イ プ シ ロ ン 2015. Vol ｡ 57, 147 − 152 コンピ ュータを利用し た数学の指導 について 一大学入試問題を題材としてー 愛知県立千種高等学校 熊 谷 達 也 私 は 高大 連 絡委 員 会 とい う委員 会に 所 属 して い る。 主 な 活動 は 、毎 年6 月 第3 土 曜 日 に名 城 大 学 を会 場 と して 『 大 学入 試 問題 研 究 会 』 が行 われ てお り、 会 の 運営 側 と し て 参加 し てい る。 そ の 際、 研 究 会 に向 け て大 学 の 先生 と打 合 せを す る 機 会 もあ り 、 大学 側 の 出題 意図 や 高 校 の数 学 教 育に 対 す る 要望 等 の意 見 を 交 わす こ と が でき 、 と て も勉 強 に なっ て い る。 ま た 、研 究 会 では 各 大 学 の発 表 と発 表 の 間 の 休憩 時 間 をい た だい て毎 年Grapes の発 表 も し て い る。 今 回 は 、 私か 高 大 の担 当 と なっ た7 年 間 の発 表 の一 例 を 研 究発 表 の 形 に し、 ま と め た も ので あ る。 さ ら に、 本 校生 徒 に 対し て3D-Grapes を 利 用 し た授 業 の 実 践報 告 で あ る。 1 は じめ に 前任のGrapes 担当の先生から引き継ぐ形で7 年前からGrapes の発表を担当している。 発表 の意図は、その年の大学入試問題 の中から特定の問題をピ ックアップし、Grapes を用い て問題 の図形的背景を示すことにあ る。 Grapes は 友 田 勝久 先 生 （ 大阪 教 育 大学 附 属 高 等学 校 ） が 開発 され たフ リ ー ソ フ ト で、 パ ソコ ン の画 面 上 に 陽関 数 、陰 関 数 、媒 介 変 数 表示 の関 数お よび 極 方 程式 の グ ラ フ を描 き 、 そ れ を様 々 な角 度 か ら 調 べる こ と がで き る。 ま た3 次元 のグ ラフ を 表 示 で き る3D-Grapes さら にGrapes もあ る。 の 主 な特 徴 を ま とめ る と、 以 下 の こ とが 挙 げ ら れる。 （1 ） 高校 数 学で 扱 うほ とん ど の 関数 や 図 形 、ベ クトル を 自由 に 組 み合 わせ て 使 うこ とが で きる （2 ） パ ラ メ ー タを 用い て 動 か す こ とが で き 、そ れ ら の 軌跡 を 描 く と とも に 残 像 とし て 残 す こ とが で き る （3 ） 関数 は 数 学で 記 述す る よ うに、 そ の ま ま入 力 す れ ば グラ フ が表 示 で き る （4 ） ズー ム 、 ワイ ド 、移 動 な ど 、表 示 エ リ ア の変 更 がい つ で も 自 由 にで き る 以上の特徴を踏まえ、毎年発表に適した入試問題を選んでいる。特に（2）に挙げられるGrapes のメリットを生かし、動きがあって黒板では説明しにくい軌跡の問題を動かしたり、積分の問題 （特に回転体に関するもの）を3D-Grapesを用いて考察した。この発表は、私かGrapes担当 と して 行っ てき た 内容 を 紹 介し 、 授 業 実践 報 告 を す る。 147 熊 谷 達 也 2 発表内容 (1) 2008 年 愛知 教 育 大 学 前 期 日程 1 番 （3 次 曲線 にお け る 接 線 の本 数 ） 名城大学 薬学部 B方式 3番 （放物線における2接線の交点の軌跡） 南山大学 経済学部 A方式 Ⅱ （3次曲線における極値の中点の軌跡） 名 古屋 大 学 前 期 日程 文 科 系学 部 2 番 （線 形 計画 法 ） (2) 2009 年 名 古 屋 市 立 大 学 前 期 日 程 医 学 部 3 番 （回 転 体 ※3D-Grapes) 南山大学 外国語学部 英米 総合政策学部 A方式 Ⅱ （軌跡） 一 次 変 換 に お け るGRAPES 中 京 大 学 情 報 理 工 学 部 I 活 用 例 （3 ） 番 （ 円 周 上 の 点 と 定 点 に お け る 中 点 の 軌 跡 ）- 年 2009 年 発表 例 発表例 2008 （3 ）2010 年 名 古 屋 市 立 