e-Funktion im SZH 53KB Nov 17 2015 18:13

Mathematik 11m2 (Gr)
Übungsaufgaben
e-Funktionen im SZH
18.11.2015
Wachstum einer Fichte (Abitur 2007)
0,1t
Durch die Funktion f mit f (t )  0,02t  e
wird das Wachstum einer Fichte in Abhängigkeit von
der Zeit t (gemessen in Jahren) beschrieben. Dabei gibt f (t ) nicht die Höhe, sondern die
Wachstumsgeschwindigkeit in Metern pro Jahr (zum Zeitpunkt t ) an.
Zum Zeitpunkt t  0 hat eine frisch eingepflanzte Fichte eine Höhe von ca. 20 cm.
2
a) Berechnen Sie den Funktionswert von f an der Stelle t  30 und interpretieren Sie
das Ergebnis im Sachzusammenhang. Beschreiben Sie anhand des Graphen von f ,
wie sich die Fichte im Laufe der Jahre entwickelt.
b)
Bestimmen Sie rechnerisch das Alter, in dem die Fichte am stärksten wächst.
Geben Sie zudem die größte Wachstumsgeschwindigkeit an.
[Es gilt: f ' ' (t )
erforderlich!]
 0,0002  (t 2  40t  200)  e 0,1t . Nachweis nicht
Wirkstoffkonzentration Medikament (Abitur 2008)
Ein Pharmaunternehmen produziert ein Medikament, das in Tablettenform verabreicht wird.
Der zeitliche Verlauf der Wirkstoffkonzentration im Blut eines Patienten kann in den ersten
24 Stunden nach Einnahme einer Tablette näherungsweise durch die Funktion f mit
f t   8  t  e 0, 25t , t  0;24, beschrieben werden. Dabei wird die Zeit t in
Stunden seit der Einnahme t  0 und die Wirkstoffkonzentration f t  im Blut in
Milligramm pro Liter (mg/l) gemessen.
a) Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen im Sachzusammenhang.
Berechnen Sie die Höhe der Wirkstoffkonzentration im Blut des Patienten 24 Stunden
nach Einnahme des Medikaments.
b)
Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die maximale Wirkstoffkonzentration im Blut
erreicht wird, und geben Sie den maximalen Wert an.
c)
Weisen Sie nach, dass der Graph von f an der Stelle t  8 den einzigen Wendepunkt
besitzt. Begründen Sie, dass die Wirkstoffkonzentration zum Zeitpunkt t  8 am
stärksten abnimmt.
Höhe eines Strauches (Abitur 2009)
Die Höhe eines Strauches in den ersten zwanzig Tagen nach dem Auspflanzen wird durch die
Funktion h mit der Funktionsgleichung
h(t )  0,2  e 0,1t 0,9
( t in Tagen, ht  in Metern) beschrieben.
Vom Beginn des 21. Tages an t  20 verringert sich die Wachstumsgeschwindigkeit des Strauches.
Von diesem Zeitpunkt an ist nur noch die Zuwachsrate bekannt, sie wird beschrieben durch die Funktion
z mit der Funktionsgleichung
z (t )  0,02  e 0,1t 3,1 .
a) Berechnen Sie den Funktionswert von h an der Stelle t  0 und interpretieren Sie diesen Wert im
Sachzusammenhang. Ermitteln Sie Sie anhand des Graphen, zu welchem Zeitpunkt der Strauch
eine Höhe von 50 cm hat. Bestimmen Sie den exakten Wert rechnerisch.
b)
Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt t innerhalb der ersten zwanzig Tage
(0  t  20) , an dem die Pflanze am schnellsten wächst. Berechnen Sie die
zugehörige Wachstumsgeschwindigkeit. Begründen Sie, warum die angegebene
Funktion h nur für einen begrenzten Zeitraum die Höhe des Strauches beschreiben
kann.
Abkühlung eines Körpers (Abitur 2010)
In einem Labor wird ein (Probe-)Körper auf 100  C erhitzt und anschließend bei konstanter
Raumtemperatur von 20  C abgekühlt. Seine Temperatur während des Abkühlens wird durch die Funktion
T mit der Gleichung:
T t   20  80  e 0,01t , t  0 ,
beschrieben ( t in Sekunden, T t  in  C).
a)
b)
(1)
Beschreiben Sie den Verlauf des Funktionsgraphen von T im
Sachzusammenhang.
(2)
Berechnen Sie die Temperatur, auf die der Körper nach der Zeit t  120 s
abgekühlt ist.
(3)
Prüfen Sie die Entwicklung der Temperatur des Körpers für große t .
Zeige, dass der Graph von T keine Extremstellen und keine Wendepunkte hat.
Zeige, dass der Graph von T streng monoton fallend ist.

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