S.1-55), PDF

Inhaltsverzeichnis
Geodätische Rechenverfahren
in der
Ingenieurvermessung
4. Semester
Prof. Dr.-Ing. M. Bäumker
Fachhochschule Bochum
Fachbereich Vermessungswesen und Geoinformatik
1 Allgemeine Geometrie von Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Kurven mit konstanter Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Kurven mit veränderlicher Krümmung (Übergangsbögen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Aufgaben des Vermessungsingenieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Einrechnung und Absteckung eines Kreisbogens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 Bestimmung des Tangentenschnittwinkels (ohne Theodolit) . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Tangenschnittpunkt S ist zugänglich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Tangentenschnittpunkt S ist nicht zugänglich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Berechnung der Elemente zum Abstecken eines Kreisbogens . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Kreisbogenabsteckung mittels rechtwinkliger Koordinaten von
der Tangente aus - gleiche Abszissen (X, 2X, 3X, ... ) - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Kreisbogenabsteckung mittels rechtwinkliger Koordinaten von
der Tangente aus - gleiche Bogenlängen (b, 2b, 3b, ... ) - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3 Kreisbogenabsteckung von der Sehne aus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.4 Kreisbogenabsteckung von der Sehne aus mit gleichen
Bogenlängen (Viertelmethode) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.5 Kreisbogenabsteckung mittels Sehnentangentenverfahren . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.6 Kreisbogenabsteckung mit gleichen Bogensehnen - orthogonal
oder polar von der Sekante aus - (Einrückverfahren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Das Winkelbildverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Das Winkelbild zweier Kreisbögen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Einrechnen und Abstecken von Übergangsbögen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1 Der Vorbogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1 Berechnungen für den symmetrischen Vorbogen mit 2R . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.2 Berechnungen für den allgemeinen Vorbogen mit R und RV . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Parabeln als Übergangsbögen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1 Die kubische Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1.1 Berechnung der Elemente der kubischen Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.1.2 Näherungsformeln zur Berechnung der Elemente der
kubischen Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.1.3 Anwendungsbereich der kubischen Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.2 Absteckung von Parabeln nach Helmert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.3 Die Parabel 4. Grades als Übergangsbogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Inhalt
Allgemeine Grundlagen zur Berechnung und Absteckung von geometrischen
Kurven, insbesondere für Trassierungsaufgaben. Dieses sind:
1
Kreis
Rechtskurve
0
Allgemeine Geometrie von Kurven
n
ge
bo
Eigenschaften von Kurven
Berechnung von Kurven und Kurvenfolgen
Absteckung von Kurven und Kurvenfolgen
Krümmungsbild einer Kurve
s
ng
ga
er
Üb
K= 1
R
Gerade
Eine allgemeine Kurve ist eine Linie, deren Richtung α sich kontinuierlich mit der
Länge L ändert.
1.1
dL
1
R
= const gehören:
Kreisbogen, Radius R
Gerade, Radius R =
dα
R
Kurven mit konstanter Krümmung
Zu diesen Kurven mit der Eigenschaft K =
dα
Üb
er
ga
ng Linkskurve L
sb
og
en Kreis
R
Beispiele für die Darstellung der Kurve als Krümmungsbild und im Grundriss:
a) Gerade (R =
Wichtige Parameter zur Beschreibung einer Kurve:
K= 1
R
)
Krümmungsbild
Grundriss
Krümmungsradius R bzw. Krümmung K.
A
Für ein differentiell kleines Bogenstück dL gilt:
K=
d
dL
=
1
R
0
R groß: kleine Krümmung K
R klein: große Krümmung K
Sonderfall: R =
K=0
A
Gerade
B
L
L = Bogenlänge
Gerade
Die Krümmung wird in der Einheit [m-1] gemessen.
Die geometrischen Eigenschaften einer Kurve bzw. Kurvenfolge lässt sich einfach
durch den Krümmungsverlauf darstellen und beschreiben (Krümmungsbild).
1
2
B
Die Krümmung und das Krümmungsbild sind beim Entwurf von Straßen eine
wichtige Größe. An Hand des Krümmungsbildes sieht man sofort, wo ein
Krümmungssprung (sprunghafte Änderung der Krümmung) vorkommt. Jeder
Krümmungssprung verursacht beim Befahren der Straße einen sog. Ruck, der nach
Möglichkeit vermieden werden sollte bzw. möglichst gering gehalten werden sollte.
Neben dem Ruck sind aus Sicht der Fahrdynamik auch die Querbeschleunigung a
(Radialbeschleunigung, Zentrifugalbeschleunigung) und die Geschwindigkeit V
(Entwurfsgeschwindigkeit) weitere relevante Parameter (vgl. Vorlesung Physik:
gleichförmige und beschleunigte Kreisbewegung).
b) Kreisbogen, Radius R
ba) Rechtsbogen (Krümmung K positiv)
K= 1
R
Krümmungsbild
Grundriss
A Rechtsbogen B
B
A
0
→ → →
V =
r
→ → → →
a =
V =
L
Fahrtrichtung
L = Bogenlänge
mit
→
=

→
d
dt
→ →
r
(Drehrate, Winkelgeschwindigkeit)
bb) Linksbogen (Krümmung K negativ)
Krümmungsbild
K= 1
R
a
Grundriss
V
B
L = Bogenlänge
A
0
L
A
R
Fahrtrichtung
ω
B
Linksbogen
R
c) Bogenfolge Gerade - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade
Krümmungsbild
K= 1
R
0
Grundriss
L = Bogenlänge
Rechtsbogen
A
B
Gerade
Krümmungssprung (Ruck)
F
Gerade
C
D
F
E
Linksbogen
3
L
C
B
D
Fahrtrichtung
A
E
Betragsgleichungen:
V=
r
a=
V
=V
r =V K
V2
2
a= V
r V= r =V K
4
Darstellung der Krümmung in Plänen:
Beispiel für die Querbeschleunigung a beim Übergang von einer Gerade mit
R=
K=
1
R
=0
Zur Darstellung des Verlaufs einer Trasse und dessen Parameter eignen sich
Grundriss
Krümmungsbild
Längsprofil
in einen Kreisbogen mit Radius R
K=
1
R
= const
Beispiel:
Querbeschleunigungen für Gerade aG und Kreisbogen aK:
aG = V2 K = 0
aK = V2 K
L1
0
Der Ruck beim Übergang von einer Geraden wächst also mit zunehmender
Geschwindigkeit V und zunehmender Krümmung K. Die Querbeschleunigung a in
Kurven lässt sich durch eine Querneigung der Fahrbahn reduzieren. Wenn die
Querneigung so gewählt wird, dass bei der Entwurfsgeschwindigkeit V keine
Querbeschleunigung auftritt, spricht man von ausgleichender Überhöhung.
L2
B
Grundriss
Maßstab
M: 1:500
C
L3
A
D
K
B
a
C
L3
L1
A
V
L2
Krümmungsbild
R
h
α
= tan
= sin
a
Ausgleichende Überhöhung u
5
L
Als Maßstab zur Darstellung der Krümmung im Krümmungsbild kann z.B. gewählt
werden:
4
R
ebene
aR
Kuppe
Längsprofil
Horizontal-
g α
a
g
u
s
rQue
u ng
ne i g
O
Spurweite s
L
R
ω
B
FH -
D
BO
FH -
s
α
Beispiel: R = 400 m
u
Kim Krümmungsbild [m] =
4
400 m
= 0.01 m = 10 mm
Eine Kreisbogen mit R = 400 m wird in diesem Beispiel im Krümmungsbild in Form
einer Parallelen im Abstand von 10 mm zur Abszissenachse dargestellt.
6
1.2
Kurven mit veränderlicher Krümmung (Übergangsbögen)
In der Regel werden zur Abschwächung des Ruck zwischen Kurven mit einer
konstanten Krümmung ein Übergangsbogen mit einer veränderlichen Krümmung
eingeschaltet. Der Übergangsbogen ist neben der Geraden und dem Kreisbogen ein
weiteres wichtiges Trassierungselement.
K= 1
R
0
Übergangsbogen Gerade
Gerade
Kreis
kubische Parabeln
Klothoiden
Nur in Ausnahmefällen wird bei Trassierungen auf den Übergangsbogen verzichtet.
