Skript im Format pdf File - Moodle Lernplattform der ZHAW

Physik 1
für Chemiker
Institut für Angewandte Simulation
Modellierung & Simulation
Autor:
Olivier Merlo
Datum:
31.08.2015
Version:
1
Studiengang:
Chemie
Zürcher Fachhochschule
Das Skript:
Dieses Skript wurde von Olivier Merlo geschrieben und wurde im Laufe der Jahre immer wieder
überarbeitet.
© 2015, Olivier Merlo, ZHAW. Dieses Skript darf ganz oder in Teilen weitergegeben und nicht
kommerziell verwendet werden, wobei dieser Copyright-Vermerk mitkopiert werden muss.
Kommerzielle Verwendung nur mit Bewilligung des Autors.
Sowohl Olivier Merlo als auch die ZHAW lehnen jegliche Haftung ab für Schäden, die sich aus der
Verwendung dieses Skriptes ergeben.
Inhaltsverzeichnis
1 Vorwort
1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Moodle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Leistungsnachweis . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Konventionen und Bezeichnungen . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Masseinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 zugelassene Vorsatzzeichen . . . . . . . . . . .
1.2.3 Zahlenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Differenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Basiseinheiten des SI (Système International d’Unités)
2 Mechanik
2.1 Trägheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 gleichförmige geradlinige Bewegung . . . .
2.4 ungleichförmige Bewegung . . . . . . . . .
2.4.1 Feder . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 ungleichförmige Bewegung in mehr
2.4.3 gleichförmige Kreisbewegung . . .
2.5 Grundkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Freier Fall . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Keplersche Gesetze . . . . . . . . .
2.7 Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Arbeit, Leistung und Energie . . . . . . .
2.9 Stösse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Starrer Körper . . . . . . . . . . . . . . .
3 Eigenschaften von festen, flüssigen oder
3.1 Dichte, Druck und Auftrieb . . . . . . .
3.2 Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Oberflächenspannung . . . . . . . . . . .
3.4 Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Lösungen
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als 1
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5
5
6
6
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6
6
7
7
7
7
7
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Dimension
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9
9
10
11
13
17
18
19
21
22
22
22
23
28
34
37
Körpern
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43
43
46
49
53
54
gasförmigen
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59
3
4
INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel 1
Vorwort
1.1
Allgemeines
Das Ziel dieses Kurses ist, in zwei Semestern á je 4 Lektionen einen Einblick zu
erhalten in das, was Physik ist und was sie leisten kann für ein tieferes Verständnis von Phänomenen und Prozessen der unbelebten Natur und der Technik.
Die Auswahl der Inhalte ist notwendigerweise sehr beschränkt und subjektiv.
Wer das Programm durchgearbeitet hat, sollte aber in der Lage sein, sich später
im Selbststudium auch andere Inhalte anzueignen.
Das vorliegende Skript soll die Vorlesung begleiten und von der Schreiberei
entlasten. Es ist nicht zum Selbststudium geeignet. Für das Selbststudium sind
die Gruppenarbeiten gedacht. Diese Arbeiten werden im Studio unter Begleitung begonnen und anschliessend selbstständig fertiggestellt. Die Anleitungen
zu den Gruppenarbeiten enthalten weitere Grundlageninformationen. Die Inhalte der Gruppenarbeiten gehören ebenfalls zum Prüfungsstoff.
Auf folgende Lehrbücher habe ich mich gestützt.
1. H. Wegener: Physik für Hochschulanfänger, Teubner Studienbücher
Folgende Lehrbücher werden zum Selbststudium empfohlen:
1. Halliday und Resnick, Physik Bacheloredition, Wiley Verlag
2. Harten, Physik Einführung für Ingenieure und Naturwissenschaftler,, Springer Verlag
Physik betreiben heisst zuerst einmal beobachten, was in der unbelebten Natur passiert (Phänomene). Nach Möglichkeit werden dazu Experimente eingesetzt. Im Experiment wird ein materielles System aufgebaut und seine Reaktion
auf wohldefinierte Beeinflussung von aussen untersucht. Man geht den Phänomenen auf den Grund, indem man Grundgesetze postuliert, mit deren Hilfe
dann die Beobachtung erklärt werden können. So wird ein Modell der Wirklichkeit aufgebaut. Das Modell hat immer einen mathematischen Aspekt, und
der Test für seine Brauchbarkeit besteht in der qualitativen und quantitativen
5
6
KAPITEL 1. VORWORT
Übereinstimmung von berechnetem und beobachtetem Verhalten.
1.1.1
Moodle
Ich werde verschiedene Dokumente auf den Moodle-Kurs ‘Physik 1 für Chemiker‘ (Code: n.B K Phy1 CH) ablegen.
1.1.2
Leistungsnachweis
Das Wissen über den Inhalt dieses Kurses wird am Ende des Semesters bei
der Modulprüfung getestet. Die Modulprüfung wird zu 70% gewertet. Neben
dem Kurs wird in einem Labor in 3-4er Gruppen an verschiedenen Themen
gearbeitet. Diese Arbeiten dauern pro Thema ca. 3 Wochen. Jede Gruppe sendet mir anschliessend einen schriftliche Bericht im Format pdf pro Thema ab,
welcher spätestens 1 Wochen nach Ende der Arbeit an die e-Mail [email protected] gesandt wird. Für jeden Tag Verzögerung muss ich leider 0.2
Noten abziehen. Anstatt des 2. Berichtes wird eine 45 minütige Semesterprüfung
stattfinden. Die Durchschnittsnote all dieser Arbeiten und der Semesterprüfung
werden dann zu 30% für die Modulnote berücksichtigt.
1.2
1.2.1
Konventionen und Bezeichnungen
Masseinheiten
Wir rechnen ausschliesslich im Internationalen Masssystem (SI). In der Praxis
führen diese Einheiten aber manchmal zu unbequem grossen bzw. kleinen Zahlenwerten. Darum ist die Verwendung von Vorsatzzeichen wie z.B. m (milli), M
(mega) üblich. Ich empfehle dringend, alle gegebenen Grössen in SI-Einheiten
umzurechnen und nicht mit den Vorsatzzeichen zu arbeiten. Wenn die Fragestellung lautet ”wieviele mm beträgt die Wandstärke? so ist das als Hilfe gemeint,
in welcher Grössenordnung das Resultat liegen sollte.
1.2.2
zugelassene Vorsatzzeichen
positive Zehnerpotenzen
Kilo
k
103
Mega M 106
Giga G 109
Tera
T 1012
Peta
P 1015
Beispiel:
negative Zehnerpotenzen
Milli
m 10−3
Mikro µ 10−6
Nano
n 10−9
Pico
p 10−12
Femto f
10−15
Der Durchmesser eines Wasserstoffatoms beträgt ca. 0.1 nm = 10−10 m.
1.3. BASISEINHEITEN DES SI (SYSTÈME INTERNATIONAL D’UNITÉS)7
1.2.3
Zahlenwerte
Grössenordnung: arbeiten sie mit der wissenschaftlichen Schreibweise x.xx 10y
und nicht mit Nullen.
Genauigkeit: falls nichts anderes verlangt wird, soll ein Resultat auf drei signifikante Stellen angegeben werden, auch wenn der Rechner viel mehr ausgibt.
1.2.4
Indizes
Zahlen als Indizes bedeuten in der Regel eine zeitliche Reihenfolge. Die Temperatur beträgt am Anfang eines Versuchs T1 , am Ende T2 . Buchstaben als Indizes
bedeuten
• verschiedene Teile eines Systems, z.B. mA und mB sind die Massen zweier
Atome in einem Molekül
• Abkürzungen, z.B. Tk ist die Temperatur des kalten Wassers
1.2.5
Differenzen
Sehr oft haben wir es in der Physik mit Veränderungen zu tun. Für die Differenz zweier Grössen verwenden wir das Symbol ∆. Handelt es sich um eine
Veränderung mit der Zeit so bedeutet ∆t = t2 − t1
Achtung: Differenzen müssen nicht klein sein.
1.2.6
Symbole
Jede physikalische Grösse hat ihr Symbol. Leider gibt es sehr viel mehr physikalische Grössen als verschiedene Buchstaben auch unter Einbezug der griechischen. Spezialisten und Lehrbuchautoren hängen an ihren Symbolen, daher
muss manchmal aus dem Zusammenhang erschlossen werden, um welche Grösse
es sich handelt.
1.3
Basiseinheiten des SI (Système International d’Unités)
Grössenart
Länge
Masse
Zeit
Elektrische Stromstärke
Thermodynamische Temperatur
Stoffmenge
Lichtstärke
Name
Meter
Kilogramm
Sekunde
Ampere
Kelvin
Mol
Candela
Einheitenzeichen
m
kg
s
A
K
mol
cd
8
KAPITEL 1. VORWORT
Definitionen
Die Sekunde ist das 9 192 631 770 fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes des
Atoms des Nuklids Cs-133 entsprechenden Strahlung (1967).
Der Meter ist die Strecke, welche das Licht im Vakuum in der Zeit von
1/299 792 458 Sekunden zurücklegt (1983).
Das Kilogramm ist gleich der Masse des Internationalen Kilogrammprototyps (wird in Paris aufbewahrt) (1901).
Das Ampere ist die Stärke eines zeitlich unveränderlichen elektrischen Stromes, der durch zwei parallel im Abstand 1 Meter voneinander angeordnete,
geradlinige Leiter fliessend, zwischen diesen Leitern pro Meter Leiterlänge die
Kraft 2 · 10−7 Newton hervorruft.
Das Kelvin ist der 273.16 te Teil der thermodynamischen Temperatur des
Tripelpunktes des Wassers (1967).
Das Mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebenso vielen Einzelteilchen besteht, wie Atome in 0.012 Kilogramm des Kohlenstoffnuklids C-12
enthalten sind (1971).
Die Candela ist die Lichtstärke einer Strahlungsquelle, welche monochromatische Strahlung der Frequenz 540 · 1012 Hertz in eine bestimmte Richtung
aussendet, in der die Strahlstärke 1/683 Watt durch Sterradiant beträgt (1979).
Kapitel 2
Mechanik
2.1
Trägheit
Die Mechanik beschäftigt sich mit der Bewegung materieller Körper. Sie ist
das älteste Teilkapitel der Physik. Schon Aristoteles beschäftigte sich mit der
Mechanik. Zu dieser Zeit war die Physik eine rein geistige Wissenschaft. Es
wurden keine Experimente durchgeführt, sondern Aufgrund von Beobachtungen
auf die Grundgesetze geschlossen. Somit kam Aristoteles auch auf verschiedene
falsche Schlussfolgerungen.
1. Schwere Körper fallen schneller als leichte
2. Zur Aufrechterhaltung der Geschwindigkeit braucht man eine Kraft
Galilei führte um 1600 Experimente in der Physik ein. Er widerlegte die
oben genannten falschen Schlussfolgerungen von Aristoteles mittels Experimenten und formulierte den wichtigen Trägheitssatz.
Satz 2.1 (Trägheitssatz) Ein Körper auf den keine beschleunigende oder
verzögernde Kraft wirkt, verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen
Bewegung, d.h. einer Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit. Dies bedeutet,
dass der Körper in gleichen Zeitabschnitten gleiche Wegstrecken zurücklegt.
Das Trägheitsgesetz handelt von Körpern, auf die keine Kräfte wirken, und
es fragt sich, wann dies der Fall ist.
Es hat sich herausgestellt, dass ein Körper dann als kräftefrei angesehen werden
darf, wenn er von allen übrigen Körpern genügend weit entfernt ist. Dies gilt
aber auch schon, falls die angreifenden Kräfte sich gegenseitig aufheben.
Ein kräftefreier Körper verharrt also im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit. Von Ruhe und Bewegung
kann man jedoch erst sprechen, wenn man einen Bezugssystem definiert hat,
relativ zu dem sich ein Körper bewegt.
9
10
KAPITEL 2. MECHANIK
2.2
Bezugssysteme
Bewegt sich ein Körper, so können wir feststellen, dass er sich in Bezug auf uns
seine Lage in der Zeit verändert. Sofort bemerken wir ein Problem, es stellt sich
nämlich die Frage wer sich bewegt.
Stellen sie sich vor, Sie befänden sich in einem Zug, dessen Bewegung sie selbst
nicht bemerken. Dann würden sie sich als ruhend betrachten und die Landschaft
als bewegt.
Bemerkung 2.1 (Inertialsystem) Die Beschreibung einer Bewegung ist
nur sinnvoll, wenn wir ein Bezugssystem festlegen, von dem aus die Bewegung
beobachtet wird. Die Angabe des Ortes, an dem sich ein Körper zu einem Zeitpunkt befindet, geschieht am einfachsten mit Hilfe eines 2- oder 3-dimensionalen
Koordinatensystem.
Betrachten wir nun die Bewegung auf der Erde. Sie werden erkennen, dass
die Bewegung auf der Polachse eine andere ist, als diejenige auf dem Äquator.
Auf der Polachse führt man eine Rotation durch und auf dem Äquator bewegt
man sich auf einer Kreisbahn.
Bemerkung 2.2 (Bewegung von Körpern)
Ein ausgedehnter Körper
kann sich auf 2 mögliche Arten bewegen:
Alle seine Punkte können sich während der Bewegung parallel verschieben. Diese Bewegung heisst Translation. Der Körper kann aber auch Drehbewegungensogenannte Rotationen ausführen.
Wir wollen uns nun zunächst auf reine Translation beschränken. Weil alle
Punkte eines Körpers sich bei einer Translation parallel bewegen, erweist es sich
als zweckmässig den Schwerpunkt für die Rechnungen zu wählen. Der materielle
Punkt stellt eine Idealisierung dar, durch welche die Beschreibung der Bewegung
vereinfacht wird. Beschäftigen wir uns mit der Bewegung eines einzigen materiellen Punktes. Wir wissen momentan nur dass dieser Punkt sich, falls keine
Kräfte auf ihn wirken, nach dem Trägheitsgesetz bewegt.
Definition
Die Gesamtheit aller Positionen, die der materielle Punkt während seiner
Bewegung im Bezugssystem einnimmt, bezeichnen wir als seine Bahn.
Beispiele
1. Die Erde bewegt sich näherungsweise auf einer Kreisbahn um die Sonne.
Damit ist die die Bahn der Erde der volle Kreis.
2. Eine Billardkugel auf einem Billardtisch bewegt sich, solange keine Bande
im weg steht, nahezu auf einer Geraden. In diesem Fall ist also diese ganze
Gerade die Bahn.
2.3. GLEICHFÖRMIGE GERADLINIGE BEWEGUNG
11
Abbildung 2.1: Komplizierte Bahn oder Orbit einer Bewegung.
3. Betrachten wir eine 3 feste Kugeln, welche gleich gross sind und auf den
Ecken eines gleichseitigen Dreiecks. Wir schiessen nun von aussen eine sehr
kleine Kugel in dieses System. Wie bewegt sich die Kugel?
In der Grafik 2.1 ist eine Bahn dieses Systems abgebildet. Es zeigt sich,
dass Bahnen eines solchen Systemes beliebig kompliziert sind.
2.3
gleichförmige geradlinige Bewegung
Wir bezeichnen eine Bewegung als gleichförmig geradlinig, falls der Körper sich
entlang einer geraden Bahn bewegt und dabei in gleichen Zeitabschnitten gleiche Wegstücke zurücklegt. Der zurückgelegte Weg ∆s[m] ist dann proportional
zur Zeitdifferenz ∆s = v · ∆t, wobei die Proportionalitätskonstante Geschwindigkeit genannt wird und die Einheit [m/s] besitzt. Man beachte, dass wir hier
von zurückgelegtem Weg sprechen und nicht der Position s. Damit ist die Position eines Massenpunktes durch die Anfangsposition s0 und die zurückgelegte
Wegstrecke ∆s folgendermassen gegeben.
s(t) = s0 + ∆s = s0 + v · ∆t
Falls der Nullpunkt des Koordinatensystems so gewählt wurde, dass der
Massenpunt zur Zeit t = 0 am Ort s = 0 ist, so vereinfacht sich die obige Beschreibung zu s(t) = v · ∆t. In Physikbüchern wird oft noch angenommen, dass
∆t der Zeit entspricht und man schreibt dann s(t) = v · t. Dies ist aber falsch,
da es nur genau für den oben besprochenen Spezialfall gilt.
Die Geschwindigkeit v[m/s] ist dabei ein Mass für die Schnelligkeit des Massen-
12
KAPITEL 2. MECHANIK
punktes. Bei einer Geschwindigkeitskontrolle misst die Polizei nicht den ganzen
Weg, aber Weg- ∆s und Zeitdifferenzen ∆t. Daraus ergibt sich eine Geschwins2 −s1
digkeit von v = ∆s
∆t = t2 −t1 . Die Geschwindigkeit ist eine vektorielle Grösse


vx
q
~v =  vy , d.h. sie hat eine Länge (Betrag |~v | = vx2 + vy2 + vz2 ) und eine
vz
Richtung. Um dies zu Illustrieren betrachten wir nun einen Wagen mit einer
gewissen Geschwindigkeit ~v . Es kommt nun nicht nur darauf an, mit welchem
Betrag der Geschwindigkeit sich der Wagen fortbewegt sondern auch in welcher
Richtung.
