Julius-Maximilians-Universität Würzburg
Fakultät für Mathematik und Informatik
Institut für Mathematik
Bachelorarbeit
Algebraische Kurven konstanter Breite
Katja Mönius
Eingereicht am 13.01.2016
Betreuer
Prof. Dr. Jörn Steuding
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Konventionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
2 Grundlegendes zu Kurven mit konstanter Breite
4
3 Konstruktion einer ebenen algebraischen Kurve
3.1 Konvexe Kurven . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Die Support-Funktion für Gleichdicks . . .
3.2.1 Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Das erste Gleichdick . . . . . . . . .
3.3 Das zugehörige Polynom . . . . . . . . . . .
konstanter Breite
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7
7
8
9
10
11
4 Wahl der Support-Funktion zur Parametrisierung gewünschter Gleichdicks
19
5 Gesamtheit ebener algebraischer Kurven mit konstanter Breite
5.1 Numerischer Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Test einer algebraischen Kurve auf konstante Breite . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Klassifizierung von Quadriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Ausblick: Klassifizierung von Polynomen höheren Grades . . . . . . . . . .
5.2 Ansatz mittels Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Gesamtheit algebraischer K-Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Klassifizierung von K-Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Zusammenhang zwischen algebraischen K-Kurven und algebraischen Kurven
konstanter Breite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
23
25
27
27
31
31
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Literatur
35
Anhang
36
2
1 Einführung
1.1 Problemstellung
Schließt man einen Kreis zwischen zwei parallelen, den Kreis berührenden Geraden ein, so ist es
einleuchtend, dass der Abstand dieser beiden Geraden immer gleich ist, egal an welcher Stelle man
diese wählt. Doch es gibt noch andere Kurven, welche dieselbe Eigenschaft besitzen: sogenannte
Gleichdicks.
Kurven dieser Art sind von großer Bedeutung, da sie beispielsweise zum Bohren eckiger Löcher
(US-Patent 1241175) oder zur Minimierung der Materialkosten von Münzen verwendet werden.
Eine Münze sollte nämlich unabhängig davon, wie man sie dreht, in einen Automaten eingeworfen
werden können. Jedes Gleichdick erfüllt diese Eigenschaft und alle Gleichdicks ungleich dem Kreis
haben zudem einen geringeren Flächeninhalt als dieser, d.h. es ist weniger Material zur Herstellung
einer Münze notwendig.
Stanley Rabinowitz stellt in seiner Arbeit [1] eine Parametrisierung vor, mit der es möglich ist, Kurven dieser Art zu erzeugen. Anschließend ermittelt er zu einem bestimmten Gleichdick ein Polynom,
dessen Nullstellenmenge diese Kurve beschreibt. Dieses Polynom ist allerdings so kompliziert, dass
er am Ende seiner Arbeit die Frage stellt, ob womöglich ein anderes Gleichdick, das mittels seiner
Konstruktion parametrisiert werden kann, durch ein schöneres Polynom von kleinerem Grade beschrieben wird. Außerdem stellt er die Frage, welches der kleinstmögliche Grad eines Polynoms sei,
sodass dieses ein Gleichdick ungleich dem Kreis beschreibt.
Ziel dieser Arbeit ist es, Rabinowitz’ Fragen zu beantworten. Dazu wird zunächst seine Konstruktion mit einigen Ergänzungen vorgestellt und anschließend im Bezug auf seine Fragen genauer
untersucht. Es wird gezeigt, dass kein Polynom kleineren Grades existiert, welches ein Gleichdick
ungleich dem Kreis beschreibt.
1.2 Konventionen
Zum Verständnis dieser Arbeit sind Grundkenntnisse in den Bereichen Analysis und Algebra erforderlich. Zudem sind Grundkenntnisse im Bereich Numerik und Geometrie hilfreich.
Als Kurve ist im Folgenden stets eine ebene Kurve in der euklidischen Ebene R2 zu verstehen.
Eine Teilmenge C ⊆ R2 heißt algebraische Kurve, wenn es ein Polynom p ∈ R[x, y] gibt, mit
grad(p) > 1 und
C = {(x, y) ∈ R2 | p(x, y) = 0}.
Man sagt, C wird durch p beschrieben.
Eine geschlossene Kurve C ⊆ R2 heißt konvex, falls C der Rand einer konvexen Teilmenge des R2
ist.
Seien P, Q ∈ R2 , so bezeichne im Folgenden P Q die Verbindungsgerade von P und Q und [P Q] die
Strecke zwischen diesen Punkten. Die Länge dieser Strecke wird mit [P Q] bezeichnet. Des Weiteren
bezeichne g ∩ h den Schnittpunkt zweier Geraden g und h.
3
2 Grundlegendes zu Kurven mit konstanter Breite
Zunächst werden ein paar grundlegende Begriffe geklärt.
2.1 Definition. Sei C ⊆ R2 eine geschlossene konvexe Kurve und θ ∈ [0, 2π). Seien weiter g eine
Gerade, welche den Winkel θ mit der x-Achse einschließt, und h, h0 zwei verschiedene Tangenten
an C, welche senkrecht auf g stehen. Dann heißt die Länge der Strecke [(g ∩ h)(g ∩ h0 )] Breite von
C in Richtung θ.
g
C
•
θ
h
•
h0
Abbildung 1: Breite einer konvexen Kurve
Wegen der Konvexität von C sind h und h0 bis auf Umnummerierung eindeutig bestimmt.
Die Gerade (h ∩ C)(h0 ∩ C) wird als Stütznormale von C bezeichnet.
2.2 Definition. Eine konvexe Kurve C heißt von konstanter Breite bzw. Gleichdick, falls die
Breite von C in Richtung θ für alle θ ∈ [0, 2π) gleich ist.
2.3 Beispiele.
• Jeder Kreis ist ein Gleichdick. Die Breite entspricht genau dem Durchmesser, welcher bekanntlich in jeder Richtung gleich ist.
Abbildung 1 zeigt einen Kreis mit einer beliebigen Gerade g und den zwei dazu eindeutig
bestimmten senkrechten Tangenten h, h0 . Die Distanz zwischen den beiden Schnittpunkten
der drei Geraden entspricht genau dem Durchmesser des Kreises.
Jeder Kreis wird durch das Polynom
p(x, y) = x2 + y 2 − r
beschrieben, wobei r den Radius des Kreises bezeichne.
4
• Das nach dem deutschen Ingenieur Franz Reuleaux benannte Reuleaux-Dreieck (vgl. [2])
entsteht durch Konstruktion von Kreisbögen um ein gleichseitiges Dreieck, siehe Abbildung
2. Neben dem Kreis ist dies wohl das bekannteste aller Gleichdicks, denn es besitzt unter
allen Gleichdicks minimalen Flächeninhalt, wohingegen dieser beim Kreis maximal ist (vgl.
[3]).
Abbildung 2: Reuleaux-Dreieck
Analog kann aus jedem regulären 2n + 1−Eck ein Gleichdick konstruiert werden.
5
2.4 Bemerkung.
Die Definition eines Gleichdicks kann auch für beliebige Kurven C eingeführt werden, wie es Friedrich Schilling in [4] ausgeführt hat. Dafür sei zunächst nur vorausgesetzt, dass C ⊆ R2 aus einer
endlichen Anzahl einzelner “Teilbögen” besteht, welche sich jeweils durch Funktionen ψ, η mit
x = ψ(θ),
y = η(θ)
parametrisieren lassen, wobei θ ∈ [a, b] ist für ein endliches Intervall [a, b] mit a, b ∈ R. Dabei
sollen ψ, η zwei reelle, endliche, stetige und nicht beide konstante Funktionen sein, mit endlichen
und stetigen ersten Ableitungen ψ 0 , η 0 , welche für alle Punkte des Intervalls (a, b) nicht gleichzeitig
0 (θ)
verschwinden. Für θ ∈ {a, b} mit ψ 0 (θ) = η 0 (θ) = 0 soll zumindest einer der beiden Quotienten ψη0 (θ)
0
oder ψη 0(θ)
(θ) einen endlichen Grenzwert haben.
Als Stützgeraden werden dann jene Geraden g bezeichnet, welche C in mindestens einem Punkt
treffen und für die gilt, dass alle anderen Punkte von C\(g ∩ C) auf einer Seite der Geraden liegen,
also jede Parallele zu g auf der anderen Seite keinen Punkt von C trifft. Die Definition beinhaltet
also sowohl gewöhnliche Tangenten an C, als auch Geraden durch Eck- und Endpunkte. In jeder
Richtung gibt es nun genau zwei Stützgeraden h, h0 , welche zusammen die Kurve C einschließen.
Die Breite von C sei nun wiederum als der Abstand zwischen h und h0 erklärt.
Der folgende Satz ist entscheidend für das Fazit dieser Bemerkung:
2.4.1 Satz. Sei C eine Kurve konstanter Breite. Dann trifft jede Stützgerade die Kurve in genau
einem Punkt.
Beweis: Seien h1 , h2 parallele Stützgeraden an C mit Abstand b. Angenommen es existieren
P1 , P10 ∈ h1 ∩ C. Für P2 ∈ h2 ∩ C ist dann mindestens eine der Strecken [P1 P2 ] bzw. [P10 P2 ]
echt länger als b (vgl. Abb. 3), o.B.d.A. [P10 P2 ]. Seien nun h01 , h02 die parallelen Stützgeraden, welche
senkrecht auf P10 P2 stehen. Dann folgt wegen [P10 P2 ] > b, dass auch der Abstand zwischen h01 und
h02 echt größer als b ist (vgl. Abb. 4), ein Widerspruch zur konstanten Breite von C.
h1
h02
h2
b
P1•
h01
P1•
•
P2
•P2
P10 •
>b
P10 •
Abbildung 3
>b
Abbildung 4
Aus diesem Satz folgt sofort, dass C ihrer konvexen Hülle entspricht, also selbst konvex ist. Daher
kann die Definition eines Gleichdicks auf konvexe Kurven beschränkt werden.