大 学 中 期 日 程 薬 学 部 2 番 （ 媒 介 変 数 、 軌 跡 ）- 豊橋技術科学大学 前期日程 2番 （空間座標※3D-Grapes) 南山大学 外国語学部・法学部 Ⅱ （軌跡） (4) 2011 - 年 名 古 屋 大 学 前 期 日 程 理 科 系 1 名 古 屋 工 業 大 学 前 期 日 程 3 148 一 （行 列 ） 番 （ 回 転 体 ※3D-Grapes) 番 （行 列 ※Script) コ ンピ ュ ー タ を利 用 し た 数学 の 指 導 につ い て 一大 学 入 試 問題 を題 材 と し て ー (5) 2012 年 愛知 教育大学 前期日程 4 番 （円と球の共通部分の体積 ※3D_Grapes) 愛知教育大学 前期日程 3 番 （包絡線 ※3D-Grapes) 名 古屋市立大学 中期 日程 3 番 （アステロイド） (6) 2013 年 名 城 大 学 法・ 都 市 情報 学 部A 方 式 3 番 （ 極方 程 式 、 カ ー ジ オイ ド 、 包絡 線 ） 名 古 屋 大 学 理 科系 4 番 （サ イ クロ イ ド ） 豊橋 技術 科 学 大 学 3 番 （回 転 体 ※3D-Grapes) 149 熊 谷 達 也 3 実践内容 （1 ） 対 象 3 年 生 理 系1 クラ ス （35 名 ） を対 象 と し 、1 時 間 の 授業 内 で 行っ た。 こ の ク ラ スは 理 系 クラ スで あ る が農 学 系 、看 護 系 を 志望 す る 生 徒 も多 く 、入 試 科 目に 数 学Ⅲ を 必 要 とし な い 生 徒 もい る。 数 学 が苦 手 な生 徒 が 他 の理 系 ク ラ ス と比 べ る と多 い クラ ス であ る。 （2 ） 内容 名古屋工業大学４番(2014年度入試）の問題【資料1】を生徒に解答させた。途中、 3D-Grapes でヒ ン ト 【図1 ∼3 】を 提示 し て 、完 答 を 目 指 し解 答 さ せ た。 終 了後 、 ア ン ケ ー ト 【図4 】 を行 い 、 そ の結 果 を 考 察し た。 （3 ） 結果 アンケート結果から以下のような数値が得られた。どの設問も概ね、ヒントの前後で正解 者が増加し、3D-Grapesにおける成果がみられた。しかし、設問（5）では回転体のイメージが で きて も 、 実際 に 積 分 を使 っ て 計算 が で き る かは 別 の 問題 だ と痛感 した 。 ま た 、設 問2 で は 「座 標空 間内 に お け る 立 方 体 がイ メー ジ で き た か 」 とい う 質問 に 対 し て 、 「容 易 に イ メ ー ジ で き た」 と回 答 し た 生 徒 が62.9% 、「ま あ ま あ で き た 」 が37.1 % であ っ た。 さら に 設 問3 で 「座標 空 間 内 にお け る 回 転 体 がイ メ ー ジ でき た か 」 とい う質 問 に 対 して 、「容 易 にイ メ ー ジ でき た 」 と回 答 し た 生 徒 が71.4 % 、「ま あ ま あ でき た 」 が 28.6％であった。よって、今回は全員の生徒が立方体、回転体をイメージできたと回答した。 さい ご に 、Grapes に 対 し て肯 定 的 な 意 見 の他 に3D-Grapes の わ か りづ らい 点 、 問 題点 に つい て 質 問し た 。 普 通 教室 に電 子 黒 板 用 の ス クリ ー ン とプ ロ ジ ェ ク タを 持 ち 込 んで 行 っ た の で 「後 ろ の席 は 見 づ らい 」、「光 の反 射 で 見 えに く い 」 とい う視 覚的 な 問 題 点 をあ げ る 生 徒 が 多 かっ た。 な か に は 「入 試 で使 えな い 」、「紙 と平 面 で ど うに か 空 間を イ メ ー ジで き る よ う に した 方 がい い 」 等 の もっ と も な意 見 も で た。 数 学 が 得 意な 生 徒 は 「で き る 限 り個 人 に イ メ ー ジに 任 せ た方 が いい 」 や 「ヒ ン ト後 だ と 、 具体 的 に形 が わか っ て しま っ て 閃 き が鍛 え ら れ な い 」 とい っ た 意 見 もあ り、 大変 興 味 深い アン ケ ー ト 結果 とな っ た。 