Jürgen Roth
Didaktik der Algebra
Modul 5
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.1
Inhalt
Didaktik der Algebra
1
Ziele und Inhalte
2
Terme
3
Funktionen
4
Gleichungen
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.2
menti.com ⇒ 59 64 91
Didaktik der Geometrie
Kapitel 2: Terme
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.3
Inhalt
Kapitel 2: Terme
2.1 Variablenbegriff
2.2 Aspekte des Termbegriffs
2.3 Terme strukturieren
2.4 Lernen der Formelsprache
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.4
Darstellungen in
Beziehung setzen
http://www.juergen-roth.de/dynageo/kreis/kreis_umfang_inhalt.html
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.5
Darstellungen in
Beziehung setzen
Roth (2008). Systematische Variation – Eine Lernumgebung vernetzt Geometrie und Algebra. Mathematik lehren 146, S. 17-21
http://www.juergen-roth.de/dynama/vierecke/trapezflaeche_funktional.html
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.6
Kapitel 2: Terme
2.1 Variablenbegriff
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.7
Variable
Buchstaben
bezeichnen in der Algebra in der Regel Variable
treten in unterschiedlichen Kontexten auf
Unbekannte:
Allgemeine Zahl:
Veränderliche:
Platzhalter:
2𝑥𝑥 + 1 = 7
𝑥𝑥
𝑥𝑥 � 0 = 0
𝑥𝑥
𝑥𝑥 ↦ 2𝑥𝑥 + 1
2𝑥𝑥 + 1
sollten einheitlich als „Variable“ bezeichnet werden
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.8
Klassifizierung von Variablen
Freudenthal, Hans (1973): Mathematik als pädagogische Aufgabe, Band 1. Stuttgart: Klett, S. 256ff
Freudenthal (1973) klassifiziert Variable nach der Art ihrer Verwendung:
Unbekannte
Die Variable steht für ein Objekt (Zahl bzw. Term), das noch
unbekannt ist, prinzipiell aber bestimmt werden kann.
𝑥𝑥
Unbestimmte
Die Variable steht für ein nicht bekanntes Objekt,
das zu bestimmen nicht näher interessiert.
Für die Variable können z.B. beliebige Zahlen eingesetzt werden
und jedes Mal ergibt sich eine wahre Aussage (z. B. bei allgemeinen
Regeln, Rechengesetzen, der Beschreibung von Beziehungen).
Veränderliche
Variable in funktionalen Zusammenhängen, in denen tatsächlich
etwas variiert, bzw. in denen die Veränderung betrachtet wird.
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
𝑥𝑥
𝑥𝑥
2.9
Grundvorstellungen zu Variablen
Malle, G. (1993). Didaktische Probleme der elementaren Algebra. Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg, S. 79-83
Malle (1993) benennt Grundvorstellungen zu Variablen,
die sich aus der Art ihrer Verwendung ergeben:
Grundvorstellung
Gegenstandsaspekt
Einsetzungsaspekt
Kalkülaspekt
Verwendung der Variablen
Ist die Variable ein Gegenstand, mit dem ich
einfach umgehe – so etwas wie eine Black Box?
Ist die Variable ein Platzhalter oder eine
Leerstelle, wo ich etwas einsetze?
Ist die Variable ein Größe, mit der ich rechne
wie mit Zahlen?
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥
Roth, J. (2008). Systematische Variation – Eine Lernumgebung vernetzt Geometrie und Algebra. Mathematik lehren 146, S. 17-21
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.10
Stadien des Umgangs
mit Variablen
Berlin (2010): Algebra erwerben und besitzen: Eine binationale empirische Studie in der Jgst. 5. Universität Duisburg-Essen.
Stadium 0:
Idee wird nicht angenommen
Die Idee der Formalisierung
wird (noch) nicht angenommen.
Hier nehmen Kinder die Idee, Buchstaben für Zahlen zu setzen, nicht
an.
Stadium 1:
Symbolisches Beschreiben
Variable und symbolische Ausdrücke werden zur Beschreibung erkannter Muster genutzt.
Term und Variablen sind noch eng
mit der Aufgabe verbunden.
Zum Teil wird dieselbe Variable für
verschiedene unbekannte Zahlen
genutzt.
Stadium 2:
Symbolisches Operieren
Erworbenes Wissen wird
reorganisiert.
Das Kind versteht die Variable als
verallgemeinerte Zahl und kann
Terme umformen.