Behandelt werden hier folgende Kurvenformen:
Geraden
Kreisbögen
Parabeln
Klothoiden
Kreis
n
ge
o
sb
ng
a
Rechtskurve
g
er
Üb
1.3
L
Gerade
Im Regelfall wird eine Kurve als Übergangsbogen verwendet, deren Krümmung K
sich linear mit der Bogenlänge ändert bzw. sich stetig verändert. Dieses sind:
Übergangsbogen
Aufgaben des Vermessungsingenieurs
Im Rahmen von Trassierungen wird der Vermessungsingenieur mit folgenden
Aufgaben konfrontiert:
Aufmessung einer vorhandenen Trasse (Erfassung des Istzustandes)
Trassierung (Entwurf der Trasse, Kurvenfolge)
Absteckung
Überwachung
Längsprofile
Querprofile
Kreis
Trassierung:
K= 1
R
Übergangsbogen Kreis
Kreis R1
Übe
rga
Rechtskurve
ngs
bog
en
Kreis
Planung und Festlegung der Führung eines Verkehrs- oder
Leitungsweges (Straße, Schiene, Wasserverläufe, Leitungen)
Entwurf und Berechnung der Bogenfolgen und deren Elemente
(Länge, Krümmungsparameter)
Einrechnung in ein örtliches Koordinatensystem als Vorbereitung
zur Absteckung des baureifen Entwurfs
Kreis R 2
0
Übergangsbogen
L
Kreis R1
Kreis R 2
Absteckung:
Übertragung eines Entwurfs in die Örtlichkeit
Absteckung der Achsen von Straßen-, Schienen-, Weg- und
Wasserverläufen
Absteckung von Parallelen zu diesen Achsen:
Fahrbahnränder (Bordsteine)
Schotterbegrenzungen
Böschungen
Absteckungsmethoden:
Die häufigsten Anwendungsfälle für einen Übergangsbogen sind der Übergang von
einer Geraden in einen Kreisbogen und der Übergang von einem Kreisbogen mit
einem Radius R1 in einen zweiten Kreisbogen mit dem Radius R2.
7
polar
orthogonal (von einer Tangente)
mit GPS
8
2
Beispiel:
Einrechnung und Absteckung eines Kreisbogens
2.1 Bestimmung des Tangentenschnittwinkels (ohne Theodolit)
2.1.1 Tangenschnittpunkt S ist zugänglich
gemessen:
a = 20.000 m
b = 19.920 m
c = 1.545 m
berechnet:
[b ] = (20.000 m ) 2 − (1.545 m ) 2 = 19.940 m
100 Gon
F
a
α
2
b
α
c
S a
α
2
B
l
Tan
g
ent
ea
an
nt e
nB
c
m
= 2 arctan a+b
= 2 arctan 20.0001.545
m + 19.940 m = 4.9228 Gon
Ta
n
Der Tangentenschnittwinkel α wird aus den drei gemessenen Strecken a, b, c nach
(1) berechnet. Die Standardabweichungen der drei gemessenen Strecken sind:
a,
gegeben: Punkt A und Punkt B sowie die Richtung der Tangente an A
gesucht: Tangentenschnittwinkel α
Lösung:
(1)
Genauigkeit der Bestimmung des Tangentenschnittwinkels α:
α
ge
19.940 m - 19.920 m = 0.020 m
anschließend: Berechnung des Tangentenschnittwinkels α:
R
R
Differenz:
Fußpunkt F um 0.020 m in der Tangente AS verbessern, so dass [b] = 19.940 m
ergibt.
A
A
Strecke l nicht
zugänglich!
beliebiges Maß a auf der Tangente AS abstecken, z.B. a = 20 m
Punkt B auf die Verlängerung der Tangente AS aufwinkeln (Fußpunkt
F) und die Strecken c und b messen
[b] aus a und c berechnen und ggf. Fußpunkt F korrigieren
Berechnungen:
tan = c = c
2 a+b d
sin = c
2 l
cos = a + b = d
2
l
l
= 2 arctan c
a+b
[b] = a 2 − c 2 = (a + c ) (a − c )
Weicht der berechnete Werte [b] vom gemessenen Wert b ab, so ist der Fußpunkt F
zu korrigieren.
9
c
Mittels des Varianzfortpflanzungsgesetzes lässt sich bei Vorgabe dieser drei
Standardabweichungen die Standardabweichung
für den Tangentenschnittwinkel
wie folgt bestimmen.
Ableitung der arctan-Funktion:
(arctan x ) =
1
1+x 2
mit x =
c
a+b
Differentiation der Funktion nach den fehlerbehafteten Größen:
1
1
1 + x2 a + b
c
1
= −2
1 + x 2 (a + b ) 2
a
c
1
= −2
1 + x 2 (a + b ) 2
b
c
mit d = a + b
b,
=2
Berechnung der Standardabweichung
2
= ( c )2
2
c
+ ( a )2
2
a
:
+ ( b )2
10
2
b
a
Beispiel: a
c
2
1+x 2
2
=
b
b
=
c
Kontrolle des Tangentenschnittwinkels über die Sehne l:
= 0.01 m
Eine zusätzliche Kontrolle des Tangentenschnittwinkels ist durch Messung der
Länge der Sehne (l) zwischen den Punkten A und B möglich:
20 m
1.5 m
= 1.99719
1
= 0.0499 m
2
100 Gon
F
1
(0.01m ) 2 + 0.0019 m
2
1
(0.01m ) 2 + 0.0019 m
2
b
α
c
S a
(0.01m ) 2
= 2.45 10 −7 rad 2
a
α
2
= 0.0005 rad = 0.032 Gon
B
A
l
R
R
α
Ta
n
ge
nt e
an
A
Die Ableitung der Funktion und die Berechnung der Differenzenquotienten ist bereits
bei dieser Funktion (arctan!) relativ aufwendig. Eine einfachere, auf die numerische
Berechnung mit einem Computer abgestimmte Methode stellt die numerische
Differentiation der Funktion dar.
α
2
Numerische Differentiation:
Vorgehen:
1. Berechnung des Tangentenschnittwinkels entsprechend der Funktion:
0
c
= 2 arctan a+b
cos
2. Sukzessive Veränderung der Werte von a, b, c um einen beliebigen kleinen
Betrag, z.B. 0.01 m und neue Berechnung des Tangentenschnittwinkels
3. Berechnung der Differenzenquotienten
2
=
l
2 a
= 2 arccos l
2 a
Beispiel:
Formeln:
l = 39.970 m
a = 20.000 m
c
a+b
da = db = dc = 0.01 m
0
= 2 arctan
d
c
d
a
d
b
= 2 arctan c + dc − 0
a+b
c
= 2 arctan
−
a + da + b
c
= 2 arctan
−
a + b + db
Standardabweichung:
2
= ( c )2
α = 4.9315 Gon
c
0
c
0
c
2
c
d c
dc
d a
da
d b
db
+ ( a )2
2
a
+ ( b )2
2
b
Achtung: Einheiten für die Winkel und die Differenzenquotienten und der
Standardabweichung beachten! Zweckmäßig: Einheiten [rad] und [m]!
11
12
Tan
g
ent
ea
nB
2.1.2 Tangentenschnittpunkt S ist nicht zugänglich
Ist der Tangentenschnittpunkt S nicht zugänglich, sondern nur die Richtungen der
beiden Tangenten im Punkt A und B gegeben, so muss der Tangentenschnittwinkel
durch Festlegung von zwei Hilfspunkten Q und R bestimmt werden. Bei einem
längeren Kreisbogen bzw. wenn nur ein enger Bereich um den Bogen zugänglich
sind, sind ggf. weitere Hilfspunkte festzulegen.
Wird die Tangentenlänge t benötigt, so sind neben den Polygonwinkeln auch die
Strecken zu messen und ein örtlicher Polygonzug zu berechnen. Als Nullrichtung
wird dabei die Richtung einer der beiden Tangenten gewählt (z.B. Richtung AQ bzw.
