Beispielsammlung zu Mechanik IB

Beispiel 1 (Querkraftschub)
Der Querschnitt eines dünnwandigen Trägers mit Abmessungen a und konstanter Wandstärke t ist laut Abbildung um die y-Achse symmetrisch. Der Winkel α ist gegeben durch
tan α = 43 . (Stellen Sie Winkelfunktionen als Brüche dar!) Die Belastung des Trägers
erfolgt durch die vertikale Querkraft Qz .
(a) Bestimmen Sie das axiale Flächenträgheitsmoment Jy unter der Voraussetzung eines
dünnwandigen Querschnitts, d.h. t a.
(b) Berechnen Sie die Schubflussverteilung zufolge Querkraftbelastung in Abhängigkeit
der gegebenen Größen in der oberen Symmetriehälfte unter Verwendung der eingetragenen Laufvariablen s1 , s2 und s3 . Skizzieren Sie den Verlauf des Schubflusses im
gesamten Querschnitt.
(c) Geben Sie die Koordinaten des Schubmittelpunktes (SM) an.
Lösung:
(a)
Jy =
308 3
at
3
(b)
T (s1 ) =
3Qz s1
77a2
3Qz
(40a2 + 40as2 − 3s2 2 )
3
3080a
3Qz
T (s3 ) =
(33a2 + 2as3 − s3 2 )
616a3
T (s2 ) =
(c)
ySM =
81
a; zSM = 0
77
Beispiel 2 (Dynamik)
Das dargestellte schwingungsfähige System besteht aus einem schlanken, homogenen Stab
mit Länge l und Masse m, der an seinem Mittel- und Endpunkt in reibungsfreien Führungsschienen gelagert ist. Die Feder mit Federkonstante c (Dimension [Kraft/Länge]) gehorcht
dem linearen Federgesetz und ist in der Position ϕ = 0 entspannt. Der Stab und die Feder sind im Punkt A durch ein ideales Gelenk verbunden. Das System befindet sich im
vertikalen Schwerefeld mit Erdbeschleunigung g.
(a) Drücken Sie den Beschleunigungsvektor aB des Schwerpunktes B des Stabes durch
die Größen ϕ, ϕ̇ und ϕ̈ aus, z.B. mithilfe analytischer Prinzipien.
(b) Zeichnen Sie das Freikörperbild des Stabes in einer allgemeinen Lage ϕ und stellen
Sie die dazugehörigen Schwerpunktsätze sowie den Drallsatz auf. Berechnen Sie
die Winkelbeschleunigung (Bewegungsgleichung) ϕ̈(ϕ, ϕ̇) in Abhängigkeit gegebener
Größen für beliebig große Auslenkungen ϕ.
(c) Linearisieren Sie die Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungen ϕ um die Lage ϕ = 0 und geben Sie die Eigenkreisfrequenz ω und die Periodendauer T der
Schwingung an.
Lösung:
(a)
l
aB = − [0ex + (ϕ̇2 cos ϕ + ϕ̈ sin ϕ)ey + 0ez ]
2
(b)
ϕ̈ +
c
2g
3 sin ϕ
ϕ̇ +
cos ϕ −
=0
m
l 1 + 3 sin2 ϕ
2
(c)
ϕ̈ + 3
r
ω=
3
cl − 2mg
ϕ=0
ml
s
cl − 2mg
; T = 2π
ml
ml
,
3(cl − 2mg)
Beispiel 3 (Energiemethode)
Zwei identische Viertelkreisbögen mit Radius R, Elastizitätsmodul E, axialem Flächenträgheitsmoment J und thermischem Ausdehnungskoeffizient α sind laut Abbildung in
den Punkten A und B durch Festlager gelagert und an der Position C fest miteinander
verschweißt.