Beispiele 2.1 (Vektoren) Betrachte nun die Bewegung einer Billardkugel
auf einem rechteckigen Tisch. Diese bewegt sich unter der Vereinfachung,
dass die Reibung vernachlässigt wird, geradlinig fort. Die Bewegung kann
nun im Koordinatensystem, welche einer Kante des Tisches die x-Achse
zuordnet und der anderen die y-Achse zuordnet geschrieben werden. Dann
kann die Bewegung in x-Richtung und in y-Richtung einzeln geschrieben werden.
x(t) = x0 + vx t und y(t) = y0 + vy t
Dies kann mittels Vektoren vereinfacht geschrieben werden. Hierbei werden
Pfeile über dem Buchstaben benutzt, um zu zeigen, dass es sich um einen Vektor
handelt. Es handelt sich dabei um eine Grösse, welche eine Richtung und eine
Länge besitzt.
Schreiben wir also das obige Beispiel untereinander:
x = x0 + vx t= x0 + vx t
y = y0 + vy t= y0 + vy t
Nun kann man die einzelnen Spalten zusammenfassen. Es herrscht dabei
die Übereinkunft, dass man in der ersten Zeile die x-Achse schreibt und dass
man üblicherweise, das Symbol ~r für den Ort benutzt.
x
x0
vx
~r = ~r0 + ~v · t, mit ~r =
, ~r0 =
und ~v =
.
y
y0
vy
13
2.4. UNGLEICHFÖRMIGE BEWEGUNG
Rechnungen 2.1 (Vektoren)
1. Versuche die geradlinige Bewegung in 3 Dimensionen mittels Vektoren zu
beschreiben.
x
x0
α
2
2. Man habe die Bewegung ~r =
= ~r =
+t
. Schreibe
y
0
γ
die x und die y Komponente dieser Bewegung auf.
2
3. Die ersten 10s der Bewegung eines Körper sei durch ~r =
+
1
−1
t gegeben.
1
(a) Wo befindet sich der Körper nach 10s?
(b) Anschliessend bewegt er sich um die Strecke
er sich am Schluss?
5
−4
. Wo befindet
4. Betrachte
das Billard aus Beispiel 2. Der Ball wird an der Position
~r =
1
1
angestossen. Die Geschwindigkeit betrage ~v =
und die
1
−2
Bande sei gegeben durch die x-Achse.
(a) Wo trifft die Kugel auf die Bande?
(b) Bei der Reflexion an der Bande ist die Geschwindigkeit nach der
Reflexion
durch ~vN = ~vN − 2(~v , ~n) · ~n gegeben. Wobei der Vektor
0
~n =
senkrecht auf der Bande ist und (, ) das Skalarprodukt
1
bedeutet, welches folgendermassen berechnet wird.
x1
x2
,
= x1 · x2 + y1 · y2
y1
y2
Welche Geschwindigkeit und welchen Betrag der Geschwindigkeit
besitzt die Kugel nach der Reflexion?
Anmerkung: Es existieren verschiedene Notationen für das Skalarprodukt. Wir werden die beiden Notationen (~v , ~n) und ~v · ~n benutzen.
2.4
ungleichförmige Bewegung
Auch für eine ungleichförmige Bewegung können wir für jeden Zeitpunkt eine
Geschwindigkeit definieren. Es wird dabei die momentane Geschwindigkeit v
von der mittleren Geschwindigkeit v̄ unterschieden.
14
KAPITEL 2. MECHANIK
Beispiele 2.2 Ich fahre mit dem Auto nach Zürich (∆s = 23.7km) und
brauche dazu ∆t = 22 Minuten. Dann ist die mittlere Geschwindigkeit gegeben
durch den Quotienten der Wegdifferenz durch die Zeitdifferenz.
v̄ = 23700
22·60 = 18m/s
Die momentane Geschwindigkeit entspricht aber dem Wert, den ich auf
dem Tacho ablese.
Man kann sich also unter der momentanen Geschwindigkeit die mittlere Geschwindigkeit für sehr kleine Zeitdifferenzen vorstellen.
Die Änderung der Momentangeschwindigkeit erfolgt durch eine Kraft.
Daraus erhält man das bekannte 2. Newton’sche Gesetz.
Satz 2.2 (2. Newton’sches Gesetz) Eine Kraft F [N ] die im Zeitraum
∆t[s] auf einen Körper wirkt führt während diesem Zeitraum zu einer Änderung
der Geschwindigkeit ∆v[m/s]. Diese Änderung ist indirekt proportional zu der
Masse m[kg].
Der Quotient der Änderung der Geschwindigkeit ∆v[m/s] und dem Zeitraum
∆t in welchem diese Änderung stattfindet wird Beschleunigung a[m/s2 ] genannt.
∆v
∆t
=a=
F
m
Aus der Gleichung ergibt sich, dass die Beschleunigung und auch die Kraft
vektorielle Grössen sind. Die Einheit der Kraft ist kg m/s2 , wird auch Newton
genannt.
Anmerkung
F
1. In der obigen Beziehungen ( ∆v
∆t = m und ∆s = v · ∆t) stehen überall
∆’s. Es ist bei all diesen Fällen komplett falsch keine Deltas zu benutzen.
Vergesst also so schnell wie möglich, die von euch gelernte Darstellung
ohne Deltas, da diese nur für nicht beschleunigte Bewegungen gültig sind.
2. Man kann die obige Beziehung auch umformen und erhält dabei ∆v =
F
a · ∆t = m
∆t. Dies bedeutet, dass sich die Geschwindigkeit von der Zeit
F
t = t0 bis zur Zeit t0 +∆t sich um den Betrag ∆v = m
∆t = a·∆t geändert
hat. Diese Grösse a · ∆t ist aber gerade in etwa das Flächenstück unter
der Kurve a(t) zwischen t0 und t0 + ∆t (siehe Abbildung 2.2).
Die Kraft ist nun üblicherweise nicht konstant und daher ändert sich die
Geschwindigkeitsänderung ∆v permanent. Aus der Definition der Geschwindigkeit kommt man auf eine ähnliche Beziehung für die Änderung der Position. ∆s = v∆t. Mit Hilfe dieser beiden Resultate lässt bei Kenntnis der
Kraft jede Bahn von einem Körper berechnen.
Da die Kraft nicht konstant ist, muss man kleine Zeitschritte ∆t wählen
und nach jedem Zeitschritt wieder neue ∆v und ∆s berechnen. Dies heisst
aber, dass die Geschwindigkeitsänderung bis zur Zeit ∆t durch die Fläche
F
von der Zeit t = t0 bis zur Zeit t0 + ∆t gegeben ist.
unter der Kurve m
15
2.4. UNGLEICHFÖRMIGE BEWEGUNG
30
25
a[m/s2 ]
20
15
10
a(2)
5
∆v(2) = a(2) · ∆t
0
1
}
0
2 ∆t
3
4
5
t[s]
Abbildung 2.2: Graphische Illustration der Berechnung der Geschwindigkeitsänderung ∆v.
Mit diesen Definitionen kann, die Bewegung errechnet werden, falls die
Kraft bekannt ist. Es zeigt sich, dass die Kraft alleine nicht ausreicht um
die Bewegung vollständig zu beschreiben. Es kommt auch darauf an, wie
schnell ich mich am Anfang bewege oder wo ich am Anfang stehe.
Beispiele 2.3 Nehmen wir einmal an, dass die Kraft F0 konstant ist. Dann
ist die Geschwindigkeitsänderung ∆v die Fläche unter der Funktion F0 . Die
Fläche unter der Kurve bis zu einer Zeitdifferenz von ∆t ist gleich Fm0 ∆t.
Somit ist die Geschwindigkeitsänderung bis zur Zeit ∆t gleich ∆v = Fm0 ∆t.
Nun müssen wir aber die Geschwindigkeit v0 zur Zeit 0 wissen, damit wir die
Geschwindigkeit v zur Zeit ∆t berechnen können.
v(∆t) = v0 +
F0
m
∆t
Um den Ort zu berechnen müssen wir nun die Fläche unter der Kurve der
Geschwindigkeit berechnen. Diese ist für diesen einfachen Fall im wesentlichen
die Fläche eines Dreiecks. Diese gebe ich hier einfach an, später in der
Vorlesung Mathematik werden sie sehen, wie man solche Flächen berechnen
kann.
∆s =
∆t2
2m F0
+ v0 ∆t
Nun müssen wir nur noch den Ort s0 zur Zeit 0 kennen und erhalten dann,
den Ort zur Zeit ∆t:
s(∆t) = s0 + v0 ∆t +
∆t2
2m F0
Dies gilt streng genommen nur für den kleinen Zeitschritt ∆t. Nun ist aber
die Kraft konstant und dann ist diese Beziehung für alle ∆t gültig. Die Berechnung und ihre Grundlage ist in der Abbildung 2.3 ersichtlich.
16
KAPITEL 2. MECHANIK
25
a[m/s2 ]
20
15
10
∆v
5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
3.5
4
t[s]
80
70
v[m/s]
60
50
} ∆v
40
30
20
∆s
10
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t[s]
80
}
60
s[m]
∆s
40
20
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
t[s]
Abbildung 2.3: Graphische Illustration der Berechnung der Geschwindigkeitsänderung ∆v und der Positionsänderung am Beispiel der konstanten Beschleunigung.
Anmerkung
• Für den allgemeinen Fall muss man über kleine ∆t Schritte aufsummieren
um zu beliebig grossen Zeitabschnitten zu gelangen. Zusätzlich kann die
Bewegung in mehr als einer Dimension erfolgen. Dann werden die einzelnen Dimensionen genau gleich wie oben gezeigt aufsummiert.
• Die oben beschriebene Methode zur Berechnung der Bahn eines Massenpunktes ist sehr ungenau. Man sieht in der Abbildung 2.2 sehr gut,
dass man dieser Berechnung einen grossen Fehler macht (nicht schraffierte
Fläche unter der Kurve). Könnten sie sich vorstellen eine genauere Methode zu finden? (Tipp: Betrachte das vorherige Beispiel)
2.4. UNGLEICHFÖRMIGE BEWEGUNG
17
Lösung
Man könnte sich auch vorstellen, dass die Bewegung in kleinen Zeitabschnitten eine konstante Beschleunigung besitzt und dann durch aufsummieren dieser Wegstücke die Bahn zu erhalten. Dies ist viel genauer, aber
leider ist die von mir vorher gezeigte Sichtweise mathematisch korrekt
und weiterführende Fälle können nur mit der von mir gezeigten Sichtweise gelöst werden.
Beispiele 2.4 Ein Kugel mit Radius r = 0.1m und Masse m = 5kg falle
unter dem Einfluss der Schwerkraft F = mg. Der Windwiderstand ist durch
2
F = cw ρv2 A, wobei cw die Widerstandszahl (Kugel cw = 0.47), ρ = 1.2kg/m3
die Dichte der Luft, v die Geschwindigkeit und A = πr2 die Querschnittsfläche
ist. Die Kraft ist eine Reibungskraft und somit immer entgegengesetzt zur Geschwindigkeit. Wir nehmen für die Berechnung an, dass die Kugel am Anfang
still steht.
1. Welche Geschwindigkeit besitzt die Kugel nach t = 10s, falls man ein ∆t
von 5s verwendet?
Die Gesamte auf die Kugel wirkende Kraft ist also gegeben durch
2
F = mg − cw ρv2 A (Annahme: Gravitation wirkt in Richtung positiver
y-Achse). Damit ergibt sich ein ∆v für die Zeitspanne von t = 0 bis
t = 5s von:
2
π0.12 )
(5·10−0.47 1.2·0
2
∆v
=
5s
=
10, daraus ergibt sich ein
5
v(t = 5s) = 0m/s + 10m/s. Um nun die Geschwindigkeit nach 10s
auszurechnen wird die gleiche Prozedur wiederholt.
2
π0.12 )
(5·10−0.47 1.2·10
2
5s
5
∆v =
19.82m/s.
= 9.823m/s, mit v(t = 10s) = 10 + 9.82 =
Man sieht nun, dass dieses Resultat völlig absurd ist. Dies kommt daher, dass die Zeitschritte viel zu gross gewählt wurden. In der folgenden
Grafik wurde die Geschwindigkeit nach 10s mit Hilfe von Zeitschritten
1
von 1000
s berechnet. Man sieht gut die asymptotische Geschwindigkeit von
v ≈ 75m/s ⇒ 270km/h.
2.4.1
Feder
Im Praktikum betrachten wir die Kraft FF eder , welche eine Feder ausübt. Diese
ist in der Chemie sehr wichtig, da fast alle spektroskopische Methoden auf einer
solche Kraft beruhen, da die Kräfte zwischen den Molekülen auf solche Kräfte
reduziert werden können.
FF eder = −D · x
Die Federkonstante D ist dabei ein Mass dafür, wie die Feder auf eine Auslenkung x aus der Gleichgewichtslage reagiert. Warum ist das Vorzeichen
18
KAPITEL 2. MECHANIK
Abbildung 2.4: Fallgeschwindigkeit einer Kugel
negativ? Wie sieht die Bewegung aus?
Rechnungen 2.2 (Kinematik) Rechne in den folgenden Beispielen immer
mit g = 10m/s2 .
1. Ein Fahrzeug rollt mit v = 18 km
h auf waagerechter Fahrbahn im Leerlauf.
Es wird allein aufgrund seines Fahrwiderstands in 17 s zum Stillstand gebracht (Annahme: konstante Kraft). Welche Beschleunigung wirkt? Welchen Weg hat es zurückgelegt.
2. Berechnet werden soll die Verspätung, die ein Zug erhält, der eine Baustelle von 500m Länge statt mit der normalen Fahrgeschwindigkeit von
km
v = 108 km
h nur mit 36 h passieren darf und hierzu vor der Baustelle mit
der Verzögerung von 0.4 sm2 bremst und danach 800 m benötigt, um die
normale Fahrgeschwindigkeit wiederzuerlangen.
3. Von einer Brücke wird ein Versorgungspaket in ein Boot geworfen. Das
Boot nähert sich mit einer Geschwindigkeit von v = 20 km
h . Die Abwurfhöhe beträgt 7.8m. Wie weit ist das Boot in dem Moment, in dem
das Paket fallen gelassen wird, noch von der Brücke entfernt?
2.4.2
ungleichförmige Bewegung in mehr als 1 Dimension
Wie wir bereits bemerkt haben sind die Beschleunigung, die Geschwindigkeit
und der Ort vektorielle Grössen. Daher gelten für alle Komponenten die Newton’schen Gesetze. Betrachten wir dazu einmal einen Wurf eines Gegenstandes
unter dem Einfluss der Erdbeschleunigung. Nehmen wir nun ein Koordinatensystem indem die x-Achse parallel zur Erdoberfläche ist und die
y-Achse senkrecht
0
in die Luft zeigt. Dann ist die Beschleunigung durch ~a =
gegeben.
-m g
Betrachten wir nun einmal die x− und die y−Komponente getrennt.
19
2.4. UNGLEICHFÖRMIGE BEWEGUNG
ax = 0 und ay = −g
2
−g t
Daher erhalten wir die Bahn x(t)
x0 undy(t) =
xt+
= v
2 + vy t + y0
2
x0
0
vx
oder als Vektoren geschrieben. ~r =
+t
+ t2
y0
−g
vy
Leider besitzen wir noch nicht genügend mathematische Grundkenntnisse,
sodass dies eigentlich praktisch der einzige Fall ist, den wir nun behandeln
können.
Rechnungen 2.3 (Kinematik) Rechne in den folgenden Beispielen immer
mit g = 10m/s2 .
1. Turmspringer
(a) Ein Turmspringer fällt von 10 m Turm ins Wasser In welcher Zeit
erreicht er das Wasser und mit welcher Geschwindigkeit?
(b) Nun springt der Turmspringer mit einer Geschwindigkeit von 1m/s
gerade hinauf. In welcher Zeit erreicht er jetzt das Wasser und mit
welcher Geschwindigkeit?
(c) Zum Schluss springt der Turmspringer mit einer Geschwindigkeit von
1m/s gerade hinauf und gleichzeitig noch mit einer Geschwindigkeit
0.5m/s geradeaus. In welcher Zeit erreicht er jetzt das Wasser und
mit welcher Geschwindigkeit? Wie weit fliegt er in y−Richtung?
2. Ein Fussball fliegt 2 Sekunden durch die Luft und landet 40 Meter entfernt von der Abschussstelle. Wie gross war die Anfangsgeschwindigkeit
des Balls und welche Höhe hat er beim Flug erreicht?
3. Zwei Körper werden vom gleichen Startpunkt aus zum gleichen Zeitpunkt
mit unterschiedlichen Anfangsgeschwindigkeiten (nach Großse und Richtung) hoch geworfen. Was ist speziell an der Verbindungslinie der beiden
Körper?