Stadium 3: Formale Sprache
als mentales Werkzeug
Formale Sprache wird zum
gedanklichen Werkzeug und
Instrument des Argumentierens.
Kinder wenden die Symbolsprache
in unbekannten Situationen an um
eigene Hypothesen zu beweisen.
http://duepublico.uni-duisburg-essen.de/servlets/DocumentServlet?id=22563
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.11
Aspekte des Variablenbegriffs
Malle, G. (1993). Didaktische Probleme der elementaren Algebra. Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg, S. 79-83
Variable können Zahlen aus einem Bereich
auf verschiedene Weisen „repräsentieren”.
Einzelzahlaspekt
𝑥𝑥 – 3 � 4 = 24
Variable als beliebige, aber feste Zahl aus dem Bereich.
Nur eine Zahl aus dem Bereich wird repräsentiert.
Bereichsaspekt
Variable als beliebige Zahl aus dem Bereich.
Jede Zahl des Bereichs wird repräsentiert.
Dieser Aspekt tritt in zwei Formen auf:
Simultanaspekt
Alle Zahlen aus dem Bereich
werden gleichzeitig repräsentiert.
Veränderlichenaspekt
∀𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐 ∈ ℝ 𝑎𝑎 ± 𝑏𝑏 � 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 � 𝑐𝑐 ± 𝑏𝑏 � 𝑐𝑐
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥𝑥 – 1 Änderungsverhalten?
Alle Zahlen aus dem Bereich werden
in zeitlicher Aufeinanderfolge repräsentiert.
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.12
Veränderlichenaspekt
Roth, J. (2006). Terme dynamisch – Mit Tabellen Terme analysieren. Mathematik lehren 137, S. 14-16
http://www.juergen-roth.de/terme
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.13
Kapitel 2: Terme
2.2 Aspekte des Termbegriffs
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.14
Was ist ein Term?
Terme sind formal Zeichenreihen, die selbst Zahlen darstellen
oder durch Einsetzen von Zahlen in Zahlen übergehen.
Jede Zahl
ist ein Term.
Jede Variable
ist ein Term.
Sind 𝑇𝑇1 und 𝑇𝑇2 Terme,
dann sind auch
𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇2 , 𝑇𝑇1 – 𝑇𝑇2 ,
𝑇𝑇1 · 𝑇𝑇2 , 𝑇𝑇1 : 𝑇𝑇2 , …
Terme.
Sind 𝑇𝑇1 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 , 𝑇𝑇2 und 𝑇𝑇3
Terme, dann ist auch
𝑇𝑇1 𝑇𝑇2 , 𝑇𝑇3 ein Term.
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Beispiele
𝑇𝑇1 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎
Variable
𝑇𝑇3 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏
Summe
𝑇𝑇2 = 5
Zahl
𝑇𝑇4 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − 5
Differenz
𝑇𝑇6 𝑦𝑦 =
Quotient
𝑇𝑇5 𝑐𝑐 = 10 � 𝑐𝑐
Produkt
𝑦𝑦
3
𝑇𝑇3 𝑇𝑇4 𝑥𝑥 , 𝑇𝑇5 𝑐𝑐
= 𝑥𝑥 − 5 + 10 � 𝑐𝑐
𝑇𝑇4 (𝑥𝑥)
𝑇𝑇5 (𝑐𝑐)
Summe
2.15
Grundvorstellungen zu Termen
Siller, H.-S.; Roth, J. (2016). Herausforderung Heterogenität: Grundvorstellungen als Basis und Bezugsnorm − das Beispiel Terme.