(a) Berechnen Sie mithilfe des Satzes von Menabrea die auftretenden Lagerreaktionen
nachdem der gesamte Träger eine konstante Temperaturerhöhung ∆T > 0 erfahren hat. Berücksichtigen Sie bei der Berechnung der Ergänzungsenergie den Anteil
aufgrund Biegung UB ∗ und den thermischen Beitrag
Z
∗
Uth = α∆T N (x) dx.
(b) Bestimmen Sie die Verschiebung des Punktes C mithilfe des Satzes von Castigliano.
Lösung:
(a)
FA = FB =
4EJα∆T
(3π − 8)R2
(b)
∆C =
3π − 6
Rα∆T
3π − 8
Beispiel 4 (Dynamik)
Das dargestellte System besteht aus einem idealen Seil (1) mit Länge l und einem schlanken, homogenen Stab (2) mit Länge l und Masse m. Das Seil läuft von Position A unter
dem Winkel tan α = 43 zu Punkt B, wo es mit dem horizontal orientierten Stab verbunden
ist. Im Punkt C erfolgt die Lagerung des Stabes durch ein Festlager. Das System befindet
sich im vertikalen Schwerefeld mit Erdbeschleunigung g.
Schneiden Sie den Stab zum Zeitpunkt des Öffnens von Lager C frei und zeichnen Sie alle
auftretenden Kräfte ein. Stellen Sie die Schwerpunktsätze sowie den Drallsatz zum Zeitpunkt des Öffnens von Lager C auf. (Bestimmen Sie den kinematischen Zusammenhang
zwischen Translation und Rotation des Stabes (2), z.B. mithilfe der Vektorkinematik.)
Berechnen Sie die Seilkraft FS und die Winkelbeschleunigung ϕ̈2 des Stabes (2) zum Zeitpunkt des Öffnens von Lager C.
Lösung:
15
mg
52
27g
ϕ̈2 =
26l
FS =
Beispiel 5 (Energiemethode)
Der abgebildete Rahmen besteht aus einem geraden Träger mit Länge R und einem im
Punkt B angeschweißten Viertelkreisbogen mit Radius R. Die Lagerung erfolgt an Position
A durch ein Loslager und an Position C durch eine feste Einspannung. Der gesamte
Rahmen hat den Elastizitätsmodul E, das axiale Flächenträgheitsmoment J und den
thermischen Ausdehnungskoeffizienten α.
(a) Berechnen Sie mithilfe des Satzes von Menabrea die auftretenden Lagerreaktionen
nachdem nur der gerade Träger AB eine konstante Temperaturerhöhung ∆T > 0
erfahren hat. (Die Temperatur des Viertelkreisbogens bleibt unverändert.) Berücksichtigen Sie bei der Berechnung der Ergänzungsenergie den Anteil aufgrund Biegung UB ∗ und den thermischen Beitrag
Z
∗
Uth = α∆T N (x) dx.
(b) Bestimmen Sie die Verschiebung des Punktes A in Folge der Temperaturerhöhung
mithilfe des Satzes von Castigliano.
Lösung:
(a)
FA = FC =
MC =
4EJα∆T
(3π − 8)R2
4EJα∆T
(3π − 8)R
(b)
∆A =
2(π − 1)
Rα∆T
3π − 8
Beispiel 6 (Dynamik)
Das dargestellte schwingungsfähige System besteht aus zwei homogenen Vollzylindern (1)
und (2) mit Massen m bzw. 5m und Radien r bzw. 2r, die durch ein Seil, zwei lineare
Federn mit Federkonstante c bzw. 2c [N/m] und einen Dämpfer mit Dämpferkonstante d
[Ns/m] verbunden sind. Zylinder (2) dreht sich reibungsfrei in einem masselosen Bügel. Es
tritt kein Gleiten zwischen den Zylindern und dem idealen Seil auf. Das System befindet
sich im vertikalen Schwerefeld mit Erdbeschleunigung g.
