数学補講

ミクロ経済学 第1回
微分について
教科書
• 入門経済学 第2版 井堀利宏 新世社
3098円
– 旧帝大以外の国公立大で多く使用 (埼玉、大阪
府立、滋賀、高知、琉球、岩手、等)
– MARCH・日東駒専で多く使用 (明学、学習院、
青学、専修、東洋、等)
講義用パワーポイント
• 私のウェブサイトで各自パワーポイントをダウンロー
ドして印刷して下さい。
http://www.geocities.jp/sn_economics/teaching.html
• 印刷するときは、「配布資料」として1ページに複数
のスライド(2、3、6、もしくは9)を印刷することをお
勧めします。
数学の参考書
「経済学と数学がイッキにわかる!!」
石川秀樹 学習研究社 (Gakken)
• 分数の足し算から偏微分まで手とり足とり
「すぐわかる微分積分」 石村園子 東京書籍
• 書き込み式
「よくわかる微分積分」 有馬哲・石村貞夫
東京書籍
• 「すぐわかる」よりきちんと説明
関数ってなんだっけ?
y=f(x)
• yはxの関数
• xが決まればyが一つに決まる
• xを独立変数、yを従属変数とよぶ
例) セールスマンのお給料
y=f(x)
• 給料yは契約数xの関数
• xが決まればyが一つに決まる
固定給が10000円、一つ売るごとに2000円
• f(x)はどんな式になるか?
• 横軸にx、縦軸にyをとってグラフを描いてみよう
• 切片と傾きは?
給料関数のグラフ
y
10000
x
線形関数の傾き
y=10000+2000x
• xが1増えるとyは「
• 傾きは「 」
」だけ増える
y=a+bx (a,bは定数、yは従属変数、xは独立変数)
のようにかける関数のグラフは、
切片が「 」、傾きが「 」の直線になる。
こういう関数を線形関数という。
変化率
y=f(x)
xの値をある値 x0 からhだけ増やす
yの値はf(x0)からf(x0 +h)に変化
xの変化分1単位当たりのyの変化は
f ( x0  h)  f ( x0 )
yの変化分
=
xの変化分
h
これをyのxに対する(平均の)変化率とよぶ
線形関数の傾きと変化率
y=a+bx とすると、xが1増えるごとにyがbだけ増える
• 変化率は
yの変化分
b
= b
xの変化分
1
でxの値にかかわらず一定
• 変化率=傾き
グラフが直線ではないときは?
y=x2
グラフが直線でない
⇒非線形
y
x
xが1ずつ増えていくときの変化率は?
x
y
0
0
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
Δy (yの増加分)
ー
1
3
5
7
9
変化率=Δy÷Δx
ー
1
3
5
7
9
変化率が一定ではない
非線形関数の変化率
平均変化率(傾き): yの変化分 = f ( x0  h)  f ( x0 )
xの変化分
h
y=x2 で計算すると
yの変化分 ( x0  h)  x0
=
 2 x0  h
xの変化分
h
hの大きさで平均変化率(傾き)が違う
⇒グラフで確認
2
2
グラフと変化率
y=x2
Δx=h
(x0+h)
2
この直線の傾き
=xがx0からhだけ増
えた時の変化率
=Δy÷Δx
Δy
x0
2
x0
x0+h
x
変化分の大きさと変化率
Δx=2のときの変化率を
表す直線
y=x2
(x0+2)
(x0+1)
x0
2
2
2
Δx=1のときの変化率を
表す直線
Δx=0に限りなく近いと
きの変化率を表す直
線=接線
x0 x0+1 x0+2
x
瞬間の変化率 - 微分
平均変化率: yの変化分 = f ( x0  h)  f ( x0 )
xの変化分
h
• 関数が非線形だと平均変化率はちょっと問題
⇒代わりにxの変化分を0に近づけたときの変化率
(瞬間の変化率)を使う
f ( x0  h)  f ( x0 )
lim
h 0
h
微分の表記
• 瞬間の変化率=微分係数
• 瞬間の変化率をもとめる=微分する
dy
• 微分係数を
とか y’ とか y’(x) のように表
dx
す
微分の公式
一つ一つの項について次のルールを適用
ルール1: 定数項の微分はゼロ
• 差を取ると定数項は消えてしまう
ルール2: y=axを微分するとa
• xが1増えるとyがaだけ増える
ルール3: xnを微分すると nxn-1
微分してみよう
y=3x+10
y=3x5+6x4+4x+200
y=x-2
微分係数=接線の傾き
• y=x2のグラフのx=0における傾き
⇒ y’(x)=2x=0
• y=x2のグラフのx=1における傾き
⇒ y’(x)=2x=2
グラフで確認してみよう
給料関数のグラフの接線の傾き
y
x=1のときの接線:
傾き2
2
1 =1
x=0のときの接線:
傾き0
0
1
x
微分係数の符号と関数の増減
微分係数がプラス
• xが増えるとyが増える・グラフは右上がり
微分係数がマイナス
• xが増えるとyが減る・グラフは右下がり
微分係数がゼロ
• xが変化してもyは変化しない・グラフは水平
関数の増減の例1
y=x2ー4x
dy
 2x  4
dx
x=2 ⇔ 微分係数がゼロ
x>2 ⇔ 微分係数がプラス
x<2 ⇔ 微分係数がマイナス
下がってx=2で底を打ってまた上がる
⇒ x=2のときyが最小になる
関数の増減の例2
y=-x2+2x
dy
 2 x  2
dx
x=1 ⇔ 微分係数がゼロ
x<1 ⇔ 微分係数がプラス
x>1 ⇔ 微分係数がマイナス
上がってx=1で止まってまた下がる
⇒ x=1のときyが最大になる
利潤最大化問題の例
• ある企業の生産量をQとすると、利潤関数は
利潤=-Q3+6Q2+100
となる
• 利潤を最大化する数量を求めなさい。
• 微分って便利!