Richtung BR). In diesem örtlichen System werden dann zunächst die Koordinaten
der Hilfspunkte Q und R berechnet.
x
nicht zugänglich
δ β2 R
β1*
t
t
ng
A
en
an
B
AQ
a) Zugrichtung A
B : 1 , 2 (, ...,
n)
b) Zugrichtung B
A:
2 (, ...,
n)
QR
Berechnung des Tangentenschnittwinkels α bei n-Hilfspunkten:
BR
= (n + 2) 200 Gon +
n
i=1
a = (n − 2) 200 Gon −
b) bei Messung der Innenwinkel:
c
b
(0,0)
R
R
Ta
ng
en
te
an
B
α
y x,y: örtliches System
QS
i
QR
= 0 Gon
=
QR
−
AQ
=
BR
−
QR
sin
= dc =
= sin
sin(200 Gon − ) sin
d = c sin
sin
yR − yQ
= arctan x R − x Q
sin
sin
RS = e =
c sin(200 Gon − ) = sin
QR
sin
e=c
sin
t=a+d=b+e
yR − yB
= arctan x R − x Q
+ 200 Gon
n
i=1
i
Bestimmung der Tangentenlänge t:
13
t
B
2
2
c = QR = (x R − x Q ) + (y R − y Q )
messen: Polygonwinkel β
a) bei Messung der Außenwinkel:
β4
R
δ
Berechnungen (hier für ein örtliches System mit Nullpunkt in A und 0-Richtung in
Richtung AQ):
Festlegung von zwei Hilfspunkten
a) auf Tangente AS: Hilfspunkt Q
b) auf Tangente BS: Hilfspunkt R
1,
γ
e
β3
Ta
n
te
α
Ta
n
Lösung:
Ta
R
R
ge
n
te
an
A
A
β1
α
A
B
d β2
nicht zugänglich
Q
a
an
γ
te
t
β
Q 1*
β2
α
ge
n
S
S
14
Beispiel für die
Brechungswinkeln β:
Berechnung
des
Tangentenschnittswinkels
aus
den
2.2 Berechnung der Elemente zum Abstecken eines Kreisbogens
Die Hauptelemente zur Absteckung eines Kreisbogens sind:
S
β
Q 1*
β2
t
α
δ β2 R
β1*
γ
t
B
an
A
A
R
te
R
ge
n
Haupttangenten t
Hilfstangenten t1
Scheitelabstand c
Koordinaten des Schnittpunktes C (XC, YC)
Tangentenschnittwinkel α
Bogenlänge b
Pfeilhöhe h
nicht zugänglich
Ta
Elemente zum Abstecken
eines Kreisbogens
ng
en
te
an
α
B
2
= 234.0000 Gon
= (n + 2 ) 200 Gon +
i
= 471 Gon + 4 200 Gon = 1271 Gon = 71 Gon
1
= 166.0000 Gon
2
= 163.0000 Gon
n
i=1
2
α α
4α
s
2
M
4
R
X C t1
t
A
b) Innenwinkel (Zugrichtung von B nach A, n = 2):
= (n − 2 ) 200 Gon −
α
Berechnungen:
n
i=1
t1
α
2
a) Außenwinkel (Zugrichtung von A nach B, n = 2):
= 237.0000 Gon
2
h
C
YC
R
s
2
t1
c
α
S
1
t1
t
α
Ta
n
B
i
tan 2 =
t
R
t = R tan 2
b) Hilfstangenten t1
tan 4 =
= 0 200 Gon − 329 Gon = −329 Gon = 71 Gon
t1
R
Lösung 2:
R
c+R
c
t−t 1
R=
t
tan
2
DMA
t 1 = R tan 4
c) Scheitelabstand c
Lösung 1:
15
SMA
a) Tangentenlänge t
SMA
= cos 2
= sin 2
c+R=
R
cos 2
c = (t − t 1 ) sin 2
16
c=R
1
cos
2
−1
c
t 1 = tan 2
c = t 1 tan
c = R tan
Lösung 3:
c = R tan
c = t tan
tan
4
tan
2
2.2.1 Kreisbogenabsteckung mittels rechtwinkliger Koordinaten von der
Tangente aus - gleiche Abszissen (X, 2X, 3X, ... ) -
2
2
R=
t
tan
2
(s.o.)
X
4
X
Y
4
Vorgabe: X
c) Sehne s = AB
s
2R
= sin 2
s = 2 R sin 2
R
d) Koordinaten des Tangentenschnittpunktes C
Y C = h = R − R cos
X C = s = R sin
2
2
2
=R
1 − cos
2
= t 1 sin
2
[Gon ]
strenge Lösung
[Gon]
[Gon]
b=R
[Gon]
[Gon]
R 2 = X 2 + (R − Y) 2
= 200 Gon = 63.6619772368
R − X = (R − Y)
2
2
(1)
2
Y = R − R2 − X2
Beispiele:
t
t1
t - t1
c
s
XC
YC
b
M
Berechnungen:
e) Bogenlänge b
b =
R
gesucht: Y
R-Y
R
R = 100 m, α = 100 Gon
100.0000 m
41.4214 m
58.5786 m
41.4214 m
141.4214 m
70.7107 m
29.2893 m
157.0796 m
R = 100 m, α = 120 Gon
137.6382 m
50.9525 m
86.6856 m
70.1302 m
161.8034 m
80.9017 m
41.2215 m
188.4956 m
Näherungslösung
aus (1):
R 2 = X 2 + R 2 − 2 R Y + Y 2 Näherung: 2
Y << R2 bis
2
2
0=X −2 R Y+Y
1. Näherung:
2 R Y
Y
X 2 + (Y 2 )
(1a)
X2
2 R
(2)
verbesserte Näherung durch Iteration: (2) in (1a) einsetzen!
2 R Y
2
X 2 + Y aus
1. Näherung
Y
17
2
X 2 + Y aus 1. Näherung = X 2 + X 4
2 R
2 R
2 R 8 R3
18
R
10
Beispiele:
2.2.3 Kreisbogenabsteckung von der Sehne aus
vorgegebener Radius
X
Y (streng)
Y0 (1. Näherung)
Y1 (iterativ)
R = 100 m
10 m
0.5013 m
0.5000 m
0.5013 m
R = 1000 m
100 m
5.0126 m
5.0000 m
5.0125 m
Bei diesem Verfahren erfolgt die Absteckung des Kreisbogens von der Sehne aus,
die durch zwei bekannte Punkte A und B auf dem Kreisbogen gebildet wird. Die
Sehne selbst ist in diesem Fall die Abszissenachse X mit dem Nullpunkt bei A.
Y
2.2.2 Kreisbogenabsteckung mittels rechtwinkliger Koordinaten von der
Tangente aus - gleiche Bogenlängen (b, 2b, 3b, ... ) -
b
X1
X2
Y2
R
=
b
R
Anmerkung:
abgeleitet aus:
B
X
2
Vorgabe X auf der Sehne
gesucht: Y
Berechnungen:
R
a) strenge Lösung
[Gon]
= R sin( )
= R sin(2 )
= R sin(3 )
= R sin(n
2
s
M
)
Y1
Y2
Y3
...
Yn
Sehnenlänge: s = AB
Ordinate Y: Y = JM − GM
mit
Berechnung der rechtwinkligen Koordinaten Xi, Yi:
X1
X2
X3
...
Xn
s
R
Der Zentriwinkel ϕ berechnet sich aus der vorgegebenen Bogenlänge b und dem
Radius R:
[Gon]
G
b
2ϕ
M
h
2 -X
R
gesucht: Xi ,Yi
3ϕ
s
Vorgabe: b
R
ϕ
Y
J
R
b
R
X
A
X
Y1
C
P(X,Y)
JPM
= R − R cos( ) = R (1 − cos( ) = 2 R sin ( 2 )
= R (1 − cos(2 )) = 2 R sin 2 ( )
3
= R (1 − cos(3 )) = 2 R sin 2 2
2
= R (1 − cos(3
)) = 2 R sin 2 (
1 − cos = 2 sin 2 2
cos = cos
2
2
− sin
2
2
= 1 − 2 sin
19
2
2
n
2
AGM
JM = R 2 − ( s − x) 2
2
GM = R 2 − ( s ) 2
2
s
s
Y = R 2 − ( 2 − x) 2 − R 2 − ( 2 ) 2
b) Näherungsösung mittels Pfeilhöhe h (für flache Bögen)
)
X= s
2
2
Y = h = R2 − ( s − s )2 − R2 − ( s )2 = R2 − R2 − s
4
2 2
2
2
h = R − R2 − s
4
20
2
2
2
Y = Y + s −s X+ X
2 R 8 R 2 R 2 R
Umordnen und Quadrieren ergibt:
2
(h − R) 2 = R 2 − s
4
2
h2 − 2 R h + R2 = R2 − s
4
2
s
2
h −2 R h=−
4
R
10
für flache Bögen mit s <
2 R h
h
klein
Y
2
2 R h − h 2 = s (1)
4
gilt: h << R
Y = h −Y
Vernachlässigung von h2
Y
s2
4
s2
8 R
Y
Diese Näherungslösung für die Pfeilhöhe h lässt sich nun wie folgt für die
Berechnung der Ordinaten Y zur Absteckung des Kreisbogens weiterverwenden:
Y
Y*
C
P(X,Y)
A
X
s
h
2 -X
s 2 (s.o.)
8 R
s2 − s2 + s X − X2
8 R 8 R 2 R 2 R
s X − X2
2 R 2 R
endgültige Näherungslösung für Y:
Y
X
2R
(s − X )
Aus dieser Näherung beruht auch das Langsehnenverfahren, das zur Kontrolle der
Gleislage eingesetzt wird.
