Blatt16 Lösung

Wochenaufgaben: Blatt 16 - Lösung
01.06.2015
1. Lösungen des letztes Blattes kontrolliert? Fragen notiert?!
2. M und N sind die Mittelpunkte der entsprechenden Kanten des Quaders. Beschreiben Sie
−−→
−−→
AM und HN als Linearkombination der Vektoren ⃗a, ⃗b und ⃗c.
−−→
−−→ ⃗
AM = b + ⃗c + 12 ⃗a HN = ⃗a − ⃗c − 21⃗b
3. Prüfen Sie rechnerisch, ob der Vektor ⃗x als Linearkombination der übrigen gegebenen Vektoren darstellbar ist.


 
 
1
2
1





−4
Zu prüfen ist, ob die Gleichung
= r· 2 +s· 0  eine eindeutiges Lösungspaar
3
1
2
(r, s) hat. Die Gleichung ist gleichwertig mit dem linearen Gleichungssystem (LGS)
I
II
III
1 = 2r + s
−4 = 2r
3 = r + 2s
II
II in I
r und s in III
r = −2
s = 5
3 = −2 + 2 · 5
Das Gleichungssystem führt auf einen Widerspruch, das heißt, das ⃗x nicht als Linearkombination der übrigen Vektoren darstellbar ist.
4. Prüfen Sie rechnerisch, ob die gegebenen Vektoren kollinear sind.




8
−20
!
5 .
a) Zu prüfen ist  −2  = r · 
6
−15
I
8 = −20r
II −2 = 5r
III
6 = −15r
I
II
III
r = −0, 4
r = −0, 4
r = −0, 4
Die Vektoren sind also kollinear.




6
10
!
b) Zu prüfen ist  16  = r ·  40 .
4
10
I
6 = 10r
II 16 = 40r
III 4 = 10r
I
III
r = 0, 6
r = 0, 4
Das Gleichungssystem führt auf einen Widerspruch, die Vektoren sind also nicht kollinear.
5. Prüfen Sie, ob die gegebenen Vektoren komplanar sind.
Zuprüfen
ob sich
Vektoren aus den anderen kombinieren lässt, also
 einer
 der
 ist, 
1
1
3
!
r1  1  + r2  1  =  1 . Die Vektorgleichung ist äquivalent (gleichwertig) zum LGS
1
0
1
I
II
III
3r1 + r2 = 1
r1 + r2 = 1
r1 = 1
r1 in II
r1 und r2 in I
r2 = 0
3+0 = 1
Das Gleichungssystem führt auf einen Widerspruch. Die Vektoren sind also nicht komplanar.
6. Untersuchen Sie, ob die Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind.




 
−6
6
12
a) Zu prüfen ist, ob es für die Gleichung r1  −1  + r2  −2  =  1  eine eindeu−4
2
−2
tige Lösung r1 , r2 ̸= 0 gibt.
I
6r1 + 12r2 = −6
II
−r1 − 2r2 = 1
III −2r1 − 4r2 = 2
Die Gleichungen sind jeweils Vielfache voneinander, so dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat, die sich mit Hilfe einer der Gleichungen bestimmen lassen.
Wähle z.B. r1 = 1. Dann ist nach Gleichung II r2 = −1. Die Vektoren sind also linear
abhängig.

  


3
2
5
b) Zu prüfen ist, ob es für die Gleichung r1  −1  +r2  0  =  −2  eine eindeutige
4
1
1
Lösung r1 , r2 ̸= 0 gibt.
I
II
III
II
r1 in III
r1 und r2 in I
3r1 + 2r2 = 5
−r1 = −2
4r1 + r2 = 1
r1 = 2
r2 = −7
6 − 14 = 5
Das Gleichungssystem führt auf einen Widerspruch, die Vektoren sind also linear unabhängig.

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