Nicht-Skript - Institut für Mathematik

EINFÜHRUNG IN DIE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE
(VORLESUNG WS 2016/17, FU BERLIN) 24. Oktober 2016
KLAUS ALTMANN
1. Grundbegriffe und erste Beispiele
17.10.16 (1)
19.10.16 (2)
24.10.16 (3)
1.1. Abelsche Gruppen. Äquivalenzrelationen; (Z/nZ, +) und ((Z/nZ)∗ , ·); Euklidischer Algorithmus; Eulersche Funktion ϕ(n) := #(Z/nZ)∗ mit ϕ(pk ) = pk−1 (p−
∼
1); Homo/Iso-morphismen, z.B. Z → Z/mnZ → Z/nZ oder (Z/5Z)∗ → Z/4Z, bzw.
∼
(Z/8Z)∗ → Z/2Z × Z/2Z.
In endlichen abelschen Gruppen A gilt #(A) · A = 0; Elementordnungen teilen die
Gruppenordnung, d.h. für a ∈ A gilt |a|#A (siehe (??) für die analoge Aussage für
beliebige Gruppen); kleiner Fermat und Wilson’s Satz (p − 1)! ≡ −1 (mod p).
Zyklische Gruppen hgi sind isomorph zu Z oder Z/nZ, also insbesondere abelsch;
#(G) =Primzahl ⇒ G ist zyklisch.
Literatur
[Arn]
[Arm]
[AtMd]
[ArtE]
[Art]
[Bo]
[FiSa]
[Gaal]
[Kd]
[Koch]
[Kunz]
[Lang]
[Mil]
[MStP]
[Schm]
[Stew]
[Stro]
Alekseev, V.B.: Abel’s Theorem in Problems and Solutions. Kluwer Academic Publishers
2004.
Armstrong, M.A.: Groups and symmetry. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer
1983.
Atiyah, M.F., Macdonald, I.G.: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley,
Reading, MA.
Artin, E.: Galois Theory.
Artin, M.: Algebra. Birkhäuser 2003.
Bosch, S.: Algebra. Springer 1993.
Fischer, G.; Sacher, R.: Einführung in die Algebra. Teubner 1983.
Gaal, Lisl: Classical Galois Theory with examples. Chelsea Publishing Company New
York 1979.
Kochendörffer, R.: Einführung in die Algebra.
Koch, H.: Einführung in die klassische Mathematik I. Springer; leider vergriffen.
Kunz, E.: Algebra. Vieweg, 1994.
Lang, S.: Algebra.
Milne, J.S.: Fields and Galois Theory. http://www.jmilne.org/math/
Müller-Stach, St.; Piontkowski, J.: Elementare und algebraische Zahlentheorie. Vieweg
2007.
Schmidt, Alexander: Einführung in die algebraische Zahlentheorie, Springer.
Stewart, I.: Galois Theory.
Stroth, G.: Algebra –Einführung in die Galoistheorie. Walter de Gruyter, Berlin-New
York 1998.
1
2
[vdWd]
KLAUS ALTMANN
van der Waerden, B.L.: Algebra I und II. Heidelberger Taschenbücher, Bd. 12 und 23;
Springer-Verlag 1967.
Klaus Altmann
Mathematisches Institut
Freie Universität Berlin
Tel.: (030) 838 - 75428
[email protected]
Matej Filip
Mathematisches Institut
Freie Universität Berlin
Tel.: (030) 838 - 75426
[email protected]
VL “Einführung Algebra-Zahlentheorie”
FU Berlin, Winter 2016/17
Tutor: Maik Pickl
1. Aufgabenblatt zum 25.10.2016
Aufgabe 1.1. a) Man finde zunächst eine und dann alle Lösungen a, b ∈ Z (genauer: (a, b) ∈ Z2 ) der Gleichung 17a − 43b = 1.
b) Seien s, t ∈ N zueinander teilerfremde Zahlen. Man zeige, daß es dann eindeutige
a, b ∈ Z mit as − bt = 1 und 0 < a < t, 0 < b < s gibt. Wie sieht die entsprechende
Lösung für das Beispiel in (a) aus?