6
3 Konstruktion einer ebenen algebraischen Kurve konstanter Breite
In diesem Abschnitt wird die Parametrisierung einer algebraischen Kurve mit konstanter Breite
hergeleitet und anhand dieser das zugehörige Polynom bestimmt, welches die Kurve beschreibt.
Dafür wird zunächst allgemein die Parametrisierung einer konvexen Kurve hergeleitet. Anschließend
werden zwei Verfahren zur Ermittlung des Polynoms, welches eine Kurve konstanter Breite zu
gegebener Parametrisierung beschreibt, vorgestellt.
3.1 Konvexe Kurven
Sei C eine beliebige geschlossene konvexe Kurve, welche o.B.d.A. im Inneren den Ursprung O enthält. Es sei nun eine beliebige Tangente t an C gewählt, welche die Kurve im Punkt P (x, y) berührt,
sowie die Verbindungsgerade OH so, dass diese senkrecht auf t steht, wobei H den Schnittpunkt
der Geraden mit der Tangente bezeichne. Dann bezeichne θ den Winkel, den die Gerade OH mit
der positiven x−Achse einschließt. Weiter sei p(θ) definiert als p(θ) := [OH], also die Länge der
Strecke [OH]. Die Funktion p(θ) wird Support-Funktion von C genannt. Mithilfe dieser Funktion
lässt sich nun eine Gleichung der Tangente t bestimmen. Dafür seien (x, y) die Koordinaten des
Punktes P . Ein Kreis um O mit Radius p(θ) zeigt, dass H die Koordinaten p(θ) cos θ, p(θ) sin θ
besitzt, siehe Abbildung 5.
t
•
H
·
p(θ)
sin θp(θ)
P (x, y)
•
• θ
O
cos θp(θ)
Abbildung 5: Konvexe Kurve und ihre Support-Funktion
Damit ist t ebenfalls Tangente an diesem Kreis und besitzt folglich die Gleichung
y = − cot θ · x +
p(θ)
.
sin θ
Da C konvex ist, entspricht die konvexe Hülle von C der Kurve selbst. Daher kann zur Bestimmung
der Parametrisierung von C das aus [5] bekannte Lemma verwendet werden.
7
3.1.1 Lemma. Sei f (x, y, α) = 0 eine Familie von Geraden. Dann ist die Gleichung der konvexen
Hülle dieser Geraden durch Elimination der Variablen α aus den zwei Gleichungen f (x, y, α) = 0
d
und dα
f (x, y, α) = 0 gegeben.
Für α = θ sei also nun
f (x, y, θ) := y + cot θ · x −
Ableiten ergibt
p(θ)
.
sin θ
x
p0 (θ) · sin θ − p(θ) · cos θ
d
f (x, y, θ) = − 2 −
,
dθ
sin θ
sin2 θ
also gilt
d
f (x, y, θ) = 0
dθ
genau dann, wenn
0 = x + p0 (θ) · sin θ − p(θ) · cos θ.
Damit ergeben sich als Gleichungen für die konvexe Hülle
x = p(θ) · cos θ − p0 (θ) · sin θ,
y = p(θ) · sin θ + p0 (θ) · cos θ,
mit θ ∈ [0, 2π).
3.2 Die Support-Funktion für Gleichdicks
Die Breite ω(θ) einer konvexen Kurve in Richtung θ entspricht nach obiger Konstruktion
ω(θ) = p(θ) + p(θ + π).
Um also eine Kurve mit konstanter Breite zu erhalten, muss die Gleichung
ω(θ) = c
für eine Konstante c erfüllt sein. Offensichtlich gilt dies für p(θ) = a, für alle θ ∈ [0, 2π), mit einer
beliebigen Konstante a. Dann folgt p0 (θ) = 0 und man erhält die Parametrisierung
x = a · cos θ,
y = a · sin θ,
also die eines Kreises mit Radius a. Da jedoch nach nichttrivialen Gleichdicks gesucht wird, werden
im Folgenden ebenso nichttriviale Lösungen der Gleichung ω(θ) = c erörtert. Dabei wird das
Resultat von Alexander Kharazishvili aus [6] hergeleitet, der sich bereits mit dieser Frage beschäftigt
hat.
Da p(θ) offensichtlich 2π-periodisch ist, ist es naheliegend diese Funktion mittels trigonometrischer Funktionen darzustellen. Dies ist die Idee der Fourier-Analyse, welche mit Hilfe von [7] im
Folgenden kurz erläutert wird.
8
3.2.1 Fourier-Reihe
Sei f eine beliebige reelle Funktion. Aus dem Ansatz
f (θ) =
∞
X
dn cos(nθ + ϕn ),
n=0
erhält man mit Hilfe des Additionstheorems
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
die Darstellung
∞
X
f (θ) =
dn cos(nθ + ϕn )
n=0
= d0 cos ϕ0 +
∞
X
dn (cos ϕn cos nθ − sin ϕn sin nθ)
n=1
∞
a0 X
+
(an cos nθ + bn sin nθ),
2
n=1
=
mit a0 = 2d0 cos ϕ0 , an = dn cos ϕn und bn = −dn sin ϕn .
Da in dieser Arbeit keine Funktionen mittels eines trigonometrischen Polynoms approximiert werden, sondern lediglich periodische Funktionen mit einer bestimmten Eigenschaft konstruiert werden
sollen, wird auf die konkrete Bestimmung der Koeffizienten zu gegebener Funktion f und Konvergenz der Reihendarstellung gegen f nicht weiter eingegangen. Deshalb werden im Folgenden nur
P
endliche Partialsummen von a20 + ∞
n=1 (an cos nθ + bn sin nθ) betrachtet, wobei stets N ∈ N sei.
Sei also nun
p(θ) =
N
a0 X
+
(an cos nθ + bn sin nθ).
2
n=1
Dann gilt
N
a0 X
an cos n(θ + π) + bn sin n(θ + π)
+
2
n=1
p(θ + π) =
und damit
ω(θ) = p(θ) + p(θ + π)
= a0 + 2
N
X
(an cos nθ + bn sin nθ)
n=1
n gerade
N
X
+
an cos nθ + cos n(θ + π) + bn sin nθ + sin n(θ + π)
n=1
n ungerade
= a0 + 2
N
X
(an cos nθ + bn sin nθ).
n=1
n gerade
Hierbei wurde die 2π-Periodizität von Sinus und Kosinus, sowie die Identitäten cos(α) = − cos(α +
π) und sin(α) = − sin(α + π) ausgenutzt.
9
Aus
c = ω(θ)
für eine Konstante c, folgt nun die Bedingung
N
X
2
(an cos nθ + bn sin nθ) = 0.
n=1
n gerade
Folglich hat p(θ) die Form
p(θ) =
N
X
a0
+
2
(an cos nθ + bn sin nθ)
n=1
n ungerade
0
=
N a0 X
a2n+1 cos (2n + 1)θ + b2n+1 sin (2n + 1)θ ,
+
2
n=0
mit
N0 =
N −2 ,
N gerade
N −1 ,
N ungerade
2
2
.
Das Gleichdick mit Support-Funktion p(θ) besitzt dann die Breite a0 .
Des Weiteren gilt für die Bogenlänge
L(s) =
Z sq
x0 (θ)2 + y 0 (θ)2 dθ
0
dieser Kurven mit Support-Funktion p(θ), dass
L(2π) =
Z 2π q
− sin θ p(θ) + p00 (θ) + cos θ p(θ) + p00 (θ) dθ
0
Z 2π
=
p(θ) + p00 (θ) dθ
0
=
Z 2π
a0
0
2
dθ
= a0 π.
Tatsächlich gilt für alle Kurven konstanter Breite b die Eigenschaft, dass deren Bogenlänge die
Länge bπ hat (vgl. [4]).
3.2.2 Das erste Gleichdick
Wählt man beispielsweise a0 = 16, a3 = 1 und die restlichen Koeffizienten gleich 0, so erhält man
die Support-Funktion p(θ) = 8 + cos(3θ). Dies eingesetzt in die in 3.1 hergeleitete Parametrisierung
für konvexe Kurven, führt zu der Parametrisierung
x = cos θ(8 + cos 3θ) + 3 sin θ sin 3θ,
y = sin θ(8 + cos 3θ) − 3 cos θ sin 3θ
für θ ∈ [0, 2π). Dies ergibt das dem Reuleaux-Dreieck ähnliche Gleichdick (siehe Abb.6).
Wie die Koeffizienten in p(θ) genau gewählt werden müssen, um bestimmte Gleichdicks zu erhalten,
wird in Abschnitt 4 erläutert.
10
Abbildung 6: Mit Mathematica geplottetes Gleichdick
3.3 Das zugehörige Polynom
Um weitere Eigenschaften der konstruierten Kurven konstanter Breite ermitteln zu können, ist es
sinnvoll diese als algebraische Kurven zu betrachten, sofern dies möglich ist. Daher soll nun zu
gegebener Parametrisierung ein Polynom hergeleitet werden, welches diese Kurve beschreibt. Die
Bestimmung dieses Polynoms wird im Folgenden an der in 3.2.2 verwendeten Parametrisierung
vorgeführt.
1. Schritt: Jeder Ausdruck der Form cos aθ und sin aθ mit a 6= 1 wird mit Hilfe der Additionstheoreme in Summen von cos θ und sin θ umgeschrieben. Im gegebenen Beispiel erhält man
x = cos θ(8 − 3 cos θ sin2 θ + cos3 θ) + 3 sin θ(− sin3 θ + 3 cos2 θ sin θ),
y = sin θ(8 − 3 cos θ sin2 θ + cos3 θ) − 3 cos θ(− sin3 θ + 3 cos2 θ sin θ).
2. Schritt: Die Ausdrücke cos θ und sin θ werden durch die Variablen c und s ersetzt und s mit
Hilfe der Identität s2 = 1 − c2 substituiert.
In obigem Beispiel führt dies zu
x = −3 + 8c + 12c2 − 8c4 ,
y 2 = 16(1 − c2 )(2 − 2c3 )2 .
3. Schritt: Um nun aus diesen zwei Gleichungen eine Polynomgleichung ohne der Variablen c zu
erhalten, wird zunächst der Bergriff der Resultante eingeführt.