Praxis der Mathematik in der Schule, 58(70), S. 2-8
Term als
Beispiel
Rechenschema
(𝑝𝑝 � 𝑥𝑥 + 𝐺𝐺) · 1,19
2 · (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = 2 · 𝑎𝑎 + 2 · 𝑏𝑏
Termumformung
Gleichheit
Bauplan
𝐴𝐴 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 =
𝑎𝑎 + 𝑐𝑐
�ℎ
2
Vereinfachung von
Berechnungen
Zulässige Veränderung
des Bauplans
Wertgleichheit
Strukturgleichheit
Roth, J. (2008). Systematische Variation – Eine Lernumgebung vernetzt Geometrie und Algebra. Mathematik lehren 146, S. 17-21
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.16
Term als Rechenschema
Monatliche Stromkosten:
monatl. Verbrauch:
𝑥𝑥 kWh
Verbrauchspreis: 0,15 €/kWh
Grundpreis:
7€
Mehrwertsteuer:
19 %
Rechenschema:
(0,15 · 𝑥𝑥 + 7) · 1,19
Mit Variablen:
monatl. Verbrauch:
Verbrauchspreis:
Grundpreis:
𝑥𝑥
𝑝𝑝
𝐺𝐺
allgemeines Rechenschema:
(𝑝𝑝 � 𝑥𝑥 + 𝐺𝐺) · 1,19
In der Praxis: Tabellen als Berechnungsschemata
Verbrauch
in kWh
Einzelpreis
in €/kWh
Zwischenergebnis
Grundpreis
Netto Rechnungsbetrag
Mehrwertsteuer 19 %
Rechnungsbetrag
0
0,15
0,00 €
7,00 €
7,00 €
1,33 €
8,33 €
1
2
0,15
0,15
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
0,15 €
0,30 €
7,00 €
7,00 €
7,15 €
7,30 €
1,36 €
1,39 €
8,51 €
8,69 €
2.17
Term als „Bauplan“
3
a
2
–
b
+
5
[(a – 3) : 5 – 3 · (2 + b)] – 5c
3
:
·
c
5
–
·
–
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.18
Term als „Bauplan“
Der Term ist eine Differenz.
Minuend:
Differenz
Minuend:
[(a – 3) : 5 – 3 · (2 + b)] – 5c
Quotient
Dividend: Differenz
Minuend:
a
Subtrahend: 3
Divisor:
5
Subtrahend: Produkt
1. Faktor: 3
2. Faktor: Summe
1. Summand: 2
2. Summand: b
Subtrahend: Produkt
1. Faktor:
5
2. Faktor:
c
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.19
Kalkülvorstellung
Aufgabe 1 (Kalkülvorstellung)
Die Strohhalme sollen die
Begrenzungen beliebiger
ebener Figuren darstellen.
Legt verschiedene Figuren
und gebt zu jeder Figur den
zugehörigen Term zur
Berechnung des Flächeninhalts
und des Umfangs an
(zuerst in ausführlicher und
dann in möglichst kurzer Form).
Versucht eine entsprechende
Regel zu finden
U = 2 ⋅ 𝑎𝑎 + 2 ⋅ 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎
= 8 ⋅ 𝑎𝑎
𝐴𝐴 = 𝑎𝑎 ⋅ 𝑎𝑎 + 2 ⋅ 𝑎𝑎 ⋅ 𝑎𝑎
= 𝑎𝑎2 + 2 ⋅ 𝑎𝑎2
= 3 ⋅ 𝑎𝑎2
Wiegand/Wiegand (2006). Der Termbaukasten – Ein aktiver Einstieg in die Algebra. Mathematik lehren 136, S. 44-46
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.20
Kalkülvorstellung
Aufgabe 1 (Kalkülvorstellung)
Typische Lösungsansätze und Fehler
Grundvorstellung
zu Termen?
Wiegand/Wiegand (2006). Der Termbaukasten – Ein aktiver Einstieg in die Algebra. Mathematik lehren 136, S. 44-46
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.21
Kalkülvorstellung und
Einsetzungsvorstellung
Aufgabe 2 (Kalkülvorstellung)
Legt aus 5 Rechtecken eine
Figur.
Beschreibt den Flächeninhalt
auf unterschiedliche Arten.
𝒄𝒄
𝒄𝒄
𝒄𝒄
𝒄𝒄
𝒙𝒙
𝒛𝒛
𝒛𝒛
𝒛𝒛
𝒂𝒂
𝒛𝒛
Aufgabe 3 (Einsetzungsvorstellung)
Setzt nacheinander für 𝑥𝑥 die
Zahlen −4, −3, −2, … , 2, 3, 4
in die folgenden Terme ein.
Fertigt eine Tabelle an und beschreibt eure Beobachtungen.
a) 2 ⋅ 𝑥𝑥 + 3
b) 3 ⋅ 𝑥𝑥 + 4
c) −2 ⋅ 𝑥𝑥 + 3
d)
𝑥𝑥 − 1 ⋅ 𝑥𝑥 − 1
Grundvorstellung
zu Termen?
