Reibung zwischen festen KΓΆrpern, Haften und Gleiten

Reibung zwischen festen Körpern, Haften und Gleiten
𝐹21 = βˆ’πΉ12
𝐹𝑖π‘₯ = 0: βˆ’ 𝐻 + 𝐺sinπœ‘ = 0 β†’ 𝐻 = 𝐺sinπœ‘
𝐻 = 𝑁tanπœ‘
𝐹𝑖𝑦 = 0: 𝑁 βˆ’ 𝐺cosπœ‘ = 0 β†’ 𝑁 = 𝐺cosπœ‘
Solange der Körper haftet, ist H eine Bedingungskraft,
sie ergibt sich aus den Gleichgewichtsbedingungen!
Mechanik IA
Haften:
Korrespondierende Berührungspunkte der beiden Kontaktpartner haben im betrachteten
Augenblick den gleichen Geschwindigkeitsvektor.
In der Statik heißt das: keine Relativbewegung der Kontaktpartner zueinander.
πœ‘max = 𝜌𝐻 …Haftgrenzwinkel
Der Körper ist im Gleichgewicht, solange πœ‘ ≀ 𝜌𝐻 und
somit tanπœ‘ ≀ tan𝜌𝐻 ,
also solange: |𝐻| ≀ |𝑁|tan𝜌𝐻
Definition: Haftgrenzzahl: πœ‡π» = tan𝜌𝐻 ( πœ‡π» ≑ πœ‡0 )
Die Haftbedingung lautet somit:
|𝐻| ≀ πœ‡π» |𝑁|
N muss in den Körper hineinzeigen, ansonsten kommt es zum Abheben!
Wenn also N so (in den Körper zeigend) eingezeichnet wird, und die
Rechnung ergibt 𝑁 < 0, so kommt es zum Abheben.
Mechanik IA
Gleiten:
Die beiden Körper werden relativ zueinander bewegt.
𝐹𝑖π‘₯ = 0: β†’ 𝑅 = 𝑆
𝐹𝑖𝑦 = 0: β†’ 𝑁 = 𝐺
Für Gleiten gilt: 𝑅 ist proportional zu 𝑁 , bzw. |𝑅| = |𝑁|tan𝜌𝐺
Definition: Gleitreibungskoeffizient: πœ‡πΊ = tan𝜌𝐺 ( πœ‡πΊ ≑ πœ‡)
Coulombsche Reibung:
𝑅 = πœ‡πΊ |𝑁|
R zeigt stets gegen die Relativbewegung der Berührfläche β‡’ R ist eine eingeprägte Kraft!
Mechanik IA
Bemerkungen:
Die Haftgrenzzahl πœ‡π» sowie der Gleitreibungskoeffizient πœ‡πΊ sind unabhängig von N. Sie sind nur
eine Funktion der Materialpaarung!
Normalerweise ist πœ‡πΊ etwas kleiner als πœ‡π» . Das kann bei Reibkontaktproblemen zu
abwechselndem Haften und Gleiten führen.β†’ stick – slip
πœ‡π»
πœ‡πΊ
Stahl – Stahl
0,45 – 0,80
0,40 – 0,70
Stahl – Grauguss
0,18 – 0,24
0,17 – 0,24
0,027
0,014
0,50 – 0,65
0,20 – 0,50
Typische Werte:
Stahl - Eis
Holz – Metall
Zusammenfassung:
Haften:
|𝐻| ≀ πœ‡π» |𝑁|
Coulomb-Morinsche Reibungsgesetze
Gleiten:
Mechanik IA
|𝑅| = πœ‡πΊ |𝑁|
Grafische Interpretation:
Im Fall des Gleitens liegt K genau im
Mantel des Gleitreibungskegels:
Haften:
|𝐻|
≀ tan𝜌𝐻 β†’
|𝑁|
tanπœ‘ ≀ tan𝜌𝐻 β‡’ πœ‘ ≀ 𝜌𝐻
Haften, solange K innerhalb des
Haftgrenzkegels liegt.
Mechanik IA
Zustände außerhalb gibt es nicht!
Bsp.: Eine (masselose) Leiter lehnt an
der Wand
Geg.: 𝛼, πœ‡π»,1 , πœ‡π»,2 , Länge 𝑙
Ges.: ab welcher Position x beginnt die
Leiter zu rutschen?
P
x
Mechanik IA
Bsp.: Eine (masselose) Leiter lehnt an
der Wand
Geg.: 𝛼, πœ‡π»,1 , πœ‡π»,2 , Länge 𝑙
Ges.: ab welcher Position x beginnt die
Leiter zu rutschen?
P
x
Mechanik IA
Bsp.: Eine (masselose) Leiter lehnt an
der Wand
Geg.: 𝛼, πœ‡π»,1 , πœ‡π»,2 , Länge 𝑙
Ges.: ab welcher Position x beginnt die
Leiter zu rutschen?
P
x
Mechanik IA
Bsp.: Eine (masselose) Leiter lehnt an
der Wand
Geg.: 𝛼, πœ‡π»,1 , πœ‡π»,2 , Länge 𝑙
Ges.: ab welcher Position x beginnt die
Leiter zu rutschen?