11
3.3.1 Definition. Sei A ein kommutativer Ring mit 1 und f = a0 X m +...+am , g = b0 X n +...+bn ∈
A[X]. Dann ist die Resultante von f und g erklärt als
··· ···
a0
b
0
Rf,g = det
..
am
..
.
a0
··· ···
..
.
··· ···
am
bn
..
.
.
··· ···
b0
bn
n + m Zeilen.
Nach Definition ist Rf,g ∈ A.
Diese Definition wurde [8] entnommen, ebenso der nächste Satz, der die Bedeutung der Resultante
veranschaulicht.
3.3.2 Satz. Sei A faktoriell und seien f, g ∈ A[X] wie oben mit a0 6= 0 und b0 6= 0. Dann sind
folgende Bedingungen äquivalent:
i) f und g haben in A[X] einen gemeinsamen Faktor vom Grad ≥ 1,
ii) Rf,g = 0 in A.
Der Beweis kann ebenfalls [8] entnommen werden.
Man betrachte nun
f (c) := −3 + 8c + 12c2 − 8c4 − x
und
g(c) := 16(1 − c2 )(2 − 2c3 )2 − y 2
als zwei Polynome in R[c] mit Koeffizienten abhängig von x und y. Dann kann Rf,g als ein Polynom
in den Unbekannten x und y aufgefasst werden. Ferner gilt Rf,g (x, y) = 0 genau dann, wenn (x, y)
eine Nullstelle von Rf,g ist und damit eine gemeinsame Nullstelle von f und g nach Satz 3.3.2.
Folglich ist Rf,g das gesuchte Polynom.
Im konkreten Beispiel wurde dieses mit Hilfe von Mathematica berechnet und sieht wie folgt aus:
Rf,g (x, y) = 16777216(−182284263 + 16x7 + x8 + 4960116y 2 − 32562y 4
−28y 6 + y 8 + 4x6 (9 + y 2 ) − 16x5 (270 + y 2 ) − 48xy 2 (9477 − 270y 2 + y 4 )
+6x4 (−5427 − 78y 2 + y 4 ) − 16x3 (−9477 − 540y 2 + 5y 4 )
+4x2 (1240029 − 16281y 2 + 123y 4 + y 6 )).
12
Das Gleichdick aus Abbildung 6 ist folglich der Graph der polynomiellen Gleichung
182284263 = 4960116x2 + 151632x3 − 32562x4 − 4320x5 + 36x6 + 16x7 + x8
+4960116y 2 − 454896xy 2 − 65124x2 y 2 + 8640x3 y 2 − 468x4 y 2 − 16x5 y 2 + 4x6 y 2
−32562y 4 + 12960xy 4 + 492x2 y 4 − 80x3 y 4 + 6x4 y 4
−28y 6 − 48xy 6 + 4x2 y 6 + y 8 ,
resultierend aus Rf,g (x, y) = 0.
Hier stellt sich bereits die Frage, wie das Polynom allgemein für Gleichdicks mit zugehöriger
Support-Funktion der Form
p(θ) =
N
a0 X
+
a2n+1 cos (2n + 1)θ
2
n=0
mit N ∈ N0 aussieht. Dabei wird a2N +1 6= 0 angenommen (denn andernfalls kann N kleiner gewählt
werden). Zur Bestimmung dieses Polynoms werden sogenannte Tschebyscheff-Polynome verwendet,
welche wie folgt definiert sind (vgl. [9]):
3.3.3 Definition: Die Funktion Tn : [−1, 1] → R,
Tn (t) = cos n · arccos(t)
heißt Tschebyscheff-Polynom n-ten Grades.
Für Tschebyscheff-Polynome gilt die Rekursion
T0 (t) = 1, T1 (t) = t, Tn+1 (t) = 2tTn (t) − Tn−1 (t),
sowie die Eigenschaft
Tn cos(t) = cos(n · t).
Damit kann p(θ) geschrieben werden als
p(θ) =
N
a0 X
+
a2n+1 T2n+1 (cos θ).
2
n=0
Dies eingesetzt in die in 3.1 hergeleitete Parametrisierung für konvexe Kurven, führt mit c := cos θ
und s := sin θ zu der Parametrisierung
x =
=
y =
a
0
+
2
N
X
a2n+1 T2n+1 (c) c +
n=0
N
X
a
0
2
+
N
X
0
a2n+1 sT2n+1
(c) s
n=0
a0
0
(c) ,
·c+
a2n+1 cT2n+1 (c) + s2 T2n+1
2
n=0
a
= s
0
+
2
a
0
2
N
X
a2n+1 T2n+1 (c) s −
n=0
N
X
+
a
0
2
+
N
X
n=0
13
0
a2n+1 sT2n+1
(c) c
0
a2n+1 T2n+1 (c) − cT2n+1
(c) .
n=0
(1)
(2)
In Gleichung (1) kann nun s2 durch 1 − c2 ersetzt werden. Der rechte Ausdruck entspricht dann
einem Polynom in R[c] vom Grad 2N + 2.
Gleichung (2) muss, wie bereits im vorgeführten Beispiel, quadriert werden, um s zu annullieren.
Durch Quadrieren und Substitution von s2 erhält man
y 2 = (1 − c2 )
a
0
2
N
X
+
0
a2n+1 T2n+1 (c) − cT2n+1
(c)
2
,
n=0
|
{z
}
Grad ≤ 2N +1
|
{z
}
Grad ≤ 2(2N +1)
ein Polynom vom Grad ≤ 2 + 2(2N + 1) = 4N + 4 (ist N > 0, so gilt sogar Gleichheit, welche
im Folgenden o.B.d.A. angenommen wird, da man für den Fall N = 0 die Parametrisierung eines
Kreises erhält, hier aber nach nichttrivialen Gleichdicks gesucht wird). Für die Resultante von
f (c) :=
N
X
a0
0
·c+
a2n+1 cT2n+1 (c) + (1 − c2 )T2n+1
(c) − x
2
n=0
und
2
a
g(c) := (1 − c )
0
2
+
N
X
0
a2n+1 T2n+1 (c) − cT2n+1
(c)
− y2
n=0
gilt folglich
···
p0
Rf,g
q
0
= det
..
p2N +1
.
p0
· · · q4N +3
+4
= ... + p4N
·
0
..
a0
2
−
..
.
0
2
− y2
···
p2N +1
..
.
2N +2
..
.
−x
y2
.
···
q0
a
−x
..
.
q4N +3
a0
2
− y2
+ ...
mit Koeffizienten pi von f (c) und qi von g(c), wobei p0 und q0 jeweils den Leitkoeffizient bezeichne,
welcher folglich ungleich 0 ist. Damit ist auch das Monom
+4
p4N
·
0
a
0
2
− y2
2N +2
in der Variablen y ungleich 0 und hat den Grad 2(2N + 2) = 4N + 4. Da es sich dabei um das
Monom handelt, bei dem in der Determinantenberechnung die meisten Koeffizienten, welche x bzw.
y enthalten, multipliziert werden, gilt folglich auch
Grad(Rf,g ) = 4N + 4,
wobei Rf,g wiederum als Polynom in R[x, y] aufgefasst wird.
14
Das selbe Resultat kann analog für Support-Funktionen der Form
p(θ) =
N
a0 X
+
b2n+1 sin (2n + 1)θ
2
n=0
hergeleitet werden.
Für die allgemeine Form der Support-Funktion, also
p(θ) =
N a0 X
+
a2n+1 cos (2n + 1)θ + b2n+1 sin (2n + 1)θ ,
2
n=0
wobei für mindestens ein (i, j) ∈ ([0, N ] ∩ N0 )2 gilt, dass a2i+1 6= 0 6= b2j+1 , greift dieses Verfahren
allerdings nicht mehr. Dazu wird das folgende Beispiel betrachtet:
Sei
p(θ) = 16 + cos(3θ) + sin(3θ),
so erhält man mittels obigem Vorgehen
x = −3 + 12c2 − 8c4 − 8c3 s + 8c(2 + s)
und
y = −5c2 + 8c4 − 8c3 s − (−16 + s)s.
Beide Ausdrücke hängen noch von s ab. Quadrieren ergibt
x2 = 9 − 256c4 s + 128c7 s − 48c(2 + s) − 64c5 (4 + 5s) + 48c3 (8 + 5s) + 8c2 (31 + 32s)
y 2 = 257 + 16c3 (−16 + s) − 32s + 256c4 s − 128c7 s + 64c5 (4 + s) − 8c2 (31 + 16s),
also wiederum Ausdrücke, die von s abhängen, sodass s nicht mittels s2 = 1 − c2 annulliert werden
kann. Es stellt sich folglich nun als problematisch heraus, Polynome f und g zu bestimmen, welche
ausschließlich von c abhängen, und damit auch, die Resultante Rf,g zu bestimmen. Daher wird
im Folgenden ein alternatives Verfahren vorgestellt, welches auf den Einsatz der Resultante verzichtet und zudem ein schöneres Ergebnis liefert. Dafür werden zunächst sogenannte Gröbnerbasen
eingeführt. Die Notation und Resultate dazu stammen aus [10].
Idee: Sei K ein Körper und seien f1 , ..., fs ∈ K[x1 , ..., xn ] gegeben, mit
f1 (x1 , ..., xn ) = 0,
..
.
fs (x1 , ..., xn ) = 0.
Dann gilt auch
(h1 f1 + h2 f2 + ... + hs fs )(x1 , ..., xn ) = 0,
mit beliebigen h1 , ..., hs ∈ K[x1 , ..., xn ], also
hf1 , ..., fs i(x1 , ..., xn ) = 0.
15
Wegen f1 , ..., fs ⊆ hf1 , ..., fs i gilt sogar die Äquivalenz
f1 (x1 , ..., xn ) = ... = fs (x1 , ..., xn ) = 0
⇔ hf1 , ..., fs i(x1 , ..., xn ) = 0.
Dabei ist
hf1 , ..., fs i =
s
nX
o
hi fi | h1 , ..., hs ∈ K[x1 , ..., xn ]
i=1
ein Ideal des Polynomrings K[x1 , ..., xn ] (das von f1 , ..., fs erzeugte Ideal).