(a) Schneiden Sie die Körper frei und zeichnen Sie die auftretenden Kräfte ein. Stellen
Sie Schwerpunkt- sowie Drallsätze auf und berechnen Sie die Bewegungsgleichung
ẍ(x, ẋ). Bei x = 0 sind alle Federn entspannt.
(b) Lesen Sie aus der Bewegungsgleichung die Abklingkonstante λ und die Eigenkreisfrequenz ω der ungedämpften Schwingung ab. Berechnen Sie daraus das Lehrsche
Dämpfungsmaß D = ωλ .
Lösung:
(a)
ẍ +
2d
12c
10
ẋ +
x= g
19m
19m
19
(b)
d
19m
r
3c
ω=2
19m
d
D= √
2 57mc
λ=
Beispiel 7 (Energiemethode)
Der in Abbildung (a) dargestellte Ring mit Elastizitätsmodul E und Radius R hat einen
Vollkreisquerschnitt mit Durchmesser d (d R). Die Belastung erfolgt durch vier Kräfte
P , die jeweils um den Winkel 12 π versetzt angreifen. Aufgrund der vorliegenden Symmetrie
genügt die Betrachtung eines Viertels des Rings entsprechend Abbildung (b).
(a) Berechnen Sie die Kraft N0 sowie das Moment M0 laut Abbildung (b) mithilfe des
Satzes von Menabrea. Berücksichtigen Sie bei der Berechnung der Ergänzungsenergie nur den Beitrag aufgrund Biegung.
(b) Berechnen Sie den Verlauf des Biegemoments M (ϕ) im Bereich 0 ≤ ϕ ≤ 14 π. Bestimmen Sie die Beträge und die Positionen des maximalen und minimalen Biegemoments im gegebenen Bereich.
(c) Wie groß ist die maximale Spannung im Punkt A (Randfaser)? Berücksichtigen Sie
das Biegemoment und die Normalkraft, aber Querkraftschub ist zu vernachlässigen.
Lösung:
(a)
√
2
N0 =
P
2
√
2π − 4
M0 =
PR
2π
(b)
√
1
(4 − 2π cos ϕ)P R
2π
4−π
|Mmax | =
P R; ϕ = 45 ◦
2π
|Mmin | = 0; ϕ = 25,8 ◦
M (ϕ) =
(c)
σA =
2P
(32R − 8πR + πd)
π 2 d3
Beispiel 8 (Dynamik)
Ein schlanker Stab mit Masse m und Länge R gleitet reibungsfrei an der Innenwand eines
feststehenden Hohlzylinders mit Radius R. Der Stab wird von der Ausgangslage bei ϕ = 0
ohne Anfangsgeschwindigkeit, d.h. ϕ̇ = 0 im vertikalen Schwerefeld mit Erdbeschleunigung g freigegeben.
(a) Schneiden Sie den Stab in einer allgemeinen Lage frei und zeichnen Sie alle auftretenden Kräfte ein. Stellen Sie Schwerpunktsätze sowie den Drallsatz auf und berechnen
Sie die Winkelbeschleunigung ϕ̈(ϕ) des Stabes.
(b) Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit ϕ̇(ϕ) des Stabes.
(c) Wie groß sind die Kontaktkräfte zwischen der Zylinderwand und dem Stab an den
Punkten A und B?
Lösung:
(a)
(b)
(c)
√
3 3g
cos ϕ
ϕ̈(ϕ) =
5R
s √
6 3g
ϕ̇(ϕ) =
sin ϕ
5R
√
1
(28 3 sin ϕ − 3 cos ϕ)mg
30
√
1
FB (ϕ) = (28 3 sin ϕ + 3 cos ϕ)mg
30
FA (ϕ) =
Beispiel 9 (Querkraftschub)
Der Querschnitt eines dünnwandigen Trägers hat die Form eines geöffneten Kreisbogens
mit Radius R, Öffnungswinkel 2α und konstanter Wandstärke t. Die Belastung erfolgt
durch die Querkraft Qz und das Torsionsmoment Mt .
