Struktur der Materie 1

Struktur der Materie I
Prof. Ronning 2012 - 2013
Molvolumen (22,414 dm3 ): Volumen von 1 mol = 6,022 136 7 · 1023 Teilchen eines Gases bei Normalbedingungen
(p = 1013 hPa, T = 0 ◦C). Seine Masse ist dann (in Gramm) gleich dem Molekulargewicht der Gasmoleküle.
Atomdurchmesser ≈ 1 Å = 10−10 m (Ångström),
e = 1,6 · 10−19 A s,
Zeitskala: 10−15 s = 1 Femtosekunde.
m0 = 9,1 · 10−31 kg =
ˆ 511 keV/c2 .
(E = m0 c2 )
A - abstrahlende Fläche
T - Temperatur
2π 5 k4
σ = 15h3 cB2 = 5,67 · 10−8 m2WK4
ε - Emissivität
Strahlung schwarzer Körper (Stefan-Boltzmann-Gesetz):
P = σAT 4 (·ε)
(Für diese schwarzen Strahler ergibt sich die Wellenlänge der Maximalen Emission über das )
λmax =
Wien’sche Verschiebungsgesetz:
b
T
mit b = 2,9 · 10−3 m K.
Rayleigh-Jeans-Strahlungsgesetz (EM-Wellen mit Annahme mittlere Energie pro Eigenschwingung wν (T ) = kB T ):
kB - Boltzmann-Konstante
8πν 2
c - Lichtgeschwindigkeit
dν
wν (ν) dν = kB T
.
c
|{z} c3
ν = - Frequenz
{z }
wν |
λ
n(ν)
(Infrarot recht gut, UV-Katastrophe)
Max Planck:
h = 6,626 069 57 · 10−34 J s
= 4,135 667 516 · 10−15 eV s
∆E = h ν,
w(ν) dν =
Planck’sches Strahlungsgesetz:
hν
8πν 2
dν
3
ehν/kB T − 1 | c {z }
{z
}
|
n(ν)
wν
Photoelektrischer Effekt:
max
Ekin,e
−
(⇒ Photonen - Mindestenergiequanten)
= hν − Φ,
Φ - Austrittsarbeit
Compton-Effekt: Elastischer Stoß von Röntgenstrahlung (E = h ν) und Elektronen → Streuung mit Energieverlusten.
h
Compton-Streuformel:
λ − λ0 =
(1 − cos(ϕ))
m0 c
de Broglie - Wellenlänge:
λ=
√
h
.
2mEkin
relativistische Energie eines Teilchens: E 2 = p2 c2 + (m0 c2 )2
E
h
Impuls eines Photons: p = cγ = hν
~ = 2π
c = ~k
Eγ
hν
Masse eines Photons: mγ = c2 = c2
Z k0 +∆k/2
X
Beschreibung der Materie durch überlagerte Wellen: Ψ(x, t) = lim
Cj ei(ωj t−kj x) =
C(k)ei(ωt−kx) dk.
j→∞
k0 −∆k/2
j
i(ω0 t−k0 x) sin
∆k
(( dω
dk )k0 t − x) 2
In erster Näherung für kleines Frequenzintervall (⇒ Materie): Ψ(x, t) = 2 C(k0 ) e
.
( dω
dk )k0 t − x
Dabei gilt: vGruppe = vTeilchen = dω
dkR k0 ; und die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte für das Teilchen ergibt sich zu:
∞
2
w(x, t) dx = |Ψ(x, t)| dx; wobei −∞ w(x, t) dx ≡ 1 für alle t.
Heisenberg’sche Unschärferelation: ∆x ∆p ≥ ~ und ∆t ∆E ≥ ~ !