Ein Ideal I heißt endlich erzeugt, falls f1 , ..., fs ∈ K[x1 , ..., xn ] existieren, mit I = hf1 , ..., fs i. Die
Menge {f1 , ..., fs } heißt dann Basis von I.
Man kann nun zeigen, dass jedes Ideal von K[x1 , ..., xn ] endlich erzeugt ist (Hilbertscher Basissatz),
jedoch mehrere Basen haben kann. Gesucht wird daher eine möglichst ”schöne” Basis hg1 , ..., gs i von
hf1 , ..., fs i, mit der Eigenschaft hf1 , ..., fs i = hg1 , ..., gs i, sodass g1 (x1 , ..., xn ) = ... = gs (x1 , ..., xn ) =
0 einfacher zu lösen ist. Dabei kommen die sogenannten Gröbnerbasen zum Einsatz.
3.3.4 Definition. Sei I ⊆ K[x1 , ..., xn ] ein Ideal ungleich dem Nullideal. Der Leitterm LT (p)
eines Polynoms p sei der Term mit dem bezüglich der verwendeten Monomordnung größten Monom.
LT (I) bezeichne die Menge der Leitterme des Ideals I, also
LT (I) = {axα | ∃f ∈ I : LT (f ) = axα }.
Dann heißt eine endliche Teilmenge {f1 , ..., fn } ⊆ I Gröbnerbasis von I, falls
hLT (f1 ), ..., LT (fn )i = hLT (I)i.
Es gilt der folgende Satz:
3.3.5 Satz. Jedes Ideal {0} =
6 I ⊆ K[x1 , ..., xn ] besitzt eine Gröbnerbasis. Ferner ist jede Gröbnerbasis eines Ideals I eine Basis von I.
Dieses Resultat soll nun zur Bestimmung des gesuchten Polynoms verwendet werden. Führt man
den 1. Schritt wie oben durch und ersetzt anschließend die Ausdrücke cos θ und sin θ durch die
Variablen c und s, so erhält man im vorher gescheiterten Beispiel die Polynome
f (c, s, x, y) = −3 + 12c2 − 8c4 − 8c3 s + 8c(2 + s) − x
und
g(c, s, x, y) = −5c2 + 8c4 − 8c3 s − (−16 + s)s − y,
mit f, g ∈ R[c, s, x, y]. Aus der Gleichung s2 = 1 − c2 erhält man noch ein weiteres Polynom
h(c, s, x, y) = s2 − 1 + c2 ,
mit h ∈ R[c, s, x, y]. Gesucht wird nun ein Polynom p ∈ R[x, y] mit der Eigenschaft
p(x, y) = 0 ⇔ f (c, s, x, y) = g(c, s, x, y) = h(c, s, x, y) = 0 ∀c, s ∈ R.
Dazu wird die folgende Definition und der folgende Satz verwendet, welche ebenfalls aus [10] stammen:
16
3.3.6 Definition. Sei I = hf1 , ..., fs i ⊆ K[x1 , ..., xn ]. Das l-te Eliminationsideal Il ist ein Ideal
von K[xl+1 , ..., xn ], definiert als
Il = I ∩ K[xl+1 , ..., xn ].
Hierbei ist zu beachten, dass eine unterschiedliche Anordnung der Variablen zu verschiedenen Eliminationsidealen führt.
3.3.7 Satz (Eliminationssatz). Sei I ⊆ K[x1 , ..., xn ] ein Ideal und G eine Gröbnerbasis von I,
wobei x1 > x2 > ... > xn . Dann ist
Gl = G ∩ K[xl+1 , ..., xn ]
für alle 0 ≤ l ≤ n eine Gröbnerbasis des l-ten Eliminationsideals Il .
Sei also nun G Gröbnerbasis des Ideals I = hf, g, hi ⊆ R[x1 , x2 , x3 , x4 ] mit {c, s} = {x1 , x2 } und
{x, y} = {x3 , x4 }. Dann gilt nach Satz 3.3.7, dass
p ∈ G ∩ R[x3 , x4 ].
Die Gröbnerbasis lässt sich mit Hilfe von Mathematica berechnen und man erhält tatsächlich jeweils
als einziges Element in G ∩ R[x, y] und G ∩ R[y, x] das Polynom
p(x, y) = −23892339312 + 158995872x2 + 2984256x3 − 261576x4 − 17856x5 − 120x6 + 16x7 + x8
+8952768x2 y − 53568x4 y + 384x5 y + 48x6 y + 158995872y 2 − 8952768xy 2
−523152x2 y 2 + 35712x3 y 2 − 360x4 y 2 − 16x5 y 2 + 4x6 y 2 − 2984256y 3 − 35712x2 y 3
−1280x3 y 3 + 80x4 y 3 − 261576y 4 + 53568xy 4 − 360x2 y 4 − 80x3 y 4 + 6x4 y 4
+17856y 5 + 384xy 5 + 16x2 y 5 − 120y 6 − 48xy 6 + 4x2 y 6 − 16y 7 + y 8 ,
also das gesuchte Polynom in R[x, y]. Es ist ebenfalls vom Grad 4N + 4.
Dieses Verfahren funktioniert (im Gegensatz zur Verwendung der Resultante) für jede Wahl der
Support-Funktion und liefert zudem mit Sicherheit ein Polynom kleinstmöglichen Grades. Berechnet man das Polynom zur Support-Funktion 8 + cos(θ), so erhält man aber tatsächlich das selbe
Polynom, welches Rabinowitz mittels der Resultante berechnet hat.
Damit kann bereits die erste Frage von Rabinowitz beantwortet werden: Er ermittelt in seiner
Arbeit das Polynom zur Support-Funktion 2 cos2 (3θ/2) + 8 = 8 + cos(3θ) und fragt, ob man bei
anderer Wahl der Support-Funktion ein einfacheres Polynom erhält. Aufgrund obiger Erkenntnis
über den Grad des Polynoms in Abhängigkeit von N ∈ N0 , wird das zugehörige Polynom für eine
größere Wahl dieses N (also N > 1) sicher nicht einfacher. Der Fall N = 0 kann ausgeschlossen
werden, da es sich bei der dadurch entstehenden Kurve um einen Kreis handelt, der hier nicht
betrachtet werden soll.
17
Also ist nach Rabinowitz’ Konstruktion das Polynom zur Support-Funktion
a0
+ a3 cos(3θ) + b3 sin(3θ)
2
das vom kleinsten Grad, das gleichzeitig eine minimale Anzahl an Koeffizienten besitzt (der Ausdruck a1 cos(θ) + b1 sin(θ) führt nur zu einer Veränderung der Lage der Kurve in der Ebene und
kann daher weggelassen werden). Als Element der Gröbnerbasis erhält man nun für diese SupportFunktion in Abhängigkeit der Koeffizienten a0 , a3 und b3 das Polynom
729a60 a23 − 8748a40 a43 + 34992a20 a63 − 46656a83 + 729a60 b23 − 17496a40 a23 b23
+ 104976a20 a43 b23 − 186624a63 b23 − 8748a40 b43 + 104976a20 a23 b43 − 279936a43 b43
+ 34992a20 b63 − 186624a23 b63 − 46656b83 − 4860a40 a23 x2 + 3888a20 a43 x2
+ 62208a63 x2 − 4860a40 b23 x2 + 7776a20 a23 b23 x2 + 186624a43 b23 x2 + 3888a20 b43 x2
+ 186624a23 b43 x2 + 62208b63 x2 − 216a40 a3 x3 + 17280a20 a33 x3 + 27648a53 x3
+ 17280a20 a3 b23 x3 + 55296a33 b23 x3 + 27648a3 b43 x3 + 8208a20 a23 x4 − 17280a43 x4
+ 8208a20 b23 x4 − 34560a23 b23 x4 − 17280b43 x4 + 1152a20 a3 x5 − 18432a33 x5
− 18432a3 b23 x5 + 16a20 x6 − 6400a23 x6 − 2304b23 x6 − 1024a3 x7 − 64x8 − 648a40 b3 x2 y
+ 51840a20 a23 b3 x2 y + 82944a43 b3 x2 y + 51840a20 b33 x2 y + 165888a23 b33 x2 y
+ 82944b53 x2 y + 3456a20 b3 x4 y − 55296a23 b3 x4 y − 55296b33 x4 y − 24576a3 b3 x5 y
− 3072b3 x6 y − 4860a40 a23 y 2 + 3888a20 a43 y 2 + 62208a63 y 2 − 4860a40 b23 y 2
+ 7776a20 a23 b23 y 2 + 186624a43 b23 y 2 + 3888a20 b43 y 2 + 186624a23 b43 y 2
+ 62208b63 y 2 + 648a40 a3 xy 2 − 51840a20 a33 xy 2 − 82944a53 xy 2 − 51840a20 a3 b23 xy 2
− 165888a33 b23 xy 2 − 82944a3 b43 xy 2 + 16416a20 a23 x2 y 2 − 34560a43 x2 y 2
+ 16416a20 b23 x2 y 2 − 69120a23 b23 x2 y 2 − 34560b43 x2 y 2 − 2304a20 a3 x3 y 2
+ 36864a33 x3 y 2 + 36864a3 b23 x3 y 2 + 48a20 x4 y 2 + 17664a23 x4 y 2 − 43776b23 x4 y 2
+ 1024a3 x5 y 2 − 256x6 y 2 + 216a40 b3 y 3 − 17280a20 a23 b3 y 3 − 27648a43 b3 y 3
− 17280a20 b33 y 3 − 55296a23 b33 y 3 − 27648b53 y 3 + 2304a20 b3 x2 y 3 − 36864a23 b3 x2 y 3
− 36864b33 x2 y 3 + 81920a3 b3 x3 y 3 − 5120b3 x4 y 3 + 8208a20 a23 y 4 − 17280a43 y 4
+ 8208a20 b23 y 4 − 34560a23 b23 y 4 − 17280b43 y 4 − 3456a20 a3 xy 4 + 55296a33 xy 4
+ 55296a3 b23 xy 4 + 48a20 x2 y 4 − 43776a23 x2 y 4 + 17664b23 x2 y 4 + 5120a3 x3 y 4
− 384x4 y 4 − 1152a20 b3 y 5 + 18432a23 b3 y 5 + 18432b33 y 5 − 24576a3 b3 xy 5
− 1024b3 x2 y 5 + 16a20 y 6 − 2304a23 y 6 − 6400b23 y 6 + 3072a3 xy 6
− 256x2 y 6 + 1024b3 y 7 − 64y 8 .