ヒント の 前 後 正解者(人) 割合 150 (1) 前 後 前 12 34 13 (2) 後 (3) 前 後 (4) 前 後 (5) 前 後 32 11 3 1 30 23 34.3% 97.1% 37.1% 91.4% 31.4% 85.7% 8.6% 6 65.7% 2.9% 17.1% 上昇率 95.8% 87.5% 80.8% 63.6% 14.7% 変化なし 0.0% 4.2% 11.5% 33.3% 85.3% 下降率 4.2% 8.3% 7.7% 3.0% 0.0% コ ンピ ュ ー タ を利 用 し た 数 学 の指 導 に つ い て 一大 学 入 試 問 題 を 題材 とし て ー 4 まとめ と今 後 の 課 題 パ ソコ ン を用 い た授 業 で は 準備 に時 間 が か か り大 変 だ とい う先 入 観 が あっ た が、Grapes には 「 関数 」機 能 が 複数 用 意 さ れ てお り 、 あ る程 度 問題 が解 け てい れば 、 複 雑 な数 式 を 入力 す る必 要 が ない の で比 較 的短 時 間 で 教材 作成 が 行 えた。 ま た、 普 通 教 室 で授 業 を 行っ た ので 、プ ロ ジ ェ ク タや パ ソ コン の セ ッテ ィ ン グ に多 少 時 間 が かか っ た が、 生 徒 に 問題 を 解 かせ て い る 間 に 準備 が で き たの で それ ほ ど気 にな ら な かっ た。 今 回 の 授業 にお け る生 徒 の反 応 は 、 思い のほ か 良好 で 、 普 段 の授 業 よ り も質 問 や 意 見 が多 く み ら れた。 ま た、 ア ン ケー ト 結果 から 空 間図 形 や 回 転 体を イ メ ー ジす る際 に 大変 有 効 な ツ ール で あ る こ とを 再認 識 し た。 し か し 、図 形 が イ メー ジ で き るこ とと 問題 が解 け る こ と とは 別 次 元 の問 題 であ り、 計算 力 な ど の基 本 的 な力 がよ り 大切 で あ る こ とを 痛 感 させ られ た。 さ らに 、 入試 問 題 を 取 り上 げ た た め、 実 際に は 本 番 で使 え ない こ とを 念頭 に お い て 、紙 とえ んぴ つ を 使 い 平 面 上で ど う 処理 を して い く か を教 え てい く こ との 重 要性 も感 じ た 。 加 え て 、数 学 が 得 意な 生 徒 に 対し て は 閃 き の機 会 を 奪い か ねな い の で 注意 が 必 要で あ る。 最後 に 、 毎 日の 授業 で パ ソ コン を 利 用 し よ う とは 思 わな い。 た だ、 問 題 のイ メー ジ を湧 かせ る 「 とっ か か り」 、 理 解す る 「 きっ かけ 」 とい う意 味 で は とて も 有 効な ツ ー ル であ る。 そ れ と同 時 に 、 ど うやっ て 生 徒 自 らが イ メ ージ で き る よ うに もっ て い け る か が今 後 の 課題 で あ る。 5 参考 .ac.jp/ Grapesの解説及び入手先はhttp://www.osaka-kyoiku や3DGRAPES tomodak/grapes/より、ver6.90 1.65 をダウンロードできる。 資料１ 2014年度入試 名古屋工業大学４番 座標空間に立方体Kがあり，原点Oと3点A(a,b,0),B(r,s,t,,C(3,0,0)が次の条 件を満たしている。 (i) OA,AB, BCは立方体Kの辺である (ii)OC は立方体K の辺ではない (iii) b>0,t>0 このとき，以下の問いに答えよ。 (1)立方体Kの一辺の長さlを求めよ。 (2) 点A の座標を求めよ。 (3) 点B の座標を求めよ。 (4) 辺AB 上の点P からx 軸に下した垂線の足をH(x,0,0) とする。 PHの 長さをxを用いて表せ。 (5)立方体Kをx軸を回転軸として1回転させて得られる回転体の体積Vを求めよ。 151 熊 谷 達 也 図3 152 （ヒ ン ト3 ま と め） 図4 アンケート用紙
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