J
Y
s2 − s X + X2
8 R 2 R 2 R
s
G
2
B
X
2.2.4 Kreisbogenabsteckung von der Sehne aus mit gleichen Bogenlängen
(Viertelmethode)
Wenn die Absteckung von der Sehne aus mit gleichen Bogenlängen erfolgen soll,
eignet sich die Viertelmethode.
R
R
R
s
2
M
Vorgabe X auf der Sehne
gesucht: Y
s
s1
s
2
b=
20
m
X
m
2
h
s1
20
b=
R2 − 2 R Y + Y
(R − Y ) 2 + ( 2s − X ) 2 = R 2
MPJ
m
20
b=
h1
b=20 m
2
Näherungslösung für die Ordinate Y:
Y=h−Y
h1
b=20 m
Viertelmethode
2
+ s − s X + X2 = R2
4
2 R Y =Y
21
2
2
+ s − s X + X2
4
22
s1
Für die Sehne S1 gilt:
s 21 = h 2 + s
2
2.2.5 Kreisbogenabsteckung mittels Sehnentangentenverfahren
2
Bei diesem Verfahren handelt es sich um ein Polarverfahren zur Absteckung eines
Kreisbogens mit gleichen Winkeln und Bogenlängen.
2
= h2 + s
4
vgl. S.21 (1) :
2 R h − h2
3
b
Einsetzen:
neue Tangente
4
2
=h +2 R h−h
s 21
=2 R h
2
s.o. : h
hier : h 1
2
s2
8 R
s 21
=2 R h=h
8 R
8 R
4
s3
s1
ϕϕ
ϕ
(1)
Eine weitere Kontrolle ist möglich, in dem sich überschneidende Sehnen benutzt
werden.
m
20
b=
s2
1
b
Die Viertelmethode dient zur einfachen Kontrolle einer Kreisbogenabsteckung mit
gleichen Bogenlängen, z.B. zur Überprüfung der Stationierungspunkte in gleichen
Abständen (10 m, 20 m, 30 m ... ). Die Bogenpunkte werden auf die jeweilige Sehne
aufgewinkelt. Die gemessenen Pfeilhöhen werden dann mit den vorab nach (1)
berechneten Pfeilhöhen verglichen.
Viertelmethode
b
Tangente
s 21
h1
b=20 m
h1
b=20 m
h
s1
ϕ
ϕ
2ϕ
M
Zunächst werden die Punkte vom Punkt A aus polar abgesteckt. Die Bezugsrichtung
und Anfangstangente ist die Tangente am Kreis im Punkt A. Zur Berechnung der
polaren Absteckwerte (Richtungswinkel ϕ bezogen auf die Anfangstangente und
Strecke si) müssen der Radius R bekannt und die Bogenlänge b vorgegeben sein.
Berechnungen:
m
s
2
A
2
X
Da der Zentriwinkel zu dem jeweiligen Punkt i hier dem doppelten Richtungswinkel ϕ
entspricht, gilt hier:
b = 2
[Gon]
R
s1
= R sin
2
20
b=
s
s1
b=
20
2ϕ
2ϕ
m
zusätzliche Kontrolle: überschneidende Sehnen
s1
allgemein:
s i = 2 R sin(i
[Gon]
=
b
2 R
s 1 = 2 R sin
), i = 1, 2, 3, ...
Da die Genauigkeit der Absteckung mit der Streckenlänge s abnimmt, muss nach
Absteckung der ersten Punkte der letzte Punkt als neuer Standpunkt für die
Absteckung der weiteren Punkte benutzt werden. Dieses wird außerdem notwendig,
wenn die weiter entfernt liegenden Punkte z.B. durch ein Hindernis nicht mehr vom
Punkt A aus sichtbar sind. In diesem Fall müssen die Richtungen zu den weiteren
auf die Richtung der neuen Tangente umgerechnet werden.
23
24
Umrechnung der Richtungen für die neue Tangentenrichtung:
3=B
2
−
00
6ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
b
2
3ϕ
neue Tangente
s1b
1
b
s2
s3
b
Einrückverfahren
5
s3
3ϕ
s1
ϕϕ
ϕ
4
s2
b
Die Sekante ist im mathematischen Sinne eine Gerade, die eine Kurve - in diesem
Fall ein Kreisbogen - schneidet. Dieses Verfahren wird immer dort angewendet, wo
nur ein sehr enger Bereich um die Trasse begehbar und einsichtbar ist, wie z.B. bei
Einschnitten, in Stollen und auf Dämmen.
ϕ
ϕ
2ϕ
A
2ϕ
2ϕ
M
In diesem Beispiel werden die ersten drei Punkte polar von A aus abgesteckt.
Wegen des Hindernisses können die nächsten Punkte nicht mehr von A aus
abgesteckt werden. In diesem Fall wird der zuletzt abgesteckte Punkt (3) als
Standpunkt zur Absteckung der nächsten Punkte verwendet. Als Bezugsrichtung
wird nun die Richtung BA zum Punkt A verwendet. Die für die polare Absteckung auf
dem Standpunkt B einzustellenden Richtungswinkel αj ergeben sich dann zu:
mit
j = nA
+ 200 Gon +
n A : Anzahl der vom Punkt A aus abgesteckten Punkte.
j
= (n A + n B )
b
X
2ϕ
3
b
Y
4
s
s
b
2ϕ s
Y'1
ϕ
b
2ϕ
b
s
R
R
BE
R
R
s
BA
ϕ
R
ϕ
2ϕ
2ϕ 2ϕ
α
2ϕ
2ϕ
R
M
j
Muss anschließend der Standpunkt nochmals gewechselt werden, so wird wieder
der zuletzt abgesteckte Punkt als neuer Standpunkt gewählt und als Bezugsrichtung
die Richtung zum vorherigen Standpunkt gewählt. Die einzustellenden
Richtungswinkel ergeben sich dann zu:
mit
X'
X
Y
X
2ϕ
Y 2
Tangente
alte Tangente
S γ
2.2.6 Kreisbogenabsteckung mit gleichen Bogensehnen - orthogonal oder
polar von der Sekante aus - (Einrückverfahren)
+ 200 Gon +
j
Wie bei dem vorherigen Verfahren soll die Absteckung mit gleichen Bogenlängen b
(bzw. Sehnenlängen s) erfolgen. Die Tangente an dem Kreis im Anfangspunkt BA
dient dabei als Anfangstangente zur Absteckung des ersten Punktes, wobei hier die
Absteckung orthogonal mit den Koordinaten X’, Y’ erfolgt. Die weiteren Punkt
werden dann vom zuletzt abgesteckten Punkt aus mit den Koordinaten X und Y
abgesteckt. Als Abszisse dient dabei immer die Sekante zum vorletzten Punkt.
Alternativ kann die Absteckung auch polar erfolgen.
Berechnungen:
n A : Anzahl der vom Punkt A aus abgesteckten Punkte.
n B : Anzahl der vom Punkt B aus abgesteckten Punkte.
usw.
gegeben:
Radius R
Zentriwinkel α bzw. die gesamte Bogenlänge b AE = B A B E
Richtung der Anfangstangente
Anzahl der abzusteckenden Bogenpunkte n
gesucht: Absteckelemente X’, Y’, X, Y (orthogonal) oder ϕ, s (polar)
25
26
Gesamtbogenlänge:
2.3
b AE = R
Das Winkelbildverfahren
Das Winkelbildverfahren dient zur Kreisbogenabsteckung und zur Überprüfung der
Krümmung einer Trasse. Die Bezugslinie, von der aus abgesteckt wird ist keine
Gerade sondern ein Kreisbogen oder ein Übergangsbogen. Dieses Verfahren kommt
vornehmlich im Eisenbahnbau zur Anwendung. Dort dient z.B. ein bereits
vorhandenes Gleis als Referenzlinie für die Absteckung.
Unterteilung des Gesamtbogens in n gleiche Abschnitte:
b
b = nAE
b
=
=
2 R 2 n
Hauptanwendungsgebiete:
a) Verbesserung eines ausgefahrenen Gleises: die Krümmung des Gleises bzw.
Gleisabschnittes ist daher unbestimmt und unregelmäßig. In diesem Fall sind
Absteckwerte für einen geometrisch einwandfreien Kreis- oder Übergangsbogen
zu bestimmen. Die Absteckwerte dienen dann als Vorgabewerte für die
Stopfmaschine, die die Gleislage wieder in die Sollposition bringt.
b) Absteckung einer Neutrassierung von einem bereits vorhandenen Gleis
Sehnenlänge s:
s = 2 R sin
Absteckelemente:
Vorgaben:
für den ersten Punkt
für die weiteren Punkte
X = s cos(2
)
1) Kreisbogen: K =
Y = s sin
Y = s sin(2
)
2) Übergangsbogen: K =
a) orthogonal
= const
b: Bogenlänge
Die Absteckung kann sowohl orthogonal als auch polar erfolgen.