Für welche Wahl der Koeffizienten dieses Polynom ”am schönsten” ist, sei jedem Leser selbst überlassen.
18
4 Wahl der Support-Funktion zur Parametrisierung gewünschter
Gleichdicks
Im letzten Abschnitt wurde eine Parametrisierung für Gleichdicks hergeleitet. Wie aber müssen die
Koeffizienten der Support-Funktion konkret gewählt werden, um zunächst überhaupt eine Kurve
konstanter Breite zu erhalten? Wie müssen die Koeffizienten gewählt werden, um ein bestimmtes
Gleichdick zu erhalten? Diese Fragen sollen im Folgenden geklärt werden.
Sei dazu C eine Kurve konstanter Breite mit Parametrisierung
x = p(θ) · cos θ − p0 (θ) · sin θ,
y = p(θ) · sin θ + p0 (θ) · cos θ,
mit θ ∈ [0, 2π) und für N ∈ N0
N a0 X
p(θ) =
a2n+1 cos (2n + 1)θ + b2n+1 sin (2n + 1)θ ,
+
2
n=0
wobei a2N +1 6= 0 oder b2N +1 6= 0 angenommen werden kann.
Die Krümmung von C ist gegeben durch
κ(θ) =
x0 (θ)y 00 (θ) − x00 (θ)y 0 (θ)
x0 (θ)2 + y 0 (θ)2
3/2
− sin θ p(θ) + p00 (θ) · − sin θ p(θ) + p00 (θ) + cos θ p(θ)0 + p000 (θ)
=
2
− sin θ(p(θ) + p00 (θ)
+ cos θ p(θ) + p00 (θ)
− cos θ p(θ) + p00 (θ) − sin θ p0 (θ) + p000 (θ)
2 3/2
· cos θ p(θ) + p00 (θ)
−
2
− sin θ(p(θ) + p00 (θ)
2
=
sin2 θ p(θ) + p00 (θ)
−
− cos2 θ p(θ) + p00 (θ)
2
2 3/2
− sin θ cos θ p(θ) + p00 (θ) p0 (θ) + p000 (θ)
2 3/2
sin2 θ + cos2 θ p(θ) + p00 (θ)
2
=
2 3/2
sin2 θ + cos2 θ p(θ) + p00 (θ)
=
+ cos θ p(θ) + p00 (θ)
− sin θ cos θ p(θ) + p00 (θ) p0 (θ) + p000 (θ)
p(θ) + p00 (θ)
3
p(θ) + p00 (θ)
1
.
p(θ) + p00 (θ)
19
Da C konvex ist, gilt κ(θ) ≥ 0, also p(θ) + p00 (θ) ≥ 0 für alle θ ∈ [0, 2π). Nun ist
p(θ) + p00 (θ) ≥ 0 ⇔
N a0 X
+
a2n+1 cos (2n + 1)θ + b2n+1 sin (2n + 1)θ
2
n=0
−
N X
(2n + 1)2 a2n+1 cos (2n + 1)θ + b2n+1 sin (2n + 1)θ
≥0
n=0
⇔
N X
a0
≥
(2n + 1)2 − 1 a2n+1 cos (2n + 1)θ + b2n+1 sin (2n + 1)θ
2
n=0
⇔
N X
q
a0
≥
(2n + 1)2 − 1 a22n+1 + b22n+1
2
n=0
(3)
für alle θ ∈ [0, 2π).qDie letzte Äquivalenz besteht, da a2n+1 cos (2n + 1)θ + b2n+1 sin (2n + 1)θ
ihr Maximum bei a22n+1 + b22n+1 annimmt.
Die Bedingung (3) ist nun ein hinreichendes Kriterium an die Support-Funktion von C, dass C
gleichdick ist.
Wird a0 zu klein gewählt, so ist C nicht konvex und nach Bemerkung 2.4 folglich auch nicht von konstanter Breite. Abbildung 7 zeigt die Kurve aus Abbildung 6 für a20 = 2 < 8 (vgl. Koeffizientenwahl
in Abschnitt 3.2.2).
Abbildung 7: Falsche Wahl der Koeffizienten der Support-Funktion
20
Wie müssen nun die restlichen Koeffizienten der Support-Funktion gewählt werden, um ein gewünschtes Gleichdick zu erhalten?
C besitzt genau dann eine Spitze in Richtung θ, wenn die Krümmung κ an dieser Stelle nicht
definiert ist, also p(θ) + p00 (θ) = 0 gilt. Nach obiger Überlegung ist dies nur dann möglich, wenn
N X
q
a0
=
(2n + 1)2 − 1 a22n+1 + b22n+1
2
n=0
gewählt wird. Da die Funktion a2n+1 cos (2n + 1)θ + b2n+1 sin (2n + 1)θ für alle θ im Bereich
[0, 2π) genau 2n + 1 mal ihr Maximum annimmt, hat C höchstens 2N + 1 Spitzen, denn die Kurve
besitzt genau dann eine Spitze in Richtung θ, wenn alle Summanden aus
N X
(2n + 1)2 − 1 a2n+1 cos (2n + 1)θ + b2n+1 sin (2n + 1)θ
n=0
für dieses θ gleichzeitig ihr Maximum annehmen. Ist dies für θ ∈ [0, 2π) nicht der Fall, aber nimmt
mindestens ein Summand für dieses θ sein Maximum an, so besitzt κ einen Wendepunkt und C ist
an dieser Stelle glatt. Sowohl diese Punkte von C, als auch deren Spitzen, werden im Folgenden als
Ecken bezeichnet. Demnach besitzt C für beliebiges
N X
q
a0
(2n + 1)2 − 1 a22n+1 + b22n+1
≥
2
n=0
genau 2N + 1 Ecken. Nach Abschnitt 3.3 gilt daher für den Grad des zugehörigen Polynoms
Grad = 2 · (Anzahl Ecken) + 2.
Die Abbildungen 8 - 11 zeigen Gleichdicks zu verschiedenen Support-Funktionen. Nach Abschnitt
3.3 haben die zugehörigen Polynome die Grade 8, 12, 16 und 12.
21
Abbildung 8: p(θ) = 8 + cos(3θ)
Abbildung 9: p(θ) = 24 + cos(5θ)
Abbildung 10: p(θ) = 48 + cos(7θ)
Abbildung 11: p(θ) = 64+5 cos(3θ)+cos(5θ)
22
5 Gesamtheit ebener algebraischer Kurven mit konstanter Breite
Rabinowitz stellt am Ende seiner Arbeit die Frage, ob es ein Polynom kleineren Grades gibt, welches
ein nichttriviales Gleichdick beschreibt. Nach Abschnitt 3.3 ist bereits bekannt, dass kein Polynom,
welches eine Kurve konstanter Breite beschreibt und aus der Parametrisierung
x = p(θ) · cos θ − p0 (θ) · sin θ,
y = p(θ) · sin θ + p0 (θ) · cos θ,
mit θ ∈ [0, 2π), hervorgeht (abgesehen vom Kreis), kleineren Grad als 8 hat. Da mittels dieser
Parametrisierung alle konvexen Kurven erfasst sind, und durch
p(θ) =
N a0 X
a2n+1 cos (2n + 1)θ + b2n+1 sin (2n + 1)θ ,
+
2
n=0
für N ∈ N0 , auch alle Kurven mit der Eigenschaft, dass p(θ) + p(θ + π) konstant ist, kann es kein
Gleichdick kleineren Grades geben, welches eine Parameterdarstellung besitzt. Damit ist allerdings
nicht ausgeschlossen, dass es dennoch ein Polynom kleineren Grades gibt, welches eine Kurve konstanter Breite beschreibt.
In diesem Abschnitt wird nun eine Antwort auf Rabinowitz’ Frage gegeben. Dabei werden zunächst verschiedene Ansätze vorgestellt, die im Rahmen dieser Überlegungen entstanden sind. Die
tatsächliche Antwort befindet sich dann im letzten Abschnitt dieses Kapitels.
5.1 Numerischer Ansatz
Welche Polynome stellen eine Kurve konstanter Breite dar? Im Folgenden wird ein Verfahren vorgestellt, anhand dessen es möglich ist, eine algebraische Kurve auf konstante Breite zu testen und
umgekehrt gewisse Voraussetzungen an Koeffizienten von Polynomen zu stellen, welche Gleichdicks
beschreiben.
5.1.1 Test einer algebraischen Kurve auf konstante Breite
Gegeben sei ein Polynom p(x, y), welches eine geschlossene konvexe ebene Kurve C beschreibt. Ziel
ist es zu entscheiden, ob diese Kurve gleichdick ist oder nicht.
Als Beispiel habe man dazu die Kurve aus Abbildung 12 vor Augen, welche durch die Gleichung
3(x2 + y 2 )2 + 8x(y 2 − x2 ) + 6(x2 + y 2 ) − 8240 = 0
beschrieben wird (ein nach Außen gebogener dreispitziger Hypozykloid).
Sei nun (p1 , p2 ) eine Nullstelle von p, also ein Punkt auf C. Dann existiert genau eine Tangente
an C durch (p1 , p2 ) und damit auch genau eine Normale N zu dieser Tangente durch (p1 , p2 ). Die
Gleichung von N ist gegeben durch
N (p1 , p2 , x, y) = −px (p1 , p2 )(y − p2 ) + py (p1 , p2 )(x − p1 ),
wobei px und py jeweils die erste Ableitung von p nach x bzw. y bezeichne.
23
Abbildung 12: Kurve konstanter Breite?