(a) Bestimmen Sie das axiale Flächenträgheitsmoment Jy unter der Voraussetzung t R.
(b) Bestimmen Sie den Drillwiderstand Jt unter der Voraussetzung der Dünnwandigkeit.
(c) Berechnen Sie die Schubspannung τQ (ϕ) zufolge der Querkraft Qz .
(d) Berechnen Sie die Schubspannung τT zufolge des Torsionsmoments Mt .
(e) Geben Sie die Koordinaten des Schubmittelpunktes (SM) an.
Lösung:
(a)
Jy = R3 t(π − α + sin α cos α)
(b)
2
Jt = Rt3 (π − α)
3
(c)
τQ (ϕ) =
Qz (cos α − cos ϕ)
Rt(π − α + sin α cos α)
(d)
τT =
3Mt
2Rt2 (π − α)
(e)
ySM =
2[(π − α) cos α + sin α]
R, zSM = 0
π − α + sin α cos α
Beispiel 10 (Dynamik)
Die dargestellte Schaukel besteht aus drei schlanken Stäben, die durch ideale Lager verbunden und gelagert sind. Die Stäbe (1) und (2) sind parallel und besitzen jeweils Masse
m und Länge l. Stab (3) bleibt stets horizontal und hat Masse M sowie Länge L. Das
System befindet sich im vertikalen Schwerefeld mit Erdbeschleunigung g.
(a) Drücken Sie den Beschleunigungsvektor aS des Punktes S durch die Größen ϕ, ϕ̇
und ϕ̈ aus, z.B. mithilfe analytischer Prinzipien.
(b) Drücken Sie den Beschleunigungsvektor aC des Punktes C durch die Größen ϕ, ϕ̇
und ϕ̈ aus.
(c) Zeichnen Sie die zur Bestimmung der Dynamik notwendigen Freikörperbilder in einer allgemeinen Winkellage ϕ und stellen Sie die dazugehörigen Schwerpunkt- und
Drallsätze auf. Nutzen Sie die vorliegende Symmetrie. Bestimmen Sie die Winkelbeschleunigung (Bewegungsgleichung) ϕ̈(ϕ, ϕ̇) für beliebig große Auslenkungen ϕ.
(d) Linearisieren Sie die Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungen ϕ um die Ruhelage ϕ = 0 und bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenz ω der Schwingung.
Lösung:
(a)
l
aS = [(−ϕ̇2 sin ϕ + ϕ̈ cos ϕ)ex + (ϕ̇2 cos ϕ + ϕ̈ sin ϕ)ey + 0ez ]
2
(b)
aC = l[(−ϕ̇2 sin ϕ + ϕ̈ cos ϕ)ex + (ϕ̇2 cos ϕ + ϕ̈ sin ϕ)ey + 0ez ]
(c)
ϕ̈ +
3g(M + m)
sin ϕ = 0
l(3M + 2m)
(d)
3g(M + m)
ϕ=0
l(3M + 2m)
s
3g(M + m)
ω=
l(3M + 2m)
ϕ̈ +
Beispiel 11 (Torsion)
Der Querschnitt eines Trägers mit Schubmodul G besteht aus drei Hohlkästen mit konstanter Wandstärke t und Abmessungen a laut Abbildung. Der Träger entspricht allen
Voraussetzungen zur Anwendung der Bredtschen Formeln. Die Beanspruchung erfolgt
durch das Torsionsmoment Mt .
(a) Berechnen Sie die Schubflüsse in allen Stegen des Querschnitts.
(b) Wie groß ist der Verdrehwinkel pro Längeneinheit ϑ?
(c) Bestimmen Sie den Drillwiderstand Jt des Querschnitts.