1.
2.
3.
4.
5.
1
R
X = s cos
1
R
=
b
C
const
C: Konstante für den Übergangsbogen
K
Absteckung des ersten Punktes von der Anfangstangente aus mit X’,Y’
Verlängerung der Sehne
Absteckung des nächsten Punktes von der verlängerten Sehne aus mit X,Y
Wiederholung der Schritte 2 und 3, bis dass der Endpunkt erreicht ist
Kontrolle, ob der abgesteckte Endpunkt mit dem wirklichen Endpunkt
zusammenfällt
e
Üb
r ga
ng
g
sb o
Kreisbogen
en
Bogenlänge l
Krümmungsbild
b) polar
1. Absteckung des ersten Punktes vom Anfangspunkt aus mit ϕ und s
2. Verlängerung der Sehne
3. Absteckung des nächsten Punktes vom letzten Standpunkt mit 200 Gon + 2ϕ
und s
4. Wiederholung der Schritte 2 und 3, bis dass der Endpunkt erreciht ist.
5. Kontrolle, ob der abgesteckte Endpunkt mit dem wirklichen Endpunkt
zusammenfällt
Anmerkung: Dieses Verfahren ist fehlertheoretisch sehr ungünstig, da sich die
Fehler der zuvor abgesteckten Punkte auf den nächsten Punkt
übertragen (ungünstige Fehlerfortpflanzung).
27
Beim Winkelbildverfahren werden einzelne Abschnitte des Bogens ∆l hinsichtlich
ihrer Krümmung K analysiert. Im fehlerfreien Fall ergibt sich dann der o.a.
Krümmungsverlauf.
Ein Kreisbogen lässt sich daher
abschnittsweise wie folgt darstellen:
im
Lageplan sowie
a) im Lageplan
Es gilt:
L=
R
=K
0
L
28
=
im
Krümmungsbild
Für die Teilfläche F
α0
Kreisbogen im Lageplan
F
Li
eines Bogenstücks ∆Li gilt daher:
Li
= Xi Yi = CX CK
Li
1
R
= CX CK
L i K =C X C K
CY
Definition eines Winkelmaßstabs CY:
CY = CX CK
F
F Bogen =
∆L1
A
B
∆α
∆α2
3
Y=C K K
∆α1
∆α2
∆α3
F∆ L
F∆L
F∆L
dY = dF i = C Y d
+ = Rechtskurve
3
Xi = CX
1
R
dx
X=C X L
B
γ
L
Für die Abszisse und die Ordinate werden nun folgende Maßstabsfaktoren CX für die
Bogenlänge L (=X-Achse) und CK für die Krümmung (=Y-Achse) eingeführt:
29
i
= CY
i
= CY
0
0
C d
C
tan = dY = Y
= Y 1 = CK 1 = CK K
R
dX C X dL C X R
Ye = CY
dL = R d
= Linkskurve
Y = CK K = CK
CY
Y W = dF i dX = f(K x ) dX
dx = C X dL
∆ X 3 =C X ∆ L3
X = C x L oder
=
0
Winkelbild eines Kreisbogens
dy
dx
Rechtsbogen:
Krümmung nach oben
Winkelbild nach unten
dx
3dy
-
∆ X 2 =C X ∆ L2
F Bogen = C Y
Li
2dy
A
∆ X 1 =C X ∆ L1
2
F
mit
Darstellung der Bogenabschnitte ∆Li im Krümmungsbild:
1
i
Die Gesamtfläche FBogen im Krümmungsbild entspricht dem Tangentenschnittwinkel
α0 eines Kreisbogens. Das Winkelbild eines Kreisbogens erhält man nun, indem man
die Summe der Flächen (im Krümmungsbild) als Funktion der X-Werte (=
Bogenlänge) aufträgt:
∆α1
0
= CY
CY
CX
Die zu dem Bogenstück ∆Li gehörige Fläche F L i ist ein Maß für die Winkeländerung
∆αi bzw. für die Richtungsänderung der Tangenten zwischen dem Anfang und dem
Ende des Bogenstücks ∆Li. Für die Summe aller Flächen gilt:
∆L3
∆L2
Li
CK =
i
Ye
dx
dy
Li
YW
30
Im Winkelbild muss ein Kreisbogen eine Gerade sein. Die Steigung der Geraden
(tanγ) ergibt sich dabei aus dem Maßstab der Krümmung CK und der Krümmung K =
1/R.
ausgefahrenes Gleis
Beispiel für die Darstellung eines Kreisbogens im Winkelbild:
Rechtsbogen:
Maßstab für die Bogenlänge:
Winkelmaßstab:
Maßstab der Bogenlänge: X = C X L =
Krümmungsmaßstab: C K =
CY
CX
=
100 cm
1
1000
Krümmungsbild: Y K = C K K = C K
Winkelbild: YW
= CY
= CY
1
1000
L
1
R
tan = C K 1 = 100 000 cm = 1
R
1000 m
1
= 50Gon
S
Pfeilhöhenmessung
S
h
2
L
2
S
8 R
1
R
8 h
S2
Zu jedem Bogenstück (Sehne) lässt sich so die Krümmung bestimmen. Für die
Darstellung des Bogens im Winkelbild müssen die sich aus den einzelnen
Abschnitten ergebenden Winkel aufsummiert werden und in das Winkelbild
eingetragen werden:
Yi = Cy
i
Yi = CY
Li
Li
= CY
Ri
= Cy
Li
1
Ri
8 hi
S 2i
Für gleich lange Bogenstücke ∆L und somit gleich lange Sehnen S vereinfacht sich
die Berechnung zu:
Yi = CY 8
Winkelbild
CH = CY 8
Y=CY
S
Gemessen (übergreifend) werden die Pfeilhöhen h und die Sehnenlänge S, für die in
erster Näherung gilt:
X [1:1000]
γ = 50 Gon
∆L
S
h
= 100 000 cm
dL
R
Steigung der Geraden im Winkelbild:
∆L
R = 1000 m
CX = 1:1000 = 0.001
CY = 100 cm
Berechnungen:
∆L
∆L
∆X
α
S2
S2
∆X
L
L
hi = CH
hi
(Pfeilhöhenma stab)
∆X
∆X
Beispiel für die Darstellung eines Kreisbogens, dessen Radius unbekannt ist, z.B.
Bestimmung des Radius und dessen Abweichungen bei einem ausgefahrenes Gleis:
∆X
Abweichung vom Kreis
Y
32
L
Yi = CH hi
X
∆X
γ
Bei diesem Verfahren werden die Pfeilhöhen h von der Sehne S in diskreten
Abständen gemessen und anschließend daraus das Winkelbild erstellt.
31
X = Cx
Beispiel:
Maßstab für die Bogenlänge:
Winkelmaßstab:
Bogenlänge ∆L der Pfeilhöhen:
CX = 1:1000 = 0.001
CY = 100 cm (1 rad 100 cm)
∆L = 10 m -> S = 20 m
Berechnungen:
Maßstab der Bogenlänge: X = C X L =
Krümmungsmaßstab: C K =
CY
CX
=
100 cm
1
1000
= CY
Das o.a. Winkelbildverfahren lieferte eine Winkeldifferenz ∆α, die die gesamte
Richtungsänderung einer Linie zwischen einer Anfangstangente (=Anfangsrichtung)
und einer zweiten Tangente an einem Punkt P auf der Linie darstellt. Die Bezugslinie
ist hier die Anfangstangente mit einer festen Richtung.
An Stelle einer festen Anfangstangente wird hier nun ein vorhandener Kreisbogen
als Referenzlinie verwendet. Dieses Verfahren kann z.B. im Gleisbau bei der
Planung eines neuen Gleises neben einem bereits vorhandenen Gleis eingesetzt
werden.