Wiegand/Wiegand (2006). Der Termbaukasten – Ein aktiver Einstieg in die Algebra. Mathematik lehren 136, S. 44-46
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.22
Einsetzungsvorstellung
Wiegand/Wiegand (2006). Der Termbaukasten – Ein aktiver Einstieg in die Algebra. Mathematik lehren 136, S. 44-46
Aufgabe 3 (Einsetzungsvorstellung)
𝒙𝒙
−𝟒𝟒
𝒙𝒙
−𝟒𝟒
𝒙𝒙
−𝟒𝟒
𝒙𝒙
−𝟒𝟒
2 � 𝑥𝑥 + 3
3 ⋅ 𝑥𝑥 + 4
−2 ⋅ 𝑥𝑥 + 3
𝑥𝑥 − 1 � 𝑥𝑥 − 1
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
−5
−8
11
25
2
3
−2
9
−𝟑𝟑
−3
−𝟑𝟑
−5
−𝟑𝟑
9
−𝟑𝟑
16
2
2
3
−2
7
−𝟐𝟐
−1
−𝟐𝟐
−2
−𝟐𝟐
7
−𝟐𝟐
9
2
2
3
−2
5
−𝟏𝟏
1
−𝟏𝟏
1
−𝟏𝟏
5
−𝟏𝟏
4
2
2
3
−2
3
𝟎𝟎
3
𝟎𝟎
4
𝟎𝟎
3
𝟎𝟎
1
2
2
3
−2
1
𝟏𝟏
5
𝟏𝟏
7
𝟏𝟏
1
𝟏𝟏
0
2
2
3
−2
−1
𝟐𝟐
7
𝟐𝟐
10
𝟐𝟐
−1
𝟐𝟐
1
2
2
3
−2
−3
𝟑𝟑
9
𝟑𝟑
13
𝟑𝟑
−3
𝟑𝟑
4
2
2
3
−2
−5
𝟒𝟒
11
𝟒𝟒
16
𝟒𝟒
−5
𝟒𝟒
9
2.23
Gegenstandsvorstellung
Aufgabe 4 (Gegenstandsvorstellung)
Schaut euch die Reihe aus
regelmäßig wachsenden
Plättchenmustern genau an
und versucht sie fortzusetzen.
a) Gebt jeweils die Gesamtzahl
der Plättchen im Muster an.
b) Stellt einen allgemeinen
Term auf, mit dem man die
Gesamtzahl der Plättchen
bestimmen kann (ohne alle
Plättchen zu zählen).
Wiegand/Wiegand (2006). Der Termbaukasten – Ein aktiver Einstieg in die Algebra. Mathematik lehren 136, S. 44-46
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.24
Gegenstandsvorstellung
Aufgabe 4 (Gegenstandsvorstellung)
Zugänge und Strategien
Wiegand/Wiegand (2006). Der Termbaukasten – Ein aktiver Einstieg in die Algebra. Mathematik lehren 136, S. 44-46
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.25
Kapitel 2: Terme
2.3 Terme strukturieren
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.26
Klammergebirge
(
)
)( )
Kortenkamp, U. (2006): Terme erklimmen – Klammergebirge als Strukturierungshilfe. Mathematik lehren 136, S. 14-16
Ein Werkzeug zur
Strukturierung von Termen
98 − 20 − 4 · 3
(
∶ 10 − 1 =
98 −
= 10
20 − 4 ⋅ 3
𝟗𝟗𝟗𝟗
𝟖𝟖
∶
10 − 1
𝟗𝟗
https://vimeo.com/11653437
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.27
Regeln und Formeln
Regeln sind in zwei Richtungen lesbar!
𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 ⋅ 𝑐𝑐
Terme einsetzen
(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) ⋅ 2𝑢𝑢 + 3𝑣𝑣 = (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) ⋅ 2𝑢𝑢 + (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) ⋅ 3𝑣𝑣
Doppelfunktion von Termen in Regeln
Objekt einer
Termumformung
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Regel für
Termumformungen
2.28
Regelhierarchie
Regeln
Für Termumformungen
muss man rechnen können!
Regel zu Potenzen
notwendig?
(u. a. mit Brüchen und negativen Zahlen)
Klammern werden (von innen
nach außen) zuerst berechnet.
Reihenfolge der Regeln?
Von Links nach Rechts
Punkt vor Strich
Potenzen!?
Beispiel: 15 + 2 � 32
Andreas: 15 + 2 � 32 = 51
Bernd:
Carolin:
15 + 2 � 32 = 2601
15 + 2 � 32 = 33
Welches Ergebnis ist richtig?