2.4.3
gleichförmige Kreisbewegung
Wir betrachten dazu eine ideale Situation: ein Körper bewegt sich mit der betragsmässig konstanten Geschwindigkeit ~v auf einem Kreis vom Radius r. Ohne
die Einwirkung einer Kraft würde der Körper in jedem Punkt der Bahn tangential weiter fliegen. Die die Beschleunigung des Körpers verursachende Kraft
ändert nur die Richtung und nicht den Betrag der Geschwindigkeit (siehe Bild
2.5). Wie muss eine solche Kraft auf den Geschwindigkeitsvektor wirken? Und
wie gross ist sie?
Man kann sich relativ einfach überlegen, dass eine solche Kraft senkrecht
auf die Bewegungsrichtung wirken muss. Wie gross sie ist, berechnet man am
einfachsten mithilfe der Differentialrechnung, daher berechne ich sie hier nicht,
aber gebe sie unten euch einfach an.
20
KAPITEL 2. MECHANIK
~
v (t1 )
~
a(t1 )
r
~
a(t2 )
~
v (t2 )
Abbildung 2.5: gleichförmige Kreisbewegung
Gute Grössen um die gleichförmige Kreisbewegung zu beschreiben sind die
−1
Periodendauer τ , die Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz) ω = 2π
] oder
τ [s
auch die Frequenz 1/τ (die Anzahl Umdrehungen pro Sekunde). Die Einheit der
Frequenz ist das Hertz (Hz). Die Beschleunigung, genannt Zentripetalbeschleunigung, welche auf den Körper wirken muss, damit er auf der Kreisbahn bleibt
ist dann durch a = ω 2 r gegeben. Mittels der Frequenz oder Winkelgeschwindigkeit kann der Betrag der Geschwindigkeit des Körpers auf der Kreisbahn berechnet werden. Die Wegdifferenz während einer Umdrehung ist gegeben durch
∆s = 2πr, die Zeitdifferenz ist genau eine Periodendauer τ . Dann ergibt sich für
den Betrag der Geschwindigkeit zu |~v | = 2πr
τ = ωr. Die Zentripetalbeschleunigung kann dann auch mittels dem Betrag der Geschwindigkeit geschrieben
werden.
|~a| =
|~
v |2
r
Rechnungen 2.4 (Kreisbewegung)
1. Geostationärer Satellit
Berechne mittels der Zentripetalbeschleunigung und der Gravitationskraft
die Höhe eines geostationären Satelliten aus. Das heisst eines Satelliten
der immer über dem gleichen Punkt über der Erde steht. (Siehe für die
Kraft im folgenden Kapitel 2.5 nach.) Die Masse der Erde beträgt mE =
6 · 1024 kg.
2. Die NASA baut Zentrifugen um die Astronauten auf die Beschleunigungen
in den Raketen vorzubereiten. Ein guter Astronaut kann kurzfristig bis
zu 15 g aushalten. Berechnen sie die Periode einer Zentrifuge, die dies
simulieren soll, wenn der Radius 15 m beträgt.
3. Ich fahre mit meinem Hometrainer 40km/h mein Rad hat einen Durchmesser von d = 80cm. Ich fixiere Reflektoren in der Hälfte des Radius.
Welche Periodendauer hat das Rad und welche Winkelgeschwindigkeit?
Mit welcher Geschwindigkeit rotieren die Reflektoren?
2.5. GRUNDKRÄFTE
2.5
21
Grundkräfte
Kräfte können verschiedenster Natur sein, auch solche die man nicht einfach
beschreiben kann. Die Physik hat die auftretenden Kräfte auf mittlerweile 4
verschiedene reduziert.
Man bezeichnet die Kräfte auch als Wechselwirkungen.
1. Die Gravitationskraft
Sie ist die wichtigste Kraft der Makrophysik. Sie ist eine Anziehungskraft, die zwischen allen Massen wirkt, z.B. zwischen Himmelskörpern,
wie Galaxien, Erde, Sonne und Mond. Auch das Gewicht eines Körpers
ist eine Gravitationskraft. Die Reichweite der Gravitationskraft ist nicht
begrenzt. In der Makrophysik ist sie normalerweise die stärkste Kraft.
Sie wird durch die folgende Gleichung gegeben und wirkt immer auf der
Verbindungslinie zwischen den beiden Massen m1 und m2 und ist indirekt proportional zum Quadrat der Entfernung r der beiden Massen. Die
Proportionalitätskonstante G wird Gravitationskonstante genannt und be2
trägt G = 6.674 · 10−11 Nkgm2
|FG | = G m1r2m2
2. Die elektromagnetische Kraft
Sie ist eine Folge der elektrischen Ladung von Körpern. Die elektro-magnetische Kraft ist besonders im Bereich der Moleküle und Atome wichtig.
Eine elektrostatische Kraft wirkt zwischen ruhenden geladenen Teilchen.
Eine elektromagnetische Kraft entsteht, wenn sich ein elektrisch geladener Körper bewegt. Auch die Reichweite dieser Kraft ist nicht begrenzt.
Die elektrostatische Kraft ist proportional zu den beiden Ladungen q1 resp. q2 und umgekehrt proportional zu der Entfernung im Quadrat. Die
Proportionalitätskonstante ε0 wird Permeabilität genannt und beträgt
ε0 = 8.854 · 10−12 VAs
m.
|FC | =
1 q1 q2
4πε0 r 2
3. Die starke Kraft
Sie tritt zwischen den sogenannten Nukleonen (Protonen und Neutronen)
im Atomkern auf und bewirkt, dass der Atomkern zusammenhält. Die
Reichweite ist sehr begrenzt (10−14 − 10−15 m).
4. Die schwache Kraft
Die schwache Kraft tritt z.B. beim radioaktiven β − -Zerfall auf, bei welchem ein Neutron des Kerns in ein Proton umgewandelt wird und ein
schnelles Elektron den Kern verlässt. Die schwache Kraft ist extrem kurzreichweitig (10−17 m).
22
KAPITEL 2. MECHANIK
Beispiele 2.5 Vergleichen sie die Stärke der Gravitationskraft mit derjenigen der elektromagnetischen bei einem Wasserstoffatom. Wie stark werden
die Elektronen vom Proton angezogen, wenn die Masse des Protons mP =
1 · 10−3 /(6.023 · 1023 )kg beträgt und diejenige des Elektrons um den Faktor 2000
kleiner ist. Die Ladung eines Elektrons beträgt Qe = −1.6·10−19 C und diejenige
des Protons ist QP = 1.6 · 10−19 C. Welche Kräfte sind für den Zusammenhalt
der Atome verantwortlich?
Bemerkungen
Man muss sich ein bisschen vom Ausdruck Kraft der Umgangssprache lösen
um den Ausdruck der Kraft in der Physik zu verstehen. Die Kraft in der Physik ist eindeutig durch ihre Wirkung gegeben. Sie bewirkt eine Beschleunigung
und/oder eine Rotation.
2.6
Beispiele
2.6.1
Freier Fall
Bemerkung 2.3 (Beschleunigung) Alle Körper fallen mit der gleichen Beschleunigung, falls man den Luftwiderstand vernachlässigen darf.
Je massereicher ein Körper desto grösser wird auch seine Schwerkraft, aber
desto grösser ist auch seine Trägheit. Diese beiden Effekte heben sich exakt auf,
da die Schwerkraft durch Fg = m g gegeben ist. Dies führt zu einer BeschleuniF
gung von a = mg = g.
2.6.2
Keplersche Gesetze
Die Bewegung der Himmelskörper, wie Saturn, Mond oder Sonne waren schon
seit dem Altertum wichtig für die Menschen. Die Griechen gingen davon aus,
dass die Planeten sich auf Kreisbahnen bewegen. Um 1600 hat J. Kepler die
folgenden 3 Gesetze gefunden.
Satz 2.3 (1. Kepler’sches Gesetz) Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren Brennpunkt die Sonne steht.
Satz 2.4 (2. Kepler’sches Gesetz)
Die Verbindungslinie Sonne-Planet
überstreicht in gleichen Zeiten gleich grosse Flächen (siehe Abbildung 2.6).
Satz 2.5 (3. Kepler’sches Gesetz) Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier
Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der grossen Bahnhalbachsen.
τ12
a3
= a13
τ2
2
2
Diese Gesetze mit den Newton’schen Axiomen führten schlussendlich zu dem
Newton’schen Gravitationsgesetz. Newton fand heraus, dass falls man die Gravitationskraft wie im Kapitel der Grundkräfte besprochen, definiert, die 3 Gesetze
von Kepler aus dem Kraftgesetz folgen.
23
2.7. WECHSELWIRKUNG
Planet
Sonne
Abbildung 2.6: Illustration zum 2. Kepler’schen Gesetz.
Randbemerkung
Dieses Resultat gilt nur näherungsweise, da man für mehr als 2 Körper die
Gleichungen nur noch mit dem Computer lösen kann. Es wurde erst vor etwa
15 Jahren bewiesen, dass die Erde auf ihrer Bahn stabil ist. Somit sind solche
400 Jahre alte Probleme immer noch aktuell.
Vor etwa 8 Jahren haben Mathematiker ganz spezielle Lösungen dieser Gleichungen gefunden. In diesen speziellen Lösungen folgen die einzelnen Massen
sich. Diese speziellen Lösungen werden Choreographie genannt.
2.7
Wechselwirkung
Betrachten sie folgende Situationen:
1. Zwei Rollbrettfahrer gleicher Masse halten die Enden eines Seiles. Ziehen
beide am Seil, so laufen sie aufeinander zu und treffen sich in der Mitte.
Was passiert falls nur einer zieht?
2. Zwischen zwei gleich schweren Wagen wird eine Feder gespannt und dann
werden die Wagen losgelassen. Was passiert?
Wir kommen zur Schlussfolgerung, dass falls eine Kraft F~ von einem Körper
1 auf einen Körper 2 wirkt, so wirkt eine entgegengesetzte Kraft −F~ vom Körper
2 auf den Körper 1.
Satz 2.6 (Actio gleich reactio) Sei F~12 die Kraft die von dem Körper 1
auf den Körper 2 wirkt und F~21 die Kraft die vom Körper 2 auf den Körper 1
wirkt. Dann gilt:
F~12 = −F~21
Beispiel
Ein Mann sitzt in einem Boot und will sich in einem Teich vorwärts bewegen.
Er beginnt nun Steine in eine Richtung zu werfen. Er wird sich mit dem Boot
24
KAPITEL 2. MECHANIK
langsam beschleunigen. Naja die Reibung durch das Wasser wird wohl grösser
sein als seine Beschleunigung. Nach diesem Prinzip funktionieren die Raketen.
Sie stossen sehr heisse Gase aus und beschleunigen auf diese Weise.
25
2.7. WECHSELWIRKUNG
Rechnungen 2.5 (Übungsaufgaben)
1. Beim plötzlichen wegziehen einer gefüllten Wasserwanne schwappt das
Wasser über die hintere Kante. Woher kommt das?
2. Zur Ermittlung der Mondentfernung hat man auf dem Mond einen Spiegel
angebracht. Die Zeit die das Licht benötigt, um die Strecke Erde-MondErde zurückzulegen beträgt 2.5 s. Wie weit ist der Spiegel von der Erde
entfernt, wenn die Lichtgeschwindigkeit 3 · 108 m/s beträgt?
3. Der Abstand Erde-Sonne beträgt 150 Mio. Kilometer. Wie lange benötigt
das Licht bis zur Erde?
4. Ein 750 m langer Zug fährt mit 90 km/h über eine Brücke, wie lange
erfährt die Brücke eine Belastung?
5. Ein LKW fährt mit konstanter Geschwindigkeit v1 = 45 km/h hinter einem PW mit der Geschwindigkeit v2 = 60 km/h her. Der anfängliche
Abstand beträgt 200 m. Skizzieren sie den Abstand in Abhängigkeit der
Zeit.
6. Ein Fahrzeug bewegt sich auf einer geradlinigen Bahn. Die folgende Messreihe gibt an, wo sich das Fahrzeug zu verschiedenen Zeiten befand.
Zeit in s
Ort in m
1.5
9
3
10
4.5
15
6
19
9
20
15
21
Zeichnen sie die Weg vs. Zeit, Geschwindigkeit vs. Zeit und die Beschleunigung vs. Zeit auf. Vergleichen sie diese mit der mittleren Geschwindigkeit.
7. Ein Lkw, der mit der Geschwindigkeit 70 km/h fährt, wird von einem Pkw
mit 100 km/h überholt. Wie lange dauert der Überholvorgang, wenn dieser
von 15 m hinter bis 15 m vor dem Lkw gerechnet wird und der Lkw 7 m,
der Pkw 4 m lang ist?
8. In A startet ein LKW um 9.00 Uhr und fährt mit der mittleren Geschwindigkeit v1 = 50km/h zum 80 km entfernten B. 30 Minuten später startet
ein zweiter LKW mit der mittleren Geschwindigkeit v2 = 75km/h von B
aus nach A.
(a) Wann und wo treffen sich die beiden Fahrzeuge?
(b) Zeichne ein Weg-Zeit-Diagramm und löse die Aufgabe auch graphisch.
9. Wie lange müsste ein Raumschiff mit a = 10m/s2 (das entspricht der
Beschleunigung, die ein frei fallender Körper auf der Erde erfährt) beschleunigen, um die Lichtgeschwindigkeit von 3 · 108 m/s zu erreichen?
Welche Strecke hätte es in dieser Zeit zurückgelegt in Einheiten der Mondentfernung aus Aufgabe 2?
10. Der Pfeil einer Armbrust wird längs einer Strecke von s = 32 cm beschleunigt und verlässt die Armbrust mit der Geschwindigkeit v = 70m/s. Die
Beschleunigung wird zur Vereinfachung als konstant angenommen.
(a) Welche Beschleunigung hat der Pfeil erfahren?
(b) Wie lang war die Zeitspanne ∆t, während der der Pfeil beschleunigt
wurde?
26
KAPITEL 2. MECHANIK
Rechnungen 2.6 (Kinetik)
1. Ein Flugzeug startet. Nach einer Rollstrecke von s = 2.4km hebt es
mit einer Geschwindigkeit v = 340km/h ab (Annahme: Beschleunigung
a=konstant)
(a) Wie lange rollt das Flugzeug beim Startvorgang?
(b) Welche Beschleunigung erfährt es dabei?
2. Die Abbildung 2.7 zeigt ein v − t-Diagramm der Bewegung eines Körpers.
(a) Beschreibe den Bewegungsverlauf.
(b) Zeichne das zugehörige a − t-Diagramm des Bewegungsverlaufs.
(c) Wie weit war der Körper 6 Sekunden, 12 Sekunden und 15 Sekunden
nach Bewegungsbeginn von seinem Ursprungsort entfernt? (Rechnung)
3. Ein trainierter Radfahrer fährt zunächst mit konstanter Beschleunigung
an und erreicht in 5 s aus dem Stand die Geschwindigkeit v = 6m/s.
Anschliessend fährt er 30 s lang mit dieser Geschwindigkeit weiter und
bremst dann mit konstanter Verzögerung. Zwei Sekunden später kommt
er zum Stehen. Zeichne ein v − t-Diagramm dieser Bewegung.
4. Die Fallgeschwindigkeit mittelgrosser Regentropfen beträgt bei Windstille
etwa v1 = 8 m/s. Welche Geschwindigkeit hat ein Zug, an dessen Wagenfenstern die Tropfen Spuren hinterlassen, die um 70 Grad von der
Senkrechten abweichen? Löse dies rein grafisch.
5. Ein Schwimmer braucht für 300 m 8 min. in stehendem Gewässer. Wie
lange benötigt er für dieselbe Strecke in fliessendem Wasser (vW =
0, 1m/s), wenn er die halbe Strecke mit der Strömung und die restliche
Hälfte gegen die Strömung schwimmt?
6. Ein Körper wird vertikal nach oben geworfen. Er kehrt nach der Zeit t =
6 s zum Ausgangsort zurück.
(a) Welche Anfangsgeschwindigkeit hatte er?
(b) Welche maximale Höhe erreichte er?
7. Am Rande eines Canyons wirft ein Besucher einen Stein in horizontaler
Richtung in die Schlucht. Der Stein prallt 40 m von der Lotrechten entfernt
auf dem 120 m tiefer liegenden Grund der Schlucht auf.
(a) Wie gross war die Geschwindigkeit des Steins beim Abwurf ?
(b) Mit welcher Geschwindigkeit prallt der Stein auf den Schluchtboden
auf ?
(c) Nach welcher Zeit hört der Besucher den Aufprall?
(Berechne auf 2 Dezimalen genau; Schallgeschwindigkeit cS = 330 m/s)
27
2.7. WECHSELWIRKUNG
15
12
10
5
0
0
5
6
10
12
15
20
Abbildung 2.7: Das v − t Diagramm zur Übung
Rechnungen 2.7 (Kinetik)
1. Die Venus ist nach Merkur der der Sonne am nächsten befindliche Planet
unseres Sonnensystems. Sie bewegt sich auf einer annähernd kreisförmigen
Bahn mit dem Radius r = 107.7 · 106 km in 224.7 Tagen einmal um die
Sonne herum.
(a) Berechne den Betrag der Bahngeschwindigkeit der Venus.
(b) Wie gross ist die Zentripetalbeschleunigung, die erforderlich ist, um
die Venus auf ihrer Kreisbahn zu halten?
(c) Die Zentripetalbeschleunigung wird durch die Sonne hervorgerufen.
