Mathematik — Q 12 — Übungen zur Stochastik–Kurzarbeit — 03.02. 2016 — Lösungsansätze
1. a) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine willkürlich ausgewählte Person am gleichen Tag Geburtstag
1
genähert. Welche Annahmen liegen dieser Näherung zu
hat, wie man selbst, wird mit 365
Grunde?
Man geht davon aus, dass die Geburten auf alle Tage des Jahres gleich verteilt sind. Schaltjahre
werden nicht berücksichtigt.
b) Wie wahrscheinlich ist es, dass von 50 willkürlich befragten Personen mindestens eine Person
dabei ist, die am selben Tag Geburtstag hat, wie man selbst?
364 50
50
50
P 1 (X ≥ 1) = 1 − P 1 (X = 0) = 1 −
≈ 12, 8 %
365
365
365
c) Wie viele Personen muss man mindestens befragen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60 % mindestens eine Person zu finden, die am gleichen Tag Geburtstag hat, wie man
selbst?
364 n
364 n
n
≥ 0, 60;
≤ 0, 40; n ≥ 333, 98 ...
P 1 (X ≥ 1) ≥ 60 %; 1 −
365
365
365
Man muss mindestens 334 Personen befragen.
2. Frau Huber hat vor 20 Jahren das Abitur gemacht und organisiert nun ein Treffen der ehemaligen
Absolventen ihres Jahrgangs. Dazu hat sie 100 Personen eingeladen. Sie geht davon aus, dass jede
eingeladene Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 % zum Treffen erscheint.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es ausreichend, wenn sie für die 100 geladenen Gäste in
einem Restaurant 70 Plätze reserviert?
100
P0,70
(X ≤ 70) = 0, 53766 ≈ 54 %
b) Wie viele Plätze muss sie mindestens reservieren, damit diese mit einer Wahrscheinlichkeit von
mindestens 95 % ausreichen?
k: Anzahl der reservierten Plätze; X: Anzahl der geladenen Gäste, die erscheinen werden
100
P0,70
(X ≤ k) ≥ 95 %; Der Tabelle kann man k = 77 entnehmen;
Sie muss mindestens 77 Plätze für die Gäste reservieren (und einen für sich selbst).
3. Unter den Erwachsenen, die mindestens 30 Jahre alt sind, sei p der Anteil derjenigen, die eine
Wiederbelebungsmaßnahme an einer geeigneten Puppe auf Anhieb korrekt vorführen können. Die
Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 90 %, dass unter 10 solcher Erwachsenen, mindestens einer von
ihnen die Wiederbelebungsmaßnahme an einer Puppe korrekt vorführt. Berechnen Sie p!
Pp10 (X ≥ 1) = 90 %; 1 − Pp10 (X = 0) = 90 %; 1 − (1 − p)10 = 90 %
p
1 − p = 10 0, 1; p = 0, 20567 ... ≈ 21 %
4. (Abitur GK 2001 / III) Der Konzern Electronix“ stellt Mikrochips in Massenproduktion her. Jeder
”
hergestellte Chip ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 15 % fehlerhaft.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 100 Chips genau 15 fehlerhaft?
100
P0,15
(X = 15) = 0, 11109 ≈ 11 %
b) Wie viele Chips müssen der Produktion mindestens entnommen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % wenigstens ein fehlerhafter dabei ist?
n
P0,15
(X ≥ 1) > 99 %; 1 − 0, 85n > 0, 99 0, 85n < 0, 01; n > 28, 33 ...
Es müssen mindestens 29 Chips entnommen werden.
c) Bestimmen Sie mit Hilfe des Tabellenwerks das kleinstmögliche Intervall mit dem Mittelpunkt
15, in dem bei insgesamt 100 Chips die Anzahl der fehlerhaften Chips mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85 % liegt.
19
X
100
100
100
P0,15
(X = i) = F0,15
(19) − F0,15
(10) = 0, 89346 − 0, 09945 = 0, 79401 < 85 %;
i=11
Das Intervall von 11 bis 19 ist noch zu klein
20
X
100
100
100
P0,15
(X = i) = F0,15
(20) − F0,15
(9) = 0, 93368 − 0, 05509 = 0, 87859 ≥ 85 %;
i=10
[10 ; 20] ist das kleinstmögliche Intervall mit Mittelpunkt 15, in dem die Anzahl X der fehlerhaften Chips mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85 % liegt.
d) Zur Aussonderung fehlerhafter Chips wird ein Prüfgerät eingesetzt, von dem Folgendes bekannt
ist: Unter allen geprüften Chips beträgt der Anteil der Chips, die einwandfrei sind und dennoch
ausgesondert werden, 3 %. Insgesamt werden 83 % aller Chips nicht ausgesondert. Bestimmen
Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Chip fehlerhaft ist und ausgesondert wird. Welcher
Anteil der fehlerhaften Chips wird demnach ausgesondert?
A: Chip wird ausgesondert; E: Chip ist einwandfrei
E
E
A
3%
14 %
17 %
A
82 %
1%
83 %
85 %
15 %
100 %
PE (A) =
P (E ∩ A)
14 %
=
≈ 93, 3 %
15 %
P (E)
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Chip fehlerhaft ist und ausgesondert wird, beträgt 14 %.
93, 3 % der fehlerhaften Chips werden ausgesondert.
5. (vgl. Abi GK 2010, III) Bei einem Abfahrtslauf im Skilager der fortgeschrittenen Skifahrerinnen
und Skifahrer der Klasse 7a werden die Startnummern von 1 bis 20 zufällig von den 20 Teilnehmern
gezogen. Unter ihnen sind Anna, Berta und Christina. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
diese 3 Mädchen ...
a) ... unter den ersten zehn Startern sind?
10
2
3
P = 20
=
≈ 10, 5 %
19
3
b) ... aufeinander folgende Startnummern ziehen?
(Z. B. Anna Nr. 12, Berta Nr. 11 und Christina Nr. 13, oder Anna Nr. 8, Berta Nr. 10 und Christina Nr. 9)
Es gibt 18 Mengen von drei aufeinanderfolgenden Startnummern:
{1, 2, 3}; {2, 3, 4}; {3, 4, 5}; ... ; {18, 19, 20}
Innerhalb
einer Menge wird keine Reihenfolge unterschieden;
20
=
1
140
Mengen mit drei Startnummern gibt es insgesamt
3
18
⇒P =
= 0, 01578 ... ≈ 1, 6 %
1 140
Zu dieser Aufgabe kann man sich z. B. vorstellen, dass Anna aus den 20 Startnummern mit
einem Griff 3 Startnummern für sich, Berta und Christina aus einer Urne heraus nimmt;
6. Die Schulköchin bereitet als Dessert Pudding vor. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mensabesucher
einen Pudding möchte, beträgt 15 %. Die Köchin will für die 200 Mensabesucher so viele Puddings
vorbereiten, dass diese mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85 % ausreichen.
a) Wie viele Puddingportionen wird sie vorbereiten?
k: Anzahl vorbereiteter Puddingportionen; X: Anzahl bestellter Puddingportionen
200
P0,15
(X ≤ k) ≥ 0, 85
Die Tabelle liefert k = 35; die Köchin wird 35 Puddingportionen vorbereiten.
b) Wie wahrscheinlich ist es, dass sie zu viele Puddingportionen vorbereitet?
200
P0,15
(X < 35) = 0, 81496 ≈ 81, 5 %
M. Köhler
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