Da C geschlossen und konvex ist, besitzen die Gleichungen
p(x, y) = N (p1 , p2 , x, y),
N (p1 , p2 , x, y) = 0
neben (p1 , p2 ) genau eine weitere gemeinsame Lösung (p01 , p02 ). Der Abstand
a(p1 , p2 ) =
q
(p1 − p01 )2 + (p2 − p02 )2
entspricht nun der Breite von C in Richtung θ, wobei θ der Winkel sei, den N mit der x−Achse
einschließt. Die Bedingung, dass C gleichdick ist, ist damit
a(p1 , p2 ) = c,
für alle (p1 , p2 ) ∈ C und einer Konstante c. Da p2 von p1 abhängt, kann a als Funktion in einer
Veränderlichen aufgefasst werden.
Diese Funktion kann mittels Mathematica implementiert werden (siehe Anhang 2). Der Graph der
Funktion für das Polynom aus obigem Beispiel sieht dann wie folgt aus:
Abbildung 13: Graph der Funktion a(p1 , p2 )
Also ist die Kurve aus Abbildung 12 nicht von konstanter Breite.
24
5.1.2 Klassifizierung von Quadriken
Mit dem Ansatz aus 5.1.1 ist es nun möglich, allein anhand eines Polynoms zu entscheiden, ob die
zugehörige Kurve von konstanter Breite ist oder nicht. Folglich ist es auch möglich ein Polynom mit
beliebigen reellen Koeffizienten auf konstante Breite zu testen, also notwendige und hinreichende
Bedingungen an die Koeffizienten zu stellen, sodass ein Gleichdick beschrieben wird.
Dies wird nun für Polynome der Form
p(x, y) = a0 + a1 x + a2 x2 + b1 y + b2 y 2 + c1 xy
vorgeführt. Um die Rechnungen nicht unnötig kompliziert werden zu lassen, wird die Quadrik
zunächst durch Hauptachsentransformation vereinfacht, das heißt man verzichtet auf Koeffizienten,
die nur die Lage der Kurve in der Ebene, nicht aber deren Form und Abstände verändern. Dafür
wird p(x, y) zunächst durch Hinzunahme von z zu P (x, y, z) homogenisiert mit
P (x, y, z) = a0 z 2 + a1 xz + a2 x2 + b1 yz + b2 y 2 + c1 xy.
Dann gilt
P (x, y, z) = x y
a2
z
c1 /2
c1 /2 a1 /2
x
b2
b1 /2 y
.
a1 /2 b1 /2 a0
z
Nach dem Hauptachsentransformationssatz (vgl. [11]) existiert nun eine orthogonale Matrix D mit
a2 c1 /2 a1 /2
a02 0 0
0
DT
b2
b1 /2
D = 0 b2 0 .
c1 /2
a1 /2 b1 /2 a0
0 0 a00
Für z = 1 erhält man damit
0
a2 0 0 x
0
0 2
0 2
0
p̃(x, y) = x y z
0 b2 0 y = a0 + a2 x + b2 y
0 0 a00
z
und die durch p̃(x, y) beschriebene Kurve entspricht bis auf der Lage in der Ebene der durch p(x, y)
beschriebenen Kurve.
Um die folgenden Berechnungen noch einfacher zu halten, wird zudem o.B.d.A. a2 = 1 angenommen. Im Folgenden sei also
p(x, y) = a0 + x2 + b2 y 2 .
Nun soll durch p(x, y) eine geschlossene konvexe Kurve beschreiben werden. Dies ist genau dann
der Fall, wenn für jede Nullstelle (p1 , p2 ) von p eine Tangente T an (p1 , p2 ) existiert. Die Gleichung
dieser Tangenten ist gegeben durch
0 = p(p1 , p2 ) + px (p1 , p2 )(x − p1 ) + py (p1 , p2 )(y − p2 ).
Ist p1 ∈ R beliebig, so gilt p(p1 , p2 ) = 0 genau dann, wenn
q
p2 = ±
−a0 − p21
√
.
b2
25
√
p1 ,
Da das Verhalten der Kurve an den Punkten
−a0 −p21
√
b2
√
und
p1 , −
−a0 −p21
√
b2
identisch ist,
genügt
einen der beiden Punkte zu betrachten. Im Folgenden sei dies ohne Einschränkung
√ es nur
−a0 −p21
p1 , √b
. Alle nachfolgenden Gleichungen hängen also nun mehr von p1 ab. Damit ist die
2
Gleichung der Tangente T gegeben durch
q
0 = p p1 ,
−a0 − p21
+ px p1 ,
√
b2
= 2 a0 + p1 x +
p q
q
−a0 − p21
√
2 (x − p1 ) + py p1 ,
b2
q
−a0 − p21
y −
√
b2
q
b2 −a0 − p21 y ,
d.h. T existiert genau dann, wenn
b2 ≥ 0
und
−a0 − p21 ≥ 0 ∀p1 ∈ R.
Letzteres ist äquivalent zu
−a0 ≥ p21 ∀p1 ∈ R,
bzw.
a0 ≤ 0.
Sei also im Folgenden b2 ≥ 0 und a0 ≤ 0. Dann ist die Normale N zu T durch den Punkt (p1 , p2 )
gegeben durch die Gleichung
0 = −px (p1 , p2 )(y − p2 ) + py (p1 , p2 )(x − p1 )
q
=
q
−a0 − p21
√
) + py (p1 ,
b2
q
−a0 − p21
√
)(x − p1 )
b2
q
q
q
√
2 b2 −a0 − p21 x − p1 (− −a0 − p21 + b2 −a0 − p21 + b2 y)
√
.
b2
= −px (p1 ,
−a0 − p21
√
)(y −
b2
Wie in 5.1.1 beschrieben, gibt es nun genau eine von (p1 , p2 ) verschiedene gemeinsame Lösung der
Gleichungen
q
−a0 − p21
√
p(x, y) = N p1 ,
, x, y
b2
und
N p1 ,
q
−a0 − p21
= 0.
√
b2
Diese wurde mit Hilfe von Mathematica berechnet und ist gegeben durch
p01 =
p1 (a0 (−2 + b2 )b2 + (−1 + b2 )2 p21 )
,
a0 b22 + (−1 + b22 )p21
q
p02 = −p2 = −
26
−a0 − p21
√
.
b2
−a0 − p21
√
b2
Für die Abstandsfunktion ergibt sich folglich
a(p1 ) =
v
u
u
t p1 a0 (−2 + b2 )b2 + (−1 + b2 )2 p21
a0 b22 + (−1 + b22 )p21
q
− p1
2
+ −2
−a0 − p21 2
√
b2
v
u
3 2
u a0 + p2
a
b
p
+
(−1
+
b
)p
0
2
1
2
1
1
= 2t−
+
2 .
b2
a0 b22 + (−1 + b22 )p21
Es bleibt zu untersuchen, für welche Wahl von a0 und b2 die Funktion a(p1 ) konstant ist, also
a(p1 ) = c für eine Konstante c ∈ R gilt. O.B.d.A. reicht es aus, nach Lösungen der Gleichung
a(p1 ) = 1
zu suchen, sonst wählt man a00 = ca0 und b02 = cb2 . Mathematica findet genau eine Lösung dieser
Gleichung, welche unabhängig von p1 ist, nämlich
a0 = −
1
4
und
b2 = 1.
Damit ist gezeigt, dass der Kreis die einzige Quadrik konstanter Breite ist.
5.1.3 Ausblick: Klassifizierung von Polynomen höheren Grades
Die in 5.1.2 durchgeführte Klassifizierung von quadratischen Gleichdicks kann nun ebenso für Polynome höheren Grades durchgeführt werden. Da jede Kurve konstanter Breite geschlossen konvex
ist, sind nur Polynome geraden Grades interessant. In Anlehnung an die Frage von Rabinowitz
daher ausschließlich noch Polynome vom Grad 4 und 6. Allerdings werden die Gleichungen durch
die Erhöhte Anzahl an Koeffizienten schnell unübersichtlich und teilweise zu groß, sodass Mathematica diese nicht mehr handhaben kann. Dennoch wäre es so prinzipiell möglich, nach weiteren
Gleichdicks zu suchen bzw. eine Existenz dieser auszuschließen.
5.2 Ansatz mittels Differentialgleichungen
In [4] werden folgende, mit dem Gleichdick verwandte, Kurven betrachtet:
5.2.1 Definition. Sei C eine Kurve konstanter Breite. Dann ist die K-Kurve von C erklärt als
die Evolute von C, also die Bahn, auf der sich der Mittelpunkt der Krümmungskreise jedes Punktes
von C bewegt. C ist damit eine Evolvente der K-Kurve.
Ferner sei die C’-Kurve von C die Bahn der Mittelpunkte aller Stütznormalen von C. Die C’Kurve ist damit auch die Evolute der K-Kurve.
27
Abbildung 14: Gleichdick aus Abschnitt 3.2.2 mit K-Kurve und C’-Kurve
Aus Abbildung 14 wird klar, warum das in Abbildung 6 dargestellte Gleichdick nicht als ReuleauxDreieck bezeichnet wurde. Dessen K-Kurve ist ein gleichseitiges Dreieck (vgl. Abb. 2).
Sei nun C eine Kurve konstanter Breite b, parametrisiert durch (ψ(θ), η(θ)) mit θ ∈ [0, 2π), so
ergibt sich als Parametrisierung für deren K-Kurve
x = ψ(θ) −
η 0 (θ)
1
·p 0 2
,
κ(θ)
ψ (θ) + η 0 (θ)2
y = η(θ) +
1
ψ 0 (θ)
·p 0 2
,
κ(θ)
ψ (θ) + η 0 (θ)2
mit
κ(θ) =
also
ψ 0 (θ)η 00 (θ) − ψ 00 (θ)η 0 (θ)
,
(ψ 0 (θ)2 + η 0 (θ)2 )3/2
η 0 (θ) ψ 0 (θ)2 + η 0 (θ)2
x = ψ(θ) − 0
,
ψ (θ)η 00 (θ) − ψ 00 (θ)η 0 (θ)
ψ 0 (θ) ψ 0 (θ)2 + η 0 (θ)2
y = η(θ) + 0
.