Wie würde sich die Venus bezüglich ihrer Bewegung im weiteren verhalten, wenn die Sonne plötzlich verschwände?
2. Eine Zentrifuge rotiert mit der Umdrehungsfrequenz f = 100/s
(a) Welche Radialbeschleunigung erfährt ein Teilchen bei dieser Bewegung im Abstand d = 10cm von der Drehachse?
(b) Wie gross ist seine Bahngeschwindigkeit vB ?
(c) Wie gross ist seine Periodendauer T?
3. Um wieviel Prozent ändert sich der Wert der Tachoanzeige bei gleichbleibender Geschwindigkeit, wenn sich bei einem Reifen mit 30 cm Radius
die Profiltiefe um 5 mm verringert? Verringert oder vergrössert sich die
angezeigte Geschwindigkeit?
4. Man befestige eine Glühbirne am äusseren Ende eines Velorades. Skizzieren sie die Bewegung der Birne.
5. In einem Aufzug steht eine Person auf einer Waage. Im Stand zeigt die
Waage 70 kg an, beim Anfahren 55 kg und beim Abbremsen 80 kg.
(a) In welcher Richtung und mit welcher Beschleunigung fährt der Aufzug
an bzw. bremst er?
(b) Was zeigt die Waage zwischen drin bei gleichförmiger Fahrt?
6. Die Trommel einer Wäscheschleuder mit 30 cm Durchmesser dreht sich 2
mal je Sekunde.
(a) Mit welcher Geschwindigkeit läuft die Trommelwand um?
(b) Wie gross ist die Zentripetalbeschleunigung a an der Trommelwand?
(c) Mit welcher Kraft müsste dort ein Wasserteilchen (m = 1 g) vom
Stoffgewebe festgehalten werden, um nicht wegzufliegen?
28
KAPITEL 2. MECHANIK
2.8
Arbeit, Leistung und Energie
Im alltäglichen Leben verbinden wir den Ausdruck Arbeit meist mit einer ermüdenden Tätigkeit. Die Physik präzisiert den Begriff, sodass er quantifizierbar
wird. Eine Arbeit ist stets mit einem Kraftaufwand und einem Weg verbunden.
Definition 2.1 (Arbeit) Arbeit= Kraftkomponente in Richtung des Weges
mal zurückgelegtem Weg ∆s.
W = Fk · ∆s = (F~ , ∆~s)
Sie ist mit einem positiven Vorzeichen zu versehen, wenn Fk und ∆s zueinander parallel sind. Man kann die Arbeit auch mittels dem Skalarprodukt der
Kraft mit der Wegdifferenz berechnen. Die Arbeit wird in Joule gemessen (1
J=1 Nm). Das Symbol W kommt vom englischen Work.
Beispiele 2.6 Betrachten wir einmal das hochheben eines Fasses vom Boden
auf eine Ladefläche. Wir können einmal das Fass den direkten Weg heraufheben
(ausgezogene Linie) oder auch einmal zuerst am Boden das Fass rollen und
anschliessend das Fass direkt auf die Höhe h hoch heben(gestrichelte Linie).
Die beiden Wege sind in der Figur 2.8 dargestellt. Was stellen wir fest, falls
wir das Produkt von Kraft mal Weg betrachten?
1. Betrachten wir zuerst den direkten Weg. Wir müssen die Schwerkraft F~
überwinden. Daher zeigt die aufgewendete Kraft den Hang
√ hinauf undh besitzt den Betrag Fk = F · sin(α). Der Weg ∆s beträgt L2 + h2 = sin(α)
.
h
Damit erhält man W = F · sin(α) sin(α) = F · h
2. Betrachten wir nun den gestrichelten Weg. Dieser besitzt zuerst die Länge
L und die Kraft in Richtung des Weges ist 0. Daher benötigt man für
das erste Teilstück keine Arbeit. Beim 2. Teilstück besitzt der Weg die
Länge h und die aufgewendete Kraft ist parallel zum Weg und daher ist
die benötigte Arbeit hier gegeben durch W = F · h. Dies ist auch gerade
die gesamte benötigte Arbeit.
Man sieht nun, dass für die beiden Wege die aufgewendete Arbeit gleich
gross ist. Dies gilt praktisch für alle Fälle!!, welche wir in diesem Kurs behandeln
werden.
29
2.8. ARBEIT, LEISTUNG UND ENERGIE
h
α
L
F
Abbildung 2.8: Die beiden Wege um das Fass hinauf zu rollen.
Rechnungen 2.8 (Übungen)
1. Wie gross ist die Arbeit die ein Mann beim Tragen eines 5kg schweren
Koffers auf einer horizontalen Unterlage leistet, wenn er den Koffer 5 km
weit trägt?
2. Wir gross ist die Arbeit die ein Bauarbeiter leistet wenn er 1 m3 = 3·106 kg
Beton auf die Lastfläche eines Lastwagen schaufelt. Mit der Ladefläche 1m
über dem Boden. Diese Arbeit wird Hubarbeit genannt.
3. Die Arbeit um einen Wagen mit Masse m von 0 auf die Geschwindigkeit
2
v zu beschleunigen ist durch W = m2v gegeben. Wie gross ist die Arbeit
um den Wagen von der Geschwindigkeit v1 auf die Geschwindigkeit v2 zu
beschleunigen?
4. Ein Skilift zieht einen Skifahrer (m=80kg) mit der Geschwindigkeit
v = 5m/s einen Berg der Höhe 100 m hinauf. Wie gross ist die Arbeit,
wenn der Skifahrer vor dem Einstieg eine Anfangsgeschwindigkeit von 0
besitzt.
5. Wie gross ist die Arbeit die aufgewendet werden muss um eine Feder um
den Weg x zu dehnen resp. zu komprimieren.
Wenn eine Maschine eine Arbeit verrichten soll, z.B. das Transportieren
einer Last in den 2 Stock, so kommt es nicht nur auf die Arbeit an, sondern
auch in welcher Zeit diese Arbeit verrichtet wird. Die Leistung ist umso grösser
je schneller man die Arbeit verrichtet.
Definition 2.2 (Leistung)
Leistung =
verrichteteArbeit
benötigteZeit
Die Leistung wird in Watt gemessen. 1W = 1J/s.
⇒P =
∆W
∆t
30
KAPITEL 2. MECHANIK
Auf Maschinen und Geräten wird oft die mittlere Leistung P̄ angegeben. Bei
bekannter Betriebszeit ∆t kann dann einfach die verrichtete Arbeit berechnet
werden.
∆W = P̄ · ∆t
Das Watt ist eine verhältnismässig kleine Einheit. Wenn z.B. ein Mensch
(70kg) ein Stockwerk (3 m) in 10s hochsteigt, so beträgt seine Leistung ca. 200
Watt. Diese Leistung ist im Vergleich zu einem Kraftwerk bescheiden, wie man
aus der unten stehenden Tabelle entnehmen kann.
Mittlere Leistung in kW
Mensch
0.1
Pferd
0.7
Auto
30
Lokomotive
2500
Grosskraftwerk 106
Sonne
4 · 1023
Rechnungen 2.9 (Übungen Leistung)
1. Ein Sprinter (m=80kg) läuft die 100 m in rund 10s. Nimm nun zur Vereinfachung an, dass der Sprinter am Schluss die höchste Geschwindigkeit
erreicht und vorher eine konstante Beschleunigung hatte. Was für eine
Leistung hat er vollbracht?
2. Ein Velofahrer (m=80kg) fährt in einer Stunde einen Pass mit 500 m
Höhendifferenz hoch. Anschliessend fährt er auf der anderen Seite 800 m
herunter. Er braucht dazu eine weitere Stunde. Wie gross ist seine mittlere Leistung und wie gross ist seine mittlere Leistung um den Pass zu
erreichen?
3. Betrachte ein an einer Feder mit Federkonstante D angebrachtes Gewicht
der Masse m, wird dieses aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt
und losq
gelassen, so schwingt dieses Gewicht mit der Periode τ =
die mittlere Leistung in Abhängigkeit der Zeit.
D
m.
Skizziere
4. Wir werfen einen Stein der Masse m mit der Anfangsgeschwindigkeit v0
senkrecht in die Höhe. Die Schwerkraft verrichtet Arbeit an dem Stein.
(a) Wie gross ist die Hubarbeit in Abhängigkeit der Zeit?
(b) Wie gross ist die durchschnittliche Leistung der Hubarbeit?
(c) Für welchen Zeitpunkt ist die durchschnittliche Leistung gleich 0? Wo
befindet sich der Stein dann?
Presse eine Feder zusammen und lege eine Kugel darauf. Wenn man die
Kugel loslässt wird sie in einem weiten Bogen davonfliegen. Wir haben die Feder
durch das zusammenpressen die Fähigkeit vermittelt Arbeit zu verrichten. Die
gespeicherte Fähigkeit Arbeit zu verrichten nennt man Energie.
2.8. ARBEIT, LEISTUNG UND ENERGIE
Definition 2.3 (Energie)
31
Man sagt:
Energie ist gespeicherte Arbeit
oder
Energie ist die Fähigkeit Arbeit zu verrichten
die Energie wird wie die Arbeit in Joule gemessen.
Für jede Arbeitsform existiert eine dazugehörige Energieform, für welche die
gleichen formalen Ausdrücke verwendet werden.
Arbeitform
Ausdruck Energieform
Hubarbeit
mgh
Lageenergie, potentielle Energie
1
2
Beschleunigungsarbeit
kinetische Energie
m
v
2
1
2
Spannarbeit
D
x
Spannenergie
2
Es existieren noch andere Energieformen, diese werde ich aber nicht erwähnen, da diese in einer anderen Vorlesung behandelt werden. Ich werde nur einige
einfache Beispiele davon verwenden.
Wichtig ist, dass die Arbeit einem Vorgang zugeordnet ist, bei
dem Energie umgesetzt wird, während die Energie den Zustand eines
Systems beschreibt.
Rechnungen 2.10 (Energie)
1. Betrachte nun 1 Block von 1 kg Eis der Temperatur -5 Grad Celsius.
Die Energie die gebraucht wird, um 1 kg Eis um ein Grad zu Erwärmen
wird spezifische Wärmekapazität cp genannt. Sie ist für Eis anders als für
Wasser. Diejenige Energie die gebraucht wird um 1kg Eis zu schmelzen Hs
oder 1kg Wasser zu verdampfen Hv wird spezifische Schmelzwärme resp.
spezifische Verdampfungswärme genannt. Die oben genannten Stoffdaten
E
betragen cW
p = 4.187kJ/(K kg), cp = 2.06kJ/(K kg), Hs = 333, 4kJ/kg
und Hv = 2257KJ/kg. Skizzieren sie den Temperaturverlauf und die
Energie, falls man kontinuierlich mit 1 kW heizt.
2. Ein Ball der Masse 1 kg wird mit einer Geschwindigkeit von v0 = 15m/s
nach oben geworfen. Welche Beschleunigungsarbeit verrichtet die Schwerkraft? Wann ist die kinetische Energie 0? Was für einen Wert hat dann
die potentielle Energie? Skizzieren sie den Zeitverlauf der potentiellen und
der kinetischen Energie.
3. Ein KKW produziert im Jahr gegen 1·1016 J an Energie. Benzin hat einen
Energieinhalt von 47M J/kg Benzin. Wieviel Benzin muss man verbrennen
um diese Energie zu erhalten (Annahme: 100% Wirkungsgrad).
32
KAPITEL 2. MECHANIK
Es gilt allgemein
Satz 2.7 (Zusammenhang zwischen Energie und Arbeit) Wenn durch
eine äussere Kraft die Energie eines Körpers verändert wird, so ist diese
Energieänderung gleich der Arbeit der angreifenden Kraft.
∆E = W
Wenn also eine Kraft bei einem Vorgang Arbeit verrichtet, wird die entsprechende Energiemenge von einem Energiekonto auf ein anderes umgebucht. Daher
ist der Begriff der Energie grundlegend in der Physik.
Satz 2.8 (Energieerhaltung) Für alle Vorgänge, die in einem abgeschlossenen System (keine Wechselwirkung mit der Umgebung) ablaufen, ist die Gesamtenergie immer gleich gross. Eine Grösse mit dieser Eigenschaft wird Erhaltungsgrösse genannt.
Bemerkung
Wirklich abgeschlossene Systeme existieren nicht! Nur solche, in welchen die
Wechselwirkungen mit der Umgebung sehr klein sind.
Ein Paradebeispiel der Energieerhaltung ist der Wurf eines Körpers unter
dem Einfluss der Gravitation. Es gilt, dass die Gesamtenergie durch Etot =
2
Ekin + Epot = m2v + m g h gegeben ist. Zeigen sie, dass die Energie hier Konstant ist. Berechnen sie mittels der Energie die Geschwindigkeit in Abhängigkeit
der Höhe.
Beispiele 2.7 (Beispiel in einer Dimension) Die Höhe des Körpers ist
durch y = y0 + v0 t − g2 t2 und die Geschwindigkeit durch v = v0 − gt gegeben. Die Gesamtenergie ist durch Etot = Ekin + Epot gegeben. Setzt man
die obigen Ausdrücke für die Höhe und die Geschwindigkeit ein so ergibt sich
2
Etot = 21 m (v0 − gt) + mg(y0 + v0 t − g2 t2 ) = 21 mv02 + mgy0
2.8. ARBEIT, LEISTUNG UND ENERGIE
33
Rechnungen 2.11 (Energie)
1. Im Hochsprung liegt der Schwerpunkt des Sportlers bei Rückenlage etwa
15 cm über der Latte. Welche Hubarbeit verrichtet der Springer, wenn er
die Latte 1.5 m hoch setzt und selbst die Masse 75 kg hat? Sein Körperschwerpunkt befindet sich vor dem Sprung 90 cm über dem Boden.
2. Ein Auto der Masse 900 kg beschleunigt von 50 km/h auf 80 km/h. Welche
Beschleunigungsarbeit muss der Motor aufbringen?
3. Ein Bergsteiger (80 kg) steigt von Zermatt (1616m) auf das Matterhorn
(4478m). Wie gross ist die dabei verrichtete Arbeit?
4. Ein Mann (75 kg) eilt die Treppe hinauf Er gewinnt dabei 1 m Höhe pro
Sekunde. Wie gross ist seine Leistung?
5. Ein Junge (m=50 kg) klettert an einer Fahnenstange 10 m in die Höhe.
(a) Welche Arbeit verrichtet er dabei?
(b) Anschliessend rutscht er mit der konstanten Geschwindigkeit v =
2m/s wieder hinunter. Wieviel Energie wird dabei in kinetische Energie umgewandelt?
(c) Welche Strecke muss er mindestens hinunterrutschen dass er diese
Geschwindigkeit erreicht?
6. Vor dem Wiedereintritt in die Erdatmosphäre umkreist ein Erdsatellit der
Masse m = 100kg die Erde (m = 6 · 1024 kg, Erdradius=6.35 · 106 m) in
30 km Höhe über der Erdoberfläche mit einer Geschwindigkeit von v =
8km/s.
(a) Welche Wärmeenergie wird bei der Rückkehr zum Erdboden freigesetzt?
(b) Um wieviel Grad heizt sich dabei der Satellit auf, wenn auch nur 1%
der freigesetzten Wärme im Material des Satelliten verbleibt?
(Annahme: Der Satellit besteht aus Aluminium, spez. Wärme von AluJ
minium cAl = 900 kgK
) Die potentielle Energie des Satelliten ist gegeben
−Gm1 m2
durch Epot =
,
mit G = 6.67 · 10−11 und r dem Abstand zwischen
r
den Körpern.
34
KAPITEL 2. MECHANIK
2.9
Stösse
Stösse treten immer dann auf, wenn physikalische Körper miteinander in Wechselwirkung treten, d.h. mit Kräften aufeinander einwirken. Wir denken dabei
z.B. an den Stoss zweier Billardkugeln. Wie wir schon gesehen haben, gelten in
der klassischen Physik die drei Newton’schen Axiome. Im folgenden werden die
Gesetze weiterentwickelt, sodass Stossvorgänge beschrieben werden können. Bei
Stössen ist der Impulssatz von besonderer Bedeutung.
Definition 2.4 (Impuls)
Körpers heisst Impuls p~.
Das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit eines
p~ = m ~v
Der Impuls ist ein Vektor wie die Geschwindigkeit oder die Kraft.
Wirkt auf eine Masse m eine Kraft F~ , so gilt dass 2. Newton’sche Gesetz.
v
F~ = m ~a = m ∆~
∆t =
∆~
p
∆t
oder umgeformt ergibt sich:
F~ ∆t = ∆~
p
Unter der Wirkung der Kraft F~ während der Zeit ∆t erfährt der Körper
eine Impulsänderung ∆~
p. Ein solcher Prozess wird Kraftstoss genannt. Man
sieht auch hier wieder die Multiplikation einer Grösse (hier die Kraft) mit einer
Grösse ∆t. In Analogie zur Geschwindigkeitsänderung gilt hier, dass der gesamte Kraftstoss gleich der Fläche unter der Kurve F~ ist.
