfe des Online-Identifikationsprogrammes aus
Aufgabe 1.1 Punkt 2 die jeweils zugehörigen z-Übertragungsfunktionen. Vergleichen
Sie diese mit den nominellen Übertragungsfunktionen.
7
Kapitel 1. Identifikation
i
u
A
A
R
L
u
A
1.3. Der Torsionsschwinger
A
u
M
A
, w 1, j
M
1
L
, w 2, j
w 3, j
2
3
i
F
c
q
G le ic h s tro m a n trie b
c
1
q
1
2
2
q
3
D re h fe d e r-M a s s e -S c h w in g e r
M e ssu n g
Abbildung 1.4: Schematischer Aufbau des Torsionsschwingers.
1.3
Der Torsionsschwinger
Bild 1.4 zeigt den schematischen Aufbau des Labormodells Torsionsschwinger. Dabei wird
an eine permanenterregte Gleichstrommaschine ein mechanisches System, bestehend aus
drei Schwungmassen, die über zwei Torsionsfedern verbunden sind, angekoppelt.
Unter der Voraussetzung, dass keine Sättigungseffekte auftreten, lautet das mathematische
Modell der Gleichstrommaschine
1
(uA − RA iA − km ω1 )
LA
1
(km iA − MLast )
=
Θ1
i̇A =
ω̇1
mit der Ankerspannung uA , dem Ankerstrom iA , der Drehwinkelgeschwindigkeit ω1 , der
Ankerinduktivität LA , dem Ankerwiderstand RA , der Motorkonstanten km , dem Trägheitsmoment Θ1 und dem Lastmoment MLast . Das vom Motor erzeugte Moment beträgt
demnach MA = km iA .
Mit Θ1 , Θ2 und Θ3 werden die Trägheitsmomente der drei Stränge und mit c1 und c2
die Torsionssteifigkeiten der beiden Kopplungsfedern bezeichnet. Weiters wirken in den
Lagern geschwindigkeitsproportionale Reibmomente mit den Reibkoeffizienten d1 , d2 und
d3 sowie auf die Schwungmasse 2 ein Lastmoment ML .
1.3.1
Das Labormodell
Beim Labormodell wurden nachfolgende Daten experimentell festgestellt.
LA = 895.7 µH
Θ1 = 25.652 · 10−6 kgm2
RA = 6.382 Ω
Θ2 = 6.442 · 10−6 kgm2
km = 41 · 10−3 Nm/A
Θ3 = 5.097 · 10−6 kgm2
uA ≤ 24 V
d1 = 3.984 · 10−6 Nms
c1 = 1.719 · 10−3 Nm/rad
d2 = 0.918 · 10−6 Nms
c2 = 1.719 · 10−3 Nm/rad
d3 = 2.397 · 10−6 Nms
8
Kapitel 1. Identifikation
1.3.2
1.3.2. Aufgaben
Aufgaben
Aufgabe 1.6 Modellbildung des Torsionsschwingers.
Die Motorspannung uA dient als Stellgröße, als Ausgangsgröße wird die Winkelgeschwindigkeit ω3 herangezogen. Für die Untersuchungen der ersten beiden Punkte gilt ML = 0.
1. Ist das System mit den Zustandsgrößen xT = [iA , ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 , ω1 , ω2 , ω3 ] vollständig
erreichbar / vollständig beobachtbar? Führen Sie diese Untersuchungen (mit symbolischen Parametern) in Maple durch.
2. Ist das System mit den Zustandsgrößen xT = [iA , ϕ2 − ϕ1 , ϕ3 − ϕ2 , ω1 , ω2 , ω3 ] vollständig erreichbar / vollständig beobachtbar?
3. Den Ausgangspunkt für die folgenden Betrachtungen bildet das Zustandsmodell (des
vollständig erreichbaren und beobachtbaren Systems)
uA
ẋ = Ax + B
ML
y = cT x .
Implementieren Sie dieses Modell in Simulink unter Verwendung obiger Daten.
4. Berechnen Sie die Übertragungsfunktion G(s) mit ûA als Eingangsgröße und ω̂3 als
Ausgangsgröße.
5. Berechnen Sie die Übertragungsfunktionen G(z) und G# (q) mit Ta = 10 ms.
Aufgabe 1.7 Offline- und Online-Identifikation.
1. Schalten Sie in Simulink auf das Modell des Torsionsschwingers eine geeignete
Impulsfolge auf und ermitteln Sie mit Hilfe der Offline-Identifikationsprogramme
die zugehörige z-Übertragungsfunktion. Vergleichen Sie diese mit der nominellen
Übertragungsfunktion.
2. Schalten Sie in Simulink auf das Modell des Torsionsschwingers eine geeignete
Impulsfolge auf und ermitteln Sie mit Hilfe des Online-Identifikationsprogrammes
aus Aufgabe 1.1 Punkt 2 die zugehörige z-Übertragungsfunktion. Vergleichen Sie
diese mit der nominellen Übertragungsfunktion.
9
Kapitel 1. Identifikation
1.4
1.4. Ein elektrisches Netzwerk
Ein elektrisches Netzwerk
Bild 1.5 zeigt ein aktives elektrisches Netzwerk mit der Eingangsspannung uE und der
Ausgangsspannug uA . Der Operationsverstärker wird für die nachfolgenden Betrachtungen
als ideal angenommen.
u
C 1
C
R
R
3
1
1
+
_
u
R
E
R
2
u
C
4
u
C 2
A
2
R
5
Abbildung 1.5: Elektrisches Netzwerk.
1.4.1
Das Labormodell
Die Realisierung dieses Modells beruht auf folgenden Bauteilwerten
R1 = 330 kΩ
R5 = 100 kΩ
R3 = 110 kΩ
C1 = 100 nF
R4 = 100 kΩ
C2 = 33 nF ,
wobei der Widerstand R2 als Potentiometer ausgeführt ist und im Bereich von 322 kΩ bis
332 kΩ variiert werden kann.
1.4.2
Aufgaben
Aufgabe 1.8 Modellbildung des elektrischen Netzwerks.