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.29
Sprechen über
Termumformungen
Frage nach dem „Warum?“:
Zielangabe
„Ich möchte in 2 � 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦
die Klammer auflösen.
Weg?
Warum?
Wegangabe
„Ich multipliziere jeden
Summanden mit 2.“
Begründung
„Nach dem
Distributivgesetz gilt:
𝑎𝑎 � 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 � 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 � 𝑐𝑐“
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.30
Kapitel 2: Terme
2.4 Lernen der Formelsprache
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.31
Lernen der Formelsprache
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.32
Lernen der Formelsprache
1. Intuitiv Gebrauchen
3. Erkunden und Aneignen
Verankerung der Sprache im
Umgang mit Zahlen und Größen.
Ausdrucksmöglichkeiten erkunden
Nicht über Sprachelemente reden,
sondern sie verwenden.
Handlungsmuster bei
Termumformungen einprägen.
2. Reflektieren
Sprachelemente, ihre Verwendung
und Erfahrungen mit ihnen
reflektieren.
Über Variable, Terme und den
Umgang mit ihnen sprechen.
Geeignete Bezeichnungen
einführen.
Regeln entdecken und anwenden.
Sicherheit im Umgang mit der
Sprache erwerben.
4. Nutzen
Neue Einsichten in mathematische Sachverhalte gewinnen.
Kenntnisse vertiefen.
5. Erweitern
Bruch-, Wurzel-,
Potenzrechnung,
Trigonometrie
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
⇒ neue Terme
2.33
Formelsprache
Intuitiv Gebrauchen
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.34
Formelsprache
Reflektieren
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.35
Formelsprache
Erkunden und Aneignen
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.36
Formelsprache
Erkunden und Aneignen
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.37
Formelsprache
Erkunden und Aneignen
Sind diese Terme äquivalent?
3
𝑇𝑇1 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
2
1 4 3 3 11 2
𝑇𝑇2 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥
4
2
4
3
𝑇𝑇1 1 =
2
3
𝑇𝑇2 1 =
2
𝑇𝑇1 0 = 0
𝑇𝑇1 2 = 3
9
𝑇𝑇1 3 =
2
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
𝑇𝑇1 4 = 6
𝑇𝑇2 0 = 0
𝑇𝑇2 2 = 3
9
𝑇𝑇2 3 =
2
𝑇𝑇2 4 = 12
2.38
Formelsprache
Erkunden und Aneignen
http://www.juergen-roth.de/dynageo/termaequivalenz/
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.39
Formelsprache
Erkunden und Aneignen
Mateos (2011): Enaktive Zugänge zu Termen mit Streichhölzern und Wendeplättchen in Klasse 8. MNU 64(7), S. 397-401
Aus wie vielen Punkten besteht das Quadratmuster,
wenn eine Seite des Quadrates aus n Punkten besteht?
2 ⋅ 𝑛𝑛 + 2 ⋅ 𝑛𝑛 − 2
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
4 · 𝑛𝑛 − 4
4 · 𝑛𝑛 − 2 + 4
4 ⋅ 𝑛𝑛 − 1
𝑛𝑛2 − (𝑛𝑛 − 2)2
2.40
Formelsprache
Erkunden und Aneignen
Aus wie vielen kleinen Würfeln besteht
ein 𝑛𝑛-Würfel der längs einer Kante aus 𝑛𝑛
kleinen Würfeln zusammengesetzt ist? 12𝑛𝑛 − 16
Stellen Sie möglichst viele verschiedene
Zählterme auf, und zeigen Sie die
Äquivalenz dieser Terme.
Was spricht dafür, im Unterricht mehrere
Lösungswege für eine Aufgabe zu
erarbeiten?
Wie viele Kanten der kleinen Würfel sind
96𝑛𝑛 − 144
beim n-Würfel sichtbar?
Hinweis: Kanten, an denen zwei oder mehr
Würfel zusammenstoßen, werden nur einmal
gezählt.
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.41
Formelsprache
Erkunden und Aneignen
Sinn von Termumformungen
Gedächtnis entlasten
numerisch Berechnungen
vereinfachen
Formeln vereinfachen oder auf
eine bestimmte Gestalt bringen
Größen können wegfallen
⇒ Nicht-Abhängigkeiten
können erkannt werden
aus einer Formel verschiedene
Zusammenhänge bzw.