Somit zeigt sich, dass das Kraft-Zeit-Diagramm eine wichtige Bedeutung für die
Stösse hat. Betrachten wir nun einmal einen solchen Stoss genauer. Wir berechnen dabei die Änderung des Gesamtimpulses des Systems. Nun gilt, dass die
Impulsänderung ∆~
p1 von Teilchen 1 genau der Zeitdauer des Kraftstosses ∆t
multipliziert mit der Kraft F~21 , welches das Teilchen 2 auf das Teilchen 1 ausübt
ist. Für den Körper 2 gilt genau das gleiche, nur ist es diesmal die Kraft F~12
die der Körper 1 auf ihn ausübt. Diese ist aber nach dem Actio gleich reactio
Gesetz gleich gross aber mit entgegengesetztem Vorzeichen. Daraus ergibt sich:
∆~
p = ∆~
p1 + ∆~
p2 = F~21 ∆t + F~21 ∆t = 0 ∆t = 0
Somit ist gezeigt, dass bei einem Stoss der Impuls erhalten bleibt.
Satz 2.9 (Impulserhaltung) In einem abgeschlossenen System bleibt der
Gesamtimpuls erhalten.
p~tot = p~1 + p~2 + p~3 + · · · = konst.
Man unterscheidet bei den Stössen zwischen dem elastischen und dem inelastischen Stoss. Beim elastischen Stoss wird angenommen, dass die kinetische
Energie vor und nach dem Stoss gleich gross ist. Hingegen wird beim inelastischen Stoss davon ausgegangen,dass ein Teil der Energie in eine andere Energieform gewandelt wird. Dabei handelt es sich typischerweise um Deformation
des Körpers. Diesen Fall werden wir nicht betrachten.
35
2.9. STÖSSE
Beispiele 2.8
1. Ein Mann der Masse m1 steht in einem Boot der Masse m2 , welches
auf dem Wasser ruht. Der Mann geht im Boot nach hinten. Was passiert?
2. Eine Kugel der Masse m1 stösst mit der Geschwindigkeit v1 auf eine
ruhende Kugel der Masse m2 . Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich
die Kugeln weiter?
Weil es ein abgeschlossenes System ist, gilt die Energieerhaltung. Zusätzlich gilt bei elastischen Stössen noch die Impulserhaltung. Diese beiden
Erhaltungssätze reichen aus um die oben genannte Aufgabe zu lösen. Wir
bezeichnen mit dem Strich die Geschwindigkeit nach dem Stoss, dann gilt:
m1 v12
2
+
m2 v22
2
=
m1 v102
2
+
m2 v202
2
und
m1 v1 + m2 v2 = m1 v10 + m2 v20
Löst man diese beiden Gleichung auf, so erhält man:
v10 =
v20 =
2 v2 m2 +(m1 −m2 )v1
m1 +m2
2 v1 m1 +(m2 −m1 )v2
m1 +m2
Betrachten wir einmal ein paar Spezialfälle.
(a) Fall m1 m2
Die Masse 1 sei viel grösser als die Masse 2 und die Masse 2 stehe
vor dem Stoss still. Ändert sich etwas falls die Masse 2 eine andere
Geschwindigkeit besitzt?
Resultate
Die Masse 1 bewegt sich mit der gleichen Geschwindigkeit weiter. Die
Masse 2 hingegen hat nach dem Stoss die Geschwindigkeit v20 = 2v1 .
(b) Fall m1 = m2
Beide Körper besitzen die gleiche Masse und einer ist vor dem Stoss
in Ruhe.
Resultate
Der eine Körper gibt die Geschwindigkeit auf den anderen Körper
über.
Bemerkungen
Falls man eine Gleichung bekommt, sollte man immer solche Spezialfälle
testen, bei welchen man das Verhalten kennt!
36
KAPITEL 2. MECHANIK
Rechnungen 2.12 (Stösse)
1. Auf einen ruhenden Körper der Masse 5 kg wirkt 0.01 s die Kraft F=20
N.
(a) Welchen Impuls erhält der Körper dadurch?
(b) Welche Geschwindigkeit besitzt der Körper nach diesem Stoss?
(c) Welche Beschleunigung erfährt der Körper durch diese Kraft?
2. Ein Ball 450 gr schwer fliegt mit der Geschwindigkeit v1 = 20m/s in die
Arme des in senktrechter Richtung hochgesprungenen Torwartes (m = 75
kg).
(a) Welcher Impuls wird dadurch auf den Torwart übertragen?
(b) Mit welcher Geschwindigkeit iegt der Torwart rückwärts?
(c) Welche Kraft wirkt auf den Torwart, wenn er den Ball innerhalb von
0.1 s abfängt?
3. Die von einem Astronauten (m = 80 kg) bei einem Weltraumspaziergang
verwendete Rückstosspistole stösst pro Sekunde 40 g Treibgas mit der Geschwindigkeit v = 150m/s aus. Wie gross ist die Kraft auf den Astronauten
und wie gross die Beschleunigung, die er dadurch erfährt?
4. Ein Güterwagen (Masse m1 und Geschwindigkeit v1 ) stösst elastisch gegen
einen ruhenden Güterwagen der Masse m2 = 14t. Die Geschwindigkeit der
beiden Wagen nach dem Stoss beträgt v1 = 0.2 m/s und v2 = 2 m/s.
(a) Welche Masse hatte der stossende Wagen?
(b) Wie gross war seine Geschwindigkeit vor dem Stoss?
5. Ein Körper der Masse m1 stösst zentral und vollkommen elastisch auf
einen ruhenden Körper der Masse m2 = k · m1 . Wie hängt der Bruchteil
∆E der auf den ruhenden Körper übertragenen kinetischen Energie vom
Masseverhältnis k ab?
Leite zunächst einen allgemeinen Ausdruck für ∆E her.
Skizziere den Verlauf von ∆E im Bereich 0 ≤ k ≤ 10 und diskutiere ihn
kurz.
Für welches k wird die meiste Energie übertragen?
Welche Situation gibt der Fall k = 0 wieder?
6. Beim Tennis hat der Ball (m = 0.057kg) eine Geschwindigkeit von
v = 200km/h. Ein Tennisschläger hat eine Masse von m = 0.33kg.
Beim Schwung besitzt der Tennisschläger eine Geschwindigkeit von ca.
v = 10m/s.
(a) Welche Geschwindigkeit besitzt der Ball und der Schläger nach dem
Stoss?
(b) Nehme an, dass der Stoss gleichmässig während 0.1 s erfolgt, wie
gross ist die Kraft die während dem Stoss auf den Schläger wirkt?
2.10. STARRER KÖRPER
2.10
37
Starrer Körper
Wir haben bislang nur die Translationsbewegung eines Massenpunktes betrachtet. Körper haben aber eine gewisse Ausdehnung und eine Form, welche sich
unter der Einwirkung von relativ kleinen Kräften nicht ändert. Näherungsweise
ist dies für einen Festkörper der Fall. Wirken Kräfte auf einen Festkörper so
können sie eine Translation aber auch eine Rotation bewirken. Es kommt daher
sehr auf die Kraft und deren Wirkungslinie an, ob ein Körper anfängt zu rotieren. Dabei ist der Begriff das Schwerpunktes wichtig. Ein Körper bestehe aus
den den Massen mi an den Orten ~ri . Dann ist der Schwerpunkt des Körpers ~rS
N
P
durch ~rS =
~
ri mi
i=1
N
P
gegeben, welches einem gewichteten Mittelwert des Ortes
mi
i=1
entspricht.
Beispiele 2.9 Die Erde besitzt eine Masse von mE = 6 · 1024 kg und in einem
Abstand von r = 3850 000km rotiert der Mond (mM = 7 · 1022 kg) um die Erde
herum. Ist der Schwerpunkt von diesem System innerhalb oder ausserhalb der
Erde (Radius:6 · 106 m)?
Wir wählen das Koordinatensystem so, dass die Erde im Nullpunkt
und
0
der Mond auf der positiven x−Achse liegt. Damit ergibt sich ~rE =
,
0
6
6
24
22
385 · 10
4.4 · 10
rM
E +7·10 ~
=
. Mithilfe des
~rM =
und ~rS = 6·10 m~rE
+mM
0
0
Betrages von ~rS −~rE , welches 4.4·106 m ergibt, sieht man, dass der Schwerpunkt
innerhalb der Erde liegt.
Bei einem ausgedehnten Körper dürfen die Kräfte nur direkt addiert werden,
wenn sie am gleichen Punkt angreifen.
Falls die Kräfte nicht am gleichen Punkt angreifen, werden die Vektoren im
Schnittpunkt ihrer Wirkungslinien addiert. Das heisst die resultierende Kraft
ist gleich der Summe der Kräfte und der Angriffspunkt ist im Schnittpunkt der
Wirkungslinie.
Die sich Parallelen definitionsgemäss nie schneiden, muss für parallel angreifende Kräfte eine Hilfskraft eingeführt werden. Als erstes werden wird eine der
beiden Kräfte, z.B. F~1 so verschoben, dass die beiden Vektoren senkrecht auf
der Verbindungslinie stehen. Anschliessend addieren wir zu beiden Kräften eine
Hilfskraft in der Richtung der Verbindungslinie, sodass sich diese beiden Kräfte
gegenseitig aufheben. Diese beiden Kräfte wirken damit nicht auf den Körper.
Die neuen so erhaltenen Kräfte können nun wie vorher auf der Wirkungslinie
verschoben und addiert werden. Es stellt sich heraus, dass der resultierende Vektor wieder die Summe der beiden Kräfte ist.
Betrachten wir einmal die Energie eines starren Körpers. Die kinetische Energie eines starren Körpers, der um eine Rotationsachse dreht und aus N Teilchen
besteht ist durch die kinetische Energie seiner Bestandteile gegeben. Wie wir gesehen haben berechnet sich die kinetische Energie einer sich bewegenden Masse
38
KAPITEL 2. MECHANIK
2
mittels Ekin = m2v . Nehmen wir nun einmal an, dass der Körper aus verschiedensten Teilchen der Masse mi und dem Abstand ri von der Rotationsachse
besteht. Die Geschwindigkeit vi des einzelnen Masseteilchens i lässt sich aus der
Winkelgeschwindigkeit ω der Rotationsbewegung und dem Abstand von der Rotationsachse berechnen. Daraus ergibt sich eine Gesamtenergie(ohne kinetische
Energie der Translation) von:
Korollar 2.1 (Rotationsenergie des starren Körpers)
N
N
N
P
P
2 P
mi vi2
mi ω 2 ri2
=
= ω2
E=
mi ri2 = 12 ω 2 I
2
2
i=1
i=1
Die Konstante I =
i=1
N
P
i=1
mi ri2 wird Trägheitsmoment genannt und ist eine
typische Grösse für einen starren Körper. Falls der starre Körper nicht aus einzelnen Masseteilchen, aber aus einer kontinuierlicher Massenverteilung besteht,
muss die Summe durch das Integralzeichen ersetzt werden.
Beispiele 2.10 (Trägheitsmoment) Wir betrachten nun ein Kohlenstoffmonoxid Molekül, bei welchen der Bindungsabstand 112.8pm beträgt. Wir wollen
nun die verschiedenen Trägheitsmomente berechnen, welche durch die Rotationen möglich sind. Wir können das Molekül um die Symmetrieachse oder senkrecht dazu rotieren (siehe Abbildung 2.9). Definieren wir zuerst die Positionen
der Atome. Wir setzen denSauerstoff
(m = 2.67 · 10−26 kg) in den Ursprung des
0
Koordinatensystems ~rO =
und den Kohlenstoff (m = 2.00 · 10−26 kg) an
0
112.8 · 10−12
die Position ~rC =
. Der Schwerpunkt des Moleküls ist dann
0
4.83 · 10−11
mO ·~
rO +mC ·~
rC
an der Position ~rS =
=
. Nun berechnen wir
mO +mC
0
das Trägheitsmoment der Rotation um die Symmetrieachse. Dieses Trägheitsmoment ist 0, da der Abstand der Atome von der Rotationsache bei beiden 0
ist. Beim anderen Fall ist der Abstand des Sauerstoffatoms von der Rotationsachse gleich rO = |~rO − ~rS | = 4.83 · 10−11 und derjenige des Kohlenstoffatoms
ist rS = |~rC − ~rS | = 6.45 · 10−11 . Damit berechnet man ein Trägheitsmoment
2
2
+ mC · rC
= 1.45 · 10−46 .
von I = mO · rO
Falls der Körper nicht um eine Achse rotiert, welche durch den Schwerpunkt
verläuft, ändert sich das Trägheitsmoment.
Satz 2.10 (Satz von Steiner) Sei IS das Trägheitsmoment des Körpers,
wenn er um eine Achse rotiert, welche durch den Schwerpunkt verläuft, h der
Abstand der Rotationsachse von dem Schwerpunkt und m die Masse des starren Körpers, dann ist das Trägheitsmoment des Körpers um diese Achse durch
I = IS + m h2 gegeben.
In der folgenden Tabelle sind einige Trägheitsmomente aufgelistet. Diese
können mithilfe der Integralrechnung berechnet werden.
39
2.10. STARRER KÖRPER
Abbildung 2.9: Rotationsmöglichkeiten des CO Moleküls
Körper
Trägheitsmoment
Massenpunkt
I=0
Kugel mit Radius r
I = 25 m r2
Zylinder mit Drehachse parallel
I = 12 m r2
zur Körperachse und Radius r
1
Zylinder mit Drehachse senkrecht
I = 14 m r2 + 12
m l2
zur Körperachse und Rad. r und Höhe l
Wir können nun etwas ähnliches wie den Impuls für die Drehbewegung definieren. Diese Grösse wird Drehimpuls ~l genannt. Der Drehimpuls für einen
Massenpunkt wird folgendermassen definiert.
Definition 2.5 (Drehimpuls)
~l = ~r × p~
Das × ist das sogenannte Vektorprodukt. Bei diesem kommt es auf den Zwischenwinkel zwischen den beiden Vektoren an. Ist dieser Winkel 0 oder 180 Grad
so ist dieses Produkt 0. Der resultierende Vektor ist senkrecht auf der Ebene, die
von den beiden anderen Vektoren aufgespannt wird und ändert seine Richtung
um 180 Grad, falls die Reihenfolge der Multiplikation vertauscht wird. Falls der
Zwischenwinkel 90 oder 270 Grad ist, so besitzt der resultierende Vektor einen
Betrag, welcher der Multiplikation der Beträge der beiden Vektoren entspricht.
Betrachten wir nun die zeitliche Änderung dieser Grösse. Leider muss ich ihnen
dieses Resultat einfach so ohne Herleitung angeben.
Definition 2.6 (Drehmoment)
~ = ~l˙ = ~r × F~
M
40
KAPITEL 2. MECHANIK
Man sieht nun, dass der Drehimpuls konstant ist, falls keine Kräfte an dem
Körper angreifen. Das erhaltene Produkt wird Drehmoment genannt und es ist
nicht nur von der Grösse der Vektoren ~r und F~ abhängig sondern auch von der
relativen Ausrichtung der beiden zueinander. Das grösste Drehmoment wirkt,
falls die Kraft und der Radius senkrecht aufeinander stehen. Die Projektion des
Kraftvektors in tangentialer Richtung wird Tangentialkomponente genannt, wir
~ genau
bezeichnen sie mit FT . Es gilt, dass der Betrag des Drehmomentes M
dem Produkt aus der Tangentialkomponente des Kraftvektors multipliziert mit
dem Radius ist. Dies ist nichts anderes als das bekannte Hebelgesetz.
~
M = FT · |~r|
N
~ = P ~li ist dann die SumDer gesamte Drehimpuls eines starren Körpers L
k=1
me der Drehimpulse aller Drehimpulse der Massenpunkte des starren Körpers
~li . Eine ähnliche Rechnung wie oben ergibt, dass der gesamte Drehimpuls des
~ = Iω
starren Körpers gleich L
~ ist. Wir mussten dabei die Winkelgeschwindigkeit als Vektor definieren. Dieser Vektor zeigt in Richtung der Rotationsache
und der Betrag entspricht genau der geläufigen Winkelgeschwindigkeit.
Auch dieser Drehimpuls kann nur durch ein Drehmoment geändert werden,
~
da die Änderung des Drehimpulses in der Zeit durch ddtL gegeben ist. Dies ergibt
~˙ = I · dω und andererseits entspricht es genau dem Drehmoment
einerseits L
dt
~ . Es zeigt sich also, dass die Winkelgeschwindigkeit eines starren Körpers nur
M
durch eine äussere Kraft, genauer gesagt einem Drehmoment, geändert wird, da
das Trägheitsmoment ja konstant ist. Es gilt also:
I·
dω
dt
~
=M
41
2.10. STARRER KÖRPER
Bemerkung 2.4 (Drehimpuls) Man beachte hier, dass die obige Gleichung
für Vektoren gilt. Damit ergibt sich, dass ein starrer Körper bewegen ausführt,
die gegen die Intuition sind. Wir wollen nun 1-2 Spezialfälle der Rotation eines
starren Körpers betrachten.