L
= 100 000 cm
1
R
Krümmungsbild: Y K = C K K = C K
Winkelbild: YW
1
1000
2.3.1 Das Winkelbild zweier Kreisbögen
Betrachtung eines beliebigen Punktes P1 auf einem vorhandenen Kreisbogen und
eines entsprechenden Bogenpunktes P2 auf einem geplanten Kreisbogen:
dL
R
= CY
8 L
S2
Pfeilhöhenmaßstab: C H = C Y
= 100 cm
8 10 m
400 m 2
=
80
400
P1
=1:5
Die gemessenen Pfeilhöhen werden im Winkelbild 5-fach verkleinert dargestellt, z.B:
e
gemessen: h = 4 mm
im Winkelbild: 0.8 mm
X=
Die Bogenlänge ∆L beträgt 10 m
∆X
∆X
10 m
1000
∆X
∆X
gepl a
nt
P2
= 1 cm im Winkelbild
∆X
vorhand
en
X
∆X
P1
γ
Abweichung vom Kreis
e
Y
e
Betrachtung eines differentiell P
2
kleinen Abschnittes
Y
Berechnung des Winkels α0:
a) aus Winkelbild über Ye
Ye = CY
0
Beispiel: Ye = 1 cm ( h i = 5 cm):
0
0
=
Ye
CY
1 cm
100 cmm
=
e:
de:
δα:
= 0.01 rad = 0.64 Gon
b) direkt aus der Summe der gemessenen Pfeilhöhen
1 =8 h
R
S2
= RL
∆α
dL
L 8 hi 8 L
=
S2
S2
=
0
= 8 10 m
0.05 m = 0.01 rad = 0.64 Gon
400 m 2
i
=
33
hi
∆α
de
Abstand des Punktes P2 vom vorhandene Bogen (P1)
Änderung des Abstandes mit Fortschritt dL
Winkeländerungen zwischen den beiden Tangenten
Berechnungen:
tan
0
e
= de für kleine Winkel
dL
de
dL
e
dL
dL
34
gilt :
de
dL
Maßstäbe
Anwendungsbeispiel:
Der vorhandene Gleisbogen mit dem Radius R1 soll durch ein neues Gleis mit
einem Größeren Kreisbogen ersetzt werden, wobei der Anfangs- und Endpunkt des
Bogens auf der Anfangs- bzw. Endtangente des vorhandenen Gleises zu
verschieben ist.
α
Lageplan
b1
b2
∆α
BA1
vorhandener Bogen
Radius R1
P1
Neuplanung
Radius R2
e
BA 2
Krümmungsbild:
CK
CY
CX
Y K2 = CK K2 = C K
Y = d = CY
= d
CY
= C Y de
dL
Summenlinie:
de = d dL
CY
d
dL = 1
e=
Cy
CY
1
R1
CK
1
R2
e
für
1
CY
Li
L = const : e
L
CY
C X = 1 : 1000 = 0.0001
L = 10 m = 1000 cm
-
C Y = 100 cm (1 rad
C b = L = 10
CY
Summenlinie
Summenlinie der Differenzen
di
Beispiel:
Differenzen d i
geplanter Bogen (Entwurf)
e Cb
di
C b : Verschiebungsma stab
L
bestehender Bogen
+
d dL
di
oder
Winkelbild
1
R1
1
R2
Y K1 = CK K1 = C K
Winkelbildmaßstab:
BE2
Krümmungsbild
CK =
Krümmungsmaßstab:
BE1
P2
K= 1
R
Maßstab der Bogenlänge: X = C X L
aus Zeichung:
1 cm
100 cm )
d max = 30 mm
e max = 10 30 mm = 300 mm
= Absteckwert für den Punkt mit dem größten Abstand vom vorhandenen Gleis.
35
36
3.1.1 Berechnungen für den symmetrischen Vorbogen mit 2R
Einrechnen und Abstecken von Übergangsbögen
Zur Vermeidung des Krümmungssprunges zwischen einer Geraden und einem
Kreisbogen wird i.d.R. zwischen diesen beiden Trassierungselementen ein
Übergangsbogen eingeschaltet.
3.1
Der Vorbogen
Die einfachste Form, den Krümmungssprung beim Übergang von einer Geraden in
einen Kreisbogen mit dem Radius R zu vermindern, stellt der Vorbogen dar, z.B. ein
Vorbogen mit doppeltem Radius nach RAST (Stadtstraßen von untergeordneter
Bedeutung).
Hauptbogen mit symmetrischen Vorbögen
1
R
1
2R
Hauptbogen
Vorbogen
Vorbogen
Gerade
Gerade
VE
VE
R
c
a
R
η
∆R i
VE
R
R-i = R cos η
ϕ
2
a
ϕ
η
∆R
M1
a
a = R sin η
VA
R
η
M2
2R
Für den symmetrischen Vorbogen vereinfachen sich die Berechnungen, da die
Strecke a hier zweimal vorkommt. Diese Strecke berechnet sich hier zu:
α
Lageplan
S α
Anfangstangente (Gerade)
3
α=η+ϕ+η
a = R sin
Weiterhin gilt:
Hauptbogen
VE
R − i = R cos
VE
cos = R − i (1)
R
a
VA
R
a
VA
ϕ
2R
M1
2 R − ( R + i ) = 2 R cos
cos =
Aus (1) und (2) ergibt sich:
R
2R
und
R − i = 2 R − ( R + i)
R
2 R
2 R − ( R + i)
R−i=
2
2 R−2 i= 2 R− R−i
i= R
η
η
M2
M2
37
cos = R − R = 1 − R
R
R
R = R (1 − cos )
38
2 R − ( R + i)
(2)
2 R
Die gesuchte Tangentenlänge T lässt sich über das große markierte Dreieck und die
Strecke a wie folgt berechnen:
Aus dem extra gekennzeichneten Dreieck berechnet sich außerdem:
a 2 = R 2 − (R − i ) 2
a 2 = R 2 − (R − R) 2 = R 2 − R 2 + 2 R
a2 = 2 R
T R+R
= tan
T R+R = (R + R ) tan
R+ R
2
2
T = T R+R + a = a + (R + R ) tan
2
R − R2
R − R 2 = R (2 R − R )
R (2 R − R )
a=
Abstand c des Bogenmittelpunktes vom Schnittpunkt S:
Im Regelfall wird aufgrund der Fahrdynamik die Abrückung ∆R und der Radius R
festgelegt. Daraus lässt sich zunächst die Strecke a bestimmen. Der Zentriwinkel η
des Vorbogens lässt sich ebenfalls aus diesen Angaben ableiten:
cos = R − R
= arccos R − R
R
R
a
a
sin =
= arcsin
R
R
Nun kann auch der Zentriwinkel ϕ des Hauptbogens bestimmt werden vorausgesetzt der Tangentenschnittwinkel α ist bekannt. Für den symmetrischen
Vorbogen gilt nämlich:
=
+ + =2
Für die Absteckung wird weiterhin die Länge der Tangente T vom Vorbogenanfang
VA bis zum Schnittpunkt S der beiden Tangenten benötigt.
VE
c
R
Die Abrückung ∆R kann in Abhängigkeit vom Radius R und der
Entwurfsgeschwindigkeit Ve nach folgender Näherungsformel festgelegt werden:
2
a
a = R sin η
2R
39
6
V e[km/h]
25600 R 3[m]
V e = 100 km
h
R = 400 m
α
VA
R+c= R+ R
cos 2
(R + R )
c=
−R
cos 2
Beispiel:
T∆ R+R
VE
∆R
R+c=
Lösung b)
R [m] =
BM
R
T
T R+R
sin 2
(
R
+
R ) tan 2
T
c = R+R − R =
−R
sin 2
sin 2
(R + R )
−R
c=
cos 2
T R+R
= sin
R+c
2
R + R = cos
R+c
2
+
= −2
S α
Lösung a)
R=
(100 ) 6
25600 (400 ) 3
m=
R
η
M2
40
1 10 12
256 64 10 8 m
=
10 000
16384 m
= 0.610 m
Aus (1) und (2) ergibt sich dann:
3.1.2 Berechnungen für den allgemeinen Vorbogen mit R und RV
Beim allgemeinen Vorbogen kann das Verhältnis k der Radien des Vor- und des
Hauptbogens beliebig gewählt werden (mit Rv > R):
k=
RV
R
RV = k R
Neben dem Parameter k werden weiterhin die Abrückung ∆R und der Radius R des
Hauptbogens vorgeben.