Rydberg-Ritz-Formel zur Beschreibung der Spektrallinien des Wasserstoffatoms: ν = c RH
1
1
− 2
2
n1
n2
n2 > n1 und RH = 109 678 cm−1 =
Bohr’sche Postulate:
1. Es sind nur diskrete Bahnradien mit entsprechenden Energien erlaubt.
2
r = nZ a0 mit a0 =
h2 ε0
πme e2
, mit
m e e4
.
8 ε20 h3 c
≈ 0,53 Å Bohrscher Radius.
2. Die Bewegung auf diesen gequantelten Bahnen erfolgt strahlenlos.
3. Das Elektron kann von einer zur anderen Bahn unter Emission oder Absorption von Energie (Licht) übergehen.
En − En0 = hν
1
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Z - Kernladungszahl
2
2
2
2
2
2
me e Z 1
me e Z 1
1 me e Z 1
−
=−
, n - Hauptquantenzahl.
2 4 ε0 2 h2 n2
4 ε0 2 h2 n2
8 ε0 2 h2 n2
m e e2 Z 2
Somit ergibt sich für Energiedifferenzen: ∆E = hν = Ry n1i 2 − n1k 2
, mit Ry =
≈ 13,6 eV · Z 2 .
8 ε0 2 h2
RyZ=1 entspricht genau der Ionisierungsenergie des Wasserstoffs.
Damit ergibt sich: Eges = Ekin + Epot =
Auch der Drehimpuls ist gequantelt: m v r = n ~ = l ; mit der Nebenquantenzahl l.
Bohr’sches Korrespondenzprinzip:
Im Grenzfall n → ∞ müssen die Aussagen der Quantentheorie mit denen der klassischen übereinstimmen.
Schrödinger-Gleichung (1D, zeitabhängig): −
∂ Ψ(x, t)
~2 ∂ 2 Ψ(x, t)
+ Epot (x, t) Ψ(x, t) = i~
.
2m ∂x2
∂t
~2 d2 ϕ(x)
+ Epot (x) ϕ(x) = Eges ϕ(x)
zeitunabhängige Schrödingergleichung: −
2m dx2
Z ∞
Mit der Normierungsbedingung
|ϕ(x)|2 dx = 1 ist |ϕ(x)|2 die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte.
−∞
Tunneleffekt: Transmissionsvermögen durch ein Rechteckpotential
√ der Länge a und Höhe E0 für ein Teilchen der
1− EE
2m(E0 −E)
0
Energie E < E0 :
T =
.
, mit α =
E0
E
2
~
(1− E )+ 4π sinh (α a)
0
Unendlich hoher Potentialtopf der Länge a: es ergibt sich über die zeitunabhängige Schrödingergleichung:
~2 π 2 2
En = 2m
, wobei n ∈ Z+ \{0} → Nullpunktenergie 6= 0.
a2 n
Harmonischer Oszillator in Parabelpotential: Ep = 12 Dx2 , über Schrödingergleichung: E = (n + 12 )~ω, n ∈ Z+ .
Schrödinger in mehr als 1 Dimension: −
~2
∆Ψ + EP ψ = E Ψ
2m
2
2 2
n2y
nx
π
2D in unendlichem Kastenpotential mit Seitenlängen a,b - 2 Quantenzahlen: E(nx , ny ) = ~2m
+
2
2
a
b
⇒ verschiedene Kombinationen können zum gleichen Energiewert führen (Entartung!).
3D - Wasserstoffatom: 1r -Potential, reduzierte Masse µ → Ψ(r, θ, ϕ) = R(r) Ylm (θ, ϕ) ;
mit den Quantenzaheln Radialteil:
Polarwinkelanteil:
Azimutteil:
n = 1, 2, 3, ...
l = 0, 1, ..., n − 1
ml = −l, −l + 1, ..., l − 1, l
(Historische) Benennung des Bahndrehimpulses l:
Energie: En =
0
s
1
p
2
d
−Z 2 E0
, n = 1, 2, 3, ....
n2
3
f
4
g
Ylm - Kugelfunktionen
Hauptquantenzahl
.
