ミクロ経済学 第1回 微分について 教科書 • 入門経済学 第２版 井堀利宏 新世社 3098円 – 旧帝大以外の国公立大で多く使用 （埼玉、大阪 府立、滋賀、高知、琉球、岩手、等） – MARCH・日東駒専で多く使用 （明学、学習院、 青学、専修、東洋、等） 講義用パワーポイント • 私のウェブサイトで各自パワーポイントをダウンロー ドして印刷して下さい。 http://www.geocities.jp/sn_economics/teaching.html • 印刷するときは、「配布資料」として1ページに複数 のスライド（２、３、６、もしくは９）を印刷することをお 勧めします。 数学の参考書 「経済学と数学がイッキにわかる！！」 石川秀樹 学習研究社 (Gakken) • 分数の足し算から偏微分まで手とり足とり 「すぐわかる微分積分」 石村園子 東京書籍 • 書き込み式 「よくわかる微分積分」 有馬哲・石村貞夫 東京書籍 • 「すぐわかる」よりきちんと説明 関数ってなんだっけ？ ｙ＝ｆ（ｘ） • ｙはｘの関数 • ｘが決まればｙが一つに決まる • ｘを独立変数、ｙを従属変数とよぶ 例） セールスマンのお給料 y=f(x) • 給料yは契約数xの関数 • xが決まればyが一つに決まる 固定給が10000円、一つ売るごとに2000円 • f(x)はどんな式になるか？ • 横軸にx、縦軸にyをとってグラフを描いてみよう • 切片と傾きは？ 給料関数のグラフ y 10000 x 線形関数の傾き y=10000+2000x • xが１増えるとyは「 • 傾きは「 」 」だけ増える ｙ=a+bｘ （a,bは定数、ｙは従属変数、ｘは独立変数） のようにかける関数のグラフは、 切片が「 」、傾きが「 」の直線になる。 こういう関数を線形関数という。 変化率 ｙ＝ｆ（ｘ） ｘの値をある値 x0 からｈだけ増やす ｙの値はf(x0)からf(x0 ＋h)に変化 ｘの変化分１単位当たりのｙの変化は f ( x0 h) f ( x0 ) ｙの変化分 ＝ ｘの変化分 h これをｙのｘに対する（平均の）変化率とよぶ 線形関数の傾きと変化率 y=a+bx とすると、ｘが１増えるごとにｙがｂだけ増える • 変化率は yの変化分 b ＝ b xの変化分 1 でｘの値にかかわらず一定 • 変化率＝傾き グラフが直線ではないときは？ y=x2 グラフが直線でない ⇒非線形 y x xが１ずつ増えていくときの変化率は？ x y 0 0 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 Δy （yの増加分） ー 1 3 5 7 9 変化率＝Δy÷Δx ー 1 3 5 7 9 変化率が一定ではない 非線形関数の変化率 平均変化率（傾き）： ｙの変化分 ＝ f ( x0 h) f ( x0 ) ｘの変化分 h y=x2 で計算すると yの変化分 ( x0 h) x0 ＝ 2 x0 h xの変化分 h ｈの大きさで平均変化率（傾き）が違う ⇒グラフで確認 2 2 グラフと変化率 y=x2 Δx＝h (x0+h) 2 この直線の傾き ＝xがx0からhだけ増 えた時の変化率 ＝Δy÷Δx Δy x0 2 x0 x0+h x 変化分の大きさと変化率 Δx=2のときの変化率を 表す直線 y=x2 (x0+2) (x0+1) x0 2 2 2 Δx=1のときの変化率を 表す直線 Δx=0に限りなく近いと きの変化率を表す直 線＝接線 x0 x0+1 x0+2 x 瞬間の変化率 － 微分 平均変化率： ｙの変化分 ＝ f ( x0 h) f ( x0 ) ｘの変化分 h • 関数が非線形だと平均変化率はちょっと問題 ⇒代わりにｘの変化分を０に近づけたときの変化率 （瞬間の変化率）を使う f ( x0 h) f ( x0 ) lim h 0 h 微分の表記 • 瞬間の変化率＝微分係数 • 瞬間の変化率をもとめる＝微分する dy • 微分係数を とか y’ とか y’(x) のように表 dx す 微分の公式 一つ一つの項について次のルールを適用 ルール１： 定数項の微分はゼロ • 差を取ると定数項は消えてしまう ルール2： ｙ＝ａｘを微分するとａ • ｘが1増えるとｙがaだけ増える ルール3： ｘｎを微分すると ｎｘｎ－1 微分してみよう y=3x+10 y=3x5+6x4+4x+200 y=x-2 微分係数＝接線の傾き • y=x２のグラフのx=０における傾き ⇒ y’（x）=2x=0 • y=x２のグラフのx=1における傾き ⇒ y’（x）=2x=2 グラフで確認してみよう 給料関数のグラフの接線の傾き y x=1のときの接線： 傾き２ 2 1 =1 x=0のときの接線： 傾き０ 0 1 x 微分係数の符号と関数の増減 微分係数がプラス • ｘが増えるとｙが増える・グラフは右上がり 微分係数がマイナス • ｘが増えるとｙが減る・グラフは右下がり 微分係数がゼロ • ｘが変化してもｙは変化しない・グラフは水平 関数の増減の例１ ｙ＝ｘ２ー４ｘ dy 2x 4 dx ｘ＝２ ⇔ 微分係数がゼロ ｘ＞２ ⇔ 微分係数がプラス ｘ＜２ ⇔ 微分係数がマイナス 下がってｘ＝２で底を打ってまた上がる ⇒ ｘ＝２のときｙが最小になる 関数の増減の例２ ｙ＝－ｘ２＋２ｘ dy 2 x 2 dx ｘ＝１ ⇔ 微分係数がゼロ ｘ＜１ ⇔ 微分係数がプラス ｘ＞１ ⇔ 微分係数がマイナス 上がってｘ＝１で止まってまた下がる ⇒ ｘ＝１のときｙが最大になる 利潤最大化問題の例 • ある企業の生産量をQとすると、利潤関数は 利潤＝-Q3+6Q2+100 となる • 利潤を最大化する数量を求めなさい。 • 微分って便利！
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