1. Bewegung ohne Einwirkung einer Kraft
Die Rotationsachse eines sich drehenden Körper wird ohne Einwirkung
eines Drehmomentes beibehalten. Dieser Effekt wird beim Kreiselkompass
in Flugzeugen benutzt. Dabei wird ein Kreisel leicht drehbar aufgehängt
und die Drehachse anfangs nach Norden ausgerichtet. Der Kreisel behält
seine Richtung bei, wie man das Gehäuse auch bewegt.
Diese Sicht eines Kreiselkompasses ist ein bisschen zu vereinfacht, aber
wir wollen es hierbei belassen.
Dies ist die Erhaltungsgrösse für die Rotationsbewegung und
ist damit gleich wichtig in der Physik wie der Impuls oder die
Energie.
2. Drehmoment parallel zur Rotationsache
Wirkt das Drehmoment parallel zur Rotationsachse so kann die obige
~
Beziehung I · dω
dt = M skalar betrachtet werden. Dann beobachtet man die
gleichen Phänomene, wie bei der Translation. Die Roationsgeschwindigkeit wird also vergrössert oder verkleinert.
3. Drehmoment senkrecht zur Rotationsache
In diesem Fall wird die Richtung der Rotationsachse permanent geändert.
Dieses Phänomen wird Präzesion genannt.
In der unten stehenden Tabelle wird die Drehbewegung mit der Rotationsbewegung verglichen. Es zeigt sich, dass das Trägheitsmoment die Rolle der Masse
einnimmt.
Drehbewegung
Drehwinkel
φ
Winkelgeschwindigkeit
ω
Winkelbeschleunigung
α
Drehmoment
M = FT r
Trägheitsmoment
I
Energie
E = 12 I ω 2
Drehimpuls
L=Iω
2. Newton’sches Axiom dL
dt = M
Translationsbewegung
Ort
x
Geschwindigkeit
v
Beschleunigung
a
Kraft
F
Masse
m
Energie
E = 21 m v 2
Impuls
p = mv
2. Newton’sches Axiom dp
dt = F
42
KAPITEL 2. MECHANIK
Rechnungen 2.13 (Rotationsbewegung)
1. Rollt eine Kugel oder ein Zylinder mit Masse m und Dichte ρ schneller
eine Rampe herunter?
Diese Frage lässt sich einfach mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes lösen.
Wir nehmen an, dass der Körper am Anfang eine Höhe von 0 hat und
am Schluss eine Höhe von h. Die Energie am Anfang ist für den Zylinder
und die Kugel Eanf = 0. Am unteren Ende ist die Energie des Zylinders
2
2
2
2
EZ = m2v + IZ2ω − mgh und die der Kugel EK = m2v + IK2ω − mgh.
2. Es greift eine Kraft F1 an einem starren Körper an. Wann bewirkt diese nur eine Rotationsbewegung, wann nur eine Translationsbewegung und
wann beide Bewegungen?
3. Wir haben 2 Eier und wissen dass eines davon gekocht und das andere roh
ist. Nun wollen wir herausfinden, welches gekocht ist ohne die beiden Eier
zu zerstören. Was können wir tun?
4. Ein hantelförmiger Körper besteht aus zwei kleinen Kugeln mit den Massen m1 = 2kg und m2 = 8kg, die an den Enden einer 1 m langen Stange
angebracht sind. Berechnen sie zuerst den Schwerpunkt des Systems. Berechnen sie anschliessend das Trägheitsmoment dieses Körpers zur Rotationsachse, welche senkrecht zur Verbindungslinie ist und durch m1 , m2
oder durch den Schwerpunkt geht. Kennen sie eine Analysemethode welche
genau auf solchen beruht?
5. Ein Schwungrad (I = 10kgm2 ) wird durch ein Drehmoment M = 5N m
angetrieben. Welche Winkelgeschwindigkeit hat es nach 20 Sekunden?
6. Warum zieht ein Turner bei einem Salto die Arme und die Beine an den
Körper?
Kapitel 3
Eigenschaften von festen,
flüssigen oder gasförmigen
Körpern
Bisher haben wir die Mechanik von Massenpunkten und starren Körpern betrachtet. Doch selbst starre Körper lassen sich unter der Einwirkung von Kräften
deformieren. Offenbar bestehen diese Körper aus mikroskopischen Bestandteilen die durch innere Kräfte aneinander gehalten werden. Durch die Anwendung
hinreichend starker äusserer Kräfte lässt sich so ein Körper in seine Bestandteile
zerlegen. Diese inneren Kräfte und seine Bestandteile bestimmen weitgehend die
Eigenschaften makroskopischer Materie (z.B. Aggregatzustand, Dichte, Elastizität,Viskosität u.v.m.).
3.1
Dichte, Druck und Auftrieb
Das Verhältnis von Masse m zu dem Volumen V einer Substanz wird als die
Massendichte ρ bezeichnet.
ρ=
m
V
In Flüssigkeiten reichen molekulare Kräfte aus um die Teilchen trotz der
thermischen Bewegung aneinander zu binden. Die Moleküle liegen also eng beieinander, lassen sich aber dennoch leicht gegeneinander bewegen. Eine Flüssigkeit ist daher nahezu inkompressibel, passt sich aber jeder Form an. Gase dagegen habe die Eigenschaft, dass sie sich leicht zusammenpressen lassen. Diese Eigenschaft deutet an, dass bei Gasen der mittlere Molekülabstand relativ
gross ist. Die Moleküle haben somit fast keine Wechselwirkung untereinander,
ausser bei elastischen Stössen. Diese sind relativ häufig, da die Gasmoleküle
sich sehr schnell bewegen. Der grosse mittlere Abstand der Gasmoleküle führt
zwangsläufig auf eine viel kleinere Dichte. Bei Gasen ist diese etwa 1000 mal
kleiner als bei Flüssigkeiten oder Festkörpern.
Bevor wir den statischen Auftrieb betrachten, müssen wir noch den wichtigen
43
44KAPITEL 3. EIGENSCHAFTEN VON FESTEN, FLÜSSIGEN ODER GASFÖRMIGEN KÖRPERN
Begriff des Druckes einführen.
Eine Flüssigkeit oder ein Gas übt bekanntlich einen Druck auf die Wände aus.
Die Ursache davon ist, dass die Moleküle dauernd mit der Wand kollidieren
und dabei einen elastischen Stoss erfahren. Dieser Stoss bewirkt eine Kraft.
Das Verhältnis dieser Kraft zu der Fläche wird Druck genannt und mit dem
Buchstaben p (pressure) abgekürzt.
Definition 3.1 (Druck)
p=
Druck =
Betrag der Kraft senkrecht zur Fläche
Grösse der Fläche
F⊥
A
Die Masseinheit des Druckes ist 1N/m2 , sie wird auch als 1 Pascal (Pa)
bezeichnet.
Bemerkung
Es werden häufig auch andere Einheiten verwendet, wie Torr oder Bar. Diese
haben einen historischen Hintergrund. Das Bar entspricht ziemlich genau dem
Luftdruck auf der Erde (1bar = 105 P a). Auf den Bezug der Einheit Torr zum
Luftdruck werden wir später zurück kommen.
Betrachten wir einen Kolben K1 mit der Querschnittsfläche A1 , welcher mit
einem anderen Kolben mit Querschnittsfläche A2 gekoppelt ist. Presst man nun
den Kolben 1 mit der Kraft F1 um die Strecke ∆s1 in das Gefäss, so wird
der Kolben 2 mit der Kraft F2 um die Strecke ∆s2 herausgedrückt. Da die
Flüssigkeit keine Energie speichern kann und ihr Volumen konstant ist, gelten
die beiden folgenden Gleichungen:
F1 ∆s1 = F2 ∆s2
A1 ∆s1 = A2 ∆s2
Die erste Gleichung ist nichts anderes als die Energieerhaltung und bei der
2. Gleichung handelt es sich um die Erhaltung des Volumens. Dividieren wir
F1
F2
nun die 1. Gleichungen durch die 2. Gleichung, so erhalten wir A
= A
und
1
2
somit, dass der Druck in der Flüssigkeit überall gleich gross ist. Gase sind nicht
inkompressibel und somit gilt streng genommen dieses Resultat für Gase nicht.
Korollar 3.1 (Druck in einer Flüssigkeit) Der Druck in einer Flüssigkeit, die nicht in einem Schwerefeld ist, ist in der ganzen Flüssigkeit gleich
gross.
Betrachten wir einmal einen Würfel mit Würfellänge a in einer Flüssigkeit.
Über dem Würfel steht eine Flüssigkeitssäule der Höhe h. Die Masse dieser Säule
beträgt m = a2 h ρ. Dabei ist ρ die Dichte der Flüssigkeit. Die Gewichtskraft
beträgt F = mg = a2 h ρ g. Somit übt die Flüssigkeitssäule einen Druck von
p= F
A = g ρ h von oben auf die Fläche aus. Dies würde einer Beschleunigung
ergeben. Wir wissen aber, dass der Block in Ruhe ist und daher muss eine Kraft
von unten nach oben wirken, welche von der Elastizität her kommt. Somit kommen wir zum Schluss, dass in einer Flüssigkeit in in der Tiefe h ein Druck von
3.1. DICHTE, DRUCK UND AUFTRIEB
45
p = ρ g h herrscht und dass dieser in alle Richtungen wirkt.
Eine Folge dieses Druckes ist der statische Auftrieb von dem im berühmten
Archimedischen Prinzip die Rede ist.
Korollar 3.2 (Archimedisches Prinzip) Ein Körper, der in eine Flüssigkeit getaucht ist, erfährt eine Kraft nach oben, die gleich dem Gewicht der
verdrängten Flüssigkeitsmenge ist.
Wir betrachten ein Körper mit Grundfläche A und Höhe h von dem die obere
Kante um H eingetaucht ist. Es wirkt eine Kraft von Fo = gρ A H auf die obere
Kante und eine von Fu = gρ A (H + h) auf die untere Kante. Somit erhält man
eine Kraftdifferenz von ∆F = gρ A h = gρ V .
46KAPITEL 3. EIGENSCHAFTEN VON FESTEN, FLÜSSIGEN ODER GASFÖRMIGEN KÖRPERN
Rechnungen 3.1
1. Der Kopf eines Reissnagels hat eine Fläche von 1cm2 . Der Querschnitt
der Reissnagelspitze beträgt 0.1 mm2 . Wieviel grösser ist der Druck an
der Spitze pS als am Kopf pK des Reissnagels.
2. Die beiden Kolben einer hydraulischen Presse haben die Flächen A1 bzw.
A2 . In welchem Verhältnis stehen die Kräfte F1 und F2 ?
3. Die Dichte eines Menschen beträgt näherungsweise 1.1 kg/l. Die Anziehungskraft auf dem Mond beträgt ca. 1/6 derjenigen der Erde. Was für
eine Dichte muss eine Flüssigkeit besitzen, damit ein tauchender Mensch
die gleiche Schwerkraft spürt wie auf dem Mond.
4. Unter welchem Druck muss die Pressluft eines Unterseebootes zumindest
stehen, wenn sie noch in 200 m Tiefe das Wasser aus den Tanks pressen
soll.
5. Warum versinkt ein Wanderer im Schnee, ein Schneeschuhläufer jedoch
nicht?
6. Der Druck in einer Wasserleitung betrage 4.3 bar. Welche Kraft braucht
man, um mit dem Daumen an einem geöffneten Hahn von 1.4cm2 Querschnitt das Ausfliessen zu verhindern?
Welche Kraft wäre hierzu am Hydrantanschluss von 25cm2 Querschnitt
nötig?
7. Wie ändert sich die Tauchtiefe eines Schiffes, wenn es von einem Strom
(Süsswasser) in das Meer ausläuft?
8. Wir wollen die Dichte eines Baumstammes bestimmen. Dieser befindet
sich im Wasser und wir kennen die Dichte dieses Wassers Wir sind aber
nicht stark genug diesen auf eine Waage zu heben. Wie können wir das
bewerkstelligen?
3.2
Elastizität
Wenn auf einen realen Körper Zug-, Druck- oder Scherkräfte wirken ändert er
seine Form. Nimmt der Körper seine ursprüngliche Form wieder an, nachdem
die Kräfte nicht mehr wirken, so nennen wir ihn elastisch. Die meisten Körper
sind elastisch solange diese Kräfte einen Maximalwert nicht überschreiten. Diesen Maximalwert nennen wir Elastizitätsgrenze.
Betrachten wir einmal einen metallischen Stab und ziehen ihn in die Länge.
Der Bruchteil ∆l/l der Verlängerung heisst relative Längenänderung oder Dehnung ε = ∆l/l. Das Verhältnis der Kraft F zur Querschnittsfläche A nennt man
Zugspannung σ = F
A . Bis zu einer gewissen Zugspannung ist die Dehnung ε
linear zur Zugspannung. Dieses Verhalten nennt man Hooke’sches Gesetz. Dieser Zusammenhang gilt nicht nur für Stäbe, aber auch für Spiralfedern. Wird
die Feder über die Elastizitätsgrenze gedehnt,bleibt sie dauernd verformt. Zieht
man noch stärker an dem Körper wird er noch länger, bis er einem Maximalwert
47
3.2. ELASTIZITÄT
erreicht und dann später sogar eine Volumenkontraktion erleidet. Diesen Effekt
führt man auf eine Umgruppierung der molekularen Struktur zurück. Zieht man
noch stärker reisst er schlussendlich. Das Verhältnis der Spannung zur Dehnung
ist im Gültigkeitsbereich des Hooke’schen Gesetzes eine Materialkonstante und
wird Elastizitäts- oder E-Modul E genannt.
Definition 3.2 (E-Modul) Das E-Modul ist die Proportionalitätskonstante
, welche die relative lineare Ausdehnung unter einer Zugspannung beschreibt.
F/A
E = σε = ∆l/l
Die Elastizitätsmodule sind typischerweise relativ grosse Zahlen, z.B. Aluminium 70GP a, Eisen 220GP a.
Eine Zugspannung bewirkt nicht nur eine Längenzunahme eines Stabes, sondern zusätzlich nimmt auch die Dicke d des Stabes ab. Hier betrachtet man die
Kontraktion proportional zur Dehnung ∆l/l. Diese Materialkonstante wird Poisson’sche Zahl µ genannt.
Definition 3.3 (Poisson’sche Zahl)
µ = − ∆d/d
∆l/l
Das negative Vorzeichen kommt davon, dass ∆d/∆l immer negativ ist. Betrachten wir nun die Volumenänderung aufgrund einer Zugspannung.
∆V = (d + ∆d)2 · (l + ∆l) − d2 l ≈ d2 ∆l + 2d∆dl
Daraus erhält man eine relative Volumenänderung von:
∆V
V
=
∆l
l
+ 2 ∆d
d =
∆l
l (1
− 2µ)
Falls die Poisson’sche Zahl grösser als 0.5 ist, nimmt das Volumen ab und
sonst zu.
Aus diesen Materialkonstanten lässt sich die Kompressibilität von einem Material berechnen. Die Kompressibilität κ ist gegeben durch ∆V
V = −κ∆p. Diese
besagt, wie sich das Volumen unter einem äusseren Druck ändert. Man erhält
mit der obigen Gleichung einen einfachen Ausdruck für die Kompressibilität.
κ = − (1−2µ)
[P a−1 ]
E
Man kann einen Körper noch durch eine andere Kraft beanspruchen (siehe
Abbildung 3.1). Dazu benutzt man eine Scherkraft die an einem Deckel angreift.
Im Unterschied zu den anderen betrachteten Kräften wirkt sie tangential. Das
Verhältnis der Scherkraft zur Fläche A heisst Scherspannung τ .
Die Scherspannung bewirkt eine Scherung. Ein Mass für diese Verformung
ist der Scherwinkel φ mit der Scherung γ = tan(φ). Man berechnet sie aus dem
Verhältnis der Verschiebung ∆x und der Höhe l.
γ = ∆x
l
48KAPITEL 3. EIGENSCHAFTEN VON FESTEN, FLÜSSIGEN ODER GASFÖRMIGEN KÖRPERN
Das Verhältnis von Scherung zur Scherspannung ist auch hier eine Materialkonstante , die man Schub- oder Torsionsmodul G nennt. Betrachte zur Illustration der Torsion die Grafik 3.1.
Abbildung 3.1: Illustration der Winkel der Torsion.
Definition 3.4 (Torsionsmodul)
G=
τ
γ
=
FT /A
∆x/l
Bemerkungen
Die 3 oben genannten Materialkonstanten sind nicht unabhängig voneinander. Es gilt:
G=
E
2(1+µ)
3.3. OBERFLÄCHENSPANNUNG
49
Rechnungen 3.2
1. Ein Eisenstab von quadratischem Querschnitt 1×1cm2 sei an einem Ende
eingespannt und werde am anderen Ende mit F = 1000N zusammengedrückt. Das Elastizitätsmodul sei E = 1.8 · 1011 N/m2 , die Poissonzahl
µ = 0.2. Berechnen Sie daraus:
(a) die relative Verkürzung ∆l/l
(b) die relative Verbreiterung ∆d/d
(c) die relative Volumenänderung ∆V /V
(d) die Kompressibilität κ des Eisens
2. Ein Draht der ursprünglichen Länge l0 = 10m ist an einem Ende befestigt
und wird an seinem anderen Ende durch eine Kraft von F = 20N in
Längsrichtung gespannt, wobei er eine Längenänderung von ∆l = 0.4cm
erfährt. Ermitteln Sie den ursprünglichen Durchmesser des Drahtes sowie
seine Änderung bei der Streckung, wenn der Elastizitätsmodul E = 20 ·
1011 N/m2 und sein Schubmodul G = 7.5 · 1011 N/m2 beträgt!
3. Wie gross ist die Verlängerung eines Stabes der Länge l und der Querschnittsfläche A unter dem Einfluss seines Eigengewichtes, wenn er an
einem Ende befestigt ist und seine Dichte ρ und sein Elastizitätsmodul E
gegeben sind? Nehme zur Vereinfachung an, dass das ganze Gewicht am
Ende des Stabes hängt.