Bahndrehimpuls
magnetische Quantenzahl
(scharf, prinzipal, diffus, fundamental,
.
alphabetisch weiter)
~
B||z-Richtung:
lz = ml ~ .
relativistische Korrektur:
Erel = Enr − ∆E
1
e2
1
Enr Z 2 α2 3
−
, mit α =
≈
(„Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante“),
∆Er =
n
4n l + 12
4πε0 ~c
137
Enr =
⇒ Bei genauem Hinsehen doch nicht entartet!
2
p2
2m0
+ EP .
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normaler Zeeman-Effekt - Verhalten von in Atomen
gebundenen Elektronen in äußerem Magnetfeld:
p
Halbklassisches Modell: gequantelter Drehimpuls |~l| =
l(l + 1)~ , klassische Bahnradien.
e ~
µB
magnetisches Bahnmoment: µ
~l = −
l = − ~l ,
2me
~
potentielle Energie in äußerem Magnetfeld: Epot =
Für Wasserstoff ⇒ En l m = ECoulomb (n, l) + µB m B.
Dann spalten die Energien in 2l + 1 äquidistante Zustände auf: ∆E = µB B.
Emission / Absorption: Photon trägt immer Drehimpuls ±~.
~e
m B (m - magn. Quantenzahl).
2 me
~e
µB =
- Bohrsches Magneton
2 me
⇒ ∆|~l| = ±~ ⇔ Auswahlregel: ∆l = ±1.
In Richtung des angelegten Magnetfeldes: ∆m = ±1 , normal dazu: ∆m = 0, ±1.
Spin des Elektrons:
p
1
Der Spin ~s mit |~s| = s(s + 1)~ und s = ± einer weiteren Quantenzahl ist entweder parallel oder antiparallel zum
2
µB
~s mit dem Landé-Faktor gs (≈ 2 für Elektron).
angelegten Magnetfeld; magnetisches Spinmoment: µ
~ s = −gs
~
Spin-Bahn-Kopplung des Elektrons:
Die Bahnbewegung des Elektrons erzeugt ein Magnetfeld (← Strom), in dem sich das magnetische Moment des Spins
des Elektrons befindet, Gesamtdrehimpuls ~ = ~l + ~s
⇒ weitere Aufspaltung der Energien:
a
µ0 Z e2 ~2
~ = En + [j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)]
Enls = En − µ
~s B
, mit a =
.
2
8π me 2 r3
1
Z 2 α2 3
−
Insgesamt liefert die Berücksichtigung der Feinstruktur: Enlm = Enr 1 −
.
n
4n j + 12
⇒ anomaler Zeeman-Effekt (z.B. bei Natrium).
, n = 4, 1 = 2, j = 25 .
Nomenklatur: 4D 52
Lamb-Verschiebung: Durch Emission und Reabsorption „virtueller Photonen“ führt das Elektron ein Zitterbewegung
auf seiner Ellipsenbahn aus → Verschiebung der Energien.
(→ QED)
Hyperfeinstruktur:
Räumliche Ausdehnung des Kerns
p
µK ~
~ = I(I + 1) ~ und magnetisches Kernmoment µ
→ Kernspin I~ mit |I|
~ I = gI
I
~
e
µB
mit µK =
~≈
Kernmagneton, gI Kern-Landé-Faktor.
2mProton
1836
Mit dem Gesamtdrehimpuls F~ = ~ + I~ ergibt sich:
A
gI µK Bint (j)
EHyperfein = Enls + [F (F +1)−j(j+1)−I(I+1)] , mit der Hyperfeinkonstante A = p
.
2
j(j + 1)
Die analytische Berechnung von Atomen mit mehr Protonen und Elektronen ist dann zu kompliziert, da die Schrödingergleichung aufgrund der nicht mehr vorhandenen Kugelsymmetrie nicht entsprechend separiert werden kann.