1. Bestimmen Sie das mathematische Modell des elektrischen Netzwerks und implementieren Sie dieses in Simulink. Achten Sie darauf, dass die Parameter einfach
zu verändern sind.
2. Berechnen Sie den Wert von R2 so, dass für die Eigenwerte λi des Systems gilt
Re(λi ) = 0.
3. Berechnen Sie die Übertragungsfunktion des Systems im s-, z- und q-Bereich für
Ta = 1 ms.
10
Kapitel 1. Identifikation
1.5. Realisierung am DSP
4. Berechnen und zeichnen Sie in Abhängigkeit von R2 die Pol- und Nullstellen der
Übertragungsfunktionen.
5. Ist das elektrische Netzwerk vollständig erreichbar / vollständig beobachtbar?
Aufgabe 1.9 Offline- und Online-Identifikation. Wählen Sie dazu einen Wert für
R2 , für den das System BIBO-stabil ist.
1. Schalten Sie in Simulink auf das Modell des elektrischen Netzwerks eine geeignete
Impulsfolge auf und ermitteln Sie mit Hilfe der Offline-Identifikationsprogramme
die zugehörige z-Übertragungsfunktion. Vergleichen Sie diese mit der nominellen
Übertragungsfunktion.
2. Schalten Sie in Simulink auf das Modell des elektrischen Netzwerks eine geeignete
Impulsfolge auf und ermitteln Sie mit Hilfe des Online-Identifikationsprogrammes
aus Aufgabe 1.1 Punkt 2 die zugehörige z-Übertragungsfunktion. Vergleichen Sie
diese mit der nominellen Übertragungsfunktion.
1.5
Realisierung am DSP
Sowohl bei der Identifikation als auch bei der Implementierung von Regelungsaufgaben
hat man das Problem, Echtzeitanforderungen erfüllen zu müssen. Im Praktikum werden
wir ein inzwischen sehr weit verbreitetes System der Firma dSpace verwenden, welches es
erlaubt, die Algorithmen für den digitalen Signalprozessor (DSP), graphisch unter Matlab/Simulink zu entwickeln. Durch den in der Umgebung integrierten C-Codegenerator,
C-Compiler und Linker kann aus dem Simulink-Blockschaltbild der Echtzeit-Assemblercode für den digitalen Signalprozessor erstellt werden.
Um unter Matlab/Simulink auch die am Signalprozessorboard vorhandenen Analog/Digital Converter (ADC) und Digital/Analog Converter (DAC) ansprechen zu können, stellt
dSpace eine zusätzliche Bibliothek für Simulink zur Verfügung, welche ADC- und DACBlöcke enthält, die somit einfach in das Blockschaltbild integriert werden können.
Auf der Institutshomepage im Downloadbereich finden Sie ein Datenblatt dieses Signalprozessorsystems (dSpace DS1104), welches Ihnen einen Einblick in dessen Leistungsfähigkeit und Architektur geben soll.
1.5.1
Streckensimulator
Der Streckensimulator wird dazu verwendet, die mathematischen Modelle der Strecke
getrennt von der Stellgrößenaufschaltung (bzw. später vom Regler) ablaufen zu lassen.
Hierzu sollen jeweils 2 Signalprozessorsysteme zusammengeschaltet werden, wobei einer
das Eingangssignal bzw. das digitale Regelgesetz realisiert und der zweite DSP die Strecke
darstellt. Der Vorteil gegenüber der reinen Simulation liegt darin, dass dabei die Strecke
asynchron zum Regler ablaufen kann und alle realen Störungen wie Mess- und Quantisierungsrauschen, sowie die Wandlungszeit der A/D- und D/A-Wandler bereits auf das
Gesamtsystem wirken.
11
Kapitel 1. Identifikation
1.6. Die Regelungsnormalform
In Tutorial dSpace Matlab2013b.pdf finden Sie eine Einführung und ein erstes Beispiel
Aufgabe 1.10 Reduzieren Sie das vollständig erreichbare und vollständig beobachtbare
mathematische Modell des Torsionsschwingers um das elektrische Teilsystem, indem Sie
d
iA → 0 bilden. Die so erhaltene algebraische Gleichung kann nach iA
den Grenzübergang dt
gelöst und eingesetzt werden. Implementieren Sie das reduzierte Modell am Streckensimulator. Verwenden Sie für die einzelnen Modelle Subsystem-Blöcke, damit Sie diese einfach
austauschen können. Führen Sie weiters die Offline-Identifikation am Streckensimulator durch.
Aufgabe 1.11 Führen Sie die Online-Identifikation für das mathematische Modell des
Torsionsschwingers aus Aufgabe 1.10 am Streckensimulator durch.
1.6
Die Regelungsnormalform
Die Eigenwertvorgabe für lineare, zeitinvariante Systeme wird besonders anschaulich und
kann auch automatisiert werden, wenn das zu regelnde System in der Regelungsnormalform vorliegt. Aus diesem Grund wird ein wichtiger Punkt dieses Praktikums die Transformation auf die Regelungsnormalform sein. Dazu betrachten wir in einem ersten Schritt
das Eingrößensystem
ẋ = Ax + bu
mit