4. Wie gross ist die Volumenänderung eines prismatischen Eisenstabes mit
den ursprünglichen Massen (a0 × b0 × c0 = 1 × 0.1 × 0.1m3, wenn der Stab
in seiner Längsrichtung mit einer Zugspannung von σ = 1kN/m2 belastet
wird? Den Elastizitäts- und den Schubmodul des Eisens (E, G) entnehmen
Sie bitte Aufgabe 1.
3.3
Oberflächenspannung
Eine Flüssigkeit besteht aus Molekülen die wechselwirken und leicht verschiebbar sind. Die molekularen Anziehungskräfte machen sich bei der Oberflächenspannung bemerkbar. Betrachten wir dazu einen U-förmig gebogenen Draht mit
beweglichem Quersteg. Tauchen wir nun diesen Steg in Seifenwasser. Nach dem
herausziehen ist über dem Draht bis zum Steg eine Seifenhaut gespannt. Die auf
den Steg eine Zugkraft ausübt, so dass die Wasserhaut verkleinert wird. Durch
eine zur Länge des Steges proportionalen Kraft kann das zusammenziehen verhindert werden.
Nehmen wir einmal an, dass die Kraft die Form F = 2σl hat, mit der Oberflächenspannung σ. Um zu verstehen wie diese Kraft zustande kommt, betrachten wir zuerst einmal ein Molekül in der Flüssigkeit. Dieses besitzt ‘nur‘ Nachbarmoleküle der Flüssigkeit, also alles gleiche Moleküle. Diese üben alle dieselbe
Kraft auf das Molekül aus (siehe rechte Seite Abbildung 3.3).Betrachten wir nun
ein sich am Rande befindende Molekül. Da dieses Molekül am Rande ist besitzt
es einerseits Nachbarmoleküle der Flüssigkeit und andererseits Nachbarmoleküle
50KAPITEL 3. EIGENSCHAFTEN VON FESTEN, FLÜSSIGEN ODER GASFÖRMIGEN KÖRPERN
Abbildung 3.2: Illustration des Experimentes.
der Gasphase. Die Kräfte der Moleküle aus der Gasphase sind anders als diejenigen der Flüssigkeit und daher spürt dieses Molekül insgesamt eine Kraft.
Um also aus einem inneren Molekül ein äusseres zu machen, muss man also
Arbeit verrichten oder man erhält Arbeit. Diese Arbeit ist proportional zur
Oberflächenänderung ∆W = σ∆A.
Nun stellen wir uns vor, dass der Steg in unserem Beispiel um ∆z verschoben
wird, die dazugehörige Arbeit ist WV = F ∆z = 2σl∆z, woraus sich die oben
genannte Kraft ergibt.
Betrachten wir nun eine Flüssigkeit in einem Gefäss. Die Moleküle der Flüssigkeit haben nun auch noch die Möglichkeit in der Nachbarschaft der Wandmoleküle zu sein. Diese wirken mit einer anderen Kraft auf die Flüssigkeitsmoleküle
und somit braucht es eine andere Arbeit um die Grenzfläche zwischen Wand und
Flüssigkeit zu vergrössern. Die Arbeit ∆W = σ 0 ∆S ist wie vorher proportional
zur Flächenänderung und ist abhängig von den beiden Materialien. Die Materialkonstante σ 0 wird Koeffizient der Grenzflächenspannung genannt. Dieser
Koeffizient kann positiv oder negativ sein, je nachdem welche Anziehungskraft
grösser ist. Eine negatives σ 0 bedeutet dass Energie frei wird, falls die Fläche vergrössert wird. Da eine Energieabgabe erfolgt, erfolgt dieser Vorgang von selbst,
daher benetzt die Flüssigkeit die Wand für σ 0 < 0. z.B. wird Glas von Wasser
benetzt aber von Quecksilber nicht.
3.3. OBERFLÄCHENSPANNUNG
51
Gasphase
Fluessigphase
Abbildung 3.3: Illustration der auf die Flüssigkeitsmoleküle wirkenden Kräfte.
Beispiele 3.1
1. Steighöhe einer Flüssigkeit
In einem Glasrohr mit Innendurchmesser r, das in einer Wasserschale
steht, steigt die Flüssigkeit mit der Oberflächenspannung σ in die Höhe
h, weil es die Kapilarwände benetzt. Wir wählen den Nullpunkt des
Koordinatensystems so, dass dieser auf der Höhe der ausserhalb der
Kapilare liegenden Flüssigkeitsoberfläche liegt (siehe Abbildung 3.4). Die
Steighöhe der Flüssigkeit h stellt sich so ein, dass die Energie des Systems
minimiert wird. Der Anteil der Energie, welcher durch die Oberflächenspannung der Flüssigkeit zustandekommt ist unter Vernachlässigung der
Oberflächenspannung zwischen der Luft und dem Glas gegeben durch
Eσ = σ2πrh und diejenige der potentiellen Energie der Flüssigkeit im
Rohr Epot = V ρ h2 g = πr2 hρ h2 g. Der Faktor 12 kommt von davon, dass
man den Schwerpunkt der Flüssigkeit betrachten muss. Man erhält also
2
für die gesamte Energie E = σ2πrh + πr2 ρ h2 g. Das Minimum der
2σ
Energie bezüglich der Höhe ist bei h = − ρgr
.
Es könnte einem das Minuszeichen irritieren, aber wir haben oben schon
erwähnt, dass die Oberflächenspannung von benetzenden Flüssigkeiten negativ ist. Man beachte auch die Figur 3.4.
2. Seifenblase
Die Seifenblase besitzt eine Kugelform, weil dies die Oberfläche ist,
welche für ein gegebenes Volumen die kleinste Oberfläche aufweist. Man
kann nun analog der obigen Herleitung die Energie einer Seifenblase mit
Radius r berechnen, wobei wir die Oberflächenspannung und die Energie
um ein Gas zusammenzupressen berücksichtigt.
Man erhält eine Energie
3
4πr
2
unter der Annahme, dass das
von E(r) = 4π · r · σ − n · R · T ln
3
Gas sich ideal verhält. Der Druck in der Seifenblase mit einem Radius r
berechnet sich dann analog zu oben. Dieser Druck ist durch p = 2σ
r gegeben.
52KAPITEL 3. EIGENSCHAFTEN VON FESTEN, FLÜSSIGEN ODER GASFÖRMIGEN KÖRPERN
Abbildung 3.4: Steighöhe einer Flüssigkeit in einer Kapilare.
Rechnungen 3.3 (Oberflächenspannung)
1. Bei 30◦ C hat Ethanol (in Kontakt mit Glas) eine Oberflächenspannung
von σ = −2.189 · 10−2 N/m und eine Dichte von 0.780g/cm3 .
(a) Wie hoch steigt Ethanol in einer Kapilare von 0.20mm Innendurchmesser?
(b) Welcher Druck wäre aufzuwenden, um den Meniskus auf die Höhe
der umgebenden Flüssigkeit herabzudrücken?
Anmerkung
Achtung die Oberflächenspannung ist immer von 2 Medien abhängig. In der
Literatur wird häufig das 2. Medium nicht angegeben, aber es wird angenommen, dass es sich um das Vakuum handelt.
3.4. VISKOSITÄT
3.4
53
Viskosität
Bis jetzt haben wir 2 Phänomene behandelt, die mit zwischenmolekularen Kräften zusammenhängen: Die Elastizität und die Oberflächenspannung. Zwischenmolekulare Kräfte manifestieren sich auch in der Viskosität oder inneren Reibung von Flüssigkeiten und Gasen. Betrachten wir einmal 2 parallele Platten
der Fläche A im Abstand d voneinander. Im Zwischenraum befinde sich eine
Flüssigkeit. Die obere Platte bewege sich mit der Geschwindigkeit v. Die obere
Flüssigkeit macht die Bewegung mit und nach unten nimmt die Geschwindigkeit linear ab, sodass sie bei der unteren Platte 0 beträgt. Wenn keine Kraft
auf die obere Platte wirkt, kommt sie wegen der inneren Reibung zur Ruhe.
Die erforderliche Kraft F ist proportional zur Fläche A und zur Geschwindigkeit und indirekt proportional zum Abstand d. Die Proportionalitätskonstante
Ns
η[ m
2 ] wird Viskosität genannt.
F =
ηAv
d
Durch eine solche Anordnung kann die Viskosität einfach gemessen werden.
Die Viskosität ist stark von der Temperatur abhängig und nimmt normalerweise
mit steigender Temperatur ab.
Es existieren hier 3 wichtige Gesetze.
1. Das Hagen-Poiseuillische Gesetz
Wir betrachten eine unter Druck ∆p durch ein Rohr der Länge l mit Radius r gepresste Flüssigkeit mit Dichte ρ und Viskosität η. Es stellt sich
nun die Frage, wie das Geschwindigkeitsprofil im Rohr aussieht und was
für ein Volumenfluss herrscht, falls die Flüssigkeit keine Wirbel aufweist.
Es ergibt sich, dass im Abstand s von der Rohrachse die Flüssigkeit mit
∆p 2
(r − s2 )
der Geschwindigkeit v(s) = 4ηl
Daraus lässt sich der V̇ Volumendurchfluss errechnen.
V̇ =
πr 4 ∆p
8ηl
Eine direkte Konsequenz daraus ist, dass z.B. falls der Radius r eines
Blutgefässes sich halbiert der Blutdruck um den Faktor 16 zunehmen muss,
um den gleichen Volumenfluss zu erhalten.
2. Das Reibungsgesetz von Stoke’s
Eine Kugel mit Radius r, die sich durch eine Medium der Viskosität η bewegt, erfährt eine zur Geschwindigkeit ~v entgegengesetzt gerichtete Kraft.
F~ = −6 πηr~v
54KAPITEL 3. EIGENSCHAFTEN VON FESTEN, FLÜSSIGEN ODER GASFÖRMIGEN KÖRPERN
3. Widerstandsbeiwert
Das Gesetz von Stoke’s und dasjenige von Hagen-Poiseuill gilt nur für
den Fall, dass die Strömung laminar ist. Wir werden im folgenden Kapitel sehen, was dies heisst. Kurz gesagt heisst das, dass die Geschwindigkeit v klein sein sollte. Für den Fall grosser Geschwindigkeiten gilt dieses
Gesetz nicht mehr. Dann ist die Kraft proportional zur Stirnfläche des
umströmten Körpers, zur Dichte der Flüssigkeit und zur Geschwindigkeit
im Quadrat. Die Proportionalitätskonstante wird Widerstandsbeiwert genannt.
2
F = cW ρv2 A
In der folgenden Tabelle sind einige Widerstandsbeiwerte aufgelistet.
Form
Kugel
Platte
Widerstandsbeiwert
0.47
1.1
Rechnungen 3.4 (Viskosität)
1. Was denken sie, ist die Viskosität von Gasen oder von Flüssigkeiten
grösser? Was denken sie nimmt die Viskosität von Gasen und Flüssigkeiten mit steigender Temperatur zu oder ab?
2. Berechnen sie die Geschwindigkeit die eine frei fallende Kugel (r = 0.1m
und ρ = 8000kg/m3 ) in der Luft (ρ = 1.2kg/m3 ) hat,
(a) unter der Annahme, dass die Kraft nach dem Stoke’schen Gesetz
gegeben ist.Die Viskosität der Luft ist gegeben durch η = 1.5 ·
10−2 mP as.
(b) unter der Annahme, dass die Geschwindigkeit sehr hoch ist. Der cw
einer Kugel ist gegeben durch cw = 0.47.
3.5
Strömungen
Wenn sich Flüssigkeiten und Gase bewegen spricht man von Strömungen. Um
Strömungen sichtbar zu machen, kann man z.B. ein Boot schwimmen lassen. Die
Bahn die eines solches Schiff in einer Strömung hat wird Stromlinie genannt.
Das Bild das sich ergibt, falls man viele solcher Stromlinie in eine Grafik einträgt heisst Stromlinienbild. Dies ergibt einen Eindruck von der Strömung. Ist
das Stromlinienbild zeitlich konstant, so wird die Strömung stationär genannt.
Eine stationäre Strömung bedeutet nicht, dass nichts passiert, die Atome bewegen sich und ändern ihre Geschwindigkeit.
Besitzt die Strömung nun Wirbel, so sind diese nicht stationär und somit ergibt
sich ein zeitabhängiges Bild.
Die Stromlinien gibt keine Information aus, über die Geschwindigkeit der Fluidteilchen, diese ist typischerweise vom Ort abhängig.
3.5. STRÖMUNGEN
55
Wir betrachten nun, wie sich die Strömung ändert, falls man ein Objekt im
Rohr platziert. Im geraden Rohr haben wir parallele Stromlinien. Die Stromlinien zeigen also das Geschwindigkeitsfeld der Flüssigkeit. Bei dem Objekt
werden nun diese Stromlinien zusammengedrückt und schmiegen sich glatt an
den Körper an. Falls sich die Stromlinien nie überschneiden wird eine solche
Strömung laminar genannt. Vergrössert man nun die Geschwindigkeit so wird
die Strömung von Wirbeln durchsetzt und wird turbulent genannt. Ob eine
Strömung laminar oder turbulent ist, kann mit der Reynoldszahl berechnet werden. Ist die Reynoldszahl grösser als ein bestimmter Betrag wird die Strömung
als turbulent angenommen.
Beispiel
Die Reynoldszahl Re ist eine dimensionslose Kennzahl mit welcher abgeschätzt werden kann, ob eine Strömung laminar oder turbulent ist. Sie ist das
Verhältnis von Trägheitskraft ρv, mit der Dichte ρ und der Geschwindigkeit
v, zu der Zähigkeitskraft Lη mit der Viskosität η und der charakteristischen
Länge L. Diese charakteristische Länge ist nur von der Geometrie abhängig. In
einfachen Fällen setzt man für die charakteristische Länge einen Durchmesser
(bei kreisförmigen oder zylindrischen Körpern) ein, bei komplizierteren Körpern
mit allgemeinerer Geometrie kann sie oft nur empirisch bestimmt werden.
Re = ηρ vL
Empirisch wurde festgestellt, dass die Strömung typischerweise laminar ist,
falls die Reynoldszahl kleiner als 1200 ist. Ist die Reynoldszahl grösser so ist
die Strömung üblicherweise turbulent. Dieser Wert 1200 sollte als sehr grobe
Schätzung betrachtet werden.
Wir werden in einem Beispiel die Strömungsverhältnisse in der Aorta untersuchen. Annahmen: d = 2cm, v = 0, 5m/s und η = 4 · 10−3 N s/m2 .
Die Reynoldszahl für diese Strömung beträgt dann Re = 2500. Nach dieser
Abschätzung kann es in der Aorta zur Wirbelbildung kommen.
Die Grundlage, dass man überhaupt etwas aussagen kann, ist die Annahme, dass ähnliche Kräfteverhältnisse zu ähnlichem Strömmungsbildern
führen.
Bernoulli Gleichung
Betrachten wir eine inkompressibel (Dichte ρ ist konstant) Flüssigkeit mit
vernachlässigbarer Viskosität (η = 0) welche laminar durch ein Rohr strömt. Es
zeigen sich Druckunterschiede falls der Rohrdurchmesser und somit die Fliessgeschwindigkeit geändert wird. Die Flüssigkeit wird also im Rohr beschleunigt.
Wegen der mechanischen Grundgesetze wirken also Kräfte auf die Flüssigkeit.
Die nur vom Wasserdruck herrühren können, daher muss dieser an einer Verengung kleiner sein.
