Probeklausur zur Vorlesung ” Mathematik 1“

Universität Rostock
Institut für Mathematik
Rostock, den 21. Januar 2016
Prof. Dr. G. Mayer
Dr. K.–Th. Heß
Probeklausur zur Vorlesung Mathematik 1“
”
für die Bachelorstudiengänge MB/BMT/WING/MT
Bearbeitungszeit:
90 Minuten
Aufgabe 1
a) Gegeben sind die Mengen
A = { 2, 3, 4, 6, 7, 13 }
B = { 2n | n ∈ N, n ≤ 12 }
und
Geben Sie die Mengen A ∩ B und A \ B an und veranschaulichen Sie sie in einem Venn–
Diagramm.
b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung
1+x
≤1.
1−x
Aufgabe 2
Zeigen Sie durch vollständige Induktion
n
X
k=1
1
n
=
(2k − 1)(2k + 1)
2n + 1
,
n ∈ N.
Aufgabe 3
a) Untersuchen Sie die Folgen (an ) auf Konvergenz:
i) an =
2n2 + 1
;
4n2 + 1
ii) an = (−1)n
n2
.
2 − 3n2
b) Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der folgenden Reihen:
i)
∞
P
k2 ;
k!
k=1
ii)
∞
P
(−1)k
k=1
1
1
;
k
iii)
∞ k
P
1
.
k
k=1
Aufgabe 4
a) Gegeben sind die komplexen Zahlen z = 2 − 2i und w = 1 −
1
3
√
3i. Rechnen Sie die
z
beiden Zahlen in die Polarkoordinatendarstellung um. Bestimmen Sie dann z · w und
w
in kartesischer Darstellung a + ib.
b) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung z 4 +64 = 0 im Bereich der komplexen Zahlen,
geben Sie diese in Polarkoordinatendarstellung an, und stellen Sie die Ergebnisse in der
Gaußschen Zahlenebene dar.
Aufgabe 5
Untersuchen Sie die Funktion f : R → R mit f (x) = xe−x auf Nullstellen, Extremstellen, Monotonieintervalle, Wendepunkte, Krümmungsverhalten (konkav/konvex), Verhalten für
x → ±∞, und skizzieren Sie den Kurvenverlauf des Graphen von f .
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