Stochastik 2, SS 16 Übungsserie 4 Vorlesung: B. Schmalfuß Übung: Robert Hesse Tutorium: Markus Böhm Aufgabe 1 (3 Punkte) Sei F eine σ–Algebra auf Ω und µ ein Maß auf (Ω, F). Ferner sei F̄ := {A ⊂ Ω : A = B ∪ N, B ∈ F, N ⊂ C ∈ F und µ(C) = 0} . Zeigen Sie: (i) F̄ ist eine σ–Algebra. (ii) Auf Ω, F̄ wird durch µ̄ (A) = µ (B) ein Maß definiert, wobei A = B ∪ N mit A ∈ F̄, B ∈ F und N ⊂ C ∈ F, für eine µ–Nullmenge C (d.h. es ist zu zeigen, dass µ̄ wohldefiniert ist unabhängig von der Wahl von A, B und N ). Aufgabe 2 (3 Punkte) Sei µ ein Maß auf dem messbarer Raum (Ω, F). Ferner gilt Z f dµ ≤ A Z g dµ, A für zwei Funktionen f, g : Ω → R und für alle A ∈ F. Zeigen Sie: Es existiert B ∈ F mit µ(B c ) = 0, sodass f (ω) ≤ g(ω) für alle ω ∈ B. Aufgabe 3 (4 Punkte) Sei x = 0, x1 x2 x3 . . . die Dezimalbruchentwicklung von x ∈ [0, 1). Zeigen Sie, dass die Funktion f : [0, 1) → R+ ∪ {+∞} , f (x) :=  +∞ xk 6= 5 für alle k ∈ N, min {k : x = 5} k sonst, Borel-messbar und λ–f.ü. endlich ist. Berechnen Sie R [0,1) f dλ. Aufgabe 4 Es sei Ω eine überabzählbare Menge und A die σ–Algebra aller Teilmengen von Ω, für die entweder A oder Ac abzählbar ist. Man zeige, dass eine Funktion mit Werten in (R, B(R)) genau dann messbar ist, wenn sie auf dem Kompliment einer abzählbaren Menge konstant ist. Es sei µ(A) =  0 : A abzählbar 1 : Ac abzählbar. Man berechne das Integral einer messbaren Funktion bezüglich dieses Maßes. Aufgabe 5 a) Es sei (Ω, F, µ) ein endlicher Maßraum und f eine messbare Funktion. Dann gilt: Nq (f ) ≤ Np (f ) µ(Ω)1/q−1/p für 1 ≤ q ≤ p < ∞. b) Für 1 < p, q < ∞ konvergiere (fn )n∈N in Lp (µ) gegen f und (gn )n∈N in Lq (µ) gegen g, wobei 1 1 + = 1. p q Dann konvergiert (fn gn )n∈N in L1 (µ) gegen f g. Die mit Punkten versehenen Aufgaben sind bis zum Mi, 04.05.2016 in der Übung abzugeben. Zulassung zur Klausur: mindestens 50% der Punkte und qualifiziertes Vorrechnen von mindestens einer Aufgabe.