Vorlesung Geometrie
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Dr. Nadine Große
WS 14/15
Übungsblatt 5– Lösungen
Aufgabe 17.
a) Im RP3 seien zwei windschiefe Geraden g1 und g2 gegeben (windschief bedeutet,
dass die beiden Geraden keinen Punkt gemeinsam haben). Sei weiterhin ein Punkt P gegeben,
der weder auf g1 noch auf g2 liegt. Zeigen Sie, dass es eine eindeutig bestimmte Gerade g durch
P gibt, die g1 und g2 schneidet.
b) Im RP3 seien g1 = P (U1 ), g2 = P (U2 ) und P = [v] mit
1
0
1
0
0
−1
−1
1
1
0
U1 = span
0 , 1 , U2 = span 1 , 1 , v = 1
1
1
1
−1
0
gegeben. Zeigen Sie, dass g1 und g2 windschief sind und bestimmen Sie die Gerade g aus a) und
die Schnittpunkte von g mit g1 bzw. g2 .
Lösung 17. a) Da g1 , g2 projektive Geraden in RP3 sind, gibt es zweidimensionale Untervektorräume
U1 , U2 von R4 mit gi = P (Ui ). Da die beiden Geraden windschief sind, gilt U1 ∩ U2 = {0}. Wegen des
Dimensionssatzes für Vektorräume ist damit span(U1 , U2 ) = R4 . Sei v ∈ R3 so dass P = [v] ist. Wegen
P 6∈ gi , ist v 6∈ Ui . Damit sind Vi := span(Ui , v) für i = 1, 2 dreidimensional. Weiterhin erzeugen V1 und
V2 weiterhin den R4 . Damit ist wegen des Dimensionsatzes für Vektorräume V1 ∩ V2 zweidimensional.
Sei g = P (V1 ∩ V2 ). Wegen v ∈ V1 ∩ V2 , ist P ∈ g. Weiterhin ist P (Vi ) jeweils eine projektive Ebene,
die g und gi enthält. In einer projektiven Ebene schneiden sich zwei verschiedene Geraden jedoch immer
in einem Punkt. Damit schneidet g sowohl g1 als auch g2 . Das zeigt die Existenz von g. Es bleibt die
Eindeutigkeit: Sei g 0 eine andere Gerade, die g1 und g2 schneidet und für die P ∈ g gilt. Dann muss
g 0 ∈ P (Vi ) für beide i sein. Doch der Schnitt von P (V1 ) ∩ P (V2 ) = P (V1 ∩ V2 ) enthält nur eine Gerade.
b)Die Vektoren e1 = (1, −1, 0, 1)t , e2 = (0, 1, 1, 1)t , e3 = (1, 1, 1, 1)t und e4 = (0, 0, 1, −1) bilden eine
Basis von R4 . Damit ist U1 ∩ U2 = {0} und g1 ∩ g2 = ∅. Die gesuchte Gerade g sei P (U ). Wegen P ∈ g
und g schneidet g1 , muss U von v und einem Vektor re1 + se2 , für geeignete r, s aufgespannt werden.
Analog muss U von v und einem Vektor ae3 + be4 für geeignete a, b aufgespannt werden. Wir zerlegen v
bzgl obiger Basis:
v = e1 + e2 − e3 + e4 .
Wir können also r = s = 1 und −a = b = 1 wählen und dann liegen ist g ∩ g1 = [e1 + e2 ] und
g ∩ g2 = [e4 − e3 ].
Anderer Weg für b): Sei E die projektive Ebene, die von g1 und P aufgespannt wird. Dann ist
E = {ν[0 : −1 : 1 : 0] + λ[1 : −1 : 0 : 1] + µ[0 : 1 : 1 : 1] |µ, ν, λ ∈ R, nicht alle gleich Null}
und
g2 = {κ[1 : 1 : 1 : 1] + χ[0 : 0 : 1 : −1] |κ, χ ∈ R, nicht alle gleich Null}.
Bei der Berechnung des Schnittpunkts von E und g2 erhalten wir
λ=κ
−ν − λ + µ = κ
ν+µ=κ+χ
λ + µ = κ − χ,
also κ = λ = ν = −χ und damit g2 ∩ E = {[1 : 1 : 1 : 1] − [0 : 0 : 1 : −1] = [1 : 1 : 0 : 2] = [e4 − e3 ]}
Aufgabe 18. Seien P1 , P2 , P3 , P4 vier verschiedene Punkte auf einer Geraden g im projektiven Raum
P (V ) mit dim V = n + 1. Sei W ⊂ V ein n-dimensionaler Untervektorraum von V mit Pi 6∈ P (W ) für
i = 1, . . . , 4. Sei u ∈ V \ W und A = P (V ) \ P (W ). Wir betrachten die Karte π : A 7→ W , [u + w] 7→ w,
siehe Skript S.35. Dann ist π(g) eine affine Gerade durch die Punkte π(Pi ). Wir definieren
ω(P1 , P2 , P3 , P4 ) := T V (π(P3 ), π(P2 ); π(P1 ))T V (π(P4 ), π(P1 ); π(P2 )).
a Zeigen Sie, dass ω wohldefiniert ist, d.h. unabhängig von der Wahl von W und u ist.
b Zeigen Sie, dass ω invariant unter projektiven Transformationen (=projektive Isomorphismen)
ist.
c Seien P1 , P2 , P3 Punkte auf einer affinen Geraden h in u+W ∼
= A. Berechnen Sie ω(P1 , P2 , P3 , ∞h ).