Lösung:
(a)
9Mt
92a2
5Mt
T2 =
46a2
Mt
T3 = −
92a2
T1 =
(b)
ϑ=
11Mt
92a3 tG
(c)
Jt =
92 3
at
11
Beispiel 12 (Dynamik)
Das dargestellte System besteht aus zwei Vollzylindern mit jeweils Masse m und Radius
r sowie einem schlanken, horizontal orientierten Stab mit Masse m und Länge l, die
durch ideale Lager verbunden sind. Die Zylinder können sich am horizontalen Boden
durch reines Rollen bewegen. Das System befindet sich im vertikalen Schwerefeld mit
Erdbeschleunigung g.
(a) Drücken Sie den Beschleunigungsvektor aO des Punktes O durch die Größen ϕ, ϕ̇
und ϕ̈ aus, z.B. mithilfe analytischer Prinzipien.
(b) Drücken Sie den Beschleunigungsvektor aS des Punktes S durch die Größen ϕ, ϕ̇
und ϕ̈ aus.
(c) Zeichnen Sie die zur Bestimmung der Dynamik notwendigen Freikörperbilder in einer allgemeinen Winkellage ϕ und stellen Sie die dazugehörigen Schwerpunkt- und
Drallsätze auf. Nutzen Sie die vorliegende Symmetrie. Berechnen Sie die Winkelbeschleunigung (Bewegungsgleichung) ϕ̈(ϕ, ϕ̇) in Abhängigkeit gegebener Größen für
beliebig große Auslenkungen ϕ um die Ruhelage ϕ = 0.
(d) Linearisieren Sie die Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungen ϕ und geben Sie
die Eigenkreisfrequenz ω der Schwingung an.
Lösung:
(a)
aO = −r[ϕ̈ex + 0ey + 0ez ]
(b)
aS = r[(ϕ̈ cos ϕ − ϕ̇2 sin ϕ − ϕ̈)ex + (ϕ̇2 cos ϕ + ϕ̈ sin ϕ)ey + 0ez ]
(c)
ϕ̈ +
(d)
(g + rϕ̇2 ) sin ϕ
=0
(5 − 2 cos ϕ)r
g
ϕ=0
3r
r
g
ω=
3r
ϕ̈ +
Beispiel 13 (Energiemethode)
Der dargestellte Kreisring mit Elastizitätsmodul E und Radius R hat einen Vollkreisquerschnitt mit Durchmesser d (d R). Die Belastung erfolgt durch zwei konstante
Streckenlasten q0 , die laut Abbildung angreifen.
(a) Berechnen Sie den Verlauf des Biegemoments M (ϕ) im Bereich 0 ≤ ϕ ≤ π2 . Verwenden Sie den Satz von Menabrea und berücksichtigen Sie bei der Berechnung der
Ergänzungsenergie nur den Beitrag aufgrund Biegung.
(b) Bestimmen Sie die Beträge und die Positionen des maximalen und minimalen Biegemoments im Kreisring.
(c) Wie groß ist die maximale Spannung (Randfaser)? Berücksichtigen Sie nur das Biegemoment. Normalkraft und Querkraftschub sind zu vernachlässigen.
Lösung:
(a)
1
M (ϕ) = q0 R2 cos 2ϕ
4
(b)
π
1
|Mmax | = q0 R2 ; ϕ = 0, .
4
2
π 3π
|Mmin | = 0; ϕ = ,
.
4 4
(c)
σmax =
8q0 R2
πd3
Beispiel 14 (Dynamik)
Das dargestellte System besteht aus zwei schlanken, homogenen Stäben jeweils mit Masse m und Länge l. In B sind die Stäbe durch ein ideales Gelenk verbunden und in A
und E erfolgt die Lagerung in reibungsfreien Schienen. Die stets vertikale Feder mit Federkonstante c (Dimension [Kraft/Länge]) gehorcht dem linearen Federgesetz und ist in
der Position ϕ = 0 entspannt. Das System befindet sich im vertikalen Schwerefeld mit
Erdbeschleunigung g.
(a) Drücken Sie den Beschleunigungsvektor aS des Schwerpunktes S des Stabes durch
die Größen ϕ, ϕ̇ und ϕ̈ aus, z.B. mithilfe analytischer Prinzipien.
