nur die Aufgaben. - Institut für Mathematik

Klaus Altmann
Mathematisches Institut
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Matej Filip
Mathematisches Institut
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VL “Einführung Algebra-Zahlentheorie”
FU Berlin, Winter 2016/17
Tutor: Maik Pickl
2. Aufgabenblatt zum 1.11.2016
Aufgabe 2.1. a) Man zeige, daß a ∈ Z/nZ genau dann die zyklische Gruppe Z/nZ
erzeugt, wenn gcd(a, n) = 1 gilt. Wieviele Erzeuger gibt es also – z.B. für n = 111?
b) Man bestimme einen Erzeuger der zyklischen Gruppe (Z/13 Z)∗ . Man gebe einen
von 1 verschiedenen Nicht-Erzeuger von (Z/13 Z)∗ an.
c) Wieviele Erzeuger von (Z/11 Z)∗ gibt es? Können Sie sie explizit angeben?
Aufgabe 2.2. a) Sei G eine Gruppe. Betrachten Sie dann auf G die folgende Relation: g ∼ h :⇔ [g = h oder g = h−1 ]. Zeigen Sie, daß ∼ eine Äquivalenzrelation ist.
Wieviele Elemente haben die einzelnen Äquivalenzklassen?
b) Sei p eine Primzahl. Konkretisieren Sie die Beschreibung der Größe der Äquivalenzklassen aus (a) für die Fälle G = Z/8Z, G = Z/9Z und G = (Z/pZ)∗ : Welche
Äquivalenzklassen bestehen aus genau einem Element?
c) Zeigen Sie, daß für Primzahlen p die Kongruenz (p − 1)! ≡ −1 (mod p) in Z gilt
(“Satz von Wilson”).
Aufgabe 2.3. Sei die natürliche Zahl n im
System durch die Ziffern
Pk dekadischen
i
nk , nk−1 , . . . , n1 , n0 dargestellt, d.h. n =
i=0 ni · 10 mit ni ∈ {0, 1, . . . , 9}. Mit
P
Q(n) := ki=0 ni bezeichnen wir die Quersumme von n.
a) Man zeige, daß n denselben Rest beim Teilen durch 9 läßt, wie seine Quersumme,
d.h. daß n ≡ Q(n) mod 9.
b) Man bestimme die natürliche Zahl Q3 (44444444 ) := Q(Q(Q(44444444 ))).
Aufgabe 2.4. Seien m, n ∈ N; diese Zahlen induzieren einen kanonischen Gruppenhomomorphismus Φm,n : Z/mnZ → Z/mZ × Z/nZ.
a) Sei gcd(m, n) = 1. Zeigen Sie direkt (nicht wie in der Vorlesung über die Injektivität), daß es ein a ∈ Z/mnZ gibt mit Φm,n (a) = (1, 0). Folgern Sie daraus die
Surjektivität.
b) Was ist Φ−1
37, 10 (7, 3)?
Aufgabenblätter und Nicht-Skript:
http://www.math.fu-berlin.de/altmann

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