ψ (θ)η 00 (θ) − ψ 00 (θ)η 0 (θ)
Ebenso erhält man für die Parametrisierung der C’-Kurve
x = ψ(θ) −
b
η 0 (θ)
·p 0 2
,
2
ψ (θ) + η 0 (θ)2
y = η(θ) +
b
ψ 0 (θ)
·p 0 2
.
2
ψ (θ) + η 0 (θ)2
Vergleiche hierzu [4].
28
Mit dem Ansatz
ψ(θ) = p(θ) · cos θ − p0 (θ) · sin θ,
η(θ) = p(θ) · sin θ + p0 (θ) · cos θ
aus 3.1, erhält man durch Einsetzen als Gleichung der K-Kurve
x = −p0 (θ) sin θ − p00 (θ) cos θ,
y = p0 (θ) cos θ − p00 (θ) · sin θ.
Die Funktionen p0 (θ) und p00 (θ) hängen nicht mehr von dem Koeffizienten a0 ab. Daraus wird
ersichtlich, dass alle Kurven konstanter Breite, deren Support-Funktionen sich lediglich durch den
Koeffizienten a0 unterscheiden, die selbe K-Kurve (und damit auch die selbe C’-Kurve) besitzen.
Dies ist damit zu erklären, dass die Evolvente einer Kurve nicht eindeutig bestimmt ist, jede Kurve
sogar unendliche viele Evolventen besitzt. Eine Erhöhung des Koeffizienten a0 führt hierbei zu
einer Vergrößerung der C-Kurve (da a0 der Breite der Kurve entspricht, vgl. 3.2.1), sowie einer
”Abrundung” derer Ecken (vgl. Abb. 15-18). Die K-Kurve aus den Abbildungen 15-18 gleicht einem
Hypozykloiden. Tatsächlich erhält man mit dem selben Verfahren wie in Abschnitt 3.3 ein Polynom
vom Grad 4, welches diese Kurve beschreibt.
Abbildung 15: p(θ) = 8 + cos(3θ)
Abbildung 16: p(θ) = 10 + cos(3θ)
Abbildung 17: p(θ) = 15 + cos(3θ)
Abbildung 18: p(θ) = 30 + cos(3θ)
29
Man kann auch umgekehrt zu einer gegebenen Kurve mit Parametrisierung x(θ), y(θ) , θ ∈ [0, 2π)
die Gleichung derer Evolventen angeben (vgl. [12]), via
x0 (θ)
ψ = x(θ) + p 0 2
·
x (θ) + y 0 (θ)2
Z θq
y 0 (θ)
·
x0 (θ)2 + y 0 (θ)2
Z θq
η = y(θ) + p
x0 (θ)2 + y 0 (θ)2 dθ,
a
x0 (θ)2 + y 0 (θ)2 dθ,
a
wobei man für verschiedene Werte von a unterschiedliche Evolventen erhält. Dies entspricht dann
der Kurve konstanter Breite zu gegebener K-Kurve. Die Suche nach einem Gleichdick minimalen
Grades könnte also auf die Suche einer K-Kurve minimalen Grades reduziert werden, falls man
einen Zusammenhang zwischen dem Grad des Polynoms der K-Kurve und der Kurve konstanter
Breite hätte. Die Darstellung dieser Gleichungen in Parameterform ist allerdings bedeutungslos zur
Beantwortung der Frage, da bereits bekannt ist, dass es kein Gleichdick mit Parameterdarstellung
gibt, das von einem Polynom kleineren Grades als 8 beschrieben wird. Daher werden diese Gleichungen im Folgenden auf implizite Funktionen übertragen, mit dem Ziel, anschließend Aussagen
über den Grad der Polynome treffen zu können.
Sei dazu F (x, y) ein Polynom, welches eine gegebene Kurve beschreibt. Nach dem Satz über implizite Funktionen existieren dann in Umgebungen (ai , bi ) von xi Funktionen fi mit der Eigenschaft
F (x, fi (x)) = 0, für alle x ∈ (ai , bi ). Man erhält also eine lokale Parametrisierung (t, fi (t)) der
Kurve und damit auch ihrer Evolute via
Ex = t −
fi0 (t) + fi0 (t)3
,
fi00 (t)
1 + fi0 (t)2
,
fi00 (t)
Ey = fi (t) +
bzw. ihrer Evolventen via
1
Ix = t + q
1 + fi0 (t)2
Iy = fi (t) + q
Z tq
fi0 (t)
Z tq
1 + fi0 (t)2
mit t ∈ (ai , bi ). Nun können
gi x(t) := t −
a
1 + fi0 (t)2 dt,
a
1 + fi0 (t)2 dt,
fi0 (t) + fi0 (t)3
− Ex
fi00 (t)
und
gi y(t) := fi (t) +
1 + fi0 (t)2
− Ey
fi00 (t)
als Polynome in R[t, Ex , Ey ] aufgefasst werden. Sei G die Gröbnerbasis all dieser Polynome, dann
enthält die Gröbnerbasis G ∩ R[Ex , Ey ] bzw. G ∩ R[Ey , Ex ] des Eliminationsideals I ⊆ R[Ex , Ey ]
bzw. I ⊆ R[Ey , Ex ] das gesuchte Polynom in R[Ex , Ey ], welches die Evolute von F beschreibt (vgl.
Abschnitt 3.3).
Analog können so auch Evolventen von F bestimmt werden, sofern diese algebraisch sind.
30
Da die Polynome gi x und gi y nur von der Variablen t abhängen, kann deren gemeinsamer Faktor
auch wieder mit Hilfe der Resultante berechnet werden. Daran lässt sich erkennen, dass der Grad
von Rgi x,gi y vom Grad des Polynoms gi x abhängt (nach selbiger Argumentation wie in 3.3, da hier
Grad(gi x) viele Ey auf der Diagonalen stehen). Analog hängt der Grad des Polynoms zu einer
Evolvente der Kurve vom Grad des Polynoms
t+ q
Z tq
1
1+
fi0 (t)2
a
1 + fi0 (t)2 dt − Ix
in der Variablen t ab. Allerdings ist es mit diesen Informationen allein schwierig, etwas über den
Grad dieses Polynoms auszusagen.
5.3 Gesamtheit algebraischer K-Kurven
Im letzten Abschnitt wurde bereits ein Zusammenhang zwischen algebraischen Kurven konstanter
Breite und deren K-Kurven hergestellt. Rabinowitz’ Frage soll nun mittels genauerer Betrachtung
dieser K-Kurven beantwortet werden. Dabei ist folgender Satz aus [8] von Bedeutung:
5.3.0.1 Satz. Ist C ⊆ C2 eine algebraische Kurve vom Grad n und L ⊆ C2 eine Gerade mit
L 6⊆ C, so folgt für die Anzahl #(C ∩ L) der Schnittpunkte von C und L
#(C ∩ L) ≤ n.
5.3.1 Klassifizierung von K-Kurven
Nach Schilling [4] gilt der folgende Satz:
5.3.1.1 Satz. Genau dann sind die Evolventen von K Gleichdicks, wenn K eine geschlossene,
differenzierbare Kurve mit n ∈ 2N + 1 Spitzen ist und in jeder Richtung genau eine Tangente an K
existiert.
Die Teilkurven zwischen je zwei Spitzen der K-Kurve werden als Teilgeraden oder Teilbögen
bezeichnet, je nachdem, ob deren Krümmung konstant 0 oder ungleich 0 ist. Weiter gilt nach
Schilling, dass für die Endpunkte P, P 0 zweier Teilbögen, mit P = P 0 , gilt, dass beide Teilbögen
in diesem Punkt den selben Krümmungsradius besitzen. Daraus folgt bereits, dass zwei Teilbögen,
die in einer Spitze der K-Kurve zusammentreffen, stets die selbe Krümmung besitzen. Also gibt es
zwei Arten von K-Kurven:
1. Die K-Kurve enthält mindestens eine Gerade (z.B. K-Polygone).
2. Die K-Kurve besteht aus lauter Teilbögen, die alle die selbe Krümmung besitzen.
5.3.1.2 Beispiele. Die Abbildungen 19 und 20 zeigen Beispiele für K-Kurven 1. Art, Abbildungen
21 und 22 für K-Kurven 2. Art.
31
Abbildung 19: K-Kurve 1. Art
Abbildung 20: K-Kurve 1. Art
Abbildung 21: K-Kurve 2. Art
Abbildung 22: K-Kurve 2. Art
32
5.3.2 Zusammenhang zwischen algebraischen K-Kurven und algebraischen Kurven konstanter
Breite
In Abschnitt 5.2 wurde ein Polynom hergeleitet, welches die Evolute einer algebraischen Kurve
beschreibt. Tatsächlich gilt für die Existenz dieses Polynoms der folgende Satz (vgl. [13]):
5.3.2.1 Satz. Die Evolute einer algebraischen Kurve ist ebenfalls algebraisch.
Die Umkehrung, also die Existenz algebraischer Evolventen zu gegebener algebraischer Kurve, gilt
dagegen im Allgemeinen nicht. Dies lässt sich am einfachsten am Beispiel des Kreises widerlegen,
dessen Evolventen Spiralen sind. Jede Gerade schneidet die Spirale in unendlich vielen Punkten,
ist aber selbst nicht in der Kurve enthalten, und damit sind Spiralen nach [8] (Satz 5.3.0.1) nicht
algebraisch.
Daraus folgt nun auch, dass das Reuleaux-Dreieck nicht algebraisch ist, da sonst dessen Evolute
(ein gleichseitiges Dreieck) algebraisch wäre, jedoch offensichtlich nicht ist, da es aus drei Teilgeraden zusammengesetzt ist, also unendlich viele Schnittpunkte mit diesen Geraden hat, diese jedoch
nicht ganz enthält.
Es stellt sich also die Frage, welche K-Kurven überhaupt algebraisch sind. Nach selbiger Argumentation wie beim gleichseitigen Dreieck kann jede K-Kurve, welche mindestens eine Teilgerade
enthält, ausgeschlossen werden (also alle K-Kurven 1. Art).