P
xmax
Mechanik IA
Bsp.: Eine Masse auf einer schiefen Ebene wird durch eine Kraft P im Gleichgewicht gehalten.
Geg.: πœ‘ > 𝜌𝐻 , G
Ges.: 𝑃min < 𝑃 < 𝑃max für Gleichgewicht
Mechanik IA
𝐹𝑖π‘₯ = 0: βˆ’ 𝑃 + 𝐺sinπœ‘ + 𝐻 = 0
β†’ 𝐻 = 𝐺sinπœ‘ βˆ’ 𝑃
𝐹𝑖𝑦 = 0: 𝑁 βˆ’ 𝐺cosπœ‘ = 0
β†’ 𝑁 = 𝐺cosπœ‘
Für Haften muss |𝐻| ≀ πœ‡π» 𝑁 gelten, also:
für 𝐺sinπœ‘ βˆ’ 𝑃 > 0: 𝐺sinπœ‘ βˆ’ 𝑃 < πœ‡π» 𝐺cosπœ‘ β‡’ 𝑃 > 𝐺(sinπœ‘ βˆ’ πœ‡π» cosπœ‘) = 𝑃min
für 𝐺sinπœ‘ βˆ’ 𝑃 < 0: 𝑃 βˆ’ 𝐺sinπœ‘ < πœ‡π» 𝐺cosπœ‘ β‡’ 𝑃 < 𝐺(sinπœ‘ + πœ‡π» cosπœ‘) = 𝑃max
𝐺(sinπœ‘ βˆ’ πœ‡π» cosπœ‘) < 𝑃 < 𝐺(sinπœ‘ + πœ‡π» cosπœ‘)
Mechanik IA
Bsp.: Ein zylindrischer Bolzen steckt in einer Bohrung und wird exzentrisch belastet.
𝐹𝑖π‘₯ = 0: βˆ’ 𝑁1 + 𝑁2 = 0 β†’ 𝑁1 = 𝑁2 = 𝑁
𝐹𝑖𝑦 = 0: 𝐻1 + 𝐻2 βˆ’ 𝑃 = 0
Für Haften gilt |𝐻1 | ≀ πœ‡π» |𝑁1 |, |𝐻2 | ≀ πœ‡π» |𝑁2 |
β†’ 2πœ‡π» 𝑁 β‰₯ 𝑃 β†’ 𝑁 β‰₯
𝑃
2πœ‡π»
𝑀𝑖2 = 0: 𝑁1 β„Ž + 𝐻1 2π‘Ÿ βˆ’ 𝑃(π‘Ÿ + 𝑒) = 0
β†’
π‘ƒβ„Ž
𝑃
+ πœ‡π»
2π‘Ÿ βˆ’ 𝑃(π‘Ÿ + 𝑒) ≀ 0
2πœ‡π»
2πœ‡π»
Selbstsperrung, Selbsthemmung
π‘ƒβ„Ž
β„Ž
βˆ’ 𝑃𝑒 ≀ 0 β‡’ 𝑒 β‰₯
2πœ‡π»
2πœ‡π»
Mechanik IA
Die Selbstsperrung hat in der Technik sehr viele Anwendungen, z.B. bei Schrauben, oder
Schraubzwingen:
Selbsthemmung
Mechanik IA
Selbsthemmung
Seilreibung
Ein Seil wird über
eine
festgehaltene
Rolle gezogen
𝑑𝑁 βˆ’ π‘†π‘‘πœ‘ = 0 β†’ 𝑆 =
Gleichgewicht in radialer Richtung:
Gleichgewicht in Umfangsrichtung:
Gleiten!
βˆ’π‘† + 𝑆 +
𝑑𝑁
π‘‘πœ‘
𝑑𝑆
𝑑𝑆
𝑑𝑁
π‘‘πœ‘ βˆ’ 𝑑𝑅 = 0 β†’
βˆ’ πœ‡πΊ
=0
π‘‘πœ‘
π‘‘πœ‘
π‘‘πœ‘
πœ‡ 𝑑𝑁
𝐺
𝑆2
𝑑𝑆
𝑑𝑆
βˆ’ πœ‡πΊ 𝑆 = 0 β†’
= πœ‡πΊ π‘‘πœ‘ β†’
π‘‘πœ‘
𝑆
𝑑𝑆
=
𝑆
𝑆1
also:
Mechanik IA
𝑆2 = 𝑆1 𝑒 πœ‡πΊ 𝛼
𝛼
πœ‡πΊ π‘‘πœ‘ β†’ ln𝑆2 βˆ’ ln𝑆1 = πœ‡πΊ 𝛼 β†’ ln
0
Seilreibungsgleichung nach (Euler-) Eytelwein
𝑆2
𝑆2
= πœ‡πΊ 𝛼 β†’ = 𝑒 πœ‡πΊ 𝛼
𝑆1
𝑆1
Im Falle des Haftens des Seiles an der Rolle gilt obige Herleitung analog. Es ergibt sich dann:
𝑆2 ≀ 𝑆1 𝑒 πœ‡π» 𝛼
Praktische Anwendung, z.B. Schiffspoller:
Mechanik IA