Funktionen in der Kostenrechnung und davon abgeleitete Kosten

Funktionen in der Kostenrechnung
und davon abgeleitete Kosten-Begriffe
Gesamtkosten(funktion):
Fall: Polynom 3. Grades , x in ME , K in GE
K(x) = Kv(x) + F = a x³ + b x² + c x + d
Variable Kosten(funktion):
Kv(x) = a x³ + b x² + c x
Fixkosten:
F = K(0) = d
Durchschnittskosten(funktion):
k(x)=K(x)/x
in GE/ME
k(x)= a x² + b x + c + d/x
Variable Durchschnittskosten(funktion):
kv(x)=Kv(x)/x in GE/ME
kv(x)= a x² + b x + c (QF =>Parabel)
Grenzkosten(funktion): K ‘(x) … Polynom 2. Grades , x in ME , K‘ in GE/ME
K ‘(x) = 3a x² + 2b x + c
Eigenschaften der Kostenfunktionen, Begriffe aus der Kostenrechnung
Gegeben sei die Gesamtkostenfunktion K(x) = x³ - 12.5 x² + 54.75 x + 62.625. Die folgenden
Begriffe/Eigenschaften werden exemplarisch für diese Funktion berechnet.
Grenzkosten = lokale Änderungsrate
Grenzkosten bei x = x0 : K ‘(x0) ( = lokale Änderungsrate = Tangentensteigung der K-Funktion)
z. B.: Grenzkosten bei x= 9ME: K‘(9)=? , K‘(x) = 3 x² - 25 x + 54.75
Grenzkosten bei 9ME = K‘(9) = 72.75 GE/ME
D.h.: 1 ME ( von 9ME auf 10 ME) mehr produzieren -> ca. 72.75 GE mehr aufwenden
Bem.: tatsächlich K(10)-K(9)= 88.25 GE mehr (= Sekantensteigung) aufwenden. Die lokale
Änderungrate = Tangentensteigung = 72.75 GE/ME gibt nur eine „Momentaufnahme“ des
Änderungsverhaltens der K-Funktion an und beschreibt somit das tatsächliche Änderungsverhalten
von 9ME auf 10ME nur näherungsweise. In vielen Fällen ist der Unterschied aber gering!
Kostenkehre = Wendestelle
Die Kostenkehre ist die Wendestelle xK und somit der Übergang vom degressiven (negative
Krümmung) zum progressiven (positive Krümmung) Verhalten der K-Funktion:
K‘‘(x)= 6 x - 25 , Krümmung = 0 -> 0= 6 x - 25 -> Kostenkehre= x = xK= 4.1666 ME
Betriebsoptimum xb , langfristige Preisuntergrenze LPU
Das Betriebsoptimum xb ist jene Betriebssituation (jener x- Wert), wo die Durchschnittskosten
minimal sind. (Ableitung der k-Funktion muss hier Null sein!)
k(x) = K(x)/x = x² - 12.5 x + 54.75 + 62.625/x
k‘(x) = 2 x - 12.5 - 62.625/x²
0 = 2 x - 12.5 - 62.625/x² -> Betriebsoptimum = x= xb=6.91ME
Die langfristige Preisuntergrenze (LPU) sind die zugehörigen minimalen Durchschnittskosten k(xb)
Bei einem Verkaufspreis unterhalb von LPU kann nie ein Gewinn gemacht werden!
langfristige Preisuntergrenze LPU = K(6.91)/6.91 = k(6.91) = 25.19 GE/ME
Grafische Ermittlung von xb und LPU aus der K-Funktion:
von jedem Punkt (x|K(x)) auf der K-Funktion kann eine Gerade durch (0|0) gelegt werden. Die
Steigung dieser Geraden beträgt K(x)/x und stellt somit die Durchschnittskosten k(x) dar. Sie sind
dann (bei jenem x-Wert) minimal, wenn die Gerade die kleinste Steigung hat , also die K-Funktion
gerade noch berührt -> Tangente -> Stelle des Berührungspunktes = xb
LPU = Steigung der Tangente = 173.95 / 6.91 = 25.19 GE/ME
Betriebsminimum xv , kurzfristige Preisuntergrenze KPU
Das Betriebsminimum xv ist jene Betriebssituation (jener x- Wert), wo die
Variablen Durchschnittskosten minimal sind. (Ableitung der kv-Funktion muss hier Null sein!)
kv(x) = Kv(x)/x = x² - 12.5 x + 54.75
k‘(x) = 2 x - 12.5
0 = 2 x - 12.5 -> Betriebsminimum = x= xv=6.25 ME
Die kurzfristige Preisuntergrenze (KPU) sind die zugehörigen
minimalen Variablen Durchschnittskosten kv(xv)
Bei einem Verkaufspreis unterhalb von KPU kann nie ein Gewinn gemacht werden, wobei die
Fixkosten unberücksichtigt bleiben! (-> kurzfristig)
kurzfristige Preisuntergrenze KPU = Kv(6.25)/6.25 = kv(6.25) = 15.69 GE/ME
Grafische Ermittlung von xv und KPU aus der K-Funktion:
von jedem Punkt (x|K(x)) auf der K-Funktion kann eine Gerade durch (0|F) gelegt werden. Die
Steigung dieser Geraden beträgt (K(x)-F)/x =Kv(x)/x und stellt somit die variablen
Durchschnittskosten kv(x) dar. Sie sind dann (bei jenem x-Wert) minimal, wenn die Gerade die
kleinste Steigung hat , also die K-Funktion gerade noch berührt -> Tangente -> Stelle des
Berührungspunktes = xv
KPU = Steigung der Tangente = (160.67-62.63)/6.25 = 98.04 / 6.25 = 15.69 GE/ME

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