Aufgabe 19. Sei P (V ) ein projektiver Raum. Seien g1 , g2 , g3 , h1 , h2 , h3 paarweise verschiedene projektive
Geraden in P (V ) mit g1 ∩ g2 ∩ g3 = {P } und h1 ∩ h2 ∩ h3 = {Q}. Desweiteren sei g3 ∩ h3 = {P33 },
g1 ∩ h1 = {P11 }, g1 ∩ h2 = {P12 }, g2 ∩ h1 = {P21 }, g2 ∩ h3 = {P23 }, g3 ∩ h2 = {P32 }.
a) Zeigen Sie, dass die Geraden g1 , g2 , g3 , h1 , h2 , h3 alle in einer projektiven Ebene liegen.
b) Zeigen Sie, dass sich die projektiven Geraden gP33 P11 , gP32 P21 und gP23 P12 in einem Punkt schneiden. (Tipp: Eine Möglichkeit, dass zu zeigen ist es mit einer projektiven Punktbasis und damit
mit einer Basis des unterliegenden Vektorraums zu arbeiten und die Schnittpunkte auszurechnen)
c) Sei P (W ) die projektive Ebene, in der all die Geraden gi und hi liegen. Wir betrachten P (W ) als
projektiven Abschluss einer affinen Ebene A. Je nach Lage der gegebenen Punkte P, Q, Pij (d.h.
ob in A oder in ∞A ) entstehen unterschiedliche affine Versionen der Aussage von b). Geben Sie
mindestens zwei dieser Versionen an.
Lösung 18. a) g1 und h1 spannen eine projektive Ebene auf, auf der die Punkte P, Q, P11 , P12 , P21 liegen.
Damit liegt auch die projektive Gerade durch P und P21 , also g2 , in dieser projektiven Ebene. Analog
liegt auch h2 in dieser Ebene und damit P32 und P23 . Also liegt dann auch g3 und h3 in dieser Ebene.
b) Da die Geraden gi und hi paarweise verschieden sind, ist P , Q, P33 und P11 eine projektive Punktbasis.
Sei P = [e0 ], Q = [e1 ], P33 = [e2 ] und P11 = [e0 +e1 +e2 ]. Damit ist g1 die Menge aller [e0 +e1 +e2 +λ1 e0 ],
h1 die Menge aller [e0 + e1 + e2 + µ1 e1 ], g3 die Menge aller [e2 + λ3 e0 ], h3 die Menge aller [e2 + µ3 e1 ]. Da
P12 ∈ g1 ist, ist [e0 +e1 +e2 +λ1 e0 ] für fixiertes λ1 . Damit ist h2 die Menge aller [e0 +e1 +e2 +λ1 e0 +µ2 e1 ]
vereinigt mit [e1 ]. Damit können wir P32 im Schnitt von h2 und g3 berechnen: P32 = [(1 + λ1 )e0 + e2 ].
Analog ist P21 = [e0 +e1 +e2 +µ1 e1 ] für fixiertes µ1 und damit g2 die Menge aller [e0 +e1 +e2 +µ1 e1 +λ2 e0 ]
vereinigt mit [e0 ]. Also ist P23 = [(1 + µ1 )e1 + e2 ]. Damit ist gP11 P33 die Menge aller [e0 + e1 + e2 + κ1 e2 ]
vereinigt mit [e2 ], gP12 P23 die Menge aller [e0 + e1 + e2 + λ1 e0 + κ2 ((1 + µ1 )e1 + e2 )] vereinigt mit
[(1 + µ1 )e1 + e2 ] und gP21 P32 die Menge aller [e0 + e1 + e2 + µ1 e1 + κ3 ((1 + λ1 )e0 + e2 )] vereinigt mit
1+µ1 +λ1
e2 ].
[(1 + λ1 )e0 + e2 ]. Auf allen diesen Geraden liegt der Punkt [e0 + e1 + (1+λ
1 )(1+µ1 )
c) Falls A alle Punkte P, Q, Pij enthält, liest sich die Aussage genau, wie in b)
Falls in A alle diese Punkte außer P enthält, dann sind die affinen Geraden giA := gi ∩A parallel zueinander:
D.h. wir erhalten folgende Aussage: Seien in einer affinen Ebene drei parallele und paarweise verschiedene
Geraden g1 , g2 , g3 und drei paarweise verschiedene Geraden h1 , h2 , h3 mit h1 ∩ h2 ∩ h3 = {Q} gegeben.