Anfangstangente (Gerade)
VE
VA
a2
R
a2
η
∆R
R
ϕ
i= R
= arccos R − i
R
a1
R V − R = sin
η
a 1 = (R V − R) sin = R (k − 1 ) sin
R-i = R cos η
R
i (k − 1) = R
i = R für k = 2
k−1
Somit ist die Strecke i bekannt. Der Zentriwinkel η lässt sich dann nach (1) und
daraus die Strecke a1 berechnen:
∆R i
VE
R − i = k R − (i + R)
R
k R
k R − (i + R)
R−i=
= R− i+ R
k
k
k i=i+ R
Die zweite Strecke a2 ergibt sich in ähnlicher Weise:
M1
a 1 = RV sin η a1
a2
= sin
R
a 2 = R sin
η
M2
RV
Wie beim symmetrischen Vorbogen gilt auch hier (vgl. kleines markiertes Dreieck):
cos = R − i (1)
R
i = R (1 − cos )
Die beiden Größen i und η in (1) sind bei Vorgabe von ∆R, R und k unbekannt. Für
cosη lässt sich aber noch eine zweite Gleichung aufstellen (vgl. großes markiertes
Dreieck):
R V − (i + R)
RV
k R − (i + R)
=
(2)
k R
cos =
41
Verhältnis der beiden Strecken a1 und a2:
a 1 R (k − 1 ) sin
a2 =
R sin
a1
a2 = k − 1
Bogenlänge bV des Vorbogens:
bV = RV
=k R
Tangentenlängen T und TR+∆R (Herleitung vgl. symmetrischer Vorbogen):
T R+ R
= tan
R+ R
2
T R+ R = (R + R) tan
T = +a 1 + T R+
42
R
2
3.2
Parabeln als Übergangsbögen
Parabeln bieten neben den Klothoiden die Möglichkeit, die Krümmung zwischen
einer Geraden und einem Kreisbogen mit einer kontinuierlichen und stetigen
Funktion zu verbinden. Der Grad der Parabel legt dabei die Form des Übergangs
fest.
K
1
R
1
RV
ohne Übergangsbogen
L
be
ti Ü
s
ng
a
rg
b
m
ÜA
0
og
(1)
Für die Krümmung K einer allgemeinen Kurve Y=f(X) gilt:
K = Y = 1 (2)
Rx
ÜE= B A L/l
Die Krümmung ist die zweite Ableitung einer Kurve. In diesem speziell Fall gilt
außerdem:
l x = X (3)
Bei der kubischen Parabel wird der Übergangsbogen so festgelegt, dass die
Krümmung linear mit der Schattenlänge l des Übergangsbogens wächst. Bei der
Klothoide (vgl. Kapitel: Klothoiden als Übergangsbogen) wächst die Krümmung
linear mit der wirklichen Bogenlänge L.
Schattenlänge l = X e
ÜA
1
Rx
1
R
1 = lx 1
Rx
l R
en
3.2.1 Die kubische Parabel
Grundriss
lx
=
l
Parabeln/Klothoiden
K
1
R
mit Vorbogen
0
Die Krümmung wächst linear mit der Schattenlänge l von 0 bis 1/R. Für einen
beliebigen Zwischenpunkt im Abstand lx ergibt sich die Krümmung 1/Rx. Unter
Anwendung des Strahlensatzes ergibt sich:
L
f
R cosτΕ
YM
X
τΕ
ÜE=BA
Ε
τΕ
K = Y = X 1 (4)
l R
In dieser Gleichung sind die Parameter l (Schattenlänge) und der Radius R im
Endpunkt des Übergangsbogens Konstanten. X ist die einzige Veränderliche der
Funktion. Gesucht wird nun die Kurve (Funktion) Y=f(X), für die die zweite Ableitung
mit (4) übereinstimmt. Die gesuchte Funktion berechnet sich durch zweimalige
Integration von (4):
YE
R sinτ
Unter Berücksichtigung von (1) und (3) lässt sich (2) umformen zu:
a) 1. Integration ergibt die Steigung Y’ (= Tangente an die Kurve Y=f(X)):
R
Y =
X 1 dX = 1 X 2 1
2
l R
l R
(5)
R
Y
K
1 X 2 1 dX = 1 X 3 1
2
6
l R
l R
3
X
Y=
(6) (kubische Parabel)
6 l R
Y=
Krümmungsverlauf
L
0
b) 2. Integration führt zur gesuchten Funktion Y=f(x):
M
1
Rx
lx
Schattenlänge l
43
1
R
X
Das Ergebnis der zweifachen Integration ist eine kubische Parabel (Y=f(X3)! Für den
Übergangsbogen wird nur ein kleines Stück vom Anfang der Funktion benutzt.
44
d) Abrückung f:
3.2.1.1 Berechnung der Elemente der kubischen Parabel
YM = R + f
Zur Berechnung und zur Absteckung der kubischen Parabel werden folgende
Elemente benötigt:
ÜA
τΕ
L
f
R cosτΕ
YM
Ye
= tan
be
Y
b e = tan e =
E
YE
τΕ
E
l2
6R
l
2R
dL = dX 2 + dX 2
(1)
2
(2)
Y = dY = tan = X
2 l R
dX
R
l
M
X
L
a) Winkel der Endtangente τE:
Der Tangens des Winkels entspricht der Steigung der Kurve im Endpunkt: Y’=f(Xe).
Aus (5) ergibt sich:
Y = tan
E
E
=
X 2e
2 Xe R
= arctan l
2 R
=
Xe
= l
2 R 2 R
b) Koordinate YE für ÜE:
E
= l − R sin
Y M = Y e + R cos
E
2
= l + R cos
6 R
45
dL
dY
Die Gleichungen (1) und (2) werden nun wie folgt kombiniert und anschließend
integriert:
X2
2 l R
X2
dX
2 l R
dX 2 = 1 +
L=
c) Koordinaten des Kreismittelpunktes XM, YM:
dX
Y
dL = dX 2 +
3
2
X 3e
Ye =
= l
= l
6 l R 6 l R 6 R
τ
Bogenlänge L
dY =
X M = X e − R sin
= l
3
Die Bogenlänge L, die für die Stationierung benötigt wird, erhält man durch
Integration von dl, mit
R
Y
E)
f) Bogenlänge L:
ÜE=BA
Ε
E)
e) Strecke be:
X
R sinτ
− R = Y e − R (1 − cos
f = l − R (1 − cos
6 R
Schattenlänge l = X e
be
E
2
Schattenlänge l = Xe
Koordinaten des Kreismittelpunktes XM, YM
Winkel der Endtangente τE (= Steigung der Kurve im Endpunkt)
Koordinate YE für ÜE
Abrückung f
Strecke be
Bogenlänge L
Grundriss
f = Y M − R = Y e + R cos
1
2lR
l
0
X4
(2 l R ) 2
dX =
4 l2 R2 + X4
(2 l R ) 2
4 l 2 R 2 + X 4 dX
Die Integration dieser Funktion erfolgt z.B. auf numerische Art und Weise.
E
E
46
dX
3.2.1.2 Näherungsformeln zur Berechnung der Elemente der kubischen
Parabel
Y
b e = tan e =
E
Für den Fall, dass der Winkel τE der Endtangente klein ist (< 5°), lassen sich
folgende Näherungen verwenden:
tan
tan
=
l
2 R
sin
E
E
E
cos
E
1−
2
E
2!
=
3
X 3e
= l = l
3 l2 3 l2 3
keine Näherung!
b = X (gilt auch für jeden beliebigen Zwischenpunkt P)
3
Beweis:
E
l
2 R
E
X 3e
6lR
l
2R
tan
=1−
l
2
tan
8 R2
E
i
=
l
2 R
X 2i
=
2 l R
Yi =
X 3i
6 l R
Y
b i = tani
i
=
X 3i
6lR
X 2i
2lR
=
X 3i
q.e.d.
3
Nach Einsetzen dieser Näherungen erhält man für f:
3.2.1.3 Anwendungsbereich der kubischen Parabel
2
2
f = l − R (1 − cos E ) = l − R + R cos E
6 R
6 R
2
l2 − R 1 − 1 − l2
l2 = l2 − l2
f
= l −R
6 R
8 R2
6 R
8 R2 6 R 8 R
2
2
2
2
f 8 l −6 l = 2 l = l
48 R
48 R 24 R
Die kubische Parabel lässt wegen der linearen Abhängigkeit der Krümmung von der
Schattenlänge l nur eine begrenzte Länge zu, da mit wachsender Schattenlänge l
die Krümmung in Bezug auf die wirkliche Bogenlänge L nicht mehr linear wächst (
d
). Für den Anwendungsbereich der kubischen Parabel gilt daher
K = R1 mit R = dL
folgender Grenzwert für die Schattenlänge l:
l
R
Berechnung von Zwischenpunkten:
Zwischenpunkt P
X
ÜA
f
X
τΕ
R cosτΕ
YM
ÜE=BA
R sinτ
Ε
R
E
=
M
l
2 R
142.86 m
!
R
= 1
7 2 R 14
arctan 1 = 4.5 Gon
14
!
Für die Fälle, in denen dieser Winkelbereich nicht ausreicht, lässt sich die sog.
verbesserte kubische Parabel als Übergangsbogen einsetzen. Diese Parabel
basiert auf folgender Funktion:
X3
6Rl
1 + ( 2lR )
2
3
Eine weitere, i.d.R. bessere Lösung ist die Verwendung einer Klothoide als
Übergangsbogen.
