擦呈妄侠2

ミクロ経済学第2回
中村さやか
全微分と変微分
（多変数関数の微分）
今日やること
0. 等高線
帝国書院「等高線ってなあに？」
http://www.teikokushoin.co.jp/01_geo/contour.html
1. 多変数関数とそのグラフ
2. 偏微分
3. 全微分
多変数関数
y=f(x)
Yは一つの変数ｘだけの関数
Y=f(x, z)
Yはxとzの二つの変数の関数
独立変数が複数ある関数：多変数関数
多変数関数のグラフ
y=f(x, z)
y: モテ度； x: 容姿端麗度； z：性格の良さ
• 縦軸にx 、横軸にz 、垂直方向にｙをとれば3Dグラフ
が描ける
• 等高線を使えば二次元のグラフが描ける
• zを一定にすれば、 xとyのグラフが描ける
（ xを一定にすれば、zとyのグラフが描ける）
• グラフ参照
モテ度はどう変わる？
• 容姿は同じままで、性格を少しだけ良くしたら、モテ
度はどれだけ変化する？
• 性格は同じままで、少しだけ髪型に気を使ったら、モ
テ度はどれくらい変化する？
⇒片方の変数を一定にしたまま、もう片方の変数でモ
テ度を微分する
⇒偏微分
偏微分
ｙ=f(x, z)
• 他の独立変数を定数とみなして１つの独立変数で
微分することを偏微分という
• 他の独立変数を一定にして一つの独立変数だけを
微小に変化させると、ｙはその何倍変化するか
• yをxで偏微分するとき  y とかく
x
f ( x0 , z0 )
f ( x0  h, z0 )  f ( x0 , z0 )
 lim
h 0
x
h
偏微分の例
y  3 x z  2 xz
2 2
2
2
y
dx
2
2 dx
2
2
 3z
 2z
 3z 2 x  2 z
x
dx
dx
要は他の独立変数を定数として微分すればよい
次の関数をxで変微分してみよう
y=x2+z2+40
y=x/z
偏微分と傾き
• yをxで微分したときの偏微分係数は、zを一定にして
横軸にx、縦軸にｙをとってグラフを描いたときの
接線の傾き(瞬間の傾き)に等しい
例）次の関数について、z＝１のときのｘとｙのグラフを
描きなさい。また、ｙをｘで偏微分しなさい。
y  xz
y  xz
yx z
2
2
一次近似
変化分ｈが０に近ければ（＝十分小さければ）、平均変
化率は微分係数に近いので
f ( x0  h)  f ( x0 )
f ( x0  h)  f ( x0 ) df
f

 lim

( x0 )
h 0
x
h
h
dx
式変形すると
df
f 
( x0 )x
dx
一次近似の例
y = f(x) = ｘ3
x を100から101に増やしたときの y の変化分は、
Δy = f(101) – f(100) = 1030301 – 1000000 = 30301
一次近似すると
df
df
y 
( x0 )  x 
(100) 1  xが100のときの微分係数
dx
dx
df
df
2
 3 x なので , y 
(100)  3 100 2  30000
dx
dx
全微分
ｙ=f(x, z)
全ての独立変数が変化するなら、
ｙの変化分
＝xの変化による変化分＋ zの変化による変化分
f
f
y 
x  z
x
z
全微分の例
y  3 x z  2 xz
y
2
2
 6 xz  2 z
x
y
2
 6 x z  4 xz
z
y
y
y  x  z
x
z
 x(6 xz2  2 z 2 )  z (6 x 2 z  4 xz)
2 2
2

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