Universität Würzburg LS Experimentelle Physik 4 R. Claessen, L. Dudy 19.01.2016 Übungen zur Vorlesung Kondensierte Materie 1 Wintersemester 2015/16 Blatt 11 (Besprechung am 27./28. Januar) 1.) Zweiteilchen-Wellenfunktionen (4 Punkte) a) Ein quantenmechanisches System aus zwei identischen Teilchen (z.B. Elektronen) sei durch die normierte Wellenfunktion 𝜓(𝑟⃗1 , 𝑟⃗2 ) beschrieben (der Spin wird hier vernachlässigt). Was ist die physikalische Bedeutung von |𝜓(𝑟⃗1 , 𝑟⃗2 )|2 𝑑 3 𝑟1 𝑑 3 𝑟2 ? Wie lautet formal die Wahrscheinlichkeit, in einem infinitesimalen Volumen 𝑑 3 𝑟 an einem gegebenen Ort 𝑟⃗ = (𝑥, 𝑦, 𝑧) überhaupt ein Elektron zu finden? (1 Punkt) �=𝐻 �1 + 𝐻 �2 . Zeigen Sie, b) Betrachten Sie ein System unabhängiger Teilchen mit 𝐻 dass der Produktansatz 𝜓(𝑟⃗1 , 𝑟⃗2 ) = 𝜑1 (𝑟⃗1 )𝜑2 (𝑟⃗2 ) eine Lösung der ZweiteilchenSchrödingergleichung ist. Hier ist 𝜑𝑎 (𝑟⃗𝑖 ) die Wellenfunktion von einem Elektron an Ort 𝑟⃗𝑖 in Zustand 𝑎. Die 𝜑𝑎 (𝑟⃗𝑖 ) jeweils Lösungen der Einteilchen-Probleme �𝑖 𝜑𝑎 (𝑟⃗𝑖 ) = 𝐸𝑎 𝜑𝑎 (𝑟⃗𝑖 ). Wie groß ist die Gesamtenergie 𝐸? (1 Punkt) 𝐻 c) Bei identischen Teilchen muss die Zweiteilchen-Wellenfunktion (anti-) symmetrisch gegenüber Teilchenvertauschung sein. Für unabhängige Teilchen wird diese Eigenschaft durch den Produktansatz aus b) aber nicht erfüllt. Zeigen Sie, dass die Linearkombinationen 𝜓± (𝑟⃗1 , 𝑟⃗2 ) = 𝑁[𝜑1 (𝑟⃗1 )𝜑2 (𝑟⃗2 ) ± 𝜑1 (𝑟⃗2 )𝜑2 (𝑟⃗1 )] die geforderten (Anti-) Symmetrie-Eigenschaften erfüllen und Eigenfunktionen zum Zwei� aus b) sind. Wie groß muss der Vorfaktor 𝑁 sein, damit teilchen-Hamiltonian 𝐻 𝜓± (𝑟⃗1 , 𝑟⃗2 ) normiert ist (Die 𝜑𝑖 seien orthonormiert)? (2 Punkte) 1/3 2.) Pauli-Prinzip, Hund´sche Regel und Magnetismus (3 Punkte) a) Zeigen Sie: Zwei Elektronen, die denselben Spin besitzen (d.h. identisches 𝑚𝑠 ), können sich nicht am selben Ort aufhalten. (1 Punkt) (Benutzen Sie dafür die Antisymmetrieeigenschaft der Zweiteilchen-Wellenfunktion (Orts- und Spin-Anteil!) gegenüber Teilchenvertauschung und betrachten Sie die räumliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit für den Fall 𝑟⃗1 = 𝑟⃗2 b) Was bedeutet das für den Beitrag der Coulomb-Abstoßung zwischen beiden Elektronen zur Gesamtenergie? Zeigen Sie durch Überlegungen anhand des Coulomb-Integral Δ𝐸 = ∫ 𝑑 3 𝑟1 ∫ 𝑑 3 𝑟2 𝜓 ∗ (𝑟⃗1 , 𝑟⃗2 ) 𝑉(𝑟⃗1 , 𝑟⃗2 ) 𝜓(𝑟⃗1 , 𝑟⃗2 ) , dass durch das Pauli-Prinzip die parallele Spin-Ausrichtung beider Elektronen energetisch gegenüber der antiparallelen Anordnung favorisiert wird. Hierbei ist 𝜓(𝑟⃗1 , 𝑟⃗2 ) die Gesamtwellenfunktion der Elektronen und 𝑉 = 𝑒2 4𝜋𝜀0 |𝑟⃗1 − 𝑟⃗2 |−1 . Der hier betrachtete Mechanismus ist die prinzipielle Ursache für die sogenannten erste Hund´sche Regel (s. Vorlesung) und auch für den Ferromagnetismus bestimmter Metalle. (2 Punkt) 3.) Abgeschlossene Drehimpulsschalen (3 Punkte) �⃗ = 0, ist also Eine vollbesetzte Drehimpulsschale besitzt den Gesamtbahndrehimpuls 𝐿 ein S-Zustand. Dies ist verknüpft mit einer isotropen (d.h. richtungsunabhängigen) Ladungsverteilung aller Elektronen in dieser Schale: 𝜌(𝑟⃗) = 𝜌(𝑟, 𝜗, 𝜑) ≡ 𝜌(𝑟). a) Wie lässt sich diese Ladungsverteilung durch die Wellenfunktionen der Einzelelektronen ausdrücken? Bestimmen Sie die Ladungsverteilung 𝜌(𝑟) resultierend aus der antisymmetrischen Kombination zweier atomaren (orthonormierten) Einelektronen-Wellenfunktionen 𝜑𝑎 (𝑟⃗𝑖 ). Man spricht 𝜑(𝑟⃗𝑖 ) hier wieder als „Wellenfunktion von einem Elektron an Ort 𝑟⃗𝑖 in Zustand 𝑎“. Also ist 𝑖 = 1,2 wieder ein (interner/nicht messbarer) Index, welcher die Elektronen durchnummeriert und 𝑎 = (𝑛, 𝑙, 𝑚)𝑎 ein Index, welcher den Zustand beschreibt - also irgendwie sinnvoll die Quantenzahlen 𝑛, 𝑙, 𝑚 durchnummeriert. Da wir dieselbe Schale untersuchen, ist 𝑛 fest. (1 Punkt) 2/3 b) Allgemein lässt sich die antisymmetrische Kombination von N-atomaren Einelektronen-Wellenfunktionen durch die sogenannte Slater-Determinante verallgemeinern: 𝜑1 (𝑟⃗1 ) 𝜓𝑁 (𝑟⃗1 , … 𝑟⃗𝑁 ) = � ⋮ √𝑁! 𝜑 (𝑟⃗ ) 𝑁 1 1 … 𝜑1 (𝑟⃗𝑁 ) ⋱ ⋮ � … 𝜑𝑁 (𝑟⃗𝑁 ) Vergewissern Sie sich, dass die 2-Teilchen Kombination aus a) diese Form besitzt. Bestimmen Sie danach die Ladungsverteilung 𝜌(𝑟) resultierend aus der antisymmetrischen Kombination von drei atomaren Einelektronen-Wellenfunktionen. (1 Punkt) c) Verallgemeinern Sie (ohne zu rechnen) durch die Ergebniss von 𝑁 = 2 und 𝑁 = 3 die Ladungsverteilung 𝜌(𝑟) für beliebige Anzahl an Elektronen in derselben Schale. Zeigen Sie mit dieser Verallgemeinerung von 𝜌(𝑟) die Isotropie für vollbesetzte p- und d-Schalen unter Zuhilfenahme der in der Vorlesung angegebenen Kugelflächenfunktionen. (1 Punkt) 3/3