Übung zur Klausur Differentialrechnung (geplant für 90 Minuten) 1

Bernd Sumpf
Eichberg1 • 07987 Reudnitz 03661/435814 • [email protected]
Übung zur Klausur Differentialrechnung (geplant für 90 Minuten)
[In eckigen Klammern steht zuerst die Punktzahl / dahinter die geplante Zeit in Minuten]
1. Bilden Sie die erste Ableitung! [3/5]
2
x −3x
f(x) =
sin x
2. Bilden Sie die erste und zweite Ableitung! [5/7]
f(x) = cos 5 x 3 −3x
3. Gegeben ist die Funktion f(x)= x 4 − 4x 3  x 2  6x
a) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion! [5/12]
b) Bestimmen Sie die Koordinaten aller Extrempunkte und die Art der Extrema! [9/20]
c)
Untersuchen Sie die Symmetrie des Graphen der Funktion! [2/4]
d*) Skizzieren Sie die Funktion im Intervall [2, 4]! [+2/5]
2
4.
a)
b)
c) d)
e)
f)
Gegeben ist die Funktion f(x)=
x − 3x − 4
2
2x − 4x
Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion! [2/2]
Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit der xAchse! [2/3]
Hat die Funktion behebbare Lücken? [1/1]
Bestimmen Sie die Koordinaten aller Extrempunkte! (ohne Nachweis) [6/12]
Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion für x→±∞ ! [2/2]
Skizzieren Sie die Funktion im Intervall [5, 5]! [2/5]
5.
Der (Schein)Widerstand einer Spule beträgt ω∙L, der eines Kondensators
beträgt 1/( ω∙C). Gegeben sei eine Reihenschaltung einer Spule mit der Induktivität L=2H und eines Kondensators der Kapazität C=0,5µF , wobei der ohmsche Widerstand vernachlässigt werden soll.
a) Bei welcher Kreisfrequenz ω erreicht der Gesamtwiderstand einen Extremwert? [3/5]
b) Berechnen Sie diesen Widerstand! [2/3]
c*) Handelt es sich um ein Minimum oder ein Maximum? [+2/3]
d*) Welche physikalische Bedeutung hat diese Frequenz für die Schaltung? [+1/1]
Gesamt:
[49/90], davon:
1. und 2.
3.
4.
5.
[8/12]
[18/41]
[15/25]
[8/12]
Was wäre, wenn ...
Note 1: 4249 Punkte; Note 2: 3641 Punkte; Note 3: 2935 Punkte;
Note 4: 2228 Punkte; Note 5: 1521 Punkte; Note 6: 014 Punkte
Bernd Sumpf
Eichberg1 • 07987 Reudnitz 03661/435814 • [email protected]
Lösungen:
2
2x−3⋅sin x −  x −3x⋅cos x
1.
f'(x) =
2.
f'(x) = sin(5x³3x) ∙ (15x² – 3)
f“(x) = cos(5x³3x)∙(15x²3) ∙ (15x²3) + (sin(5x³3x)) ∙ 30x
sin x
2
3.a) x=0 ; x=1 (eine sehen, eine probieren!)
bleibt:
0=x²5x+6 und x=2 ; x=3
b) f'(x)=4x³12x²+2x+6
x=1 (probieren!)
bleibt:
0=4x²8x6
; 0=x²2x1,5 und x=0,58 ; x=2,58
f“(x)=12x²24x+2
f“(1)=10 ; f“(0,58)=20 ; f“(2,58)=20
(0,58;2,25) Minimum; (1;4) Maximum; (2,58;2,25) Minimum
c) (0,09;0,53) und (1,91;0,53)
d) besteht aus geraden und ungeraden Teilfunktionen, insgesamt keins von
beiden
oder: f(x) = (x)44(x)³+(x)²+6(x)
= x4+4x³+x²6x
Das ist weder f(x) noch f(x), die Funktion ist weder gerade noch ungerade.
e) Hier kein Bild, nur ein Hinweis: Der Graph ist achsensymmetrisch zur Gerade x=1.
4.a) D=R\{0;2}
b) x=1 und x=4
c) nein
2
2
2
2x−32x −4x− x −3x−4 4x−4 
2x 16x−16
d) f'(x)=
=
2
2
2
2
2x −4x 
 2x −4x
Extrempunkte bei (0,9;2,98) und (8,9;0,53)
e) beide Grenzwerte sind 0,5
f)
1
1 1
= x⋅L  ⋅
x⋅C
C x
1 −1
1 1
1
f'(x) = L  ⋅ 2 = L − ⋅ 2
x=
x=1000Hz
C x
C x
 L⋅C
b) R = f(x) = 4000 Ω
1 −2
2
c) f“(x) = − ⋅ 3 = > 0 also Minimum
C x
C⋅x 3
d) Eigenfrequenz des Reihenschwingkreises
5.a) f(x) = x⋅L 

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