Schwingungen und Wellen

Physik
für Oberstufenlehrpersonen
Frühjahrssemester 2016
Schwingungen und Wellen
Zum Einstieg in das neue Semester
Schwingungen
Schwingungen spielen bei natürlichen Prozessen
bedeutende Rolle:
-Hören und Sehen
-Radiowellen
-Schwingungen in Atomen
-Vibrationen in Molekülen
- usw.
Schwingung:
Physikalische Grösse ändert sich
um Ruhewert
Breiten sich Schwingungen räumlich
aus, dann sprechen wir von Wellen
Schwingungsfähige Systeme – harmonische Schwingungen
Harmonische Funktion der Zeit:
Amplitude
Im allgemeinen Fall:
Periode
Funktionen sind Lösung der
Differentialgleichung:
Es ist nämlich:
Beispiel – linearer (eindimensionaler) Oszillator
Bewegungsgleichung für die
horizontale Feder:
Lösung mit Eigenfrequenz:
Totale Energie:
Kinetische
Energie
Potentielle
Energie
Beispiel – linearer (eindimensionaler) Oszillator
Bewegungsgleichung für die
„physikalischehorizontale Feder:
Form“ Newton II
„mathematische
Form“
Lösung mit Eigenfrequenz:
Totale Energie:
Kinetische
Energie
Potentielle
Energie
Beispiel – linearer (eindimensionaler) Oszillator
Holklotz (Breite B, Länge L, Höhe H) im Wasser
In Ruhelage:
Eintauchtiefe:
Nach unten
ausgelenkt:
BewegungsGleichung:
Differentialgleichung und
die Eigenfrequenz der
Lösung:
Beispiel – linearer (eindimensionaler) Oszillator
Bewegungsgleichung für das
Fadenpendel:
Lösung mit Eigenfrequenz:
Totale Energie:
Beispiel – linearer (eindimensionaler) Oszillator
Bewegungsgleichung für das
physikalische Pendel:
Lösung mit Eigenfrequenz:
Totale Energie:
Kinetische (Rotation)
Energie
Potentielle
Energie
………… siehe Torsionspendel!
Beispiel – linearer (eindimensionaler) Oszillator
Bewegungsgleichung für das
physikalische Pendel:
Lösung mit Eigenfrequenz:
Totale Energie:
Kinetische (Rotation)
Energie
Potentielle
Energie
Kraft proportional zur Auslenkung – harmonische Funktionen
Horizontale Feder
Vertikale Feder
Mathematisches Pendel
Kraft proportional zur Auslenkung – harmonische Funktionen
Allgemeine Form der
Differentialgleichung:
Lösung:
Kraft proportional zur Auslenkung – Lösungsschema für die Beispiele
Gedämpfte Schwingung
Bewegungsgleichung für die
gedämpfte Schwingung:
Allgemeine Form:
Viskose Reibungskraft:
Lösung mit Eigenfrequenz:
Abklingzeit:
Dämpfungskonstante:
Gedämpfte Schwingung
Bewegungsgleichung
(Differentialgleichung):
oder
Zusätzlicher Term (viskose Reibung)!
Lösung für schwache Dämpfung:
Gedämpfte Schwingung
Zeitlicher Verlauf der
Amplitude für ein Pendel
mit verschieden starker
Dämpfung:
Ungedämpfte
Schwingung
Erzwungene Schwingung - Resonanz
Erzwungene Schwingung :
Systeme die schwingen
sollen:
- Resonatoren
z.B. Radiosender, usw
Systeme die nicht
Schwingen sollen:
- Schwingen muss
verhindert werden
z.B. Brücke, Auto, usw
Reaktion eines Systems auf einen periodischen
Antrieb
Zur Erinnerung -
Bremsen, Schubumkehr und Anfahren eines Schiffes
Was passiert, wenn ich das ganze periodisch mache?
Beispiel – Erzwungene Schwingung eines viskos gebremsten Körpers
Bewegungsgleichung für die erzwungene
Schwingung eines viskos gebremsten Körpers:
Mit:
Lösung nach Einschwingvorgang:
Amplitude:
Phase:
Amplitude wie
Phase sind
frequenzabhängig
Beispiel – Erzwungene Schwingung eines schwingungsfähigen Systems
Bewegungsgleichung für die erzwungene
Schwingung eines schwingungsfähigen
Systems:
Motor
Newton II
viskose
Reibung
SpiralFeder
Lösung nach Einschwingvorgang:
Amplitude:
Phase:
Amplitude wie
Phase sind
frequenzabhängig
Beispiel – Erzwungene Schwingung eines schwingungsfähigen Systems
Frequenzabhängigkeit der
Amplitude für ein
schwingungsfähiges System
in der Nähe der Resonanz:
Für verschieden starke
Dämpfung!
Siehe: Praktikumsversuch
Resonanz
Zusammenfassung Schwingungen (1)
Zusammenfassung Schwingungen (2)
Zusammenfassung Schwingungen (3)
Zusammenfassung Schwingungen (4)
Zusammenfassung Schwingungen (5)
Gekoppelte Schwingungen
Zwei identische ungedämpfte lineare
Oszillatoren im ungekoppelten Fall:
Kopplung durch Verbindungsfeder mit
Bewegungsgleichung für das gekoppelte
System:
Kopplungsfeder
Gekoppelte Schwingungen
Mit den Substitutionen:
Koordinate des Schwerpunktes
Abstand oder relative Position
der beiden Massen
Entkoppelte Gleichungen:
Eigenfrequenzen oder die Normalfrequenzen des Systems:
Gekoppelte Schwingungen
Für relativ schwache Kopplung
Es ist:
Normalschwingungen:
1. Normalschwingung (in Phase)
a1 , a 2
2. Normalschwingung (180° phasenverschoben)
a 3 ,a 4
Merke: Zwei Massen – zwei Normalschwingungen ….
Gekoppelte Schwingungen
Schwingungszustand aus Superposition der beiden Normalschwingungen
mit z.B. Masse 2 in Ruhe und Masse 1 in ihrer Extremalposition am Anfang
Normalschwingungen:
Auslenkung der Massen 1 und 2:
Langsame Modulation Schwebung
Gekoppelte Schwingungen
Energie wird von einem Oszillator auf den andern übertragen
Zeit umso länger, je schwächer die
Kopplung ist!
Für eine Kette von N gekoppelten
Oszillatoren existieren N NormalSchwingungen (z.B. 3 wie in Abb.)
Wird zur Zeit t=1 nur der erste Oszillator
der Kette ausgelenkt, so überträgt sich
seine Energie auf den zweiten, von diesem
auf den dritten und so fort. Die Störung
pflanzt sich längs der Kette fort – wir erhalten eine Welle.

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