Um den Zusammenhang zu finden betrachten wir ein Ausschnitt aus dem
56KAPITEL 3. EIGENSCHAFTEN VON FESTEN, FLÜSSIGEN ODER GASFÖRMIGEN KÖRPERN
Stromlinienbild einer laminaren Flüssigkeit. Nehmen wir an, dass die Flüssigkeit in x-Richtung fliesst. Die Geschwindigkeit und der Druck ist also Abhängig
vom Ort x, v(x) und p(x). Wir betrachten nun ein kleines Volumenelement
∆V = A · ∆x, mit Querschnittsfläche A und fragen nach der Kraft F die der
Druck auf dieses Element ausübt. Wie wir gesehen haben ist die Kraft durch
F = p · A gegeben. Nur eine Druckdifferenz führt zu einer Beschleunigung, da
der statische Druck homogen in der Flüssigkeit wirkt. Die Druckdifferenz zwischen den Punkten x und x + ∆x ist durch ∆F = p(x)A − p(x + ∆x)A ≈
dp
dp
(x)∆xA = − dx
(x)∆V gegeben. Im Volumenelement ∆V befindet sich die
− dx
Masse m = ρ∆V . Wenn ∆F 6= 0 ist, dann wird die Masse beschleunigt. Die
Geschwindigkeit ist eine Funktion des Ortes x. Nun erhält man mit Hilfe der
inneren Ableitung.
dv
dt
=
dv dx
dx dt
=
dv
dx v
=
2
1 d(v )
2 dx
Es ergibt sich mittels dem 2. Newton’schen Gesetz eine Beschleunigung von:
ρ dv 2
2 dx ∆V
dp
= − dx
∆V
Nach Umformung und Integration erhält man die Bernoulli Gleichung:
Satz 3.1 (Bernoulli-Gleichung) p + ρ2 v 2 = p0 In dieser Herleitung gilt
dieser Zusammenhang nur auf einer Stromlinie, es kann aber gezeigt werden,
dass dieser Zusammenhang in der ganzen Flüssigkeit gültig ist.
Wir haben hier den Zusammenhang zwischen inneren Druck und der Fliessgeschwindigkeit gezeigt. Es kann aber ohne Probleme auch noch andere Kräfte
wie die Gravitationskraft oder Reibungskräfte an den Wänden berücksichtigt
werden. Der wichtigste Fall ist sicherlich die Gleichung mit der Berücksichtigung der Gravitationskraft. Man erhält dann:
p + ρ2 v 2 + ρgh = p0 , wobei h die Höhe ist.
3.5. STRÖMUNGEN
57
Rechnungen 3.5 (Strömung)
1. Zwischen zwei planparallelen Platten mit einem gegenseitigen Abstand d
befinde sich eine Flüssigkeit mit der Viskosität η. Die obere Platte werde
mit der Geschwindigkeit vo nach rechts, die untere Platte werde mit der
Geschwindigkeit vu nach links bewegt.
(a) Geben Sie das Geschwindigkeitsprofil für eine laminare Strömung der
Flüssigkeit in Abhängigkeit der z−Koordinate an. (Die z-Achse stehe
senkrecht auf den Platten und habe ihren Nullpunkt an der unteren
Platte.)
(b) Berechnen Sie die Arbeit, die verrichtet werden muss, um Platten der
Fläche A = 100cm2 mit vo = 2vu = 0.5cm/s um 2.5cm gegeneinanNs
Ns
der zu versetzen für Wasser (ηW = 10−3 m
2 ), Honig (ηHo = 10 m2 .
Der Abstand zwischen den Platten betrage d = 1cm.
2. Man stelle einen Föhn so auf, dass er die Luft senkrecht in die Luft blässt.
Nun platzieren wir ein Tischtennisball inmitten des Strahles. Nun kann
man den Ball anstossen und er kehrt normalerweise wieder in die Mitte
des Strahles zurück. Warum ist dies der Fall?
3. Ein Flugzeug misst seine Geschwindigkeit mittels eines Pitotrohres Dabei
wird einmal der Gesamtdruck und einmal der statische Druck gemessen.
Mit Hilfe dieser Grössen kann die Geschwindigkeit berechnet werden.
4. Es stellt sich die Frage, warum ein Flugzeug sich in der Luft hält. Um
diese Frage zu beantworten betrachten wir einen Flügelquerschnitt eines
Flugzeuges. Was fällt auf ? Kann sie sich einen Grund vorstellen?
5. In der Abbildung 3.5 ist ein schematischer Aufbau einer Wasserstrahlpumpe dargestellt. Erklären sie wie diese funktioniert.
58KAPITEL 3. EIGENSCHAFTEN VON FESTEN, FLÜSSIGEN ODER GASFÖRMIGEN KÖRPERN
Abbildung 3.5: Schematischer Aufbau einer Wasserstrahlpumpe
Kapitel 4
Lösungen
Lösungen zu 2.1





x0
vx
x
1. ~r = r~0 + ~v t mit ~r =  y , r~0 =  y0  und ~v =  vy 
z0
z
vz

2. x = x0 + αt2 und y = γt2
−3
3. (a) Nach 10s am Ort ~r =
und am Schluss (b) ~r =
7
3 1
1
2
4. (a) Treffpunkt nach t = 2 s bei ~r =
und (b) ~vN =
, mit
2
0
√
(~v .~n) = −2 und es gilt |~v | = 5.
−8
11
Lösungen zu 2.2
1. a = 0.294 und s = 42.5m
2. t = 63s
3. 7m
Lösungen zu 2.4
1. 39.8 · 103 km
2. τ = 2s
3. ω = 27.8s−1 , τ = 0.226s und |~v | = 5.6m/s
Lösungen zu 2.3
1. Turmspringer
(a) t = 1.41s und v = 14.1m/s
(b) t = 1.52s und v = 14.2m/s
(c) t = 1.52, v = 14.19 und ∆y = 0.76m
59
60
KAPITEL 4. LÖSUNGEN
2. v0 = 22.4m/s und h = 5m
3. Die Verbindungslinie ~r2 −~r1 zeigt immer in die Richtung der Differenz der
Anfangsgeschwindigkeiten. ~r2 − ~r1 = t(~v2 − ~v1 ).
Lösungen zu 2.5
1. Die Trägheit ist verantwortlich.
2. 3.75 · 108 m
3. t = 500s
4. Die Länge der Brücke sei l. Dann ist die Zeit t = 30s +
l
25m/s
5. Ist eine Gerade welche bei s = 200m startet und eine Steigung von 4 61 m/s
besitzt.
6. . . .
7. 4.44s
8. (a) Sie treffen sich 3600s nachdem der 2 LKW gestartet ist. LKW 1 ist
dann 75km von A entfernt. (b)Die LKW’s treffen sich am Schnittpunkt
der beiden Geraden.
9. t = 3 · 107 s (347 Tage) und s = 4.5 · 101 5m oder in Einheiten der Mondentfernung 12 Millionen.
10. (a)a = 7656m/s2 und (b)t = 9.14 · 10−3 s
Lösungen zu 2.6
1. (a)t = 50.8s und (b)a = 1.86m/s2
2. (a) Zuerst wird 6 s beschleunigt, anschliessend folgt eine Phase mit konstanter Geschwindigkeit von 6s und schlussendlich wird innerhalb von 3s
die Bewegung gestoppt.
(b) . . .
(c) Nach 6s s = 36m. Nach 12 s s = 108m und nach 15 s steht es bei
s = 126m
3. . . .
4. Trigonometrische Funktionen nötig. Es ergibt sich eine Geschwindigkeit
von 80km/h.
5. t = 492s
6. v0 = 30m/s und s = 45m
7. (a) 8.16m/s, (b) 49.7m/s und (c) 5.28s
Lösungen zu 2.7
1. (a) 3.49 · 104 m/s, (b) F = 1.13 · 10−2 und (c) geradlinig
2. (a) 3.95 · 104 m/s2 , (b) v = 62.8m/s und (c) τ = 1/100s
61
3. (a) um 1.7% , Grösserer Radius zeigt kleinere Geschwindigkeit an.
4. · · ·
5. (a) Er fährt nach unten. Der Lift fährt mit einer Beschleunigung von
a = 2.14m/s2 an und bremst mit einer Beschleunigung von a = 1.43m/s2 .
(Achtung Vorzeichen, ich habe beide positiv geschrieben obwohl die eine
in die andere Richtung schaut). (b) bleibt bei 70 kg.
6. (a) 1.9m/s, (b) 23.7m/s2 und (c) 2.4 · 10−2 N
Lösungen zu 2.8
1. 0J
2. 3 · 107 J
3.
1
2
2 m(v2
− v12 )
4. ·81kJ
5.
1
2
2 Dx
Lösungen zu 2.9
1. P = 1600W
2. P = 111W um den Pass zu erreichen. P = −33.3W
3. · · ·
4. (a) Die Hubarbeit ist gegeben durch ∆W = mg∆h. Mit Hilfe der Höhe
2
2
h = v0 t − gt2 erhält man ∆W = mg(v0 t − gt2 )
2
(b) Die durchschnittliche Leistung ist gegeben durch ∆W
∆t =
mg(v0 − gt
).
2
(c) Der Stein befindet sich wieder am Boden t = 2vg0 .
mg(v0 t− gt2 )
t
=
Lösungen zu 2.10
1. · · ·
2. Die kinetische Energie ist nie Null, sondern am obersten Punkt der Bahn
minimal und dann ist die potentielle Energie maximal.
3. 2.3 · 108 kg
Lösungen zu 2.11
1. 562.5J
2. 1.35 · 105 J
3. 2.29 · 106 J
4. 750W
62
KAPITEL 4. LÖSUNGEN
5. (a) 5000J, (b) 100J, (c) 0.2m
6. (a) 3.23 · 109 J, (b) um 360K
Lösungen zu 2.12
1. (a) p = 0.2kgm/s, (b) 0.04m/s und (c) 4m/s2
2. (a) p = 9kgm/s, (b) 0.12m/s, (c) F = 90N
3. Kraftübertrag F = 6N , a = 7.5 · 10−2 m/s2
4. m1 = 17500kg und v1 = 1.8m/s
4k
5. Übertrag ist gegeben durch (1+k)
2 . Diese Funktion hat ein Maximum bei
k = 1 (1 bleibt nachher stehen). k = 0 gibt den Fall eines Stosses einer
unendlich schweren Wagens gegen eine Fliege wieder.
6. (a) Geschwindigkeit Ball: 56.2m/s, Geschwindigkeit Schläger: 9.3m/s nach
hinten.
p|
6.37
(b) F~ = |∆~
∆t = 0.1 = 63.7N
Lösungen zu 2.13
1.
2. Bewirkt nur eine Translation, falls die Wirkungslinie der Kraft durch
den Schwerpunkt zeigt, andererseits bewirkt die Kraft üblicherweise eine Translation und eine Rotation.
3. Eine Rampe herunterrollen lassen. Das gekochte Ei sollte weiter rollen,
dafür rollt es weniger schnell herunter.
4. Rotationsspektren. Der Schwerpunkt liegt auf der Verbindungslinie der
beiden Massen 0.2m von der Masse m2 entfernt. Die Trägheitsmoment
sind gegeben durch I = 8kg · m2 (durch m1 ), durch m2 ist I = 2kg · m2
und durch den Schwerpunkt ist I = 85 kg · m2
5. ω = 10s−1
6. durch das Anziehen der Arme ergibt sich ein kleineres Trägheitsmoment,
aber der Drehimpuls bleibt konstant, somit dreht der Turner sich schneller
um die eigene Achse.
Lösungen zu 3.1
1.
pS
pk
=
AK
AS
2.
F1
F2
=
A2
A1
= 1000
3. ρF l = 65 ρM ensch
4. p = 2 · 106 P a
5. der Druck ist kleiner beim Schneeschuhläufer
63
6. F = 60N , F = 1075N
7. Die Eintauchtiefe nimmt ab.
8. Wir messen den im Wasser liegenden Teil des Volumens (∆V , ganzes Volumen V ). Dann ist die Dichte gegeben durch ρ = ∆V
V ρW .
Lösungen zu 3.2
1. (a) ε = −5.6 · 10−5 , (b)
3.3 · 10−12
∆d
d
= 1.1 · 10−5 , (c)
2. (a) A = 2.5 · 10−8 m2 , µ = 0.33,
3. ∆l =
∆d
d
∆V
V
= 3.3 · 10−5 , (d) κ =
= 1.3 · 10−4 m2
ρl2 g
E
4. ∆V = 3.3 · 10−11 m3
Lösungen zu 3.3
1. (a) h = 5.6 · 10−2 m und (b) Die Kraft durch die Oberflächenspannung
ist F = σ2πr, diejenige durch die Gravitation ist 0 und die Fläche ist
A = πr2 , damit erhält man ∆p = F
A = 438P a
Lösungen zu 3.4
1. Die Viskosität von Flüssigkeiten ist viel grösser als diejenige von Gasen,
da die Flüssigkeitsmoluküle eine viel grössere Teilchendichte besitzen als
die Gasmoleküle.
Die Viskosität von Gasen nimmt mit steigender Temperatur zu, da eine
Temperaturerhöhung einer Erhöhung der Energie entspricht und somit die
Geschwindigkeit der Moleküle grösser wird. Man kann salopp sagen, dass
sich die einzelnen Moleküle gegenseitig mehr stören.
Bei Flüssigkeiten nimmt die Viskosität mit steigender Temperatur hingegen üblicherweise ab. Da dann die zwischenmolekularen Kräfte nicht mehr
so stark ins Gewicht fallen.
2. (a) v = 1.19 · 107 m/s und (b) v = 194.5m/s
Lösungen zu 3.5
1. (a) um unteren Ende hat die Strömung die Geschwindigkeit vu und diese
wächst linear bis zum oberen Geschwindigkeit vo . (b) Wasser ∆W = 2 ·
10−7 J, Honig ∆W = 2 · 10−4 J
2. Dies ist aufgrund des Bernoulli-Gesetz. Eine genauere Erklärung wurde
im Unterricht gegeben.
3. Eine Erklärung wurde im Unterricht gegeben.
4. Eine Erklärung wurde im Unterricht gegeben.
5. Eine Erklärung wurde im Unterricht gegeben.
Forschungsprojekte
iGräser App – Pflanzen
bestimmen leicht gemacht
Mit iGräser kann man die 111 häufigsten einheimischen Wald- und Freiland-Grasarten (Poaceae) der Schweiz sowohl im nicht-blühenden als auch im blühenden Zustand einfach,
schnell, zuverlässig und unter Einbezug der
Verbreitungsdaten via GPS-Ortung bestimmen. Die App ermöglicht ein mobiles Lernen
(E-Learning) für die Studierenden.
Im Rahmen des Projektes wurden vom Institut
für Angewandte Simulation mit wissenschaftlich
systematischem Vorgehen «Effiziente Bestimmungsalgorithmen» entwickelt. Die programmtechnische Umsetzung für iPhone und Android
erfolgte ebenfalls am IAS.
Projektpartner:
Institut für Umwelt und Natürliche Ressourcen,
Fachstelle Vegetative Analyse.
Info Flora Schweiz
http://www.igraeser.ch
Institut für Angewandte Simulation ZHAW LSFM
Expertensystem für
Werbeartikel
Prognosesystem für
nachhaltiges Verkehrsmanagement
Das richtige Werbegeschenk zu finden ist
eine langwierige, repetitive Aufgabe. Durch
intelligenten Einsatz von bekanntem Wissen
über die Zielgruppen, Einsicht in die Struktur
des Verkaufsgesprächs und dem Einsatz von
statistischer Programmierung können nun die
Ressourcen von Lieferanten und Käufern besser und zielführender eingesetzt werden, ohne
dabei die Fachkompetenz der Verkäufer ausser Acht zu lassen. Das Resultat ist die vom
IAS in Zusammenarbeit mit der HSG erstellte
Experten-Plattform dayzzi.com.
Die zunehmende Stauhäufigkeit im Verkehr,
die mit grossen Kosten für die Umwelt und
die Gesellschaft verbunden ist, konfrontiert
die Strassenbenutzer/-innen und die Strassenbetreiber mit dem Problem, die Strassennutzung zu optimieren. Dafür braucht es ein
intelligentes Verkehrsmanagement, welches
das Verkehrsgeschehen gesamthaft überblickt
und es erlaubt, die Entwicklung des Verkehrszustandes vorauszusehen. Solche Verkehrsprognosen ermöglichen es, mit frühzeitigen
Massnahmen den Verkehr besser zu verteilen
und gewisse Stauspitzen schon vor der Entstehung zu brechen.
Projektpartner:
Institut für Marketing Universität St.Gallen
dayzzi (Schweiz) AG
Förderung:
Kommission für Technologie und Innovation
KTI
Im Rahmen dieses Projektes werden die Rahmenbedingungen, die ein solches innovatives
Verkehrsprognosesystem erfüllen muss, untersucht und ein entsprechendes System für das
Schweizer Nationalstrassennetz mit den dafür
geeigneten Prognosemethoden und Algorithmen entwickelt.
Projektpartner:
RappTrans AG, Bundesamt für Strassen
ASTRA
Projektförderung:
Bundesamt für Strassen ASTRA
Lehrangebot des IAS
BT
CH
LM
UI
Data Management and Visualisation (T4)
Angebote in
Masterprogrammen
FM
Statistik
Modeling of Complex Systems (T15)
SCM
Biostatistik
Master-Thesis
Informatik
Informatik
Informatik
Informatik
Informatik
Mathematik
Mathematik
Mathematik
Mathematik
Mathematik
Physik
Physik
Physik
Physik
Statistik
Statistik
Statistik
Statistik
Angebote im
BachelorProgramm
SCM
Sys. Eng.
Literaturar.
Semesterarbeiten
Bachelor-Thesis
Vorkurs Mathematik
Vorkurs Physik
Studienvorbereitung
eLearning-Einheit Mathi-Fitnessstudio
eLearning-Einheit Energie
eLearning-Einheit Hydrostatik
eLearning-Einheit Kalorik
Institut für Angewandte Simulation ZHAW LSFM
SCM

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