Desweiteren sei g3 ∩ h3 = {P33 }, g1 ∩ h1 = {P11 }, g1 ∩ h2 = {P12 }, g2 ∩ h1 = {P21 }, g2 ∩ h3 = {P23 },
g3 ∩ h2 = {P32 }. Dann sind die affinen Geraden gP33 P11 , gP32 P21 und gP23 P12 entweder parallel oder
schneiden sich in einem Punkt.
Falls in A alle Punkte außer P11 liegen, sind g1 und h1 parallel: Seien g1 , g2 , g3 und h1 , h2 , h3 jeweils
paarweise verschiedene Geraden mit g1 ∩g2 ∩g3 = {P } und h1 ∩h2 ∩h3 = {Q}. Sei weiterhin g1 ∩g2 ∩g3 =
{P } und h1 ∩ h2 ∩ h3 = {Q} und g1 parallel zu h1 . Dann schneiden sich die affinen Geraden gP32 P21 ,
gP23 P12 und die Parallel zu g1 durch P33 in einem Punkt.
Falls in A alle Punkte außer P und Q liegen. Erhält man: Seien g1 , g2 , g3 paarweise verschiedene parallele
Geraden und seien h1 , h2 , h3 paarweise verschiedene parallele Geraden. Dann schneiden sich gP33 P11 ,
gP32 P21 und gP23 P12 in einem Punkt oder sind parallel.
Ähnlich kann man noch viele weitere Fälle betrachten.
Bem: Der letzte affine Satz lässt sich recht einfach auch direkt nachrechnen. Mittels projektiven Abschluss
erhält man dann direkt b). Das wäre eine andere Methode b) zu beweisen.
Aufgabe 20.
a) Sei f ∈ P GL(V ) und fˆ ein zugehöriger Vektorraumisomorphismus. Zeigen Sie,
dass F := {[v] | v ist Eigenvektor von fˆ} die Menge der Fixpunkte von f ist. Zeigen Sie, dass
f ∈ P GL(C2 ) entweder genau einen oder genau zwei Fixpunke besitzt1. Wie ist die Situation für
f ∈ P GL(R2 ) und f ∈ P GL(R3 )?
b) Seien H und H 0 projektive Hyperebenen in P (V ) und Z 6∈ H ∪ H 0 . Wir definieren die Abbildung
f : P ∈ H 7→ P 0 ∈ H 0 , wobei P 0 ∈ H 0 ∩ gP Z ist. Zeigen Sie, dass f wohldefiniert ist und ein
projektiver Isomorphismus ist.
Lösung 19. a) Sei v ein Eigenvektor von fˆ. Dann ist fˆ(v) = λv für λ ∈ K und damit f ([v]) = [v]. Ist
andersherum f ([v]) = [v]. Dann folgt fˆ(v) = λv für geeignetes λ ∈ K.
Sei f ∈ P GL(C2 ). Dann ist fˆ ∈ GL(C2 ). Damit hat fˆ immer zwei komplexe Eigenwerte. Die zugehörigen
Eigenvektoren liefern die Fixpunkte von f . Sind beide Eigenwerte verschieden, gibt es genau zwei
zugehörige Eigenvektoren (bis auf skalare Multiplikation) und dann gibt es zwei Fixpunkte. Falls es
einen Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 2 aber geometrischer Vielfachheit 1 hat, gibt es nur eine
einparametrige Schar von Eigenvektoren und damit nur einen Fixpunkt. Falls es jedoch einen Eigenwert
mit algebraischer=geometrischer Vielfachheit 2 gibt, sind alle Vektoren Eigenvektoren (Das ist der Fall,
wenn fˆ = αId ist.) und damit F = P (C2 ) (die Behauptung war also nicht richtig). Da GL(R2 ) komplexe
(also nicht relle) Eigenwerte haben kann, kann f ∈ P GL(R2 ) keinen Fixpunkt haben. Da GL(R3 ) immer
mindestens einen reellen Eigenwert hat, muss f ∈ P GL(R3 ) immer mindestens einen Fixpunkt haben.
b) Sei H = P (E) und H 0 = P (E 0 ) für E, E 0 ⊂ V . Sei Z = [u]. Wegen Z 6∈ H 0 , gilt V = E 0 ⊕ Ku. Sei
ĝ : V → V die Parallelprojektion auf E 0 entlang u. Dann ist ĝ eine lineare Abbildung. Die Einschränkung
ĝ|E : E → E 0 ist noch immer linear und bijektiv. Die zugehörige projektive Abbildung g : H → H 0 ist ein
projektiver Isomorphismus und das gegebene f .
1richtig hätte hier stehen müssen: Zeigen Sie, dass f ∈ P GL(C2 ) mindestens einen Fixpunkt hat
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