Für beliebige Zwischenpunkte auf der Anfangstangente lässt sich der Abstand b vom
Tangentenschnittpunkt bis zum Schattenpunkt der Kurve auf der Anfangstangente
wie folgt berechnen:
47
R = 1000 m
l
E
Y=
R
Y
tan
YE
τΕ
Beispiel:
Hieraus lässt sich auch die maximale Richtungsänderung der Endtangente (Winkel
τE) ableiten. Hierfür gilt:
be
Y
P
R
7
l
Schattenlänge l = X e
b
1
7
48
3.2.2 Absteckung von Parabeln nach Helmert
Der Anwendungsbereich der kubischen Parabel ist bis zu einer Schattenlänge von
l R7 möglich. Die Krümmung soll dabei linear mit der Schattenlänge von K = 0 bis K
= 1/R ansteigen. Diese Eigenschaft ist in der Nähe des Grenzbereichs nur noch
näherungsweise gegeben.
kubische Parabel
lx
K
1
R
0
Gerade
an
erg
Üb
n
oge
b
s
g
Schattenlänge l = X e
i
l
2
l
2
Xi
ÜA
Kreis
Yi
f
ÜE= B A
R
Y
Um dennoch einen möglichst gleichmäßigen und homogenen Anstieg der
Krümmung zu gewährleisten, erfolgt die Absteckung der Parabel nach dem
Verfahren von Helmert. Bei diesem Verfahren wird die Eigenschaft ausgenutzt, dass
die Krümmung einerseits von ÜA beginnend von K=0 linear ansteigen andererseits
von ÜE beginnend von K=1/R linear abnehmen soll.
Für die Krümmung K in einem Punkt P im Abstand von lx von ÜA bzw. von ÜE gilt
daher:
mit K x =
1
Rx
=
lx
l
1
R
Aus diesem Grunde wird die erste Hälfte des Übergangsbogens von ÜA aus (bis l/2)
und die zweite Hälfte von ÜE aus abgesteckt. Im ersten Fall ist die Bezugslinie für die
Krümmungsänderung die Anfangsgerade in ÜA und im zweiten Fall der Kreisbogen
in ÜE.
Die Y-Koordinate eines Punktes Pi im Abstand Xi = lx berechnet sich aus der
Gleichung der kubischen Parabeln:
Xi = lx
X 3i
6 R l
Für den Punkt Pi von ÜA aus ist Yi der Abstand von der Anfangstangente während
von ÜE aus dieses der Abstand von der Bezugslinie des Kreises ist (jeweils im
Abstand Xi auf der X-Achse). Für die Absteckung des Punktes Pi von ÜE aus ist die
Bezugslinie des Kreises jedoch ungeeignet. Hierzu sind die Absteckwerte XH und YH
nach Helmert bzw. der Absteckwert Y H (Parallele im Abstand f) besser geeignet.
49
YE
X
lx
Yi =
X
YH
Yi
ÜE =B
A
Kx
von Ü A : K A = 0 + K x
1 −K
von Ü E : K E = R
x
Xi
XH
Kx
Schattenlängel
ÜA
Punkt P
R
τΕ
R
M
Die Absteckwerte XH und YH bzw. Y H nach Helmert werden hier wie folgt berechnet:
Absteckwerte nach Helmert
l
2
XH
l
2
R
X 2K
Y*
H
+ (R − Y K ) 2 = R 2
R − Y K = R 2 − X 2K
Y K = R − R 2 − X 2K
Yi
YK
XK
YH = f + Yk − Yi
Xi
YH
f
Parallele im
Abstand f
XH = l − Xi
XK = l − Xi
2
XK = XH − l
2
YH = f − YH
R
f
R
50
l2
24 R
Die Absteckung der ersten Hälfte der Parabel erfolgt dann von der Anfangstangente
aus mit:
0
Yi =
Xi
l :
2
X 3i
6 R l
Die Absteckung der zweiten Hälfte erfolgt dann mit den Helmert’schen
Absteckwerten X H i , Y H i von ÜE aus, wobei zweckmäßigerweise die Absteckung von
einer parallelen im Abstand f von der Anfangstangente mit dem Wert YHi erfolgen
sollte:
0 < Xi
l
2
X Hi = l − X i
Y H i = f + R − R 2 − (X H i − l ) 2
2
Würde die Absteckung der Parabel in herkömmlicher Weise erfolgen, müssten die
hiermit korrespondierenden Absteckwerte wie folgt berechnet werden:
X
0
Pa
be
ra
l4
es
ad
r
.G
Kreis
ÜE= B A
P
1
Rx
A
X
Schattenlänge l
Gerade
l
4
Die Differenz d zwischen beiden Verfahren ergibt sich daher zu:
l
4
l
4
l
4
Wie bei der kubischen Parabel wird die Krümmung als Funktion der Schattenlänge l
festgelegt, wobei hier ein biquadratische Parabel verwendet wird.
d i = Y Hi − Y Pi
51
Parabel 4. Grades
ÜA
X 3P i
Y Pi =
6 R l
P R O G R A M
Kubische Parabel mit Absteckung nach Helmert
Eingabedaten: R = 1000.0000 l = 150.0000
L,taue, xe, ye, be: 150.0365
4.76573 150.0000
3.7500
xm, ym, f, fn
:
75.2101 1000.9493
0.9493
0.9375
Absteckung (yh mit strenger Loesung fuer f:
0.9493)
xi
yi
(Absteckwerte von 0 < xi < l/2)
10.0000
0.0011
20.0000
0.0089
30.0000
0.0300
40.0000
0.0711
50.0000
0.1389
60.0000
0.2400
70.0000
0.3811
yh bzw. yh*)
yh*
0.3686
0.1275
-0.1737
-0.5416
-0.9830
-1.5048
-2.1136
-2.8165
Diese Form des Übergangsbogens wird auch als Übergangsbogen mit
geschwungener Krümmungslinie bezeichnet und wird bei der DB bei
Trassierungen mit hohen Entwurfsgeschwindigkeiten verwendet. Sowohl bei der
kubischen Parabel als auch bei der Klothoide tritt ein Knick im Krümmungsverlauf
bei ÜA und bei ÜE auf, wodurch ein Ruck (sprungartige Querbeschleunigung)
hervorgerufen wird. Dieser Nachteil wird durch eine Parabel 4. Grades vermieden.
l
2
X Pi = l − X i
Beispiel:
Helmert:
yk
0.0125
0.1125
0.3125
0.6127
1.0130
1.5136
2.1147
2.8165
3.2.3 Die Parabel 4. Grades als Übergangsbogen
K
1
R
Y H i = f − Y H i = R 2 − (X H i − l ) 2 − R
2
2
l
f
24 R
0 < Xi
Absteckwerte von l/2 < xi < l (ohne Helmert: yi; nach
xi
yi
yh
d
xk
80.0000
0.5689
0.5807
0.0118
5.0000
90.0000
0.8100
0.8218
0.0118
15.0000
100.0000
1.1111
1.1230
0.0119
25.0000
110.0000
1.4789
1.4909
0.0120
35.0000
120.0000
1.9200
1.9323
0.0123
45.0000
130.0000
2.4411
2.4541
0.0130
55.0000
140.0000
3.0489
3.0629
0.0140
65.0000
150.0000
3.7500
3.7658
0.0158
75.0000
biquadratische Parabel:
50.0000
KX =
1
Rx
= C X2 (1) von K = 0 bis K =
C: Proportionalitätskonstante
Bestimmung der Proportionalitätskonstanten über den Punkt A bei l/2:
Für die Krümmung in diesem Punkt gilt:
XA = l
2
KA =
52
1
2 R
(2a)
(2b)
1
2R
Einsetzen von (2) in (1) ergibt:
K A = C X 2A
l 2 = C l2
4
2 R
2
1
4
2
C=
=
2 R l2 R l2
1
=C
Einsetzen von C in (1):
Y = KX = 1 = C X2
Rx
(Krümmung)
2
1
2
X
Y = KX =
=
Rx R l2
Die gesuchte Funktion ergibt sich durch zweimalige Integration der Krümmung:
Y =
Y=
2 X 2 dX = 2 X 3
R l2
3 R l2
3
4
4
2 X
dX = 2 X 2 = X 2
3 R l2
3 4 R l
6 R l
Die Abrückung f des Kreisbogens von der Anfangstangente bei l/2 berechnet sich
hier zu:
X= l
2
Yl =f=
2
2
l4
= l
6 2 4 R l 2 96 R
Die Absteckung der Parabel 4. Grades erfolgt immer nach der Methode von Helmert.
53

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