1 −1 0
0 1  ,
A= 0
−2
1 1


−1
b= 1  .
0
Aufgabe 1.12 Zeigen Sie, dass dieses System vollständig erreichbar ist.
Aufgabe 1.13 Überlegen Sie sich die Vorgehensweise um die Normalformen im Eingrößenfall zu erhalten, welche im PAT2 Skriptum beschrieben ist.
Aufgabe 1.14 Normalformen
1. Transformieren Sie das System sukzessive auf die Normalform (2.7)


  a
 
1
0 ··· ···
0
11
ẋ1
x1
a21
a22 1
0 ···
0 
 ẋ2  
 

 .  
 x.2  
.
.
.


.
.
.
..
.. .. ..
..   .  
 .   ..
.  
 .  

 .  =  ..

+
.
.

.. ..
 ..   .
 ...  
0



 

 ẋn−1  
 xn−1  
 an−1,1 · · · · · · · · · . . .

1
ẋn
xn
an,1 · · · · · · · · · · · · an,n
0
0
..
.
..
.
0
1





u



des PAT2 Skriptums unter Verwendung des beschriebenen Eliminationsalgorithmus.
Testen Sie ihr Ergebnis auf Plausibilität (Beispielsweise durch Vergleich der charakteristischen Polynome). Konstruieren Sie in jedem Schritt die Matrizen Ni , N̄i , bi , b̄i
und führen Sie ihre Berechnungen in Maple durch.
12
Kapitel 1. Identifikation
1.6. Die Regelungsnormalform
2. Transformieren Sie das System auf die Normalform (2.8)









ẋ1
ẋ2
..
.
..
.
ẋn−1
ẋn


 
 
 
 
=
 
 
 
−an−1
−an−2
..
.
..
.
−a1
−a0
1
0
0
..
.
0
0
0
1

··· ··· 0
x1


0 · · · 0   x2
. . . . ..   ..
.
. .  .
0
 .
.. ..
 .
.
. 0 
 .
· · · · · · 0 1   xn−1
··· ··· 0 0
xn


 
 
 
 
+
 
 
 
0
0
..
.
..
.
0
1





u



des PAT2 Skriptums unter Verwendung der Transformation, welche die einzelnen
Eliminationsschritte zusammenfasst. Testen Sie ihr Ergebnis auf Plausibilität (Beispielsweise durch Vergleich der charakteristischen Polynome).
Der Mehrgrößenfall gestaltet sich im Vergleich zum Eingrößenfall etwas aufwändiger und
soll im Praktikum programmiert werden. Überlegen Sie sich vorbereitend die Vorgehensweise um die Normalformen im Mehrgrößenfall zu erhalten, welche im PAT2 Skriptum
beschrieben ist.
13

Download Report