Aufgabe 1.2. Sei f : G → H ein Gruppenhomomorphismus, d.h. für alle g, g ′ ∈ G
gilt f (gg ′) = f (g)f (g ′).
a) Man zeige, daß dann auch f (g −1 ) = f (g)−1 gilt.
b) Sei G eine Gruppe. Ist dann die Abbildung f : G → G, f : g 7→ g −1 immer bijektiv? Ist diese Abbildung immer ein Gruppenhomomorphismus? Ist diese Abbildung
immer ein Automorphismus? (Beweis/Gegenbeispiel)
Aufgabe 1.3. Man beschreibe ganz direkt (welches Element geht auf welches Ele∼
∼
ment) Isomorphismen (a) (Z/5Z)∗ → Z/4Z und (b) (Z/8Z)∗ → Z/2Z × Z/2Z.
Man begründe die Wahl und demonstriere an Beispielen, daß die Homomorphismus-Eigenschaft erfüllt ist.
Aufgabe 1.4. Sei G eine Gruppe; wir bezeichnen die Gruppenoperation mit ◦G .
Wir definieren nun eine neue Gruppe H mit H := G als Menge (d.h. G und H
haben genau dieselbe zugrundeliegende Menge), aber für Elemente a, b ∈ H = G
definieren wir die Operation ◦H mittels
a ◦H b := b ◦G a.
a) Sind die Gruppen G und H gleich?
b) Sind die Gruppen G und H isomorph? Wenn ja, dann geben Sie einen Isomorphismus Φ : G → H an.
Aufgabenblätter und Nicht-Skript:
http://www.math.fu-berlin.de/altmann
Klaus Altmann
Mathematisches Institut
Freie Universität Berlin
Tel.: (030) 838 - 75428
[email protected]
Matej Filip
Mathematisches Institut
Freie Universität Berlin
Tel.: (030) 838 - 75426
[email protected]
VL “Einführung Algebra-Zahlentheorie”
FU Berlin, Winter 2016/17
Tutor: Maik Pickl
2. Aufgabenblatt zum 1.11.2016
Aufgabe 2.1. a) Man zeige, daß a ∈ Z/nZ genau dann die zyklische Gruppe Z/nZ
erzeugt, wenn gcd(a, n) = 1 gilt. Wieviele Erzeuger gibt es also – z.B. für n = 111?
b) Man bestimme einen Erzeuger der zyklischen Gruppe (Z/13 Z)∗ . Man gebe einen
von 1 verschiedenen Nicht-Erzeuger von (Z/13 Z)∗ an.
c) Wieviele Erzeuger von (Z/11 Z)∗ gibt es? Können Sie sie explizit angeben?
Aufgabe 2.2. a) Sei G eine Gruppe. Betrachten Sie dann auf G die folgende Relation: g ∼ h :⇔ [g = h oder g = h−1 ]. Zeigen Sie, daß ∼ eine Äquivalenzrelation ist.
Wieviele Elemente haben die einzelnen Äquivalenzklassen?
b) Sei p eine Primzahl. Konkretisieren Sie die Beschreibung der Größe der Äquivalenzklassen aus (a) für die Fälle G = Z/8Z, G = Z/9Z und G = (Z/pZ)∗ : Welche
Äquivalenzklassen bestehen aus genau einem Element?
c) Zeigen Sie, daß für Primzahlen p die Kongruenz (p − 1)! ≡ −1 (mod p) in Z gilt
(“Satz von Wilson”).
Aufgabe 2.3. Sei die natürliche Zahl n im
System durch die Ziffern
Pk dekadischen
i
nk , nk−1 , . . . , n1 , n0 dargestellt, d.h. n =
i=0 ni · 10 mit ni ∈ {0, 1, . . . , 9}. Mit
P
Q(n) := ki=0 ni bezeichnen wir die Quersumme von n.
a) Man zeige, daß n denselben Rest beim Teilen durch 9 läßt, wie seine Quersumme,
d.h. daß n ≡ Q(n) mod 9.
b) Man bestimme die natürliche Zahl Q3 (44444444 ) := Q(Q(Q(44444444 ))).
Aufgabe 2.4. Seien m, n ∈ N; diese Zahlen induzieren einen kanonischen Gruppenhomomorphismus Φm,n : Z/mnZ → Z/mZ × Z/nZ.
a) Sei gcd(m, n) = 1. Zeigen Sie direkt (nicht wie in der Vorlesung über die Injektivität), daß es ein a ∈ Z/mnZ gibt mit Φm,n (a) = (1, 0). Folgern Sie daraus die
Surjektivität.
b) Was ist Φ−1
37, 10 (7, 3)?
Aufgabenblätter und Nicht-Skript:
http://www.math.fu-berlin.de/altmann

Download Report