第3回演習 - ICE

第 3 回演習
平成 28 年 4 月 27 日
課題 1: 二分法と Newton 法
2
方程式 e−x − sin x = 0 の解を下記の手順でそれぞれ二分法と Newton 法で求めよう。
2
(i) f (x) = e−x − sin x として、 y = f (x) のグラフを 0 ≤ x ≤ 10 の範囲で描け。グラフは points ではな
く dots で描くこと。
(ii) この方程式の x > 0 の解のうち、小さい方から 2 番目と 3 番目の 2 つの解を二分法と Newton 法で求
めよ。それぞれの方法で使う初期値はグラフから判断して選ぶ。収束判定の ǫ は ǫ = 1.0 × 10−15 (c のプ
ログラムでは 1.0e − 15 と書けばよい）である。
(iii) 二分法の収束までに要する反復回数を数値計算から求め、テキストの理論値 (2.6) に一致するか確認
せよ。
(iv) どちらの方法も、初期値の選び方が不適切であると、求める解に収束しなかったり別の解に収束して
しまう。どのような選び方でこのようなことが起こるか考察せよ。
レポート：グラフ、計算結果（求めた数値は全て小数第 13 位まで書くこと）、考察を提出。
課題 2: Newton 法の複素領域への拡張
x3 = 1 の解は実数の Newton 法では x = 1 しか求められない。複素解も求められるように複素領域に拡張
した Newton 法を考える。
f (z) = 0 の複素解を求める Newton 法は、関数、変数を複素数に拡張した
zn+1 = zn −
f (zn )
f ′ (zn )
である。
これを f (z) = z 3 − 1 = 0 に適用する。
f ′ (z) = 3z 2 であるので、
zn+1
=
=
zn3 − 1
3zn2
1
2
zn + 2
3
3zn
zn −
(1)
となる。
実数 x, y を使って z を表すと z = x + iy であるので、
xn+1 + iyn+1
=
1
2
(xn + iyn ) +
3
3(xn + iyn )2
(2)
1
実部と虚部に分けると下記の連立漸化式になる。

x2n − yn2
2xn


 xn+1 =
+
3
3(x2n + yn2 )2
2y
2xn yn
n

 yn+1 =
−

3
3(x2n + yn2 )2
(3)
しかしここで問題なのは、初期値 (x0 , y0 ) をどのように選べば良いかということである。３つの解のうち
一つに注目し、適当な初期値を選んだ場合、 Newton 法はその解に収束するだろうか、それとも他の２つの
解に収束するのだろうか。
注目した解に収束する初期値の x − y 平面上の分布を調べよう。
次の手順で Newton 法を実行する。
手順 1:
３つの解のうち注目する解を一つ選ぶ。
−2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 2 の正方形の領域に 500 × 500 個の初期値 (x0 , y0 ) を等間隔で取る。ただし
(x, y) = (0, 0) は f ′ (z) = 0 となり、 Newton 法が使えないので除外すること。
手順 2:
これらの約 250000 個の初期値についてそれぞれ Newton 法を実行し、 1 で選んだ解に収束するかどうか調
べて、収束した場合にだけ初期値の x, y 座標をデータファイルに出力する。
まず、 Newton 法の収束について調べる。 x についての収束条件と y についての収束条件が同時に満された
場合のみ収束とみなす。 ǫ = 1.0 × 10−6 とせよ。
次に、収束した解が注目した解なのかどうか調べる。具体的には解と Newton 法で収束した値との平面上
の 2 点間の距離（２乗の和の平方根）の絶対値を求め、 ǫ より小さくなったときにその解に一致したものと
する。
ただし、 (x, y) = (1, 0) を解に選んだ場合、 y の収束判定は |yn+1 − yn | < ǫ で行うこと。（ 0 に近い数が分
母になること避ける。）
手順 3:
注目した解に収束した初期値が x − y 平面の領域にどのように分布しているか dots で描画せよ。（ points
を使うと減点。）
レポート： −2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 2 のプロット , どの解を選んだか、考察などを書いて提出。

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