Lineare Gleichungssysteme: Theorie, Anwendungen, Verallgemeinerungen Karlheinz Spindler Studiengang Angewandte Mathematik Hochschule RheinMain Studienort Wiesbaden Lineare Gleichungssysteme Aufgabe: Aus 72%-igem und 96%-igem Alkohol sollen 50 Liter 80%-igen Alkohols hergestellt werden. Wieviele Liter der beiden ursprünglichen Sorten müssen verwendet werden? Lösung: x = Anzahl der Liter des 72%-igen Alkohols y = Anzahl der Liter des 96%-igen Alkohols Gesamtflüssigkeitsmenge: Menge an reinem Alkohol: Ergebnis: Lineares Gleichungssystem Solche Gleichungssysteme treten häufig in praktischen Anwendungen auf. Mechanik: Gleichgewichtsbedingungen • Summe aller Kräfte gleich Null • Summe aller Drehmomente gleich Null Elektrodynamik: Kirchhoffsche Regeln • Die Summe aller in einen Knoten einfließenden Ströme ist Null. • Die Summe der Spannungsabfälle entlang einer Masche ist Null. Computertomographie Prinzip der Computertomographie Änderung der Intensität von Röntgenstrahlung beim Durchgang durch eine Folge homogener Materialien: Erste Bestrahlung Zweite Bestrahlung Dritte Bestrahlung Resultierendes Gleichungssystem: Systematische Untersuchung linearer Gleichungssysteme Rang eines Gleichungssystems: maximale Anzahl linear unabhängiger Gleichungen l • • • • l Rangbestimmung Elimination linear überflüssiger Gleichungen effektive Bestimmung der Lösungsmenge ggf. Ermittlung „bestmöglicher“ Näherungslösungen Ausgleichsrechnung: Wenn ein Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Unbekannten gegeben ist, sucht man eine „bestmögliche“ Näherungslösung. Typische Anwendung: Herausfiltern von Fehlern bei einer Reihe von Messungen zur Bestimmung von Zustandsvariablen. Magische Quadrate Determinanten Jeder (n x n)-Matrix A läßt sich eine Zahl det (A) mit folgenden Eigenschaften zuordnen: • ist det(A) von Null verschieden, so hat jedes Gleichungssystem Ax=b genau eine Lösung; • ist det(A)=0, so hat jedes Gleichungssystem Ax=b entweder gar keine oder mehr als eine Lösung. Lösen polynomialer Gleichungssysteme Datenkompression Original: JPEG, 1102 x 821, Rang = 821 Welche Methode wird zur Datenkompression angewandt? • Darstellung eines JPEG-Bildes durch dessen Grauwertmatrix (hier von der Größe 1102 x 821) • Singulärwertzerlegung dieser Matrix • optimale Approximation durch Matrizen von niedrigerem Rang r=1; 0.2 % r=2; 0.4 % r=5; 1.1 % r=10; 2.1% r=20; 4.3 % r=40; 8.5% Die Behandlung linearer Gleichungssysteme erfordert nur die Anwendung der Grundrechenarten. Man studiert daher allgemein Rechenbereiche, in denen die Grundrechenarten unbegrenzt ausführbar sind. Einführung des Körperbegriffs Körper Körper Beispiele Lights out! www.2flashgames.com/play/f-35.htm Zustand des Spiels Zustandsänderung durch Umschalten des i-ten Feldes: Mehrfache Zustandsänderung: Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal Beobachtung: Sind a und b mit Zirkel und Lineal konstruierbar, dann auch –a, a+b, 1/a und ab. Mit anderen Worten: Die konstruierbaren Zahlen bildet einen Teilkörper der Menge der reellen Zahlen. Warum ist das so? Wie konstruiert man neue Zahlen aus alten? • Schnittpunkt zweier Geraden: lineare Gleichung • Schnittpunkt Gerade/Kreis: quadratische Gleichung • Schnittpunkt zweier Kreise: quadratische Gleichung Eine Menge bereits konstruierter Punkte sei gegeben, und es sei K der von diesen Punkten erzeugte Körper. Wird ein Punkt x konstruiert, der noch nicht in K liegt, so gilt Delisches Problem: Würfelverdoppelung Lineare Algebra: systematische Untersuchung linearer Gleichungssysteme bzw. der Lösungsmengen solcher Systeme. Kommutative Algebra/Algebraische Geometrie: Systematische Untersuchung polynomialer Gleichungssysteme bzw. der Lösungsmengen solcher Systeme. Dimensionsbegriff: wird plötzlich sehr problematisch. 3x²y + y³ = x² + y² (x² + y² + z²)² = 4 (x² + y²) Mannigfaltigkeiten als deformierte lineare Räume Analysis/Differentialgeometrie: Zurückführung nichtlinearer auf lineare Probleme Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
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