Aber: Näherung mit Abschirmungswerten pro Elektron in Abhängigkeit von dessen Bahnradius möglich.
Die Gesamtwellenfunktion eines Systems mit mehreren Elektronen ist immer antisymmetrisch bezüglich der Vertauschung
zweier Elektronen.
ΨGesamt = ΨAtom (~r1 , ~r2 ) χSpin (s, ms )
mit ΨAtom = Ψ1 (~r1 ) Ψ2 (~r2 ) + Ψ1 (~r2 ) Ψ2 (~r1 ) symmetrisch, ΨGesamt antisymmetrisch, χSpin antisymmetrisch.
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Pauli-Prinzip:
Ein durch die Quantenzahlen n, l, ml , ms charakterisierter Zustand kann höchstens von einem Elektron besetzt sein.
Schalenmodell:
Die Verteilung der Elektronen eines Atoms auf die verschiedenen Energiezustände (n, l, ml , ms ) geschieht so, dass:
1. Das Pauli-Prinzip erfüllt ist.
2. Die Gesamtenergie aller Elektronen für den Zustand jedes Atoms minimal wird.
Pro Hauptquantenzahl n gibt es bis zu 2n2 Elektronen. Bezeichung für Schalen bezüglich n:
1
K
2
L
3
M
4
N
5
.
O
Hund’sche Regel:
Im Grundzustand eines Atoms hat der Gesamtspin den größtmöglichen mit dem Pauliprinzip vereinbaren Wert.
Emission und Absorption von Licht - Einsteinkoeffizienten Bik , Bki , Aik :
Atom im Zustand k befindet sich im Strahlungsfeld mit Energiedichte
Photonen im Frequenzintervall ∆ν:
w(ν) = n(ν) h ν
mit n(ν) der Zahl der
a) Wahrscheinlichkeit für Absorption von Photonen: Wk→i = Bki w(ν)
b) Wahrscheinlichkeit für induzierte Emission: Wi→k = Bik wν (ν)
spontan
c) Wahrscheinlichkeite für spontane Emission: Wik
= Aik
Ni
gi − Eki −ET k
B
=
(gi , gk sind die „statise
Nk
gk
tischen Gewichte eines Zustands“ oder auch „der Grad der Entartung“) und mit dem Planck’schen Strahlungsgesetz:
Bik
gk
Aik
8π h ν 3
=
,
=
.
Bki
gi
Bik
c3
Im thermischen Gleichgewicht ergibt sich über die Boltzmann-Verteilung
hν
Die Wahrscheinlichkeit für die induzierte Emission hängt über die mittlere Besetzungszahl e kB T −1 einer Mode des
Strahlungsfeldes mit der der spontanen zusammen:
1
Wik ind = Wik spontan hν
.
kB T
e
−1
Der Erwartungswert einer physikalischen Messgröße eines
ist der Mittelwert dieser Größe gebildet mit der WellenZ Teilchens
∞
∗
funktion des Teilchens:
hxi =
ψ (x) x ψ(x) dx .
−∞
Auswahlregeln:
1. ∆l = ±1
2. ∆s = 0
3. ∆m = 0, ±1
Bei spontaner Emission ergibt sich der Zeitverlauf der Anzahl von Elektronen im Zustand i: Ni (t) = Ni (0) e−Ai t
P
mit Ai = j Aij . Die mittlere Lebensdauer ist dann τi = A1i und aufgrund der Zeit-Energie-Unschärfe ergibt
i
sich eine Linienbreite der ausgesandten Strahlung von: ∆ν = A
2π .
Röntgen-Strahlung („X-Rays“) betsteht aus 2 Charakteristiken:
1. „Bremsstrahlung“ (im Coulombfeld der Atome) und
2. „charakteristischer Röntgenstrahlung“ (durch Anheben und anschließendem Rückbesetzen von Elektronen in
niedrigen Schalen (K- oder L-)).
Laser: Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation .
4

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