Interpretationen herauslesen
Hilfsmittel zum Gleichungslösen
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.42
Formelsprache
Erkunden und Aneignen
Grundvorstellungen zum
Gleichheitszeichens
Aufgabe → Ergebnis
Zuweisungszeichen
(Handlungszeichen)
Vergleich
Vergleichszeichen
(Beziehungszeichen)
Lernziel:
Ergänzen um
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.43
Formelsprache
Erkunden und Aneignen
Erarbeitung der Termumformungen
1. Schritt: Ordnen
2. Schritt: Zusammenfassen
3. Schritt: Klammern auflösen
Zunächst
5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥
= 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥
= 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥
= 5 + 6 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 4 − 2 𝑥𝑥
= 11𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥
= 𝑥𝑥 � 11𝑦𝑦 + 2
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Später
5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥
= 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥
= 11𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥
= 𝑥𝑥 � 11𝑦𝑦 + 2
2.44
Formelsprache
Erkunden und Aneignen
Einstieg:
Die Seitenlänge a eines Quadrates
wird um b vergrößert. Wie ändert
sich der Flächeninhalt des Quadrates?
2
(a + b) = a + 2ab + b
Erarbeitung:
2
b
ab
b²
a
a²
ab
a
b
2
2
(a + b) = (a + b)·(a + b)
2
2
2
2
= a + ab + ab + b = a + 2ab + b
Ergebnis:
( a + b )2= a2 + 2ab + b2 heißt
1. binomische Formel (Plusformel).
Probleme:
(a+b)²
= a²+b²
(2xy+3vw)²
Sicherung:
(x + y)2, (x + 3)2, (5 + z)2, (a + 2b)2,
(x2 + y3)2, c2 + 2cd + d2, …
Vertiefung:
Verwandle (a − b)² in eine Summe.
Lässt sich diese Aussage geometrisch deuten? …
http://www.juergen-roth.de/dynageo/binomische_Formeln/binomische_Formeln.html
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.45
Formelsprache
Nutzen
Algebraischer Beweis zum Satz des Pythagoras
von J.A. Garfield (1881 Präsident der U.S.A.)
(1) 𝐴𝐴Trapez = 𝐴𝐴Δ1 + 𝐴𝐴Δ2 + 𝐴𝐴Δ3
1
2
1
2
𝐴𝐴Trapez: Flächeninhalt
des Trapezes
1
2
= 𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒄𝒄2
1
2
= 𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒄𝒄2
(2)
𝑎𝑎+𝑐𝑐
𝒂𝒂+𝒃𝒃
𝐴𝐴Trapez =
⋅ℎ =
⋅ (𝒂𝒂 +
2
2
1
= 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 2
2
1
= 𝒂𝒂2 + 2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃2
2
𝒃𝒃)
𝒂𝒂
𝚫𝚫𝟏𝟏
𝒄𝒄
𝚫𝚫𝟑𝟑
𝒃𝒃
Gleichsetzen der Terme aus (1) und (2) liefert:
1
2
1
2
𝒂𝒂2 + 2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃2 = 𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒄𝒄2 | ⋅ 2
𝒂𝒂2 + 2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃2 = 2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒄𝒄2 | − 2𝑎𝑎𝑎𝑎
𝒂𝒂2 + 𝒃𝒃2 = 𝒄𝒄2
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
#
𝒄𝒄
𝒂𝒂
𝚫𝚫𝟐𝟐
𝒃𝒃
2.46
Formelsprache
Nutzen
Entdecken von Sachverhalten
Induktiv, deduktiv o. Hypothesen widerlegen
Beispiel: „Quadrieren vergrößert.“
Formulieren der Sachverhalte
als mathematische Aussagen
Begründen der Aussagen
Logische Struktur (Voraussetzung,
Behauptung) herausarbeiten
Ziele des Begründens
22 = 4 > 2
32 = 9 > 3
42 = 16 > 4
𝑎𝑎2 > 𝑎𝑎
⇔ 𝑎𝑎 ∈ ℝ\[0; 1]
Fallunterscheidung
Wahrheit einer Aussage sichern
Einsicht in den Sachverhalt vermitteln
y
3
2,5
Verstehen der Sachverhalte
2
1,5
Ziel: Anregen von geistigen Prozessen, die zu
(neuen) mathematischen Erkenntnissen führen
1
0,5
x
-1,5
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
-1
-0,5
0,5
1
1,5
2.47
Formelsprache
Erweitern
Beispiel: Potenzen
Permanenzprinzip
Erweiterungen so, dass die bisherigen
Gesetze & Rechenregeln gültig bleiben!