(b) Zeichnen Sie die zur Bestimmung der Dynamik notwendigen Freikörperbilder in einer allgemeinen Winkellage ϕ und stellen Sie die dazugehörigen Schwerpunkt- und
Drallsätze auf. Nutzen Sie die vorliegende Symmetrie. Berechnen Sie die Winkelbeschleunigung (Bewegungsgleichung) ϕ̈(ϕ, ϕ̇) in Abhängigkeit gegebener Größen für
beliebig große Auslenkungen ϕ.
(c) Linearisieren Sie die Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungen ϕ um die Lage
ϕ = 0 und geben Sie die Eigenkreisfrequenz ω der Schwingung an.
Lösung:
(a)
l
aS = [−(ϕ̇2 cos ϕ + ϕ̈ sin ϕ)ex + (ϕ̇2 sin ϕ − ϕ̈ cos ϕ)ey + 0ez ]
2
(b)
ϕ̈ +
3 cos ϕ(cl sin ϕ − mg)
=0
2ml
(c)
3c
3g
ϕ=
2m
2l
r
3c
ω=
2m
ϕ̈ +
Beispiel 15 (Energiemethode)
Das dargestellte ebene Fachwerk besteht aus sechs Stäben 1 bis 6, die
√ durch ideale Knoten
miteinander verbunden sind. Die Stäbe haben die Längen l bzw. 2l sowie die konstante Dehnsteifigkeit EA. Zur Lagerung befinden sich in A und B Festlager und in D ein
Loslager. Das Fachwerk wird durch eine vertikale Einzelkraft F belastet.
Berechnen Sie die auftretenden Lagerkräfte A, BH , BV und D des statisch unbestimmten
Fachwerks unter Verwendung des Satzes von Menabrea
∂U ∗
= 0.
∂BV
Lösung:
√
1
A = (3 − 2)F
2
√
1
BH = (3 − 2)F
2
1 √
BV = ( 2 − 1)F
2
√
1
D = (1 + 2)F
2
Beispiel 16 (Dynamik)
Ein homogener, schlanker Stab mit Länge l und Masse m wird zentrisch auf den Scheitelpunkt eines feststehenden Halbzylinders mit Radius r gelegt. Durch Auslenkung um
den Winkel ϕ wird der Stab in Schwingung versetzt, wobei im Kontaktpunkt A stets
die Haftbedingung erfüllt ist. Das System befindet sich im vertikalen Schwerefeld mit
Erdbeschleunigung g.
(a) Drücken Sie den Beschleunigungsvektor aS des Schwerpunktes S des Stabes durch
die Größen ϕ, ϕ̇ und ϕ̈ aus, z.B. mithilfe analytischer Prinzipien.
(b) Zeichnen Sie das Freikörperbild des Stabes in einer allgemeinen Lage ϕ und stellen
Sie die dazugehörigen Schwerpunktsätze sowie den Drallsatz auf. Berechnen Sie
die Winkelbeschleunigung (Bewegungsgleichung) ϕ̈(ϕ, ϕ̇) in Abhängigkeit gegebener
Größen für beliebig große Auslenkungen ϕ.
(c) Linearisieren Sie die Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungen ϕ um die Lage
ϕ = 0 und geben Sie die Eigenkreisfrequenz ω der Schwingung an.
Lösung:
(a)
aS = r[−(ϕ̇2 sin ϕ+ϕϕ̇2 cos ϕ+ϕϕ̈ sin ϕ)ex +(ϕ̇2 cos ϕ−ϕϕ̇2 sin ϕ+ϕϕ̈ cos ϕ)ey +0ez ]
(b)
12rϕ(rϕ̇2 + g cos ϕ)
ϕ̈ +
=0
12r2 ϕ2 + l2
(c)
12rg
ϕ=0
l2
√
2 3rg
ω=
l
ϕ̈ +

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