Für den Fall, dass die K-Kurve genau 3 Spitzen hat (also n = 3), bleiben als K-Kurven 2. Art
noch genau die dreispitzigen Hypozykloide, welche bekanntlich parametrisiert werden können und
algebraisch sind.
Ebenso gilt auch für n > 3, dass genau die K-Kurven algebraisch sind, die bereits in Rabinowitz’
Konstruktion erfasst sind, da sie einer Bahn eines Punktes auf einem Kreis mit entsprechender
Krümmung entsprechen. Damit ist abschließend die zweite Frage von Rabinowitz im folgenden
Satz beantwortet:
5.3.2.2 Satz. Der minimale Grad eines Polynoms, welches ein Gleichdick ungleich dem Kreis
beschreibt, ist 8.
33
Danksagung
An dieser Stelle danke ich T. Sauer (Universität Passau), der mich auf die Idee der Verwendung von
Gröbnerbasen gebracht hat. Außerdem danke ich M. Hein, der mir bei der Virtualisierung einiger
Abbildungen geholfen hat. Mein besonderer Dank gilt meinem Betreuer Herrn Prof. Steuding, der
mir stets bei Fragen weitergeholfen und gute Anregungen gegeben hat.
34
Literatur
[1] Stanley Rabinowitz, A Polynomial Curve of Constant Width. Missouri J. Math. Sci., Band
9, 1997, Heft 1, S. 23-27.
[2] Günter Aumann, Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015.
[3] Tommy Bonnesen, Werner Fenchel, Theorie der konvexen Körper, Band 3, Teil 1. American
Mathematical Soc., 1948.
[4] Friedrich Schilling, Die Theorie und Konstruktion der Kurven konstanter Breite. Zeitschrift
für Mathematik und Physik, Band 63, 1914, Heft 1/2, S. 67-136.
[5] David V. Widder, Advanced Calculus: Second Edition. Courier Corporation, 2012.
[6] Alexander Kharazishvili, A note on algebraic convex curves of constant width. Georgian Math.
J., Band 18, 2011, Heft 4, S. 727-733.
[7] Thomas Peters, Fourier-Reihen. 2004. URL: http://www.mathe-seiten.de/fourier.pdf. Stand:
24.12.2015.
[8] Gerd Fischer, Ebene algebraische Kurven. vieweg studium, 1994.
[9] Robert Plato, Numerische Mathematik kompakt: Grundlagenwissen für Studium und Praxis.
Springer-Verlag, 2013.
[10] David A. Cox, John B. Little, Don O’Shea. Ideals, Varieties, and Algorithms. Springer, third
edition, 2007.
[11] Gerd Fischer, Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie: Das Wichtigste ausführlich für das Lehramts- und Bachelorstudium. Springer-Verlag, 2012.
[12] John F. Burke, A Curve Of Constant Diameter. Mathematics Magazine, Band 39, 1966, Heft
2, S. 84-85.
[13] Julian Lowell Coolidge, A Treatise on Algebraic Plane Curves. Courier Corporation, 2004.
35
Anhang
1. Mathematica Code: Darstellung von Kurven konstanter Breite in Abhängigkeit der
Wahl der Support-Funktion und Berechnung des zugehörigen Polynoms
Der folgende Mathematica Code berechnet zu einer gegebenen Wahl der Koeffizienten der SupportFunktion die zugehörige Parametrisierung der Kurve konstanter Breite, sowie das Polynom, welches
diese Kurve beschreibt. Diese Kurve, sowie deren K- und C’-Kurve, werden dann gemeinsam in
einem Fenster geplottet.
g l e i c h d i c k P l o t [ a0_ , a1_ , a3_ , a5_ , a7_ , a9_ , b1_ , b3_ , b5_ , b7_ ,
b9_ ] := (
supp [ t_ ] :=
a0 /2 + a1 ∗Cos [ t ] + b1∗ Sin [ t ] + a3 ∗Cos [ 3 ∗ t ] + b3∗ Sin [ 3 ∗ t ] +
a5 ∗Cos [ 5 ∗ t ] + b5∗ Sin [ 5 ∗ t ] + a7 ∗Cos [ 7 ∗ t ] + b7∗ Sin [ 7 ∗ t ] +
a9 ∗Cos [ 9 ∗ t ] + b9∗ Sin [ 9 ∗ t ] ;
a b l e i t u n g [ x_ ] := Evaluate [D[ supp [ x ] , x ] ] ;
xx [ t_ ] := ( supp [ t ] ∗ Cos [ t ] − a b l e i t u n g [ t ] ∗ Sin [ t ] ) ;
yy [ t_ ] := ( supp [ t ] ∗ Sin [ t ] + a b l e i t u n g [ t ] ∗ Cos [ t ] ) ;
g l e i c h u n g 1 [ c_ , s_ ] :=
TrigExpand [ xx [ t ] ] / / . Cos [ t ] −> c / / . Sin [ t ] −> s ;
g l e i c h u n g 2 [ c_ , s_ ] :=
TrigExpand [ yy [ t ] ] / / . Cos [ t ] −> c / / . Sin [ t ] −> s ;
polynom :=
GroebnerBasis [ { g l e i c h u n g 1 [ c , s ] − x , g l e i c h u n g 2 [ c , s ] − y ,
s ^2 − 1 + c ^2} , { s , c } ] [ [ 1 ] ] ;
b r e i t e := supp [ 0 ] + supp [ Pi ] ;
r a d i u s [ t_ ] :=
Evaluate [ ( (D[ xx [ t ] , t ] ^ 2 + D[ yy [ t ] , t ] ^ 2 ) ^ ( 3 / 2 ) ) / (D[ xx [ t ] , t ] ∗
D[D[ yy [ t ] , t ] , t ] − D[D[ xx [ t ] , t ] , t ] ∗D[ yy [ t ] , t ] ) ] ;
k1 [ t_ ] :=
Evaluate [D[ yy [ t ] , t ] / ( Sqrt [D[ xx [ t ] , t ] ^ 2 + D[ yy [ t ] , t ] ^ 2 ] ) ] ;
k2 [ t_ ] :=
Evaluate [D[ xx [ t ] , t ] / ( Sqrt [D[ xx [ t ] , t ] ^ 2 + D[ yy [ t ] , t ] ^ 2 ] ) ] ;
ParametricPlot [ { { xx [ t ] , yy [ t ] } , {xx [ t ] − r a d i u s [ t ] ∗ k1 [ t ] ,
yy [ t ] + r a d i u s [ t ] ∗ k2 [ t ] } , {xx [ t ] − ( b r e i t e / 2 ) ∗ k1 [ t ] ,
yy [ t ] + ( b r e i t e / 2 ) ∗ k2 [ t ] } } , { t , 0 , 2∗Pi } ,
P l o t L e g e n d s −> { "C−Kurve " , "K−Kurve " , "C’−Kurve " } ] )
Die Funktion kann für beliebig viele Koeffizienten der Support-Funktion definiert werden. Mittels
Manipulate [
g l e i c h d i c k P l o t [ a0 , a1 , a3 , a5 , a7 , a9 , b1 , b3 , b5 , b7 , b9 ] , { a0 , 0 ,
1 0 0 0 } , { a1 , 0 , 1 0 0 } , { a3 , 0 , 1 0 0 } , { a5 , 0 , 1 0 0 } , { a7 , 0 , 1 0 0 } , { a9 ,
0 , 1 0 0 } , {b1 , 0 , 1 0 0 } , {b3 , 0 , 1 0 0 } , {b5 , 0 , 1 0 0 } , {b7 , 0 ,
1 0 0 } , {b9 , 0 , 1 0 0 } ]
36
wird ein Fenster erzeugt, in dem die Koeffizienten beliebig verändert werden können und, zu einer
bestimmten Wahl dieser, die entsprechende Kurve konstanter Breite, sowie deren K- und C’-Kurve,
geplottet wird. In der Variable
polynom
ist jeweils das dazugehörige Polynom gespeichert, welches manuell ausgegeben werden kann.
2. Mathematica Code: Test einer algebraischen Kurve auf konstante Breite
Die folgende Funktion berechnet zu einem gegebenen Polynom f in zwei Veränderlichen die Breite
der durch f beschriebenen Kurve an der Stelle x.
i s G l e i c h d i c k [ f_ , x_ ] := (
myFunction [ a_ , b_ ] := f [ a , b ] ;
l o e s u n g L i s t := Solve [ myFunction [ x , y ] == 0 . , y , Reals ] ;
I f [ l o e s u n g L i s t != { } , (
l o e s u n g := Part [ { y} / . l o e s u n g L i s t , 1 ] ;
a b l e i t u n g 1 [ t_ , s_ ] := Evaluate [D[ myFunction [ t , s ] , t ] ] ;
a b l e i t u n g 2 [ t_ , s_ ] := Evaluate [D[ myFunction [ t , s ] , s ] ] ;
normalenGleichung [ p1_ , p2_ , t_ ,
s_ ] := −a b l e i t u n g 1 [ p1 , p2 ] ∗ ( s − p1 ) +
a b l e i t u n g 2 [ p1 , p2 ] ∗ ( t − p2 ) − (− a b l e i t u n g 1 [ p1 , p2 ] ∗ ( p2 − p1 ) +
a b l e i t u n g 2 [ p1 , p2 ] ∗ ( p1 − p2 ) ) ;
l i s t e := ( { t , s } / .
Solve [ myFunction [ t , s ] == normalenGleichung [ x , l o e s u n g , t , s ] &&
normalenGleichung [ x , l o e s u n g , t , s ] == 0 . , { t , s } , Reals ] ) ;
abstand := Norm[ Part [ l i s t e , 1 ] − Part [ l i s t e , 2 ] ] ; ) , abstand := 0
];
abstand
)
Mittels
Plot [ i s G l e i c h d i c k [ f , x ] , {x , xmin , xmax } ]
kann überprüft werden, ob die durch f beschriebene Kurve im Bereich [xmin,xmax] von konstanter
Breite ist.
37
Erklärung
Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst, keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet und die Arbeit keiner anderen Prüfungsbehörde unter
Erlangung eines akademischen Grades vorgelegt habe.
Würzburg, den 13.01.2016
···························
Katja Mönius
38
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