練習問題9-2の解答例

練習問題 9-2
情報工学科篠埜功
2016 年 6 月 13 日
練習問題練習問題 9-1 の計量空間において、関数 f1 (x) = x と f2 (x) = x2 につい
て kf1 + f2 k と kf1 k + kf2 k を計算し、それらの値を比較せよ。
解答例
kf1 + f2 k =
√
(f1 + f2 , f1 + f2 )
√
∫
1
=
√
∫
0
√
∫
0
√
∫
0
1
=
{(f1 + f2 )(x)}{(f1 + f2 )(x)}dx
{f1 (x) + f2 (x)}{f1 (x) + f2 (x)}dx
1
(x + x2 )(x + x2 )dx
=
1
x2 + 2x3 + x4 dx
=
0
v[
]1
u
u x3
2x4 x5
t
=
+
+
√
=
√
=
√
=
kf1 k + kf2 k =
√
3
4
5
0
1 1 1
+ +
3 2 5
10 + 15 + 6
30
31
30
√
(f1 , f1 ) +
√
∫
1
(f2 , f2 )
√
∫
1
x2 dx +
=
0
x4 dx
0
v[ ]
v[ ]
u
u
u x 3 1 u x5 1
t
=
+t
3
5
0
1
0
√
=
1
+
3
√
1
5
kf1 + f2 k2 と (kf1 k + kf2 k)2 を比較する。
(√
(kf1 k + kf2 k)2 − kf1 + f2 k2 =
1
+
3
√ )2
1
5
(√
−
√
31
30
)2
1 1
1
31
=
+ +2
−
3 5
15 30
√
10 + 6 − 31
1
=
+2
30
15
√
15
1
= − +2
30
15
√
= 2
( √
1
ここで、 2
15
( )2
)2
と
1
2
を比較する。
( √
1
2
15
√
よって、2
1
1
−
15 2
)2
( )2
−
1
2
4
1
−
15 4
16 − 15
=
60
1
=
60
≥ 0
=
1
1
− ≥ 0 となり、
15 2
kf1 k + kf2 k ≥ kf1 + f2 k
が成り立つ。
以上により、上記の例について三角不等式（Triangle inequality）が成り立つこ
とが確認された。
2

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