物理システム工学科3年次「物性工学概論」第3回金はなぜ金ぴかか

物理システム工学科３年次
物性工学概論
第３回講義2004.4.27
火曜１限0023教室
大学院ナノ未来科学研究拠点
量子機能工学分野
佐藤勝昭
第２回の演習問題
問1：
Naは原子１個につき１個のs電子を結晶に供給する。Na
の結晶構造は体心立方(bcc)で、格子定数はa=0.43nm
である。Naの電子密度を求めよ。
[ヒント] 1つの単位胞(unit cell)に原子はいくつあるか。８
つのコーナーに1/8個ずつ、体心に１個。計２個。これを
単位胞の体積で割れば、電子密度が得られる。
[解答] n=2/(0.43nm)3 =25.15×1027m3=2.515×1022cm-3 単位はm-3 またはcm-3 です。
第２回の演習問題
問2：
金属は、展性をもち叩いて箔(はく)状に延ばすことができ
るが、シリコンなどの半導体単結晶に衝撃を加えると、
劈開(へきかい)して破壊される。この違いを、原子結合
の違いから説明せよ。
[解答] 金属においては、原子同士が接近していて、外殻
のs電子は互いに重なり合い、分子軌道を形成する。電
子は、それらの分子軌道を自由に行き来し、もとの電子
軌道から離れて結晶全体に広がり非局在電子となる。金
属の場合、叩いて塑性変形しても非局在電子の海に正
の原子核が浮かんでいる状態を保つことができるので、
箔に引き延ばすことができる。一方、半導体結晶では、
価電子は共有結合を作って原子間の結合分子軌道に局
在しているので、結合は明確な方向性をもち、変形する
と結合が保てなくなって、結晶面どうしがスリップしてず
れ、破壊が起きる。
講義内容
金属の色：金、銀、銅、鉄、白金
３原色：加法混色と減法混色/CIE色度図
ヒトが色を認識する仕組み
自由電子のプラズマ運動
誘電率と屈折率・消光係数
負の誘電率の意味するところ
金属の色：金、銀、銅、鉄、白金
銀
銅
しろがね
あかがね
金
こがね
白金
くろがね
鉄
三原色
光の3原色（加法混色）
各色の強さを変えて混ぜ合わ
せると，いろいろな色の光にな
る。赤い光，緑の光，青い光を
同じ強さで混ぜ合わせると，白
い光になる。
赤(red)
緑(green)
青(blue)
色の3原色（減法混色）
各色を混ぜ合わせると，いろ
いろな色ができる。マゼンタ・
シアン・イエローを同じ割合で
混ぜると黒になる。
マゼンタ(red)
シアン(blue)
イエロー(yellow)
http://www.shokabo.co.jp/sp_opt/spectrum/color3/color3.htm
CIE色度図
色を表す（表色）ためには，一般に
ある温度で光っている（熱放射・
３つの数値が必要であるが，明るさ
黒体輻射している）物体の色を
の情報を犠牲にして２つの数値で色
測定して，温度と色の関係を色
を表し，２次元の図に表現したもの
を，色度図という．
度図上に描くことができます．こ
の曲線は黒体輻射の色軌跡と
実際には感覚的な３原色RGBだけ
呼びます．なお，一般の光源は
では表せない色もあるので、機械に
黒体輻射をしているわけではな
よる測色、表色、目の波長感度特性
いので，色軌跡の上のある色で
を詳しく調べて数値化した “表色上
の３原色”である３刺激値XYZを使う。
光っている光源の温度が，その
その３刺激値XYZにもとづいて，上
点に対応する温度になっている
記のような考え方にしたがい，２つ
とは限りません．そのため，色
の数値 (x , y ) を使ってxy 座標空間
で色を表したものを， xy 色度図と
から決まる温度を色温度といい
呼ぶ。
ます
http://www.shokabo.co.jp/sp_opt/spectrum/color3/color3.htm
ヒトはどのように色を認識するか
色を感じる
光を感じる
なぜ３原色で表せるか。それは人間の色を
感じる細胞が3種類あるからである。これら
の細胞は錐体（すいたい）と呼ばれ，三種
の錐体の送り出す信号の強さの違いにより
さまざまな色を感じることができる。
RGB感度曲線とXYZ等色曲線
RGB感度曲線
人間の眼やRGB感度曲線は，あくまで
も特徴的な波長（赤緑青）で一つのピー
クをもつ曲線になります．人間の眼では，
主に感度領域の中央（緑色の光）で明る
さを捉え，感度領域の両端（青や赤）で
色合いを決めているのです
XYZ等色曲線
一方，XYZ表色系はRGBでは再現でき
ない色をも表現するシステムなので，
XYZ表色系などにおける３色の“感度”
曲線は，たとえば赤が2山のピークをも
つなど少し変わった形になっています．
http://www.shokabo.co.jp/sp_opt/spectrum/color3/color3.htm
XYZ等色曲線と金属の色
３刺激値
金銀銅の分光反射率
http://www.hk.airnet.ne.jp/shung/periodic_table_s.htm
金銀銅の反射スペクトル
波長表示
 