Bei Erweiterungen jeweils überprüfen!
Potenzen mit Exponenten aus ℕ:
Beispiel:
25 = 2 � 2 � 2 � 2 � 2
5 Faktoren
Definition: Für 𝑎𝑎 ∈ ℝ und 𝑛𝑛 ∈ ℕ mit 𝑛𝑛 ≥ 2 gilt:
Bezeichnungen:
Potenz
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
𝑎𝑎𝑛𝑛
Exponent
𝑎𝑎𝑛𝑛 ≔ 𝑎𝑎 � 𝑎𝑎 � 𝑎𝑎 � 𝑎𝑎 � 𝑎𝑎
𝑛𝑛 Faktoren
Basis
2.48
Formelsprache
Erweitern
Rechengesetze: 𝑚𝑚, 𝑛𝑛 ∈ ℕ\{1} und 𝑎𝑎 ∈ ℝ
𝑎𝑎𝑚𝑚
𝑎𝑎𝑚𝑚
Def.
𝑛𝑛
⋅ 𝑎𝑎
Def.
= 𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎 ⋅ 𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑚𝑚+𝑛𝑛
∶
𝑚𝑚 Faktoren
Def.
𝑎𝑎𝑛𝑛
=
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
𝑛𝑛 Faktoren
𝑚𝑚+𝑛𝑛 Faktoren
𝑚𝑚 Faktoren
𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎
𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎
𝑛𝑛 Faktoren
Kürzen!
=
𝑎𝑎𝑚𝑚−𝑛𝑛 für 𝑚𝑚 > 𝑛𝑛
1
für 𝑚𝑚 = 𝑛𝑛
1
für 𝑚𝑚 < 𝑛𝑛
𝑛𝑛−𝑚𝑚
𝑎𝑎
2.49
Formelsprache
Erweitern
Rechengesetze: 𝑚𝑚, 𝑛𝑛 ∈ ℕ\{1} und 𝑎𝑎 ∈ ℝ
Def.
𝑚𝑚
𝑛𝑛
𝑎𝑎
= 𝑎𝑎𝑚𝑚 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎𝑚𝑚
𝑛𝑛 Faktoren
Def.
𝑚𝑚 Faktoren
=
𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎
=
Def.
𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎
⋅ …⋅
𝑚𝑚 Faktoren
𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎
𝑛𝑛 Klammern
𝑚𝑚⋅𝑛𝑛 Faktoren
= 𝑎𝑎𝑚𝑚⋅𝑛𝑛
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.50
Formelsprache
Erweitern
Rechengesetze: 𝑚𝑚, 𝑛𝑛 ∈ ℕ\{1} und 𝑎𝑎 ∈ ℝ
𝑎𝑎𝑚𝑚 ⋅ 𝑎𝑎1 = 𝑎𝑎𝑚𝑚+1
Def. 𝑚𝑚+1
𝑚𝑚
𝑎𝑎 ⋅ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎
Da die Gleichung 𝑎𝑎𝑚𝑚 ⋅ 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑚𝑚+1 eindeutig lösbar
bleiben sollen, muss festgelegt werden:
𝑎𝑎𝑚𝑚 ⋅ 𝑎𝑎0 = 𝑎𝑎𝑚𝑚+0 = 𝑎𝑎𝑚𝑚
𝑎𝑎𝑚𝑚 ⋅ 1
= 𝑎𝑎𝑚𝑚
1 ist neutrales Element
der Multiplikation.
Da die Gleichungen 𝑎𝑎𝑚𝑚 ⋅ 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑚𝑚 eindeutig lösbar
bleiben sollen, muss festgelegt werden:
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
𝒂𝒂𝟏𝟏 = 𝒂𝒂
𝒂𝒂𝟎𝟎 = 𝟏𝟏
2.51
Formelsprache
Erweitern
Rechengesetze: 𝑛𝑛 ∈ ℕ und 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ
𝑎𝑎𝑛𝑛
⋅
Def.
𝑛𝑛
𝑏𝑏
= 𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 ⋅ … ⋅ 𝑏𝑏
𝑛𝑛 Faktoren
Kommutativgesetz
Assoziativgesetz
=
𝑎𝑎𝑛𝑛 ∶ 𝑏𝑏 𝑛𝑛 =
𝑏𝑏 ≠ 0
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
𝑎𝑎𝑛𝑛
𝑏𝑏𝑛𝑛
𝑛𝑛 Faktoren
𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏
Def.
