化学工学Ｉ 流動(1) 流動とは • 液体の粘性 • 層流と乱流 • レイノルズ数 円管内の流れ • 流動とは 層流(laminer flow) 乱流(turbulent flow) 層流とは（円管内の流れ） 管中心では 最大速度Umax V(m3·s-1) 壁に接するところでは 速度0 平均流速 層流 U ave = V [m·s-1 ] π R2 R: 円筒管の内径[m] 粘性と剪断応力 管中心では 最大速度Umax V(m3·min-1) 上の板 水 壁に接するところでは 速度0 下の板(固定) 管内に速度分布があるため剪断応力 が働く 剪断応力 τ =µ du [Pa] dy ニュートンの粘性法則 粘性(ニュートン流体) 管内に速度分布があるため剪断応力 剪断応力と剪断速度が比例 (shear stress)が働く (比例定数は粘度) y ニュートン流体 (Newtonian fluid) x ニュートンの粘性法則 粘度の目安 水：1 mPa·s しょうゆ：8 mPa·s オリーブ油：90 mPa·s ケチャップ：600-5000 mPa·s マヨネーズ：3000-40000 mPa·s µ: 粘度[Pa s] du [Pa] 剪断応力 τ = µ dy u: 速度[m·s-1] y: 位置[m] 剪断速度 粘度測定 上の板 水 start 下の板(固定) stop 固定された 外筒 回転する 内筒 測定する液体 オストワルド型 B型 剪断応力と粘度(非ニュートン流体) 剪断応力 τ =µ du [Pa] dy µ: 粘度[Pa s] u: 速度[m·s-1] ビンガム流体 y: 位置[m] 剪断応力と速度勾配が比例 (比例定数は粘度) 剪断応力τ ニュートン流体 µ ダイラタント流体 擬塑性流体 ニュートン流体 剪断速度du/dy (Newtonian fluid) 非ニュートン流体(non-Newtonian fluid) ビンガム流体 ダイラタント流体 µ ダイラタント流体 擬塑性流体 粘度µ 剪断応力τ ニュートン流体 ビンガム流体 ニュートン流体 擬塑性流体 剪断速度du/dy 剪断応力τ（加える力） 非ニュートン流体(non-Newtonian fluid) 粘度µ ダイラタント流体 ビンガム流体 ニュートン流体 擬塑性流体 剪断応力τ（加える力） ビンガム流体 ある応力をかけるとニュートン流体になる （バターなど） 擬塑性流体 応力をかけると粘度が下がる （ボールペンのインク、マヨネーズ、 ケチャップなど） ダイラタント流体 応力をかけると粘度が上がる （水溶き片栗粉など） 非ニュートン流体(non-Newtonian fluid) ダイラタント流体 応力をかけると粘度が上がる （水溶き片栗粉など） 粘度µ ダイラタント流体 ビンガム流体 ニュートン流体 擬塑性流体 剪断応力τ（加える力） 円管内の流れ レイノルズの実験 円管内の流れ 円管内の流れ（層流と乱流） 流れが速いと 乱流 管の内径が大きいと 乱流 流体の密度が大きいと 乱流 流体の粘度が大きいと 層流 レイノルズ数Re（層流と乱流） 流れが速いと 乱流 管の内径が大きいと 乱流 流体の密度が大きいと 乱流 流体の粘度が大きいと 乱流 Re = Du ρ µ でぃーゆーろーばいみゅー D(m·s-1) u(m·s-1) Re：レイノルズ数（無次元） D：管の内径(m) u：流体の速度（m/s） ρ：密度（kg/m3） μ：粘度（Pa·s） レイノルズ数Re（層流と乱流） Du ρ Re = µ でぃーゆーろーばいみゅー Re：レイノルズ数（無次元） D：管の内径(m) u：流体の速度（m/s） ρ：密度（kg/m3） μ：粘度（Pa·s） Re < 2300 層流(laminar flow) Re > 4000 乱流(turbulent flow) 2300 < Re < 4000 どちらも起こりえる （遷移域transition region） 演習１ 層流と乱流（1） 内径15mmの円管内を20℃の水が5m3·h-1で輸送さ れている。この時の管内の流れは層流か乱流か判定 せよ。 円管内の流れ（管内層流） 内径Rの円管内の流速の分布を求める L 端面A 側面C r R 端面B 端面Aが受ける力 端面Bが外部に与える力 側面Cにおける摩擦損失（剪断応力） 円管内の流れ（管内層流） 流速の分布を求める 端面A L p1 側面C r 端面B p2 剪断応力τ[Pa] π r 2 p1 端面Aが受ける力 π r 2 p2 端面Bが外部に与える力 側面Cにおける摩擦損失（剪断応力） 2π rLτ π r p1 − π r p2 − 2π rLτ = 0 2 2 円管内の流れ（管内層流） 端面A L p1 r 側面C 端面B p2 剪断応力τ π r 2 p1 2 端面Bが外部に与える力 π r p 2 端面Aが受ける力 2π rLτ π r p1 − π r p2 − 2π rLτ = 0 側面Cにおける摩擦損失（剪断応力） 2 τ= 2 r( p1 − p2 ) rΔp = 2L 2L 円管内の流れ（管内層流） 端面A L p1 r 側面C 端面B p2 剪断応力τ τ= r( p1 − p2 ) rΔp = 2L 2L τ= τ = −µ rΔp du = −µ 2L dr du dr 円管内の流れ（管内層流） L p1 p2 r R 剪断応力τ rΔp du = −µ 2L dr du rΔp =− dr 2µL τ= 変化量（ある位置での速度はわからない） u=0(r=R)からu=u(r=r)まで積分 円管内の流れ（管内層流） L p1 p2 r R 剪断応力τ u=0(r=R)からu=u(r=r)まで積分 du rΔp =− dr 2µL u= Δp (R 2 − r 2 ) 4µL rΔp dr 2µL 0 Δp R − ∫ du = r dr u 2 µ L ∫r −du = 演習2 円管内の流れ（管内層流） L p1 p2 r R 剪断応力τ u=0(r=R)からu=u(r=r)まで積分 du rΔp =− dr 2µL u= rΔp dr 2µL 0 Δp R − ∫ du = r dr u 2 µ L ∫r −du = Δp (R 2 − r 2 ) 4µL 最大速度Umaxはいくらか？ 演習3 円管内の流れ（管内層流） 平均速度Uaveはいくらか？ 2 ⎪⎧ ⎛ r ⎞ ⎪⎫ u = umax ⎨1− ⎜ ⎟ ⎬ ⎩⎪ ⎝ R ⎠ ⎭⎪ R 平均速度Uave：全流量Vを断面積πR2で割る 全流量Vを求める 幅dr R 領域の面積2πr dr r ⎧ r 領域の流量 u × 2π r × dr = umax ⎪⎨1− ⎛⎜ ⎞⎟ ⎪⎩ ⎝ R ⎠ 2π umax 3 = 2π umax rdr − r dr R2 ０からRまで積分 R 2π umax ∫ rdr − 0 2π umax R2 ∫ R 0 2 ⎪⎫ ⎬ 2π rdr ⎪⎭ r 3 dr = 円管内の流れ（管内層流） Hagen-Poiseuille equation umax = ΔpR 2 4µL uave = umax ΔpR 2 = 2 8µL Δp = 8µL uave R2 ハーゲン・ポアズイユの式 まとめ 剪断応力の式 τ =µ du [Pa] dy 剪断応力と粘度の関係 ニュートン流体と非ニュートン流体がある レイノルズ数 Re = Du ρ µ 層流 <2300, 乱流 >4000, その間は遷移域 円管内の層流の流れ
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