 
hJ  scm  s  6.626  10
E eV 

E J   hJ  s s
-1
エネルギー表示
hJ  sc m  s -1

 m
-1
 meC
佐藤勝昭：金色の石に魅せられて
 34
 2.998  10 8
1240

 nm 10 9  1.602  10 19  nm
貴金属の選択反射の原因
光は電磁波の一種である。つまりテレビやラジオの電波
と同じように電界と磁界が振動しながら伝わっていく。
金属中に光がはいると金属中に振動電界ができる。この
電界を受けて自由電子が加速され集団的に動く。
電子はマイナスの電荷を持っているので、電位の高い方
に引き寄せられる。その結果電位の高い方にマイナスの
電荷がたまり、電位の低い側にプラスの電荷がたまって、
電気分極が起きる。
外から金属に光の電界が進入しようとすると、逆向きの
電気分極が生じて電界を遮蔽してしまって光は金属中に
入れないことを示す。光が入れないということは、いいか
えれば、光が全部反射されてしまうということを意味する。
電気分極
電気双極子列
電気双極子
単純化した電気双極子列
金属の電気誘導
誘電体の電気分極
http://www.ce-mag.com/archive/2000/julyaugust/mrstatic.html
電子分極の古典電子論
(1) 自由電子
電子の位置をu、有効質量をm*、散乱の緩和時間をτと
すると、自由電子に対する運動方程式は、
d 2u
m * du
m* 2 
 qE
 dt
dt
ここで、E、uにｅ-iωtの形を仮定し、代入すると
im 

2
  m 
u 0 exp  it   qE0 exp  it 
 

電子分極の古典電子論つづき1
これより変位uはEの関数として次のように表される
im 
q
1

2
u 0  qE0 /   m 
E0

 
m    i /  

自由電子による分極Pf＝-Nfquの式に代入し
2
Nq
1
P  Nqu  
E
m    i /  
電子分極の古典電子論つづき2
、D＝ε0εrE＝ε0E＋Pの式を使うことにより、
Nq 2
1
D  0E  P  0E 
E   r 0 E
m    i /  
これより
2
 2p
2
Nq
 2p 
m * 0
である。これをドルーデの式という。
Nq
1
r  1

 1
m *  0    i /  
   i /  

ここに
①減衰項のない場合
とすると
2
p
r  1 2

の形に書ける
この式より、=pのときゼロを横切る。
<pのとき比誘電率r<0である。
負の誘電率は、電界と電束密度が逆向きで、電
界が物質内に入り込めないことを意味する。
自由電子による電子分極
P
－
＋
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
E
D=ε0E+P
電界の印加により電子と核の
相対位置が変化し、逆向きの分極を生じる
②減衰項のある場合
比誘電率rは複素数で表され、実数部を‘r、虚数
部を”rとすると、 r＝ ’r＋i ”r
実数部、虚数部に分けて書くと下記のようになる。
 r  1 
 r 
 2p
 2 1  2

 2p
  2  1  2
 p  Nq 2 m 0

は、プラズマ角振動数である。
②減衰項のある場合つづき
グラフにすると図のようになる。
誘電率の実数部は

2
p
1 
2
において0を横切る。
負の誘電率をもつと、光は中に入り込めず、強い反射が
起きる。
負の誘電率と反射率
電磁気学によれば、反射率Rは
2
nˆ  1
R

nˆ  1
 r 1
r 1
で表される。もし、比誘電率rが負の実数ならば、
aを正の数として、 r＝-aと表されるから、上の式
に代入して
R
 r 1
r 1
2

 a 1
2
i a 1
2
a 1


1
a 1
 a 1
i a 1
すなわち100%反射する。
参考：マクスウェル方程式
rotH＝D/t
rotE＝－B/t
ここに，E，Hは，それぞれ，電界[V/m]，磁界[A/m]を表
すベクトル量である．また，D，Bは，それぞれ，電束密度
[C/m2]，磁束密度[T(ﾃｽﾗ)]，]を表す。
媒質が等方的であり，磁界や電界などがなければ，Dと
Eの関係，BとHの関係は，スカラーの比誘電率r，比透
磁率r を用いて
D＝r0E
B＝r0H (10)
と書き表される。0，0は真空の誘電率および透磁率であ
る．ここに，00=1/c2であることに注意しておこう。
負の誘電率と反射率
空気中から複素屈折率Nの媒体への垂直に入射
した光の電界に対する振幅反射率は
r=(N-1)/ (N+1)で与えられる。
もし、比誘電率rが負の実数であったとし、
r=-a(aは正の数)とすると、N=r1/2=ia1/2 であるか
ら、r= ( ia1/2-1)/( ia1/2+1)である。
光強度の反射率Rは電界の絶対値の２乗に比例
するのでR=|r|2=(a+1)/(a+1)=1、即ち100%となる。
貴金属の誘電率スペクトル
復習してほしいこと
自由電子に対する運動方程式を解いて、電界Eを加えた
ときの電子変位uを求め、P=nquを使って分極Pを計算し、
D=0P+E、D= r0Eからrに対する式(Drudeの式)を求
めよ。
Maxwellの方程式を解いてr＝N2を導け。
ただし、
rot rot E=-2E+(・E)Eおよび
・E=0を考慮せよ。
予習の勧め
シリコンのバンド構造について
量子物性工学配付資料2001,5.25 に基づいて
(http://www.tuat.ac.jp/~katsuaki/r010525p.pdf)


原子の寄り集まりと電子のバンドの項を読んでおいて
ください。
k空間の考え方を修得してください。
第３回の問題
問1：さまざまな色が３原色によって表される理由
を述べよ。
問２：金が金色である原因と、半導体であるゲル
マニウムや黄鉄鉱(FeS2)が金色を示す原因は異
なっている。何が違うのかを関与する電子状態を
考えて説明せよ。

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