=
𝑛𝑛 Faktoren
𝑛𝑛 Faktoren
𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎
𝑏𝑏 ⋅ … ⋅ 𝑏𝑏
𝑛𝑛 Faktoren
Def.
= 𝑎𝑎𝑚𝑚⋅𝑛𝑛
𝑎𝑎
𝑎𝑎
=
⋅ …⋅
𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑛𝑛 Faktoren
𝑎𝑎
=
𝑏𝑏
Def.
𝑛𝑛
2.52
Formelsprache
Erweitern
Potenzen mit Exponenten aus ℤ:
𝑛𝑛 ∈ ℕ0 und 𝑎𝑎 ∈ ℝ\{0}
𝑎𝑎𝑛𝑛 ⋅ 𝑎𝑎−𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑛𝑛−𝑛𝑛 = 𝑎𝑎0 = 1
𝑛𝑛
𝑎𝑎 ⋅
1
𝑎𝑎𝑛𝑛
=
𝑎𝑎𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑛𝑛
= 1
Da Gleichungen 𝑎𝑎𝑛𝑛 ⋅ 𝑥𝑥 = 1 eindeutig lösbar bleiben sollen, muss
festgelegt werden:
𝟏𝟏
𝒂𝒂−𝒏𝒏 = 𝒏𝒏
𝒂𝒂
Damit vereinfacht sich der Quotient zweier Potenzen mit gleicher
Basis zu:
𝒂𝒂𝒎𝒎
𝒎𝒎−𝒏𝒏
=
𝒂𝒂
𝒂𝒂𝒏𝒏
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.53
Formelsprache
Erweitern
Potenzen mit Exponenten aus ℚ: 𝑛𝑛 ∈ ℕ und 𝑎𝑎 ∈ ℝ+
Die bisherigen Rechengesetze sollen unverändert
erhalten bleiben (Permanenzprinzip):
𝑎𝑎
1
𝑛𝑛
𝑛𝑛
=
1
𝑛𝑛
1
𝑎𝑎𝑛𝑛⋅𝑛𝑛
=
𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑛𝑛
= 𝑎𝑎1 = 𝑎𝑎
D. h. 𝑎𝑎 sollte als reelle Lösung der Gleichung 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 definiert
werden. Da man aber die einzige reelle Lösung dieser Gleichung,
nämlich 𝑥𝑥 = 𝑛𝑛 𝑎𝑎 bereits kennt, muss man definieren:
𝟏𝟏
𝒂𝒂𝒏𝒏
=
𝒏𝒏
𝒂𝒂
Potenzen mit Exponenten aus ℝ:
Potenzen mit irrationalen Exponenten lassen
sich über Intervallschachtellungen definieren.
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.54
Kontrolle bei Termumformungen
Spiegel, H. (1995). Ist 1 ∶ 0 = 1? Ein Brief – und eine Antwort. Grundschule 27(5), S. 8
Semantische Kontrolle
Einzelbeispiele
𝑥𝑥 2 − 4
+1
𝑥𝑥 − 2
+ 3 ??
𝑥𝑥 + 3
2
=
𝑥𝑥
4𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥
8+
𝑥𝑥
𝑥𝑥 3
Numerische Kontrolle
Wertetabellen
Graphische Kontrolle
Vergleich der Graphen
Automatische Umformung
vollständig
schrittweise
Warum darf man eigentlich nicht durch Null teilen?
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.55
Interessante Fragen
Was bedeutet 𝟎𝟎𝟎𝟎 ?
Vgl. Penßel, Penßel, Roth (1990).
Was ist 00 ? In: Basis Mathematik,
10 Algebra. München: BSV
Ist folgendes richtig?
𝑎𝑎
𝑛𝑛�𝑟𝑟
𝑛𝑛�𝑠𝑠
𝑟𝑟
𝑠𝑠
= 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎
1
𝑠𝑠
𝑟𝑟
1
2
4
Ja, falls 𝑎𝑎 > 0!
=
1
𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑠𝑠
Beispiel
−2
2
=4
ist definiert.
−2
4
2
=
−2
=
−2
ist nicht definiert!
−2
4
2
ist definiert!
Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
1
4 2
1
2
= 16 = 4
2.56
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