Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. A. Iske
SoSe 2015
Klausur Komplexe Funktionen
27. August 2015
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AIW
CI
ET
GES IIW
MB
MTB
SB
Ich bin darüber belehrt worden, dass die von mir zu erbringende Prüfungsleistung nur
dann bewertet wird, wenn die Nachprüfung durch das Zentrale Prüfungsamt der TUHH
meine offizielle Zulassung vor Beginn der Prüfung ergibt.
Unterschrift:
Aufg.
Punkte
1
2
3
X
=
Korrekteur
2
Komplexe Funktionen, A. Iske, 27.08.2015, SoSe 2015
Aufgabe 1: (5 Punkte) Gegeben ist die Funktion
f : C \ {0} → C , f (z) := z̄ 2 +
1
.
z̄ 2
In welchen Punkten ist f komplex differenzierbar?
Tipp: Polarkoordinaten!
Lösung zu 1:
1
1
1
= r 2 e−2iφ + 2 −2iφ = r 2 e−2iφ + 2 e2iφ
2
z̄
r e
r
1
= r 2 (cos(−2φ) + i sin(−2φ)) + 2 (cos(2φ) + i sin(2φ))
r
1
1
2
2
= r + 2 · cos(2φ) + i ·
− r · sin(2φ) (2 Punkte)
r
r2
|
|
{z
}
{z
}
f (z) = z̄ 2 +
u(r,φ)
v(r,φ)
Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen:
!
ur = 2r − r23 · cos(2φ) = 1r vφ = r13 − r · 2 cos(2φ)
( r13 − r = 0 =⇒ r = 1) oder (cos(2φ) = 0) .
!
vr = −2r − r23 · sin(2φ) = − 1r uφ = −r −
1
r3
1
r3
· (−2 sin(2φ))
+ r = 0 −→ keine Lösung! Oder sin(2φ) = 0 .
Insgesamt also: sin(2φ) = 0 =⇒ φ =
kπ
,
2
k ∈ Z und r = 1 . (2 Punkte)
Die Funktion ist nur in den Punkten z = ±1 und z = ±i komplex differenzierbar.
(1 Punkt)
3
Komplexe Funktionen, A. Iske, 27.08.2015, SoSe 2015
Aufgabe 2: (5 Punkte)
Sei Γ := {z(t) = 3eit | t ∈ [0, 2π] } der in mathematisch positiver Richtung durchlaufene Rand des Kreises mit Radius 3 um Null.
Berechnen Sie die folgenden Kurvenintegrale.
Z
Γ
e2πz
dz .
(z − 2i)3
b)
Z
z
dz .
(z + i)(z − 2i)
c)
Z
z̄ dz .
a)
Γ
Γ
Lösung zu 2:
a) Nach der Cauchyschen Integralformel für Ableitungen ist
Z
e2πz
2πi h 2πz ′′ i
dz
=
(e )
= πi · (2π)2 e2π·2i = i4π 3 . (2 Punkte)
(z − 2i)3
2!
z=2i
Γ
b) Nach dem Residuensatz gilt:
Z
z
z
z
dz = 2πi
+
(z + i)(z − 2i)
z + i z=2i
z − 2i z=−i
Γ
=2πi
c)
Z
Γ
z̄ dz =
Z
0
2i
−i
+
3i
−3i
2π
3e
−it
it
· 3ie dt =
Z
= 2πi . (2 Punkte)
2π
9i dt = 18iπ. (1 Punkt)
0
Komplexe Funktionen, A. Iske, 27.08.2015, SoSe 2015
4
Aufgabe 3: (10 Punkte)
Gegeben ist
f (z) =
1
.
z 2 − 8z + 25
a) Bestimmen und klassifizieren Sie alle isolierten Singularitäten von f .
b) Berechnen Sie die Residuen aller isolierten Singularitäten der Funktion f .
c) Bestimmen Sie diejenige Laurent-Entwicklung der Funktion f zum Entwicklungspunkt z0 = 4 − 3i , die in der Umgebung des Punktes z ∗ = 5i gegen f (z)
konvergiert.
d) Berechnen Sie die folgenden Integrale:
Z
i)
f (z) dz,
Γ := {z(t) = 4 + 2 eit | t ∈ [0, 2π] },
Γ
ii)
Z
∞
−∞
1
dx .
x2 − 8x + 25
Lösungsskizze zur Aufgabe 3)
f (z) =
z2
1
.
− 8z + 25
a) Nennernullstellen: (z − 4)2 + 9 = 0 ⇐⇒ z1,2 = 4 ± 3i .
f (z) =
1
.
(z − (4 + 3i))(z − (4 − 3i))
In z1,2 liegen einfache Pole vor. [2 Punkte]
b) Residuen [2 Punkte]
1
1
i
1
=
=
= − .
Res f (4 + 3i) =
z − (4 − 3i) z=4+3i
4 + 3i − (4 − 3i)
6i
6
1
1
1
i
Res f (4 − 3i) =
=
=
= .
z − (4 + 3i) z=4−3i
4 − 3i − (4 + 3i)
−6i
6
5
Komplexe Funktionen, A. Iske, 27.08.2015, SoSe 2015
c) Wir suchen die Laurent-Reihe für |z −z0 | > 6 mit Entwicklungspunkt z0 = 4−3i
denn
|4+3i−z0 | = |4+3i−4+3i| = 6 < |5i−z0 | = |5i−4+3i)| =
√
82 + 42 .[1 Punkt]
1
1
1
=
·
(z − (4 + 3i))(z − (4 − 3i))
z − (4 − 3i) z − 4 − 3i
1
1
=
·
z − (4 − 3i)
z − (4 − 3i) + 4 − 3i − 4 − 3i
1
1
=
·
z − (4 − 3i)
z − (4 − 3i) − 6i
!
k
∞ X
1
1
1
6i
=
=
·
·
6i
(z − (4 − 3i))2
(z − (4 − 3i))2 k=0 z − (4 − 3i)
1 − z−(4−3i)
f (z) =
=
∞
X
k=0
k
−k−2
(6i) (z − (4 − 3i))
=
−2
X
(6i)−k−2 (z − (4 − 3i))k . [3 Punkte]
k=−∞
d) Integrale
(i) Γ := {z(t) = 4 + 2 eit | t ∈ [0, 2π] }
Z
f (z) dz = 0
(CIS) [1 Punkt]
Γ
(ii) c = R ,
Z ∞
−∞
x2
−i
π
1
dx = 2πi Res f (4 + 3i) = 2πi
= .
− 6x + 10
6
3
[1 Punkt]
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